相対性理論の行間埋め　第III章

\(\S\)10 真空中のMaxwellの方程式(復習)

1. 式(10.7) (10.8)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

式(10.7)を示します。初めに式（10.6）を式（10.4)に代入します。このとき、式（10.5）の式変形を用いると以下のようになります。 \begin{align*} &&\text{div}\vec{D}&=\rho \\ \\&\Leftrightarrow&\varepsilon_0\text{div}\vec{E}&=\rho \\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon_0\text{div}(-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\text{grad}\phi)&=\rho \\ \\ &\Leftrightarrow&-\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\text{div}\vec{A}-\varepsilon_0\text{div}(\text{grad}{\phi})&=\rho \end{align*} 最後で\(\vec{A}\)の時間微分と発散を交換しました。 ここで、Lorentz条件（10.9）を用いると \begin{align*} && \varepsilon_0 \frac{\partial \phi}{c^2\partial t^2}-\varepsilon_0 \text{div}(\text{grad}\phi)&=\rho \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\partial \phi}{c^2\partial t^2}+\text{div}(\text{grad}\phi)&=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \\ \end{align*} が得られます。 ここで、 \begin{align*} \text{div}(\text{grad}\phi) &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\phi+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\phi \\ \\ &= \displaystyle\sum_{i=1}^3\left(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right)^2\phi \\ \\ \end{align*} と書けます(p.47の記法を使用)。これを用いると \begin{align*} && -\frac{\partial \phi}{c^2\partial t^2}+\text{div}(\text{grad}\phi)&=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(-\frac{\partial}{c^2\partial t^2}+\displaystyle\sum_{i=1}^3\left(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right)^2\right)\phi&=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \\ &\Leftrightarrow& \square\phi&=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \\ \end{align*} が成り立ちます。最後はp.59の演算子を用いています。 次に式(10.8)を示します。(10.6)と(10.3)を式(10.4)に代入します。 式(10.5)の式変形を用いると、 \begin{align*} && \text{rot}\vec{H} - \frac{\partial}{\partial t} \vec{D} &= \vec{j} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{\mu_0}\text{rot}\vec{B} - \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} \vec{E} &= \vec{j} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{\mu_0} \text{rot}(\text{rot}\vec{A}) - \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \text{grad}\phi \right) &= \vec{j}&\\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}(\text{rot}\vec{A}) - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \text{grad}\phi \right) &= \mu_0\vec{j}& \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}(\text{rot}\vec{A}) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \left( -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \text{grad}\phi \right) &= \mu_0\vec{j}&&...(1) \\ \\ \end{align*} が得られます。最後はp.65下の式を用いました。 ここで、ラプラシアン\(\triangle\)を用いて、ベクトル解析の公式 \begin{align*} \text{rot}(\text{rot}\vec{A})=\text{grad}(\text{div}\vec{A})-\triangle\vec{A} \end{align*} を適用します。 これによって(1)は、 \begin{align*} && \triangle\vec{A}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} - \text{grad}(\text{div}\vec{A}) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \text{grad}\phi &= - \mu_0 \vec{j} \\ \\ &\Leftrightarrow& \triangle\vec{A}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} - \text{grad}\left( \text{div}\vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) &= - \mu_0 \vec{j} \end{align*} となります。最後に\(\phi\)の時間微分と勾配の順番を入れ替えました。 ここで、Lorentz条件(10.9)を適用することで \begin{align*} && \triangle\vec{A}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} - \text{grad}\left( \text{div}\vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) &= - \mu_0 \vec{j} \\ \\ &\Rightarrow& \triangle\vec{A}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} &= - \mu_0 \vec{j} \\ \\ \end{align*} が得られます。ラプラシアンは \begin{align*} \triangle=\displaystyle\sum_{i=1}^3\left(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right)^2 \end{align*} と書けるため、p.59の演算子を用いて \begin{align*} && \triangle\vec{A}- \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} &= - \mu_0 \vec{j} \\ \\ &\Leftrightarrow& \square\vec{A} &= - \mu_0 \vec{j} \\ \\ \end{align*} が得られます。

\(\S\)11 Maxwellの方程式の相対論的書きかえ(1)

1. 式(11.8)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

（11.3）の上付き添え字のAを使わず、（11.6）の上にある下付き添え字のAを用いるところに注意して、式(11.8)の行列要素について計算します。P64の下部に書いている\(\partial_i\)の定義をもとに \(f_{01}\)の計算は
\begin{align*} f_{01}=\partial_{0}A_{1}-\partial_{1}A_{0}=\frac{\partial}{c \partial t}A_{1}-\frac{\partial}{\partial x}A_0 =\frac{\partial}{c \partial t}A_x-\frac{\partial}{\partial x}(-\frac{Φ}{c})=\frac{\partial A_x}{c\partial t}+\frac{\partial Φ}{c\partial x} \end{align*}
式(10.6)より \begin{align*} f_{01}=-\frac{1}{c}E_x \end{align*} また、\(f_{12}\)は \begin{align*} f_{12}=\partial_1{A_2}-\partial_2{A_1}=\frac{\partial}{\partial x}A_y-\frac{\partial}{\partial y}A_x=B_z \end{align*} ここで、(10.6)の式を用いた。 また（11.7)より、(11.8)の対角成分は \begin{align*} &&f_{00}=-f_{00}& \\ \\ &\Leftrightarrow& 2f_{00}=0 \\ \\ &\Rightarrow& f_{00}=0 \end{align*} となり、全て０となる。 残りの対角成分以外の成分は、同様にして計算して(11.7)を用いると（11.8）となる。

\(\S\)12 Maxwellの方程式の相対論的書きかえ(2)

1. 式(12.1)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

式（12.1）を変形して(10.3)(10.4)に一致することを示す。
\begin{align*} \partial{_\nu}f^{\lambda \nu}=\mu_0 j^{\lambda} \end{align*}
ここで、P56の中部において、一階反変ベクトルを二階共変テンソルを用いて一階共変ベクトルにする式 \begin{align*} B_{\nu}(x)=\eta_{\nu \mu}A^{\mu}(x) \end{align*} と同じように考えて、二階共変テンソルを２個の反変テンソルを用いて二階反変テンソルにする式 \begin{align*} ｆ^{\mu \nu}=\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu \beta}f_{\alpha \beta} \end{align*} が成り立つので、 λ=0のとき、
\begin{align*} &&\partial{_\nu}f^{0\nu}=\mu_0 j^{0}& \\ &\Leftrightarrow&\partial{_\nu}\eta^{0 \alpha }\eta^{\nu \beta}f_{\alpha \beta}=\mu_0 c\rho \end{align*} ここで左辺は第二章（5.6）より、\(\eta\)はα＝０で-1となり、それ以外で０となるので、 \begin{align*} \partial_{\nu}(-1)\eta^{\nu \beta}f_{0\beta}=\mu_0 c\rho \\ \end{align*}
（11.8）より、左辺のｆはβ＝1,2,3で０でない成分であるので、
\begin{align*} &&-\partial_1 f_{01}-\partial_2 f_{02}-\partial_3 f_{03}=\mu_0 c\rho& \\ &\Leftrightarrow&\frac{\partial E_x}{c \partial x}+\frac{\partial E_y}{c \partial y}+\frac{\partial E_z}{c \partial z}=\mu_0 c\rho \\ &\Rightarrow& \text{div}\vec{D}=\rho \end{align*} ここで、P65の下部式を用いた。 これは、（10.3）に一致する。
次に、λ=1の場合も同様にして求める。 \begin{align*} &&\partial_{\nu}f^{1 \nu}=\mu_0 j^{1}& \\ &\Leftrightarrow&\partial_{\nu}\eta^{1 \alpha}\eta^{\nu \beta}f_{\alpha \beta}=\mu_0 j_x \\ &\Rightarrow&\partial_{\nu}\eta^{\nu \beta}f_{1\beta}=\mu_0 j_x \end{align*} ここで(11.8)より、左辺のｆが０でないのはβ=0,2,3のときなので、（5.6）の式に気を付けて \begin{align*} &&\partial_{\nu}\eta^{\nu 0}f_{10}+\partial_{\nu}\eta^{\nu 2}f_{12}+\partial_{\nu}\eta^{\nu 3}f_{13}=\mu_0 j_x \\ &\Leftrightarrow&-\partial_0 f_{10}+\partial_2 f_{12}+\partial_3 f_{13}=\mu_0 j_x& \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\partial E_x}{c^2 \partial t}+\frac{\partial B_z}{c^2\partial y}-\frac{\partial B_y}{c^2\partial z}=\mu_0 j_x \\ &\Rightarrow&(\text{rot}\vec{H})_x-\frac{\partial D_x}{\partial t}=j_x \end{align*} 最後の式変形にP56の下部を用いた。 これは、（10.4）のx成分と一致する。残りのy、z成分も同様にして一致する。


