巽流体力学の行間埋め　第６章

６．水の波

1. p.81上\(v\)と式(6･4)の導出
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式(4･61)にp.81上の\(F(\boldsymbol{x},t)\)を代入すると \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t)+(\boldsymbol{u}\cdot\text{grad})F(\boldsymbol{x},t) &= \frac{\partial}{\partial t}(y-\eta(x,z,t))+(\boldsymbol{u}\cdot\text{grad})(y-\eta(x,z,t)) \\ \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}\eta(x,z,t)+\left(u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}\right)(y-\eta(x,z,t)) \\ \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}\eta-u\frac{\partial}{\partial x}\eta+v-w\frac{\partial}{\partial z}\eta \\ \\ &= 0&&...\text{式(4･61)より} \\ \\ \Leftrightarrow v&=\frac{\partial}{\partial t}\eta+u\frac{\partial}{\partial x}\eta+w\frac{\partial}{\partial z}\eta \end{align*} と導出できる。ここに式(6･1)を代入すると \begin{align*} && v&=\frac{\partial}{\partial t}\eta+u\frac{\partial}{\partial x}\eta+w\frac{\partial}{\partial z}\eta \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial \varPhi}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial t}\eta+\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\eta+w\frac{\partial\varPhi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z}\eta \\ \\ \end{align*} と導出できる。


2. 式(6･16)の導出
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p.83中段の\(\varPhi\)に式(6･16)上の条件を適用すると \begin{align*} \varPhi &= (C_1e^{ky}+C_2e^{-ky})\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= (C_1e^{-kh}e^{ky+kh}+C_2e^{kh}e^{-ky-kh})\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= (\frac{1}{2}Ce^{ky+kh}+\frac{1}{2}Ce^{-ky-kh})\cos(kx-\omega t)&&...\text{式(6･16)上式より} \\ \\ &= C\frac{1}{2}(e^{ky+kh}+e^{-(ky+kh)})\cos(kx-\omega t)& \\ \\ &= C\cosh(ky+kh)\cos(kx-\omega t)& \\ \\ &= C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)& \\ \\ \end{align*} と導出できる。


3. 式(6･17)の導出
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式(6･13)に式(6･16)を代入して計算する。 \begin{align*} \eta(x,t) &= -\frac{1}{g}\left(\frac{\partial \varPhi}{\partial t}\right)_{y=0} \\ \\ &= -\frac{1}{g}\left(\frac{\partial}{\partial t}C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right) \\ \\ &= -\frac{1}{g}\left(\frac{\partial}{\partial t}C\cosh[k(y+h)](-\omega)[-\sin(kx-\omega t)]\right) \\ \\ &= \underbrace{-\frac{C\omega}{g}\cosh[k(y+h)]}_{A}\sin(kx-\omega t) \\ \\ \end{align*} と導出できる。


4. 式(6･18)の導出
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式(6･16)を式(6･12)に代入すると \begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\varPhi+g\frac{\partial}{\partial y}\varPhi &= \frac{\partial^2}{\partial t^2}C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)+g\frac{\partial}{\partial y}C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= C\cosh[k(y+h)][-\omega^2\cos(kx-\omega t)]+gC(k\sinh[k(y+h)])\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= C\cos(kx-\omega t)\{-\omega^2\cosh[k(y+h)]+gk\sinh[k(y+h)]\} \\ \\ &= C\cos(kx-\omega t)\cosh[k(y+h)]\{-\omega^2+gk\tanh[k(y+h)]\} \\ \\ &= C\cos(kx-\omega t)\cosh[k(y+h)]\{-\omega^2+gk\tanh[kh]\}&&...\text{式(6･12)の条件より} \\ \\ &= 0&&...\text{式(6･12)} \\ \\ \Rightarrow \omega&=\sqrt{gk\tanh(kh)} \end{align*} と導出できる。最後は、角速度は正の値をとることを用いた。


5. 式(6･20)の導出
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式(6･17)より \begin{align*} C=-\frac{Ag}{\omega}\frac{1}{\cosh (kh)} \end{align*} であるため、式(6･16)より \begin{align*} \varPhi&=C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= -\frac{Ag}{\omega}\frac{1}{\cosh (kh)}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ \end{align*} が得られる。

ここで式(6･18)を式変形すると \begin{align*} g &= \frac{\omega^2}{k\tanh (kh)} \\ \\ \end{align*} が得られるため、 \begin{align*} \varPhi &= -\frac{Ag}{\omega}\frac{1}{\cosh (kh)}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= -\frac{A}{\omega}\frac{\omega^2}{k\tanh (kh)}\frac{1}{\cosh (kh)}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= -\frac{\omega}{k}\frac{A}{\sinh (kh)}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= -\frac{Ac}{\sinh (kh)}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)&&...\text{式(6･19)より} \\ \\ \end{align*} と導出できる。


