相対性理論の行間埋め　第IV章

ドラゴン人間 作成

(17.6)より \begin{align*} \vec{p}&=m_{i}\frac{d\vec{z}}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{d\vec{z}}{cdt})^2}}+e_{i}\vec{A}\\ \Leftrightarrow& \vec{p}=m_{i}\vec{v}\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\vec{v}}{c})^2}}+e_{i}\vec{A}\\ \Leftrightarrow&\vec{p}-e_{i}\vec{A}=\frac{m_{i}\vec{v}}{\sqrt{1-(\frac{\vec{v}}{c})^2}}\\ \Leftrightarrow& (\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2=\frac{(m_{i}\vec{v})^2}{1-(\frac{\vec{v}}{c})^2}\\ \Leftrightarrow& (\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2(1-(\frac{\vec{v}}{c})^2)=(m_{i}\vec{v})^2\\ \Leftrightarrow& (\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2-(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2(\frac{\vec{v}}{c})^2=(m_{i}\vec{v})^2\\ \Leftrightarrow& (\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2=\vec{v}^2 (m_{i}^2+\frac{(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}{c^2} )\\ \\ \\ \vec{v}^2&=\frac{(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}{m_{i}^2+(\frac{\vec{p}-e_{i}\vec{A}}{c})^2}\\ &=\frac{(c(\vec{p}-e_{i}\vec{A}))^2}{m_{i}^2c^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2 } \\ \\ \vec{v}&=c(\vec{p}-e_{i}\vec{A})\sqrt{\frac{1}{m_{i}^2c^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}} \end{align*} これを用いると、 \begin{align*} \sqrt{1-(\frac{\vec{v}}{c})^2}&=\sqrt{1-\frac{(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}{m_{i}^2c^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}}\\ &=\sqrt{\frac{m_{i}^2c^2}{m_{i}^2c^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}}\\ &=m_{i}c\sqrt{\frac{1}{(m_{i}c)^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}}\\ \end{align*} となるので、 \begin{align*} H_{0}&=\sum_{i=1}^{N}\vec{p}(i)\frac{d\vec{z}(i)}{dt}-L_{0}\\ &=\sum_{i=1}^{N}\vec{p}(i) \frac{d\vec{z}(i)}{dt}-\sum_{i=1}^{N}({-m_{i}c^2\sqrt{1-(\frac{d\vec{z}(i)}{cdt})^2}+e_{i}\vec{A}(i)\frac{d\vec{z}(i)}{dt}+e_{i}cA_{0}(i)})\\ &=\sum_{i=1}^{N}\vec{p} \frac{c(\vec{p}-e_{i}\vec{A})}{\sqrt{(m_{i}c)^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2}} - \sum_{i=1}^{N}(-m_{i}c^2 m_{i}c\frac{1}{\sqrt{(m_{i}c)^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A}})^2} +e_{i}\vec{A}c(\vec{p}-e_{i}\vec{A})\frac{1}{\sqrt{(m_{i}c)^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A}})^2}+e_{i}cA_{0})\\ &=\sum_{i=1}^{N}( \frac{c}{\sqrt{(m_{i}c)^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A}})^2}( (m_{i}c)^2+(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2 ) -e_{i}A_{0}c )\\ &=\sum_{i=1}^{N}(c\sqrt{(\vec{p}-e_{i}\vec{A})^2 +(m_{i}c)^2 } -e_{i}cA_{0} ) \end{align*}

(17.13)の導出

▼ 詳細を開く...2025/11/26作成

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