2. 式(12.2)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

P71の中部で、(12.2)の左辺の表式を\(F_{\lambda \mu \nu}\)とし、\(F_{123}\)は求められているので、残りの３個を求める。 (11.8)の成分を用いて、\(F_{023}\)は \begin{align*} &&0\\ &=&F_{023}\\ &=&\partial_0 f_{23}+\partial_2 f_{30}+\partial_3 f_{02}\\ &=&\frac{\partial B_x}{c \partial t}+\frac{\partial E_z}{c \partial y}-\frac{\partial E_y}{c\partial z}\\ &\Rightarrow&\frac{\partial B_x}{ \partial t}+\frac{\partial E_z}{ \partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}=0\\ &\Rightarrow&\frac{\partial B_x}{\partial t}+(\text{rot} \vec{E})_x=0 \end{align*} 途中の式変形で両辺にｃをかけた。 これは、（10.2）のｘ成分に一致し、同様にして残りの２個も計算すると(10.2)のｙ、ｚ成分一致する。


3. 式(12.7)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

(11.7)に(11.8)の行列要素を対応させると、(12.7)が、(12.6)をテンソル形式で書いたものとわかる。


4. P72下段:\(\partial_{\nu}\partial{^{\nu}}=\square　\)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

\(\partial^{\lambda}=\eta^{\lambda \rho}\partial_{\rho}\)より、 \begin{align*} \partial_{\nu}\partial^{\nu}&=&\partial_{\nu}\eta^{\nu \rho}\partial_{\rho} \\ &=&\eta^{\nu \rho}\partial_{\mu}\partial_{\rho} \end{align*} ここで、P41(5.6)より、 \begin{align*} &&-\partial_{0}\partial_{0}+\partial_{1}\partial_{1}+\partial_{2}\partial_{2}+\partial_{3}\partial_{3}\\ &=&-\frac{\partial^2}{c^2 \partial t^2}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\\ &=&\square \end{align*}


5. \(\partial_{\nu}A^{\nu}\)=0がローレンツ条件となることの導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

P69(11.6)の上のAの定義と、P64下部の定義を用いて \begin{align*} \partial_{\nu}A^{\nu} &=&\partial_{0}A^{0}+\partial_{1}A^{1}+\partial_{2}A^{2}+\partial_{3}A^{3}\\ &=&\frac{\partial \phi}{c^2 \partial t}+\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial　A_{y}}{\partial　y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\\ &=&\text{div}\vec{A}+\frac{\partial \phi}{c^2 \partial t}\\ &=&0 \end{align*}


6. 式(12.8)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

(12.4a)の両辺に\(f_{\lambda \rho}\)をかけて \begin{align*} \text{(左辺)}&=&f_{\lambda \rho}\partial_{\nu}f^{\lambda \nu}\\ &=&\partial_{\nu}(f^{\lambda \nu} f_{\lambda \rho})-f^{\lambda \nu}\partial_{\nu}f_{\lambda \rho} \end{align*} ここで、\(\partial_{\nu}(f^{\lambda \nu }f_{\lambda \rho})=(\partial_{\nu}f^{\lambda \nu})f_{\lambda \rho}+f^{\lambda \nu}(\partial_{\nu}f_{\lambda \rho})\) を用いた。 \begin{align*} \text{(第２項)}&=&-\frac{f^{\lambda \nu}(\partial_{\nu}f_{\lambda \rho}-\partial_{\lambda}f_{\nu \rho})}{2}\\ &=&-\frac{f^{\lambda \nu}(\partial_{\nu}f_{\lambda \rho}+\partial_{\lambda}f_{\rho \nu})}{2}\\ &=&-\frac{f^{\lambda \nu}(\partial_{\nu}f_{\lambda \rho}+\partial_{\lambda}f_{\rho \nu})}{2}+\frac{f^{\lambda \nu}\partial_{\rho}f_{\nu \lambda}}{2}-\frac{f^{\lambda \nu}\partial_{\rho}f_{\nu \lambda}}{2}\\ &=&-\frac{f^{\lambda \nu}\overbrace{(\partial_{\nu}f_{\lambda \rho}+\partial_{\lambda}f_{\rho \nu}+\partial_{\rho}f_{\nu \lambda})}^{(1)}}{2}+\frac{f^{\lambda \nu}\partial_{\rho}f_{\nu \lambda}}{2} \\ &=&0+\frac{f^{\lambda \nu}\partial_{\rho}f_{\nu \lambda}}{2} \\ &=&\frac{(\partial_{\rho}f_{\nu \lambda})f^{\lambda \nu}}{4}+\frac{f^{\lambda \nu}(\partial_{\rho}f_{\nu \lambda})}{4}&...(2)\\ &=&-\frac{(\partial_{\rho}f^{\lambda \nu})f_{\lambda \nu}}{4}-\frac{f^{\lambda \nu}(\partial_{\rho}f_{\lambda \nu})}{4}\\ &=&-\frac{\partial_{\rho}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \nu})}{4}\\ \end{align*} (1)では(12.2)を代入すると０となることを用いた。
(2)では\(ｆ\)の添え字は総和をとることに注意して、「\(\Sigma\Sigma f_{ab}\)\(f^{ab}=\Sigma\Sigma f^{ab}f_{ab}\)」と、「\(BC=CB\)のとき、\(A(BC)=A(CB)\)」を用いた。

これを、（左辺）の第２項に代入して \begin{align*} \text{（左辺）}&=&\partial_{\nu}(f^{\lambda \nu} f_{\lambda \rho})-f^{\lambda \nu}\partial_{\nu}f_{\lambda \rho}\\ &=&\partial_{\nu}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \rho})-\frac{\partial_{\rho}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \nu})}{4}\\ &=&\partial_{\nu}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \rho})-\frac{\partial_{\nu}\delta\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}(f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta})}{4}&...(3)\\ &=&\partial_{\nu}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \rho}-\frac{\delta\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4}) \end{align*} (3)では\(\partial_{\rho}=\partial_{\nu}\delta\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}\)を代入し、文字を置き換えた。
\(\partial_{\rho}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \nu})\)に\(\partial_{\rho}=\partial_{\nu}\delta\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}\)を代入する際の注意として、代入前の添え字に注目すると、演算子の\(\rho\)と()内のｆの\(\lambda, \nu \)は無関係であるので、代入後の演算子とｆの添え字を別々にする必要がある。 以上より、(12.8)式 \begin{align*} \partial_{\nu}(f^{\lambda \nu}f_{\lambda \rho}-\frac{\delta\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})=\mu_{0}j^{\lambda}f_{\lambda \rho} \end{align*} が成り立つ。


7. (12.9)'の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

まず、(12.9)の両辺に\(\eta^{\rho \mu}\)をかけて、 \begin{align*} \text{(左辺)}&=&T\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}\eta^{\rho \mu}=T^{\nu \mu} \\ \\ \text{(右辺)}&=&-\frac{1}{\mu_{0}} ( \eta^{\rho \mu}f^{\lambda}f_{\lambda \rho}-\frac{\eta^{\rho \mu}\delta\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})\\ &=&-\frac{1}{\mu_{0}} ( \eta^{\rho \mu}f^{\lambda}f_{\lambda \rho}\eta^{\lambda \sigma}\eta_{\lambda \sigma }-\frac{\eta^{\nu \mu}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})\\ &=&-\frac{1}{\mu_{0}} ( \eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda \nu}(\eta^{\lambda \sigma}\eta^{\rho \mu}f_{\lambda \rho})-\frac{\eta^{\nu \mu}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})\\ &=&-\frac{1}{\mu_{0}} ( \eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda \nu}(\eta^{\sigma \lambda}\eta^{\mu \rho}f_{\lambda \rho})-\frac{\eta^{\nu \mu}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})\\ &=&-\frac{1}{\mu_{0}} ( \eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda \nu}f^{\sigma \mu}-\frac{\eta^{\nu \mu}f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})\\ \end{align*} となる。