6. 式(6･22)の導出
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式(6･21)を式変形する。 \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \cos(kx_0-\omega t)&=(x-x_0)\frac{1}{\frac{A}{\sinh(kh)}\cosh[k(y_0+h)]} \\ \\ \sin(kx_0-\omega t)&=(y-y_0)\frac{1}{\frac{A}{\sinh(kh)}\sinh[k(y_0+h)]} \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} \cos(kx_0-\omega t)&=(x-x_0)\frac{1}{a} \\ \\ \sin(kx_0-\omega t)&=(y-y_0)\frac{1}{b} \end{array} \right. \end{align*} であるため、三角関数の公式を用いると \begin{align*} \cos^2(kx_0-\omega t)+\sin^2(kx_0-\omega t)&=1 \\ \\ \Leftrightarrow \left(\frac{(x-x_0)}{a}\right)^2+\left(\frac{(y-y_0)}{b}\right)^2&=1 \end{align*} と導出できる。


7. 式(6･26)の導出
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式(6･25)を用いると \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt}\left(x_0+\frac{A}{kh}\cos(kx_0-\omega t)\right) \\ \\ &= -\omega \frac{A}{kh}(-\sin(kx_0-\omega t)) \\ \\ &= A\frac{\omega}{kh}\sin(kx_0-\omega t) \\ \\ &= A\frac{\omega}{kh}\sin(kx_0-\omega t) \\ \\ \end{align*} が得られる。一方、式(6･18)より \begin{align*} \omega&=\sqrt{gk\tanh(kh)} \\ \\ &\simeq \sqrt{gk(kh)}&&...\text{近似より} \\ \\ &= k\sqrt{gh} \end{align*} が得られるため、 \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= A\frac{\omega}{kh}\sin(kx_0-\omega t) \\ \\ &\simeq A\frac{k\sqrt{gh}}{kh}\sin(kx_0-\omega t) \\ \\ &\simeq A\sqrt{\frac{g}{h}}\sin(kx_0-\omega t) \\ \\ \end{align*} と導出できる。


8. 式(6･28)の導出
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式(6･20)にp.87下の近似を代入すると \begin{align*} \varPhi &= -\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &\simeq -\frac{Ac}{\frac{1}{2}e^{kh}}\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t) \\ \\ &\simeq -\frac{Ac}{\frac{1}{2}e^{kh}}\frac{1}{2}e^{k(y+h)}\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= -Ace^{k(y+h)-kh}\cos(kx-\omega t) \\ \\ &= -Ace^{ky}\cos(kx-\omega t) \\ \\ \end{align*} と導出できる。


9. 式(6･29)の導出
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式(6･21)にp.87下の近似を代入すると \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+\frac{A}{\sinh(kh)}\cosh[k(y_0+h)]\cos(kx_0-\omega t) \\ \\ y=y_0+\frac{A}{\sinh(kh)}\sinh[k(y_0+h)]\sin(kx_0-\omega t) \end{array} \right. &\simeq \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+\frac{A}{\frac{1}{2}e^{kh}}\frac{1}{2}e^{k(y_0+h)}\cos(kx_0-\omega t) \\ \\ y=y_0+\frac{A}{\frac{1}{2}e^{kh}}\frac{1}{2}e^{k(y_0+h)}\sin(kx_0-\omega t) \end{array} \right. \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+Ae^{k(y_0+h)-kh}\cos(kx_0-\omega t) \\ \\ y=y_0+Ae^{k(y_0+h)-kh}\sin(kx_0-\omega t) \end{array} \right. \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+Ae^{ky_0}\cos(kx_0-\omega t) \\ \\ y=y_0+Ae^{ky_0}\sin(kx_0-\omega t) \end{array} \right. \\ \\ \end{align*} と導出できる。


10. 式(6･31)の導出
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式(6･5)に\(y=g\eta,p=p_0+\delta p,f(t)=\frac{p_0}{\rho}\)を代入すると得られる。


11. 式(6･33)の導出
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式(6･31)に式(6･32)を代入すると \begin{align*} \eta &= -\frac{1}{g}\frac{\partial \varPhi}{\partial t}-\frac{1}{2g}|\text{grad}\varPhi|^2-\frac{1}{\rho g}\delta p \\ \\ &\simeq -\frac{1}{g}\frac{\partial \varPhi}{\partial t}-\frac{1}{\rho g}\delta p \\ \\ &= -\frac{1}{g}\frac{\partial \varPhi}{\partial t}-\frac{1}{\rho g}\gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)&&...\text{式(6･30)} \\ \\ &= -\frac{1}{g}\frac{\partial \varPhi}{\partial t}+\frac{\gamma}{\rho g}\left(\frac{\partial^2\eta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\eta}{\partial z^2}\right)&&...\text{式(6･32)} \\ \\ \end{align*} と導出できる。


12. 式(6･34)の導出
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式(6･7)の一項目と式(6･33)を用いる。式(6･33)の両辺を\(t\)で偏微分すると\(y=\eta\)において \begin{align*} &&\eta &= -\frac{1}{g}\frac{\partial \varPhi}{\partial t}+\frac{\gamma}{\rho g}\left(\frac{\partial^2\eta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\eta}{\partial z^2}\right)& \\ \\ &\Rightarrow& \frac{\partial\eta}{\partial t} &= -\frac{1}{g}\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\frac{\gamma}{\rho g}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial^2\eta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\eta}{\partial z^2}\right)& \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi}{\partial y} &= -\frac{1}{g}\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\frac{\gamma}{\rho g}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\eta&&...\text{式(6･7)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi}{\partial y} &= -\frac{1}{g}\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\frac{\gamma}{\rho g}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\frac{\partial}{\partial t}\eta&&...\text{微分の順番を入れ替えた} \\ \\ &\Leftrightarrow& g\frac{\partial\varPhi}{\partial y} &= -\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\frac{\gamma}{\rho}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\frac{\partial\varPhi}{\partial y}&&...\text{式(6･7)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& 0 &= \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\left\{g-\frac{\gamma}{\rho}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\right\}\frac{\partial\varPhi}{\partial y}& \\ \\ \end{align*} と導出できる。p.82上の記事より\(y=0\)でも成立する。


13. 式(6･35)の導出
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6-2の仮定より\(z\)方向は変化しないとしているため、式(6･34)から\(z\)にかかわる微分は\(0\)になるとすると \begin{align*} &&\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\left\{g-\frac{\gamma}{\rho}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\right\}\frac{\partial\varPhi}{\partial y} &= 0& \\ \\ &\Rightarrow& \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\left(g-\frac{\gamma}{\rho}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)\frac{\partial\varPhi}{\partial y} &= 0& \\ \\ \end{align*} と導出できる。


14. 式(6･36)の導出
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式(6･16)を式(6･35)に代入すると \begin{align*} &\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial t^2}+\left(g-\frac{\gamma}{\rho}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)\frac{\partial\varPhi}{\partial y} \\ \\ &= \frac{\partial^2 }{\partial t^2}\left\{C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}+\left(g-\frac{\gamma}{\rho}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)\frac{\partial}{\partial y}\left\{C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}\\ \\ &= -\omega^2\left\{C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}+\left(g-\frac{\gamma}{\rho}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)k\left\{C\sinh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}\\ \\ &= -\omega^2\left\{C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}+\left(g+\frac{\gamma}{\rho}k^2\right)k\left\{C\sinh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}\\ \\ &= -\omega^2\left\{C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}+\left(g+\frac{\gamma}{\rho}k^2\right)k\left\{C\sinh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\right\}\\ \\ &= -C\cosh[k(y+h)]\cos(kx-\omega t)\left\{\underbrace{\omega^2-\left(g+\frac{\gamma}{\rho}k^2\right)k\tanh[k(y+h)]}_{(1)}\right\}\\ \\ &= 0&&...\text{式(6･35)}より \\ \\ \therefore \omega &= \sqrt{\left(g+\frac{\gamma}{\rho}k^2\right)k\tanh[k(y+h)]}&&...\text{式が恒等的に}0\text{になるためには}(1)\text{が}0\text{になる必要がある} \end{align*} と導出できる。


15. 式(6･40)(6･41)の導出
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式(6･39)の平方根の中身に使われる物理量はすべて正であるため、\(\lambda\)についての式 \begin{align*} \frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda} \end{align*} の最小値は、相加相乗平均より \begin{align*} \frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda} &\geq 2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\cdot\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}} \\ \\ &= 2\sqrt{\frac{g\gamma}{\rho}} \\ \\ \end{align*} が得られる。したがって、位相測度\(c\)の最小値は \begin{align*} c_m &= \sqrt{2\sqrt{\frac{g\gamma}{\rho}}} \\ \\ &= \left(\frac{4\gamma g}{\rho}\right)^{1/4} \\ \\ \end{align*} が得られる。またこの時の\(\lambda\)は \begin{align*} && \frac{g\lambda_m}{2\pi}&=\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda_m} \\ \\ &\Rightarrow& \lambda_m&=2\pi\sqrt{\frac{\gamma}{\rho g}} \\ \\ \end{align*} となる。


16. 式(6･43)の導出
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式(6･16)から式(6･17)を求めるときの逆を考えると、式(6･42)の\(\eta\)より \begin{align*} \varPhi &= C\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t \\ \\ &= -\frac{A}{\omega\cosh(kh)}g\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t &&...\text{式(6･17)より}\\ \\ &= -\frac{A}{\omega\cosh(kh)}\frac{\omega^2}{k\tanh(kh)}\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t &&...\text{式(6･18)より}\\ \\ &= -\frac{A\omega}{k\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t &\\ \\ &= -\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t &\\ \\ \end{align*} となる。