8. (12.9)\({}^{\prime\prime}\)の行列の成分の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

\begin{align*} T^{00}&=&-\frac{1}{\mu_{0}} ( \eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda 0}f^{\sigma 0}-\frac{(-1)f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4})\\ &=&-\frac{1}{\mu_{0}} \left( \underbrace{\eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda 0}f^{\sigma 0}}_{\text{第一項}}+\underbrace{\frac{f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4}}_{\text{第二項}}\right)\\ \\ \text{(第1項)}&=&\eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda 0}f^{\sigma 0}\\ &=&-f^{00}f^{00}+f^{11}f^{11}+f^{22}f^{22}+f^{33}f^{33}\\ &=&\frac{E_{x}^2}{c^2}+\frac{E_{y}^2}{c^2}+\frac{E_{z}^2}{c^2}\\ \\ \text{(第2項)}&=&\frac{f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4}\\ &=&\frac{f^{0 \beta}f_{0 \beta}+f^{1\beta}f_{1\beta}+f^{2\beta}f_{2\beta}+f^{3\beta}f_{3\beta}}{4}\\ &=&\frac{(f^{0 1}f_{0 1}+f^{02}f_{02}+f^{03}f_{03})+(f^{10}f_{10}+f^{12}f_{12}+f^{13}f_{13})+(f^{20}f_{20}+f^{21}f_{21}+f^{23}f_{23})+(f^{30}f_{30}+f^{31}f_{31}+f^{32}f_{32})}{4}\\ &=&\frac14((-\frac{E_{x}^2}{c^2}-\frac{E_{y}^2}{c^2}-\frac{E_{z}^2}{c^2})+(-\frac{E_{x}^2}{c^2}+B_{z}^2+B_{y}^2)+(-\frac{E_{y}^2}{c^2}+B_{z}^2+B_{x}^2)+(-\frac{E_{z}^2}{c^2}+B_{y}^2+B_{x}^2))\\ &=&-\frac{{E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2}{2c^2}+\frac{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}{2} \end{align*} よって、行列の各成分を求めると \begin{align*} T^{00}&=-\frac{1}{\mu_{0}} ( \frac{E_{x}^2}{c^2}+\frac{E_{y}^2}{c^2}+\frac{E_{z}^2}{c^2} -\frac{{E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2}{2c^2}+\frac{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}{2} )\\ &=-\frac{1}{2\mu_{0}} (\frac{E_{x}^2}{c^2}+\frac{E_{y}^2}{c^2}+\frac{E_{z}^2}{c^2})-\frac{(B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2)}{2\mu_{0}}\\ &=-\frac{\vec{D}\vec{E}+\vec{B}\vec{H}}{2}\\ &=-w&...(12.9)^{\prime\prime}\text{下の定義より} \\ \\ \\ T^{01} &= -\frac{1}{\mu_{0}} (\eta_{\lambda \sigma}f^{\lambda 0}f^{\sigma 1}) \\ &= -\frac{1}{\mu_{0}}(-f^{00}f^{01}+f^{10}f^{11}+f^{20}f^{21}+f^{30}f^{31}) \\ &= -\frac{1}{\mu_{0}}\left(\frac{E_{y}}{c} B_{z}-\frac{E_{z}}{c}B_{y}\right) \\ &= -c\frac{1}{c^2}\left(E_{y} H_{z}-H_{y}E_{z}\right) \\ &= -c\frac{1}{c^2}\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)_{x} \\ &= -cg_{x}&...(12.9)^{\prime\prime}\text{下の定義より} \\ \\ \end{align*} が得られる。また、 \begin{align*} T^{11}&=-\frac{1}{\mu_{0}}(\eta_{\lambda \sigma}\underbrace{f^{\lambda 1}f^{\sigma 1}}_{\text{第1項}}-\underbrace{\frac{f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4}}_{\text{第2項}})\\ \text{(第1項)}&=--f^{01}f^{01}+f^{11}f^{11}+f^{21}f^{21}+f^{31}f^{31}& &=-\frac{E_{x}^2}{c^2}+B_{z}^2+B_{y}^2 \\ \text{(第2項)}&=-\frac{f^{\alpha \beta}f_{\alpha \beta}}{4}& &=\frac{{E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2}{2c^2}-\frac{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}{2} \end{align*} より、 \begin{align*} T^{11}&=-\frac{1}{\mu_{0}} (-\frac{E_{x}^2}{c^2}+B_{z}^2+B_{y}^2+\frac{{E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2}{2c^2}-\frac{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}{2} )\\ &=-\frac{1}{\mu_{0}} (-\frac{E_{x}^2}{c^2}+B_{z}^2+B_{y}^2+(B_{x}^2-B_{x}^2)+\frac{{E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2}{2c^2}-\frac{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}{2} )\\ &=-\frac{1}{\mu_{0}} (-\frac{E_{x}^2}{c^2}-B_{x}^2+\frac{{E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2}{2c^2}+\frac{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}{2} )\\ &=\epsilon_{0} E_{x}^2+\mu_{0}H_{x}^2-\frac{\epsilon_{0}({E_{x}^2}+E_{y}^2+E_{z}^2)}{2}+\frac{\mu_{0}(B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2)}{2}\\ &=\epsilon_{0} E_{x}^2+\mu_{0}H_{x}^2-\frac{\vec{D}\vec{E}+\vec{B}\vec{H}}{2} &=M_{ik} \end{align*} と得られる。最後は(12.9)\({}^{\prime\prime}\)下の定義を用いた。


9. (12.10a)(12.10b)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

\(T\sideset{^\nu}{}{_\rho}{}=T^{\nu \sigma}\eta_{\sigma \rho}\)より、(12.8)\({}^{\prime}\)は \begin{align*} \partial_{\nu}T^{\nu \sigma}\eta_{\sigma \rho}=f_{\rho \lambda}j^{\lambda} \end{align*} \(\rho\)=0のとき \begin{align*} &&\partial_{\nu}T^{\nu \sigma}\eta_{\sigma 0}=f_{0 \lambda}j^{\lambda}\\ &\Leftrightarrow&-\partial_{\nu}T^{\nu 0}=f_{0 \lambda}j^{\lambda}\\ &\Leftrightarrow&-\partial_{0}T^{00}-\partial_{1}T^{10}-\partial_{2}T^{20}-\partial_{3}T^{30}=f_{00}j^{0}+f_{01}j^{1}+f_{02}j^{2}+f_{03}j^{3}\\ &\Leftrightarrow&\frac{w}{c \partial t}+\frac{S_{x}}{c \partial x}+\frac{S_{y}}{c \partial y}+\frac{S_{z}}{c \partial z}=-\frac{E_{x}}{c}j_{x}-\frac{E_{y}}{c}j_{y}-\frac{E_{z}}{c}j_{z} \\ &\Rightarrow&-\frac{\partial w}{\partial t}=\text{div}\vec{S}+(\vec{E} \cdot \vec{j}) \end{align*} \(\rho\)=1のとき \begin{align*} \partial_{\nu}T^{\nu \sigma}\eta_{\sigma 1}=f_{\rho 1}j^{\lambda} &\Leftrightarrow&\partial_{\nu}T^{\nu 1}=f_{1\lambda}j^{\lambda}\\ &\Leftrightarrow&\partial_{0}T^{01}+\partial_{1}T^{11}+\partial_{2}T^{21}+\partial_{3}T^{31}=f_{10}j^{0}+f_{11}j^{1}+f_{13}j^{3}\\ &\Leftrightarrow&-\frac{\partial g_{x}}{\partial t}+\frac{M_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial M_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial M_{zx}}{\partial z}=\frac{E_{x}c\rho}{c}+B_{z}j_{y}-B_{y}j_{z}\\ &\Leftrightarrow&-\frac{\partial g_{x}}{\partial t}+\frac{\partial M_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial M_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial M_{zx}}{\partial z}=\rho E_{x}+B_{z}j_{y}-B_{y}j_{z}\\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial g_{x}}{\partial t}=\frac{\partial M_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial M_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial M_{zx}}{\partial z}-\rho E_{x}-(B_{z}j_{y}-B_{y}j_{z}) \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial g_{x}}{\partial t}=\sum_{l=1}^{3} \partial_{l}M_{lx}-(\rho E_{x}+(\vec{j}\times \vec{B})_{x}) \end{align*} これで、(12.10a),(12.10b)を示せた。