17. 式(6･44)の導出
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p.85上部の計算より、式(6･43)を用いると \begin{align*} \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right. &= \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{\partial\varPhi}{\partial x} \\ \frac{\partial\varPhi}{\partial y} \end{array} \right. \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t\right) \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t\right) \end{array} \right. \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{cccc} -\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)](k\cos kx)\sin\omega t \\ -\frac{Ac}{\sinh(kh)}(k\sinh[k(y+h)])\sin kx\sin\omega t \end{array} \right. \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{cccc} -\frac{Akc}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\cos kx\sin\omega t \\ -\frac{Akc}{\sinh(kh)}\sinh[k(y+h)]\sin kx\sin\omega t \end{array} \right. \\ \\ &\simeq \left\{ \begin{array}{cccc} -\frac{Akc}{\sinh(kh)}\cosh[k(y_0+h)]\cos kx_0\sin\omega t \\ -\frac{Akc}{\sinh(kh)}\sinh[k(y_0+h)]\sin kx_0\sin\omega t \end{array} \right.&&...(1) \\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{cccc} x \\ y \end{array} \right. &= \left\{ \begin{array}{cccc} x_0-\frac{Akc}{\sinh(kh)}\cosh[k(y_0+h)]\cos kx_0\frac{-1}{\omega}\cos\omega t \\ y_0-\frac{Akc}{\sinh(kh)}\sinh[k(y_0+h)]\sin kx_0\frac{-1}{\omega}\cos\omega t \end{array} \right.& \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{cccc} x_0+\frac{Akc}{\omega\sinh(kh)}\cosh[k(y_0+h)]\cos kx_0\cos\omega t \\ y_0+\frac{Akc}{\omega\sinh(kh)}\sinh[k(y_0+h)]\sin kx_0\cos\omega t \end{array} \right.& \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{cccc} x_0+\frac{A}{\sinh(kh)}\cosh[k(y_0+h)]\cos kx_0\cos\omega t \\ y_0+\frac{A}{\sinh(kh)}\sinh[k(y_0+h)]\sin kx_0\cos\omega t \end{array} \right.&&...\text{式(6･19)より} \\ \\ \end{align*} となる。ここで、積分定数として\(x_0,y_0\)とした。

(1)ではp.85より\(x=x_0+(x-x_0),y=y_0+(y-y_0)\)とした。このとき、\(x-x_0,y-y_0\)は一次の微小量となるため\(x\simeq x_0,y\simeq y_0\)とした。


18. p.93中段の式の導出
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式(6･2)より、 \begin{align*} && \frac{\partial^2\varPhi}{\partial y^2}&=-\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2} \\ \\ &\Rightarrow& \int_{-h}^0\frac{\partial^2\varPhi}{\partial y^2} dy&=-\int_{-h}^0\left(\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2}\right)dy \\ \\ &\Leftrightarrow& \left[\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right]_{-h}^0&=-\left[\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2} y+\frac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2} y\right]_{-h}^0&&...\text{右辺は}y\text{について一定であると仮定しているため} \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)_{y=0}\underbrace{-\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)_{-h}}_{(1)}&=+\left[\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2} (-h)+\frac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2} (-h)\right] \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)_{y=0}&=-h\left[\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2}\right]&&...\text{(1)は式の下の境界条件より} \\ \\ \end{align*} が得られる。


19. 式(6･49)の導出
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式(6･48)を式(6･46)に代入する。 \begin{align*} && \frac{\partial^2\varPhi}{\partial t^2}&=c^2\left(\frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varPhi}{\partial z^2}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(x,z)\cos\omega t&=c^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\phi(x,z)\cos\omega t \\ \\ &\Rightarrow& \phi(x,z)(-\omega^2\cos\omega t)&=c^2\left(\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial z^2}\right)\cos\omega t \\ \\ &\Rightarrow& -\phi(x,z)\omega^2&=c^2\left(\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial z^2}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& 0&=\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial z^2}+\frac{\omega^2}{c^2}\phi(x,z) \\ \\ &\Leftrightarrow& 0&=\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi(x,z)}{\partial z^2}+k^2\phi(x,z) \\ \\ \end{align*} が得られる。


20. 式(6･57)の導出
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式(6･56)より \begin{align*} \eta &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\sin\left(k^{\prime}x-\omega(k^{\prime})t\right)dk^{\prime} \\ \\ &\simeq A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\sin\left(k^{\prime}x-\left[\omega(k)+\frac{d\omega}{dk}(k^{\prime}-k)\right]t\right)dk^{\prime}&&...&&\text{p.98 近似式より} \\ \\ &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\sin\left(({\color{red}k^{\prime}-k+k})x-\left[\omega(k)+\frac{d\omega}{dk}(k^{\prime}-k)\right]t\right)dk^{\prime}& \\ \\ &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\sin\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}+(kx-\omega(k)t)\right)dk^{\prime}& \\ \\ &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\left[\sin\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}\right)\cos\left(kx-\omega(k)t\right)+\cos\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}\right)\sin\left(kx-\omega(k)t\right)\right]dk^{\prime}& \\ \\ &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\sin\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}\right)\cos\left(kx-\omega(k)t\right)dk^{\prime} \\ &+ A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\cos\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}\right)\sin\left(kx-\omega(k)t\right)dk^{\prime} \\ \\ &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\sin\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}\right)dk^{\prime}\cos\left(kx-\omega(k)t\right) \\ &+ A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha(k^{\prime}-k)^2}\cos\left((k^{\prime}-k)\left\{x-\frac{d\omega}{dk}t\right\}\right)dk^{\prime}\sin\left(kx-\omega(k)t\right)&&...&&\text{積分変数が含まれていないので定数として扱った} \\ \\ &= A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\kappa^2}\sin\left(\kappa\beta\right)d\kappa\cos\left(kx-\omega(k)t\right)&&...&&k^{\prime}-k=\kappa\text{として置換し、} \\ &+ A\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\kappa^2}\cos\left(\kappa\beta\right)d\kappa\sin\left(kx-\omega(k)t\right)&&&&\beta=x-\frac{d\omega}{dk}t\text{とした} \\ \\ &= A\cos\left(kx-\omega(k)t\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\kappa^2}\frac{\exp\left(i\kappa\beta\right)-\exp\left(-i\kappa\beta\right)}{2i}d\kappa&\\ &+ A\sin\left(kx-\omega(k)t\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\kappa^2}\frac{\exp\left(i\kappa\beta\right)+\exp\left(-i\kappa\beta\right)}{2}d\kappa&&...&&\text{オイラーの公式より三角関数を書きかえた} \\ \\ &= \frac{A}{2i}\cos\left(kx-\omega(k)t\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\exp\left(-\alpha(\kappa-i\frac{\beta}{2\alpha})^2-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)-\exp\left(-\alpha(\kappa+i\frac{\beta}{2\alpha})^2-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)\right\}d\kappa&\\ &+ \frac{A}{2}\sin\left(kx-\omega(k)t\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\exp\left(-\alpha(\kappa-i\frac{\beta}{2\alpha})^2-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)+\exp\left(-\alpha(\kappa+i\frac{\beta}{2\alpha})^2-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)\right\}d\kappa& \\ \\ &= \frac{A}{2i}\cos\left(kx-\omega(k)t\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\left[\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\exp\left(-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)-\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\exp\left(-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)\right]&\\ &+ \frac{A}{2}\sin\left(kx-\omega(k)t\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\left[\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\exp\left(-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)+\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\exp\left(-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)\right]&&...&&\text{(1)} \\ \\ &= A\sin\left(kx-\omega(k)t\right)\exp\left(-\frac{\beta^2}{4\alpha}\right)&\\ \\ &= A\sin\left(kx-\omega(k)t\right)\exp\left[-\frac{1}{4\alpha}\left(x-\frac{d\omega}{dk}t\right)^2\right]&&...&&\beta\text{を元に戻した}\\ \\ \end{align*} と導出できる。(1)ではガウス積分を用いた。参考。


21. 式(6･58)の最後の式の導出
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式(6･57)より \begin{align*} c+k\frac{dc}{dk} &= c+k\frac{dc}{d\lambda}\frac{d\lambda}{dk} \\ \\ &= c+k\frac{dc}{d\lambda}\frac{d}{dk}\frac{2\pi}{k} &&...k=\frac{2\pi}{k}\text{より}\\ \\ &= c+k\frac{dc}{d\lambda}\left(-\frac{2\pi}{k^2}\right) &\\ \\ &= c-\frac{2\pi}{k}\frac{dc}{d\lambda} &\\ \\ &= c-\lambda\frac{dc}{d\lambda} &&...k=\frac{2\pi}{k}\text{より}\\ \\ \end{align*} と導出できる。


22. 式(6･59)の導出
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式(6･37)より \begin{align*} \frac{d\omega}{dk} &= c+k\frac{dc}{dk} \\ \\ &= c+k\frac{d}{dk}\sqrt{\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)} \\ \\ &= c+k\left[\frac{1}{2\sqrt{\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)}}\frac{d}{dk}\left(\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)\right)\right] \\ \\ &= c+k\left[\frac{1}{2c}\frac{d}{dk}\left(\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)\right)\right]&&...\text{式(6･37)より} \\ \\ &= c+\frac{k}{2c}\left(\left(-\frac{g}{k^2}+\frac{\gamma }{\rho}\right)\tanh(kh)+\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\frac{h}{\cosh^2(kh)}\right)&\\ \\ &= c+\frac{k}{2c}\left(\frac{1}{k}\left(-\frac{2g}{k}+\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)+\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)\frac{h}{\tanh(kh)\cosh^2(kh)}\right)&\\ \\ &= c+\frac{k}{2c}\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)\tanh(kh)\left(\frac{1}{k}\left(-\frac{2g}{k}/\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)+1\right)+\frac{h}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\right)&\\ \\ &= c+\frac{k}{2c}c^2\left(\frac{1}{k}\left(-\frac{2g}{k}/\left(\frac{g}{k}+\frac{\gamma k}{\rho}\right)+1\right)+\frac{h}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\right)&&...\text{式(6･37)より}\\ \\ &= c+\frac{c}{2}\left(-\frac{2g\rho-(g\rho+\gamma k^2)}{g\rho+\gamma k^2}+\frac{kh}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\right)&\\ \\ &= c+\frac{c}{2}\left(-\frac{g\rho-\gamma k^2}{g\rho+\gamma k^2}+\frac{kh}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\right)&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{1-\gamma k^2/(\rho g)}{1+\gamma k^2/(\rho g)}+\frac{kh}{2\sinh(kh)\cosh(kh)}\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{1-\gamma k^2/(\rho g)}{1+\gamma k^2/(\rho g)}+\frac{kh}{\sinh(2kh)}\right]&&...\text{(1)}\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{1-\gamma k^2/(\rho g)}{1+\gamma k^2/(\rho g)}+kh\text{cosech}(2kh)\right]&\\ \\ \end{align*} と導出できる。
(1)では双曲線関数の下方定理\(\sinh 2x=2\sinh x\cosh x\)を用いた(参考)。