10. (12.10a)\({}^{\prime}\)(12.10b)\({}^{\prime}\)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

ガウスの法則 \begin{align*} \int _{V}\text{div}{A}dV=\int_{S}\vec{A}d\vec{\sigma} \end{align*} より、(12.10a)の右辺第１項と(12.10b)の右辺第１項を体積積分から、面積分に変換すると示すことが出来る。


11. (12.11)\(^\prime\)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

(11.8)の２階共変テンソル\(f_{\mu \nu}\)を２階反変テンソル\(f^{\mu \nu}\)に変換する。 テンソル変換の式 \begin{align*} f_{\mu \nu}=\eta_{\alpha \mu}\eta_{\beta \nu}f^{\mu \nu} \end{align*} を用いると、(11.8)の行列式 \begin{align*} f_{\mu \nu}= \begin{pmatrix} f_{00} & f_{01} & f_{02} & f_{03} \\ f_{10} & f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{20} & f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ f_{30} & f_{31} & f_{32} & f_{33} \end{pmatrix} \end{align*} は \begin{align*} f^{\mu \nu}&= \begin{pmatrix} f_{00} & -f_{01} & -f_{02} & -f_{03} \\ -f_{10} & f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ -f_{20} & f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ -f_{30} & f_{31} & f_{32} & f_{33} \end{pmatrix} \end{align*} となり、 \begin{align*} f^{\mu \nu}= \begin{pmatrix} f^{00} & f^{01} & f^{02} & f^{03} \\ f^{10} & f^{11} & f^{12} & f^{13} \\ f^{20} & f^{21} & f^{22} & f^{23} \\ f^{30} & f^{31} & f^{32} & f^{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{E_{x}}{c}&\frac{E_{y}}{c}&\frac{E_{z}}{c}\\ -\frac{E_{x}}{c}&0&B_{z}&-B_{y} \\ -\frac{E_{y}}{c}&-B_{z}&0&B_{x} \\ -\frac{E_{z}}{c}&B_{y}&-B_{x}&0 \end{pmatrix} \end{align*} となる。

今、S\(^\prime\)系において、(12.11)より、電場のみが存在し磁場は存在しないので、S \(^\prime\) 系におけるテンソル\(f^{\mu \nu^{\prime}}\)は \begin{align*} \begin{pmatrix} f^{00 ^{\prime} } & f^{01 ^{\prime}}& f^{02 ^{\prime}}&f^{03 ^{\prime} }\\ f^{10 ^{\prime} } & f^{11 ^{\prime} }& f^{12 ^{\prime} } & f^{13 ^{\prime} }\\ f^{20 ^{\prime} } & f^{21 ^{\prime} }& f^{22 ^{\prime} }& f^{23 ^{\prime} }\\ f^{30 ^{\prime} } & f^{31 ^{\prime} }& f^{32 ^{\prime} }& f^{33 ^{\prime} } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{E_{x} ^{\prime} }{c}&\frac{E_{y} ^{\prime} }{c}&\frac{E_{z} ^{\prime}}{c}\\ -\frac{E_{x} ^{\prime} }{c}&0&0&0 \\ -\frac{E_{y} ^{\prime} }{c}&0&0&0 \\ -\frac{E_{z} ^{\prime}} {c}&0&0&0 \end{pmatrix} \end{align*} これを用いると、(12.11)\(^\prime\) を導出できる。


12. (12.12a)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

まず、aについての行列式について説明する。aの行列式は \begin{align*} \begin{pmatrix} a \sideset{^0}{}{_0}{}&a \sideset{^0}{}{_1}{}&a \sideset{^0}{}{_2}{}&a \sideset{^0}{}{_3}{}\\ a \sideset{^1}{}{_0}{}&a \sideset{^1}{}{_1}{}& a \sideset{^1}{}{_2}{}& a \sideset{^1}{}{_3}{} \\ a \sideset{^2}{}{_0}{}&a \sideset{^2}{}{_1}{}& a \sideset{^2}{}{_2}{}&a \sideset{^2}{}{_3}{} \\ a \sideset{^3}{}{_0}{}&a \sideset{^3}{}{_1}{}& a \sideset{^3}{}{_2}{}&a \sideset{^3}{}{_3}{} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct ^{\prime} \\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ct\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} \end{align*} の関係式を作り、この行列式を計算すると、（3.6）\(^\prime\) が得られる。 次に、(12.12a)の式を導く。aが0でないものを選ぶことに注意して \begin{align*} f^{01}(x)&=a \sideset{^0}{}{_\mu}{} a \sideset{^1}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu ^{\prime} }(x ^{\prime} )\\ &=a \sideset{^0}{}{_0}{}a\sideset{^1}{}{_0}{}f^{00 ^{\prime} }(x ^{\prime} )+a\sideset{^0}{}{_0}{} a\sideset{^1}{}{_1}{}f^{01 ^{\prime} }(x ^{\prime} )+a \sideset{^0}{}{_1}{}a\sideset{^1}{}{_0}{}f^{10 ^{\prime} }(x ^{\prime} ) +a\sideset{^0}{}{_1}{}a\sideset{^1}{}{_1}{}f^{11 ^{\prime} }(x ^{\prime} ) \end{align*} ここで、(12.11) \(^\prime\) を用いると、 \begin{align*} f^{01}&=a\sideset{^0}{}{_0}{} a\sideset{^1}{}{_1}{}f^{01 ^{\prime}}(x^{\prime})+a\sideset{^0}{}{_1}{}a\sideset{^1}{}{_0}{}f^{10^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=\frac{1}{1-\beta^2}f^{01^{\prime}}+\frac{\beta^2}{1-\beta^2}f^{10^{\prime}}\\ &=f^{01^{\prime}} \end{align*} ここで、\(f^{10}=-f^{01}\)を用いた。 次に、\(f^{02}(x)\)について示す。ここでも\(f^{01}\)のときと同じように考えて、 \begin{align*} f^{02}(x)=&=a \sideset{^0}{}{_\mu}{} a \sideset{^2}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^0}{}{_0}{}a\sideset{^2}{}{_2}{}f^{02^{\prime}}(x^{\prime})+a\sideset{^0}{}{_1}{} a\sideset{^2}{}{_2}{}f^{12^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^0}{}{_0}{}a\sideset{^2}{}{_2}{}f^{02^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{02^{\prime}} \end{align*} と導出できる。
\(f^{03}\)も同様にして求められる。


13. (12.12b)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

(12.12a)と同じようにして求めていく。 \begin{align*} f^{12}(x)=&=a \sideset{^1}{}{_\mu}{} a \sideset{^2}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^1}{}{_0}{}a\sideset{^2}{}{_2}{}f^{02^{\prime}}(x^{\prime})+a\sideset{^1}{}{_1}{} a\sideset{^2}{}{_2}{}f^{12^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^1}{}{_0}{}a\sideset{^2}{}{_2}{}f^{02^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{02^{\prime}}(x^{\prime})\\ \\ \\ f^{23}(x)&=a \sideset{^2}{}{_\mu}{} a \sideset{^3}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^2}{}{_2}{}a\sideset{^3}{}{_3}{}f^{23^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=0 \\ \\ \\ f^{31}(x)&=a \sideset{^3}{}{_\mu}{} a \sideset{^1}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^3}{}{_3}{}a\sideset{^1}{}{_0}{}f^{30^{\prime}}(x^{\prime})+a\sideset{^3}{}{_3}{} a\sideset{^1}{}{_1}{}f^{31^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=a\sideset{^3}{}{_3}{}a\sideset{^1}{}{_0}{}f^{30^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{30^{\prime}}(x^{\prime})\\ \end{align*}