また、\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)と式(6･40)を用いると \begin{align*} \frac{d\omega}{dk} &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{1-\gamma k^2/(\rho g)}{1+\gamma k^2/(\rho g)}+kh\text{cosech}(2kh)\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{1/k^2-\gamma /(\rho g)}{1/k^2+\gamma /(\rho g)}+\frac{2\pi h}{\lambda}\text{cosech}(\frac{2h2\pi}{\lambda})\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{(2\pi)^2/k^2-(2\pi)^2\gamma /(\rho g)}{(2\pi)^2/k^2+(2\pi)^2\gamma /(\rho g)}+\frac{2\pi h}{\lambda}\text{cosech}(\frac{4\pi h}{\lambda})\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{2\pi h}{\lambda}\text{cosech}(\frac{4\pi h}{\lambda})\right]&\\ \\ \end{align*} が得られる。


23. 式(6･60)の導出
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式(6･59)を式変形すると \begin{align*} c_g &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{2\pi h}{\lambda}\text{cosech}(\frac{4\pi h}{\lambda})\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{\frac{2\pi h}{\lambda}}{\sinh(\frac{4\pi h}{\lambda})}\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{t}{\sinh(2t)}\right]&&...t=\frac{2\pi h}{\lambda}\\ \\ \end{align*} が得られる。
ここで、\(\lambda\)が大きいとき、\(t\to 0\)になることから、ロピタルの定理より \begin{align*} \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sinh(2t)} &= \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{1}{2\cosh(2t)} \\ \\ &= \frac{1}{2\cdot 1} \\ \\ \end{align*} が得られる。これを用いると、\(\lambda\gg\lambda_m\)として、 \begin{align*} c_g &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{t}{\sinh(2t)}\right]&\\ \\ &\simeq c\left[1-\frac{1}{2}+\frac12\right]&\\ \\ &= c \end{align*} と導出できる。


24. 式(6･62)の導出
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式(6･59)を式変形すると \begin{align*} c_g &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{2\pi h}{\lambda}\text{cosech}(\frac{4\pi h}{\lambda})\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{\frac{2\pi h}{\lambda}}{\sinh(\frac{4\pi h}{\lambda})}\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{t}{\sinh(2t)}\right]&&...t=\frac{2\pi h}{\lambda}\\ \\ \end{align*} が得られる。
ここで、\(h\)が大きいとき、\(t\to \infty\)になることから、ロピタルの定理より \begin{align*} \displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{t}{\sinh(2t)} &= \displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{1}{2\cosh(2t)} \\ \\ &= 0 \\ \\ \end{align*} が得られる。これと、式(6･61)上の条件\(\lambda\gt\lambda_m\)を用いると \begin{align*} c_g &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{t}{\sinh(2t)}\right]&\\ \\ &\simeq c\left[1-\frac{1}{2}+0\right]&\\ \\ &= \frac{c}{2} \end{align*} と導出できる。また、式(6･37)より \begin{align*} \frac{c}{2} &= \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}\right)\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)} \\ \\ &\simeq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)}&&...\lambda\text{が大きく、}\lambda\gg\frac{1}{\lambda}\text{とした} \\ \\ &\simeq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\cdot1}&&...\lambda\ll h\text{であるため、}\frac{2\pi h}{\lambda}\to \infty\text{とした} \\ \\ \end{align*} と導出できる。


25. 式(6･64)の導出
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式(6･59)を式変形すると \begin{align*} c_g &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{2\pi h}{\lambda}\text{cosech}(\frac{4\pi h}{\lambda})\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{\frac{2\pi h}{\lambda}}{\sinh(\frac{4\pi h}{\lambda})}\right]&\\ \\ &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{t}{\sinh(2t)}\right]&&...t=\frac{2\pi h}{\lambda}\\ \\ \end{align*} が得られる。
さざ波であるとき、p.90より\(\frac{h}{\lambda}\)が大きいため\(t\to \infty\)になることから、ロピタルの定理より \begin{align*} \displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{t}{\sinh(2t)} &= \displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{1}{2\cosh(2t)} \\ \\ &= 0 \\ \\ \end{align*} が得られる。これと、p.100上の条件\(\lambda_m\gg\lambda\)を用いると \begin{align*} c_g &= c\left[1-\frac{1}{2}\frac{\lambda^2-\lambda_m^2}{\lambda^2+\lambda_m^2}+\frac{t}{\sinh(2t)}\right]&\\ \\ &\simeq c\left[1-\frac{1}{2}(-1)+0\right]&\\ \\ &= \frac{3}{2}c \end{align*} と導出できる。また、条件について \begin{align*} && \lambda_m&\gg\lambda \\ \\ &\Leftrightarrow& 2\pi\sqrt{\frac{\gamma}{\rho g}}&\gg\lambda \\ \\ &\Rightarrow& 1&\gg \frac{\rho g\lambda^2}{(2\pi)^2\gamma} \end{align*} であることを用いると \begin{align*} \frac{3}{2}c &= \frac{3}{2}\sqrt{\left(\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}\right)\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)} \\ \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{\left(\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}\right)\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)} \\ \\ &\simeq \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)}&&...\text{条件より} \\ \\ &\simeq \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2\pi\gamma}{\rho\lambda}\cdot 1}&&...\lambda\ll h\text{であるため、}\frac{2\pi h}{\lambda}\to \infty\text{とした} \\ \\ \end{align*} と導出できる。


26. 式(6･67)の導出
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式(6･65)の左辺を式変形すると \begin{align*} \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x} &= \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial x} \\ \\ &= \frac{\partial k}{\partial t}+c_g\frac{\partial k}{\partial x}&&...\text{式(6･58)} \\ \\ &=0&...\text{式(6･65)の右辺} \end{align*} が得られる。


27. 式(6･68)の導出
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式(6･67)を式変形すると \begin{align*} \frac{\partial k}{\partial t}+c_g\frac{\partial k}{\partial x} &= \frac{\partial k}{\partial \omega}\frac{\partial \omega}{\partial t}+c_g\frac{\partial k}{\partial \omega}\frac{\partial \omega}{\partial x}& \\ \\ &= \frac{\partial k}{\partial \omega}\left[\frac{\partial \omega}{\partial t}+c_g\frac{\partial \omega}{\partial x}\right]& \\ \\ &= 0&...\text{式(6･65)の右辺} \\ \\ \Rightarrow \frac{\partial \omega}{\partial t}+c_g\frac{\partial \omega}{\partial x}&=0&...\text{式(6･65)の右辺} \\ \\ \end{align*} が得られる。


28. p.104：\(\mathscr{K}\delta x\)の導出(要：議論)
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初めに \begin{align*} \left|\text{grad}\varPhi\right|^2 &= \left| \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x}\varPhi \\ \frac{\partial}{\partial y}\varPhi \\ \frac{\partial}{\partial z}\varPhi \end{array} \right|^2 \\ \\ &= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial\varPhi}{\partial x} \\ \frac{\partial\varPhi}{\partial y} \\ 0 \end{array} \right)^2&&...z\text{軸方向には均一であるとした} \\ \\ &= \left(\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)^2 \end{align*} が得られる。これを用いると式(6･72)は \begin{align*} \mathscr{K} &= \frac{\rho}{2}\int_V|\text{grad}\varPhi|^2dV \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\int_V\left\{\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)^2\right\}dV \\ \\ \end{align*} となる。