\(\S\)13 現象論的電気力学の相対論的書きかえ

1. P77中段：S系においての電場と磁場の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

前回に導出したテンソルについての行列を用いて導出する。 \begin{align*} f^{\mu \nu}= \begin{pmatrix} f^{00} & f^{01} & f^{02} & f^{03} \\ f^{10} & f^{11} & f^{12} & f^{13} \\ f^{20} & f^{21} & f^{22} & f^{23} \\ f^{30} & f^{31} & f^{32} & f^{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{E_{x}}{c}&\frac{E_{y}}{c}&\frac{E_{z}}{c}\\ -\frac{E_{x}}{c}&0&B_{z}&-B_{y} \\ -\frac{E_{y}}{c}&-B_{z}&0&B_{x} \\ -\frac{E_{z}}{c}&B_{y}&-B_{x}&0 \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} f^{\mu \nu’}= \begin{pmatrix} f^{00^{\prime}} & f^{01^{\prime}}& f^{02^{\prime}}&f^{03^{\prime}}\\ f^{10^{\prime}} & f^{11^{\prime}}& f^{12^{\prime}} & f^{13^{\prime}}\\ f^{20^{\prime}} & f^{21^{\prime}}& f^{22^{\prime}}& f^{23^{\prime}}\\ f^{30^{\prime}} & f^{31^{\prime}}& f^{32^{\prime}}& f^{33^{\prime}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{E_{x}^{\prime}}{c}&\frac{E_{y}^{\prime}}{c}&\frac{E_{z}^{\prime}}{c}\\ -\frac{E_{x}^{\prime}}{c}&0&0&0 \\ -\frac{E_{y}^{\prime}}{c}&0&0&0 \\ -\frac{E_{z}^{\prime}}{c}&0&0&0 \end{pmatrix} \end{align*} まず、S系での電場について求める。(12.12a)より \begin{align*} &f^{01}=f^{01^{\prime}}\\ \Leftrightarrow& \frac{E_{x}(x)}{c}=\frac{E_{x}^{\prime}(x^{\prime})}{c}\\ \Leftrightarrow&E_{x}=E_{x^{\prime}}^{\prime} \\ \\ &f^{02}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{02^{\prime}}\\ \Leftrightarrow& \frac{E_{y}(y)}{c}= \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \frac{E_{y}^{\prime}(y^{\prime})}{c}\\ \Leftrightarrow&E_{y}= \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} E_{y^{\prime}}^{\prime} \\ \\ \\ &f^{03}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} f^{03^{\prime}}\\ \Leftrightarrow& \frac{E_{z}(z)}{c}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \frac{E_{z}^{\prime}(z^{\prime})}{c}\\ \Leftrightarrow&E_{z}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} E_{z^{\prime}}^{\prime} \end{align*} ここで、 \begin{align*} &x^{\prime}=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\beta^2}}\\ &y^{\prime}=y\\ &z^{\prime}=z \end{align*} と(12.11)より、 \begin{align*} \vec{E}(\vec{x},t)=\frac{e(\vec{x}-\vec{v}t)}{4\pi \epsilon_{0}(r^{3\prime})\sqrt{1-\beta^2}} \end{align*} つぎに、S系における磁場を求める。 \begin{align*} &f^{23}=B_{x}=0\\ \\ &f^{31}=B_{y}\\ &=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{30^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{ez^{\prime}}{4\pi c\epsilon_{0}(r^{3\prime})} \\ \\ &f^{12}=B_{z}\\ &=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{02^{\prime}}(x^{\prime})\\ &=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{ey^{\prime}}{4\pi c\epsilon_{0}(r^{3\prime})} \end{align*} また、教科書にある磁場の式を計算すると \begin{align*} \vec{B}(\vec{x},t)&=\frac{\vec{v}\times\vec{E}(\vec{x},t)}{c^2}\\ &=\frac{1}{c^2}\frac{e\vec{v}\times(\vec{x}-\vec{v}t)}{4\pi \epsilon_{0}(r^{3\prime})\sqrt{1-\beta^2}}\\ &=\frac{1}{c^2}\frac{e\vec{v}\times\vec{x}}{4\pi \epsilon_{0}(r^3{\prime})\sqrt{1-\beta^2}}\\ &=\frac{1}{c^2}\frac{e(0,-vz,vy)}{4\pi \epsilon_{0}(r^{3\prime})\sqrt{1-\beta^2}}\\ &=\frac{1}{c}\frac{e(0,\frac{-vz}{c},\frac{vy}{c})}{4\pi \epsilon_{0}(r^{3\prime})\sqrt{1-\beta^2}}\\ &=\frac{1}{c}\frac{e(0,-z\beta,y\beta)}{4\pi \epsilon_{0}(r^{3\prime})\sqrt{1-\beta^2}}\\ &=\frac{1}{c}\frac{e(0,-z^{\prime}\beta,y^{\prime}\beta)}{4\pi \epsilon_{0}(r^{3\prime})\sqrt{1-\beta^2}}\\ \end{align*} 最後の式変形に、ｙ＝y \(^\prime\)、 Z=Z \(^\prime\) を用いた。


2. (13.4)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

\begin{align*} j^{\mu}&=b\sideset{^\mu}{}{}{_k}j^{k ^{\prime} }\\ &=b\sideset{^\mu}{}{}{_k}c\sigma f^{0k^{\prime}}\\ &=c\sigma b\sideset{^\mu}{}{}{_k}f^{0k^{\prime}}\\ &=c\sigma b\sideset{^\mu}{}{}{_k} a\sideset{^0}{}{}{_\alpha} a\sideset{^k}{}{}{_\beta}f^{\alpha \beta}\\ &=c\sigma a\sideset{^0}{}{}{_\alpha}(b\sideset{^\mu}{}{}{_k} a\sideset{^k}{}{}{_\beta})f^{\alpha \beta}\\ &=c\sigma a\sideset{^0}{}{}{_\alpha}(\delta\sideset{^\mu}{}{}{_\beta}-b\sideset{^\mu}{}{}{_0}b\sideset{_\beta}{}{}{^0})f^{\alpha \beta}\\ &=c\sigma b\sideset{_\alpha}{}{}{^0}(\delta\sideset{^\mu}{}{}{_\beta}-b\sideset{^\mu}{}{}{_0}b\sideset{_\beta}{}{}{^0})f^{\alpha \beta}\\ &=c\sigma (-\frac{u_{\alpha}}{c})(\delta\sideset{^\mu}{}{}{_\beta}-\frac{u^{\mu}}{c}(-\frac{u_{\beta}}{c}) )f^{\alpha \beta}\\ &=c\sigma (-\frac{u_{\alpha}}{c})(\delta\sideset{^\mu}{}{}{_\beta}-\frac{u^{\mu}}{c}(-\frac{u_{\beta}}{c}) )f^{\alpha \beta}\\ &=-\sigma u_{\alpha}\delta\sideset{^\mu}{}{}{_\beta}f^{\alpha \beta}-\sigma \frac{u_{\alpha}u_{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{\alpha \beta}\\ &=\sigma u_{\rho}f^{\mu \rho}+\sigma \frac{u_{\alpha}u_{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{\alpha \beta}\\ &=\sigma u_{\rho}f^{\mu \rho}+\sigma \frac{\eta_{\alpha z}u^{z} u_{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{\alpha \beta}\\ &=\sigma u_{\rho}f^{\mu \rho}+\sigma \frac{\eta_{\alpha z}cb\sideset{^z}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{\alpha \beta}\\ &=\sigma u_{\rho}f^{\mu \rho}- c\sigma\frac{b\sideset{^0}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{0\beta} + c\sigma \sum_{\alpha=1}^{3} \frac{b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{\alpha \beta}\\ &=\sigma u_{\rho}f^{\mu \rho}-\frac{c\sigma u _{\beta}u^{\mu}}{c^2}f^{0\beta}\\ &=\sigma u_{\rho}f^{\mu \rho}-c^{-2}u^{\mu}u_{\nu}j^{\nu} \end{align*} ここで\(u^{0}=c\)のとき、\( b\sideset{^0}{}{}{_0}=1\)であることと、\(j^{\nu}=c\sigma f^{0\nu}\)、 \begin{align*} \sum_{\alpha=1}^{3} b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}f^{\alpha \beta} &=b\sideset{^1}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}f^{1 \beta}+b\sideset{^2}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}f^{2 \beta}+b\sideset{^3}{}{}{_0} u_{\beta}u^{\mu}f^{3 \beta}\\ &=0 \end{align*} も用いた。


3. (13.7a)(13.7b)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

(12.1)(12.2)と同様にして導く。


4. (13.9a)(13.9b)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成　2025/10/ 2修正
ドラゴン人間 作成

導く電場と電束密度、磁場と磁束密度は、S\(^\prime\)系におけるものなので、P76,P77で用いた変換とは、違う変換になることに注意が必要。 いま、S系から\(S^{\prime}\)系へのローレンツ変換を、\(x^{\mu^{\prime}}=b \sideset{^\mu}{}{_\nu}{} x^{\nu}\)とすると、 \begin{align*} \begin{pmatrix} b \sideset{^0}{}{_0}{}&b \sideset{^0}{}{_1}{}&b \sideset{^0}{}{_2}{}&b \sideset{^0}{}{_3}{}\\ b \sideset{^1}{}{_0}{}&b \sideset{^1}{}{_1}{}&b \sideset{^1}{}{_2}{}&b\sideset{^1}{}{_3}{} \\ b \sideset{^2}{}{_0}{}&b \sideset{^2}{}{_1}{}&b \sideset{^2}{}{_2}{}&b \sideset{^2}{}{_3}{} \\ b \sideset{^3}{}{_0}{}&b \sideset{^3}{}{_1}{}&b \sideset{^3}{}{_2}{}&b \sideset{^3}{}{_3}{} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ct^{\prime}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime} \end{pmatrix} \end{align*} のようになり、ｂについての行列は \begin{align*} \begin{pmatrix} b \sideset{^0}{}{_0}{}&b \sideset{^0}{}{_1}{}&b \sideset{^0}{}{_2}{}&b \sideset{^0}{}{_3}{}\\ b \sideset{^1}{}{_0}{}&b \sideset{^1}{}{_1}{}&b \sideset{^1}{}{_2}{}&b\sideset{^1}{}{_3}{} \\ b \sideset{^2}{}{_0}{}&b \sideset{^2}{}{_1}{}&b \sideset{^2}{}{_2}{}&b \sideset{^2}{}{_3}{} \\ b \sideset{^3}{}{_0}{}&b \sideset{^3}{}{_1}{}&b \sideset{^3}{}{_2}{}&b \sideset{^3}{}{_3}{} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&0&0\\ -\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&0&0 \\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{align*} となる。 また、今考えているのは、S\(^\prime\)系において電場と磁場が存在している状況であり、P76P77の電場しかないときとは状況が異なることに注意して、反対称テンソル\(f^{\mu \nu \prime}\)は \begin{align*} \begin{pmatrix} f^{00^{\prime}} & f^{01^{\prime}}& f^{02^{\prime}}&f^{03^{\prime}}\\ f^{10^{\prime}} & f^{11^{\prime}}& f^{12^{\prime}} & f^{13^{\prime}}\\ f^{20^{\prime}} & f^{21^{\prime}}& f^{22^{\prime}}& f^{23^{\prime}}\\ f^{30^{\prime}} & f^{31^{\prime}}& f^{32^{\prime}}& f^{33^{\prime}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{E_{x}^{\prime}}{c}&\frac{E_{y}^{\prime}}{c}&\frac{E_{z}^{\prime}}{c}\\ -\frac{E_{x}^{\prime}}{c}&0&B_{z}^{\prime}&-B_{y}^{\prime} \\ -\frac{E_{y}^{\prime}}{c}&-B_{z}^{\prime}&0&B_{x}^{\prime} \\ -\frac{E_{z}^{\prime}}{c}&B_{y}^{\prime}&-B_{x}^{\prime}&0 \end{pmatrix} \end{align*} となる。ここで、(13.4)で定義された二階共変テンソル\(f_{\mu \nu}\)を二階反変テンソルにして考えた。



テンソルの変換の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
(11.8)の２階共変テンソル\(f_{\mu \nu}\)を２階反変テンソル\(f^{\mu \nu}\)に変換する。 テンソル変換の式 \begin{align*} f_{\mu \nu}=\eta_{\alpha \mu}\eta_{\beta \nu}f^{\mu \nu} \end{align*} を用いると、(11.8)の行列式 \begin{align*} f_{\mu \nu}= \begin{pmatrix} f_{00} & f_{01} & f_{02} & f_{03} \\ f_{10} & f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ f_{20} & f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ f_{30} & f_{31} & f_{32} & f_{33} \end{pmatrix} \end{align*} は \begin{align*} f^{\mu \nu}&= \begin{pmatrix} f_{00} & -f_{01} & -f_{02} & -f_{03} \\ -f_{10} & f_{11} & f_{12} & f_{13} \\ -f_{20} & f_{21} & f_{22} & f_{23} \\ -f_{30} & f_{31} & f_{32} & f_{33} \end{pmatrix} \end{align*} となる。

また、反対称テンソル\(f^{\mu \nu}\)はそのまま \begin{align*} \begin{pmatrix} f^{00} & f^{01}& f^{02}&f^{03}\\ f^{10} & f^{11}& f^{12} & f^{13}\\ f^{20} & f^{21}& f^{22}& f^{23}\\ f^{30} & f^{31}& f^{32}& f^{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{E_{x}}{c}&\frac{E_{y}}{c}&\frac{E_{z}}{c}\\ -\frac{E_{x}}{c}&0&B_{z}&-B_{y} \\ -\frac{E_{y}}{c}&-B_{z}&0&B_{x} \\ -\frac{E_{z}}{c}&B_{y}&-B_{x}&0 \end{pmatrix} \end{align*} である。 これらを用いて、P76P77と同様の計算を行う。電場から計算すると \begin{align*} f^{02^{\prime}}&=b \sideset{^0}{}{_\mu}{} b \sideset{^0}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu}\\ &=b\sideset{^0}{}{_0}{} b \sideset{^2}{}{_2}{}f^{02}+b\sideset{^0}{}{_1}{} b \sideset{^2}{}{_2}{}f^{12}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{02}-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{12}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{E_{y}}{c})-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}B_{z}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{E_{y}}{c}-\beta B_{z})\\ &=\frac{E_{y}^{\prime}}{c} \\ \\ E_{y}^{\prime}&=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(E_{y}-vB_{z}) \\ \\ \\ \\ f^{03^{\prime}}&=b \sideset{^0}{}{_\mu}{} b \sideset{^3}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu}\\ &=b\sideset{^0}{}{_0}{} b \sideset{^3}{}{_3}{}f^{03}+b\sideset{^0}{}{_1}{} b \sideset{^3}{}{_3}{}f^{13}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{03}-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{13}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{E_{z}}{c})-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}B_{y}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{E_{z}}{c}-\beta B_{y})\\ &=\frac{E_{z}^{\prime}}{c} \\ \\ E_{z}^{\prime}&=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(E_{z}-vB_{y}) \\ \\ f^{01^{\prime}}&=b \sideset{^0}{}{_\mu}{} b \sideset{^1}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu}\\ &=b\sideset{^0}{}{_0}{} b \sideset{^1}{}{_1}{}f^{01}+b\sideset{^0}{}{_0}{} b \sideset{^1}{}{_0}{}f^{00}+b\sideset{^0}{}{_1}{} b \sideset{^1}{}{_1}{}f^{11}+b\sideset{^0}{}{_1}{} b \sideset{^1}{}{_1}{}f^{10} \\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \frac{E_{x}}{c}-\frac{-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \frac{-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}(0)+\frac{-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(0)-\frac{\beta^2}{1-\beta^2}\frac{E_{x}}{c}\\ &=\frac{E_{x}}{c}\frac{1}{1-\beta^2}-\frac{\beta^2E_{x}}{c(1-\beta^2)}\\ &=\frac{E_{x}^{\prime}}{c} \\ \\ \\ E_{x}^{\prime}&=\frac{E_{x}-\beta^2E_{x}}{1-\beta^2}\\ \Leftrightarrow E_{x}^{\prime}&=E_{x} \end{align*} \(\vec{v}\)に平行なのはｘ方向、垂直なのはｙ、ｚ方向であることに注意して考えると、(13.9a)を導ける。 次に磁束密度を求める。 \begin{align*} f^{12^{\prime}}&=b \sideset{^1}{}{_\mu}{} b \sideset{^2}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu}\\ &=b\sideset{^1}{}{_0}{} b \sideset{^2}{}{_2}{}f^{02}+b\sideset{^1}{}{_1}{} b \sideset{^2}{}{_2}{}f^{12}\\ &=-\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{02}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}f^{12}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(B_{z}-\frac{vE_{y}}{c^2})\\ &=B_{z} ^{\prime} \\ \\ f^{23^{\prime}}&=b \sideset{^2}{}{_\mu}{} b \sideset{^3}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu}\\ &=b\sideset{^2}{}{_2}{} b \sideset{^3}{}{_3}{}f^{23}{}\\ &=B_{x} ^{\prime} \\ \\ f^{31^{\prime}}&=b \sideset{^3}{}{_\mu}{} b \sideset{^1}{}{_\nu}{}f^{\mu \nu}\\ &=b\sideset{^3}{}{_3}{} b \sideset{^1}{}{_0}{}f^{30}+b\sideset{^3}{}{_3}{} b \sideset{^1}{}{_1}{}f^{31}\\ &=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{E_{z}}{c})+\frac{B_{y}}{\sqrt{1-\beta^2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(B_{y}+\frac{vE_{z}}{c^2})\\ &=B_{y} ^{\prime} \\ \end{align*} \(\vec{v}\)に平行なのはｘ方向、垂直なのはｙ、ｚ方向であることに注意して考えると、(13.9b)を導ける。


5. (13.12)の導出
▼ 詳細を開く...2025/ 9/ 7作成
ドラゴン人間 作成

(13.2)\(^{\prime}\)を(13.10)に代入して \begin{align*} F^{\mu \nu}=\sum_{k=1}^3 (b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^\nu}{}{_k}{}-b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{} )\epsilon c^2f^{0k^{\prime}}+\sum_{k,l=1}^3 b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_l} (\frac{f^{kl^{\prime}}}{\mu}) \end{align*} ここで、 \begin{align*} f^{0k^{\prime}}=a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}\\ f^{kl^{\prime}}=a\sideset{^k}{}{_\rho}{} a\sideset{^l}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma} \end{align*} より、 \begin{align*} F^{\mu \nu}&=\sum_{k=1}^3 (b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^\nu}{}{_k}{}-b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{} )\epsilon c^2{a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}}+\sum_{k,l=1}^3 b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_l}(\frac{a\sideset{^k}{}{_\rho}{} a\sideset{^l}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}}{\mu})\\ &=\sum_{k=1}^3 (b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^\nu}{}{_k}{}-b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{} )\epsilon c^2{a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}}+\frac{1}{\mu}\sum_{k,l=1}^3 b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_l}a\sideset{^k}{}{_\rho}{} a\sideset{^l}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma} \end{align*} ここから、第一項と第二項に分けて計算をしていく。まず、第一項の計算は \begin{align*} (第一項)&=\sum_{k=1}^3 (b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^\nu}{}{_k}{}-b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{} )\epsilon c^2{a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}}\\ &=\epsilon c^2\sum_{k=1}^3 (b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^\nu}{}{_k}{}{a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}}-b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{}{a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}})\\ \end{align*} ここで、(13.2)\(^{\prime}\)の下にある式を用いると、 \begin{align*} (前項)&=\sum_{k=1}^3 b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^\nu}{}{_k}{}a\sideset{^0}{}{_\rho}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}\\ &=b\sideset{^\mu}{}{_0}{}a\sideset{^0}{}{_\rho}{}\sum_{k=1}^3 b\sideset{^\nu}{}{_k}{} a\sideset{^k}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}\\ &=b\sideset{^\mu}{}{_0}{}a\sideset{^0}{}{_\rho}{}(\delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} a\sideset{^0}{}{_\sigma}{})f^{\rho\sigma}\\ &=b\sideset{^\mu}{}{_0}{}a\sideset{^0}{}{_\rho}{}\delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} a\sideset{^0}{}{_\rho}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{}a\sideset{^0}{}{_\sigma}{}f^{\rho\sigma}\\ &=b\sideset{^\mu}{}{_0}{}b\sideset{_\rho}{}{^0}{}\delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{_\rho}{}{^0}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{}b\sideset{_\sigma}{}{^0}{}f^{\rho\sigma}\\ \end{align*} 最後の式変形には、\(b\sideset{^\nu}{}{}{_\mu}=a\sideset{_\mu}{}{}{^\nu}\)を用いた。 また、テンソル変換の式 \begin{align*} T\sideset{_\mu}{}{}{^\nu}=\eta^{\beta \nu}\eta_{\mu \alpha}T\sideset{^\alpha}{}{}{_\beta} \end{align*} より、 \begin{align*} b\sideset{_\rho}{}{}{^0}&=\eta^{\beta 0}\eta_{\rho \alpha}b \sideset{^\alpha}{}{}{_\beta}\\ &=-\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} \\ \\ \\ b\sideset{_\sigma}{}{}{^0}&=\eta^{\beta 0}\eta_{\sigma \alpha}b \sideset{^\alpha}{}{}{_\beta}\\ &=-\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} \end{align*} となるので、これを用いると(前項)は \begin{align*} (前項)&=b\sideset{^\mu}{}{_0}{}b\sideset{_\rho}{}{^0}{}\delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{_\rho}{}{^0}{} b\sideset{^\nu}{}{_0}{}b\sideset{_\rho}{}{^0}{}f^{\rho\sigma}\\ &=b\sideset{^\mu}{}{_0}{} (-\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) \delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} (-\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) b\sideset{^\nu}{}{_0}{} (-\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) f^{\rho\sigma}\\ &=-b\sideset{^\mu}{}{_0}{}\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}\delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{}\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}b\sideset{^\nu}{}{_0}{}\eta_{\sigma \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}f^{\rho\sigma}\\ \end{align*} ここで、(13.11)より \begin{align*} (前項)&=-\frac{\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{} u^{\mu} \eta_{\rho \alpha} u^{\alpha}}{c^2}f^{\rho \sigma}-\frac{u^{\mu}\eta_{\rho \alpha}u^{\alpha}u^{\nu}\eta_{\sigma \alpha}u^{\alpha}}{c^4}f^{\rho \sigma}\\ &=-\frac{\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{} u^{\mu} u_{\rho}}{c^2}f^{\rho \sigma}-\frac{u^{\mu}u_{\rho}u^{\nu}u{_\sigma}}{c^4}f^{\rho \sigma} \end{align*} ここで、教科書にも書いている共変ベクトルの式を用いた。 第一項の後項は、 \begin{align*} (後項)&=-\sum_{k=1}^{3}b\sideset{^\mu}{}{}{_k}b\sideset{^\nu}{}{}{_0}a\sideset{^0}{}{}{_\rho}a\sideset{^k}{}{}{_\sigma}f^{\rho \sigma}\\ &=- b\sideset{^\nu}{}{}{_0}a\sideset{^0}{}{}{_\rho} \sum_{k=1}^{3}b\sideset{^\mu}{}{}{_k}a\sideset{^k}{}{}{_\sigma}f^{\rho \sigma}\\ &=- b\sideset{^\nu}{}{}{_0}a\sideset{^0}{}{}{_\rho} (\delta\sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} a\sideset{^0}{}{_\sigma}{}) f^{\rho \sigma}\\ &=- b\sideset{^\nu}{}{}{_0}b\sideset{_\rho}{}{}{^0} (\delta\sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} b\sideset{^0}{}{_\sigma}{}) f^{\rho \sigma}\\ &=- b\sideset{^\nu}{}{}{_0} (-\eta_{\rho\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) (\delta\sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} (-\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) ) f^{\rho \sigma}\\ &=b\sideset{^\nu}{}{}{_0} (\eta_{\rho\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) (\delta\sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}+b\sideset{^\mu}{}{_0}{} (\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) ) f^{\rho \sigma}\\ &=(\frac{u^{\nu}}{c})(\eta_{\rho\alpha}(\frac{u^{\alpha}}{c})) (\delta\sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}+b\sideset{^\mu}{}{_0}{} (\eta_{\sigma\alpha}(\frac{u^{\alpha}}{c}))) f^{\rho \sigma}\\ &= \frac{u^{\nu} \eta_{\rho\alpha} u^{\alpha} \delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} f^{\rho \sigma}}{c^2} + \frac{u^{\mu} \eta_{\rho\alpha} u^{\alpha} u^{\nu} \eta_{\sigma\alpha} u^{\alpha} f^{\rho \sigma}}{c^4}\\ &= \frac{u^{\nu} u_{\rho} \delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} f^{\rho \sigma}}{c^2} + \frac{u^{\nu} u_{\rho} u^{\mu} u_{\sigma} f^{\rho \sigma}}{c^4} \end{align*} 以上より、第一項は \begin{align*} (第一項)&=\epsilon c^2((前項)+(後項))\\ &=\epsilon c^2((-\frac{\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{} u^{\mu} u_{\rho}}{c^2}f^{\rho \sigma}-\frac{u^{\mu}u_{\rho}u^{\nu}u{_\sigma}}{c^4}f^{\rho \sigma})+(\frac{u^{\nu} u_{\rho} \delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} f^{\rho \sigma}}{c^2} + \frac{u^{\nu} u_{\rho} u^{\mu} u_{\sigma} f^{\rho \sigma}}{c^4}))\\ &=\epsilon c^2(-\frac{\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{} u^{\mu} u_{\rho}}{c^2}f^{\rho \sigma}+\frac{u^{\nu} u_{\rho} \delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} f^{\rho \sigma}}{c^2})\\ &=\epsilon c^2(\frac{-u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}+u^{\nu}\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma}}{c^2}u_{\rho}f^{\rho \sigma})\\ &=\frac{1}{\mu}(\frac{-u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}+u^{\nu}\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma}}{c^2}u_{\rho}f^{\rho \sigma}) \end{align*} 次に第二項を求めていく。 \begin{align*} (第二項)&=\frac{1}{\mu}\sum_{k,l=1}^3 b\sideset{^\mu}{}{_k}{} b\sideset{^\nu}{}{_l}a\sideset{^k}{}{_\rho}{} a\sideset{^l}{}{_\sigma}{}f^{\rho \sigma}\\ &=\frac{1}{\mu}\sum_{k=1}^3\sum_{l=1}^3(b\sideset{^\mu}{}{_k}{}a\sideset{^k}{}{_\rho}{})( b\sideset{^\nu}{}{_l} a\sideset{^l}{}{_\sigma}{})f^{\rho \sigma}\\ &=\frac{1}{\mu}(\delta\sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}-b\sideset{^\mu}{}{_0}{} a\sideset{^0}{}{_\rho}{})(\delta\sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}-b\sideset{^\nu}{}{_0}{} a\sideset{^0}{}{_\sigma}{})f^{\rho \sigma}\\ &=\frac{1}{\mu}(\delta\sideset{^\nu}{}{}{_\rho}\delta\sideset{^\nu}{}{}{_\sigma}-\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} b \sideset{^\nu}{}{}{_0}b\sideset{_\sigma}{}{}{^0}-\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} b\sideset{^\mu}{}{}{_0} b\sideset{_\rho}{}{}{^0}+b\sideset{^\mu}{}{}{_0}b\sideset{_\rho}{}{}{^0}b\sideset{^\nu}{}{}{_0}b\sideset{_\sigma}{}{}{^0})f^{\rho \sigma}\\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu\nu}-\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} b \sideset{^\nu}{}{}{_0}b\sideset{_\sigma}{}{}{^0}f^{\rho \sigma} -\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} b\sideset{^\mu}{}{}{_0} b\sideset{_\rho}{}{}{^0}f^{\rho \sigma} +b\sideset{^\mu}{}{}{_0}b\sideset{_\rho}{}{}{^0}b\sideset{^\nu}{}{}{_0}b\sideset{_\sigma}{}{}{^0}f^{\rho \sigma})\\ \end{align*} ここで、 \begin{align*} b\sideset{_\rho}{}{}{^0}&=\eta^{\beta 0}\eta_{\rho \alpha}b \sideset{^\alpha}{}{}{_\beta}\\ &=-\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} \\ \\ \\ b\sideset{_\sigma}{}{}{^0}&=\eta^{\beta 0}\eta_{\sigma \alpha}b \sideset{^\alpha}{}{}{_\beta}\\ &=-\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} \end{align*} より \begin{align*} &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu\nu}-\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} b \sideset{^\nu}{}{}{_0} (-\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) f^{\rho \sigma} -\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} b\sideset{^\mu}{}{}{_0} (-\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) +b\sideset{^\mu}{}{}{_0}(-\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) b\sideset{^\nu}{}{}{_0} (-\eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0}) f^{\rho \sigma})\\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu\nu}+\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} b \sideset{^\nu}{}{}{_0} \eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} f^{\rho \sigma} +\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} b\sideset{^\mu}{}{}{_0} \eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} +b\sideset{^\mu}{}{}{_0}\eta_{\rho \alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} b\sideset{^\nu}{}{}{_0} \eta_{\sigma\alpha}b\sideset{^\alpha}{}{}{_0} f^{\rho \sigma})\\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu\nu}+\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} (\frac{u^{\nu}}{c}) (\frac{u_{\sigma}}{c}) f^{\rho \sigma} +\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} (\frac{ u^{\mu}}{c})(\frac{u_{\rho}}{c} ) +(\frac{u^{\mu}}{c})(\frac{u_{\rho}}{c}) (\frac{u^{\nu}}{c}) (\frac{u_{\sigma}}{c}) f^{\rho \sigma})\\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu\nu}+\frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} u^{\nu} u_{\sigma}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma}u^{\mu} u_{\rho}}{c^2} f^{\rho \sigma} + \frac{u^{\mu}u_{\rho}u^{\nu}u_{\sigma}}{c^4} f^{\rho \sigma})\\ \end{align*} これにて、第一項と第二項が求まったので、\(F^{\mu \nu}\)は \begin{align*} F^{\mu \nu}&=\frac{1}{\mu}(\frac{-u^{\mu}\delta \sideset{^\mu}{}{_\sigma}{}+u^{\nu}\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma}}{c^2}u_{\rho}f^{\rho \sigma}) +\frac{1}{\mu}(f^{\mu\nu}+\frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} u^{\nu} u_{\sigma}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma}u^{\mu} u_{\rho}}{c^2} f^{\rho \sigma} + \frac{u^{\mu}u_{\rho}u^{\nu}u_{\sigma}}{c^4} f^{\rho \sigma})\\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu \nu}+\frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} -u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{}}{ c^2}u_{\rho}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} u^{\nu} u_{\sigma}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{u^{\mu}u_{\rho}u^{\nu}u_{\sigma}}{c^4} f^{\rho \sigma} ) \\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu \nu}+\epsilon \mu(\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} -u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{})u_{\rho}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} u^{\nu} u_{\sigma}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{u^{\mu}u_{\rho}u^{\nu}u_{\sigma}}{c^4} f^{\rho \sigma} ) \end{align*} ここで、 \begin{align*} u_{\rho}u_{\sigma}f^{\rho \sigma}&=u_{\sigma}u_{\rho}f^{\sigma \rho}\\ &=u_{\rho}u_{\sigma}(-f^{\rho \sigma})\\ \Leftrightarrow 2u_{\rho}u_{\sigma}f^{\rho \sigma}&=0 \end{align*} を用いると、最後の項は消えるので、 \begin{align*} F^{\mu \nu}&=\frac{1}{\mu}(f^{\mu \nu}+\epsilon \mu(\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} -u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{})u_{\rho}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\rho} u^{\nu} u_{\sigma}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\rho \sigma} \\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu \nu}+\epsilon \mu(\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} -u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{})u_{\rho}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\nu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\sigma \rho} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\rho \sigma} ) \\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu \nu}+\epsilon \mu(\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} -u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{})u_{\rho}f^{\rho \sigma} - \frac{\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\nu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\rho \sigma} + \frac{\delta \sideset{^\nu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} u_{\rho}}{ c^2}f^{\rho \sigma} ) \\ &=\frac{1}{\mu}(f^{\mu \nu}+(\epsilon \mu-c^{-2})(\delta \sideset{^\mu}{}{}{_\sigma} u^{\mu} -u^{\mu}\delta \sideset{^\nu}{}{_\sigma}{})u_{\rho}f^{\rho \sigma} ) \end{align*}