ここでp.103より、\(\mathscr{K}\)が基本体積当たりの運動エネルギーであることを考える。\(z\)方向は均一であると考えられるため、単位長さ当たりの積分をしても値は変わらない。
加えて、p.104より、基本体積の\(x\)軸方向の長さを\(\delta x\)とすると、\(\mathscr{K}\)は\(x\)軸方向の単位長さ当たりの運動エネルギーであることから、微小体積\(\delta V\)に対しては \(\mathscr{K}\delta k\)とすることができる(要議論：これによって下記の(1)の等式が厳密に成立するとは言えないかもしれない)。これを計算すると \begin{align*} \mathscr{K}\delta x &= \frac{\rho}{2}\int_{\delta V}\left\{\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)^2\right\}dV&&...\text{(1)} \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left\{\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)^2\right\} \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left\{\left(-\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)][-k\sin(kx-\omega t)]\right)^2+\left(-\frac{Ac}{\sinh(kh)}k\sinh[(k(y+h))]\cos(kx-\omega t)\right)^2\right\}&&...\text{式(6･20)より} \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left\{\left(\cosh[k(y+h)]\sin(kx-\omega t)\right)^2+\left(\sinh[(k(y+h))]\cos(kx-\omega t)\right)^2\right\}& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left\{\cosh^2[k(y+h)]\sin^2(kx-\omega t)+\sinh^2[(k(y+h))]\cos^2(kx-\omega t)\right\}& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left\{(1+\sinh^2[k(y+h)])\sin^2(kx-\omega t)+\sinh^2[(k(y+h))](1-\sin^2(kx-\omega t))\right\}&&...\sin^2 x+\cos^2x=1,\cosh^2x-\sinh^2x=1\text{を用いた} \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left[\sin^2(kx-\omega t)+\sinh^2[(k(y+h))]\right]& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\int_{-h}^{0}dy\left[\frac{1-\cos[2(kx-\omega t)]}{2}+\frac{\cosh[2k(y+h)]-1}{2}\right]&&...\cos2x=1-2\sin^2 x,\cosh2x=1+2\sinh^2 x\text{を用いた} \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\left[\frac{1-\cos[2(kx-\omega t)]}{2}y+\frac{\frac{\sinh[2k(y+h)]}{2k}-y}{2}\right]_{-h}^{0}& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\left[-\frac{1-\cos[2(kx-\omega t)]}{2}(-h)+\frac{\frac{\sinh[2k(0+h)]}{2k}-0}{2}-\frac{\frac{\sinh[2k((-h)+h)]}{2k}-(-h)}{2}\right]& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\int_0^{\delta x}dx\left[\frac{h-h\cos[2(kx-\omega t)]}{2}+\frac{\sinh(2kh)}{4k}-\frac{h}{2}\right]& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\left[\frac{hx-h\frac{\sin[2(kx-\omega t)]}{2k}}{2}+\frac{\sinh(2kh)}{4k}x-\frac{h}{2}x\right]_0^{\delta x}& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\left[\frac{h\delta x-h\frac{\sin[2(k\delta x-\omega t)]+\sin[2(k\cdot 0-\omega t)]}{2k}}{2}+\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x-\frac{h}{2}\delta x\right]& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\left[\frac{h}{2}\delta x-\frac{h}{4k}\{\sin[2(k\delta x-\omega t)]-\sin2(-\omega t)\}+\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x-\frac{h}{2}\delta x\right]& \\ \\ \end{align*} と式変形できる。ここで、p.103下より、\(\delta x\)の中には十分多数の波数を含んでいると仮定しているため、\(k\delta x\)は十分大きな値になっていると考えられる。このとき、平均的には\(\sin[2(k\delta x-\omega t)]\to\sin[2(0-\omega t)]\)になる(要議論：厳密な議論が必要)。これを用いると \begin{align*} \mathscr{K}\delta x &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\left[\frac{h}{2}\delta x-\frac{h}{4k}\{\sin[2(k\delta x-\omega t)]-\sin2(-\omega t)\}+\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x-\frac{h}{2}\delta x\right]& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\left[\frac{h}{2}\delta x-\frac{h}{4k}\{\sin[2(0-\omega t)]-\sin2(-\omega t)\}+\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x-\frac{h}{2}\delta x\right]& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{(Ac)^2k^2}{\sinh^2(kh)}\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{A^2k^2c^2}{\sinh^2(kh)}\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{A^2k^2}{\sinh^2(kh)}\frac{g}{k}\tanh(kh)\frac{\sinh(2kh)}{4k}\delta x&&...\text{式(6･19)より} \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{A^2g}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\frac{\sinh(2kh)}{4}\delta x& \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\frac{A^2g}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\frac{2\sinh(kh)\cosh(kh)}{4}\delta x&&...\text{双曲線関数の加法定理より} \\ \\ &= \frac{1}{4}\rho gA^2\delta x& \\ \\ \end{align*} と導出できる。


29. p.104下：\(\mathscr{L}\delta x\)の導出(要：議論)
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「p.104：\(\mathscr{K}\delta x\)の導出(要：議論)」と同様の導出を行う。
\(z\)方向は均一であると考えられるため、単位長さ当たりの積分をしても値は変わらない点、基本体積の\(x\)軸方向の長さを\(\delta x\)とすると\(\mathscr{L}\)は\(x\)軸方向の単位長さ当たりの位置エネルギーであることから、微小体積\(\delta V\)に対しては \(\mathscr{L}\delta k\)とすることができる(要：議論)点を考えると \begin{align*} \mathscr{L}\delta x &= \rho g\int_{\delta V}y dV&&...\text{式(6･73)より} \\ \\ &= \rho g\int_{0}^{\delta x}dx \int_{-h}^{\eta}y dy& \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\int_{0}^{\delta x}(A^2\sin^2(kx-\omega t)-h^2)dx & \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\int_{0}^{\delta x}(A^2\frac{1-\cos[2(kx-\omega t)]}{2}-h^2)dx & \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\left[A^2\frac{x-\frac{\sin[2(kx-\omega t)]}{2k}}{2}-h^2x\right]_{0}^{\delta x} & \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\left[A^2\frac{\delta x-\frac{\sin[2(k\delta x-\omega t)]}{2k}}{2}-h^2\delta x-A^2\frac{0-\frac{\sin[2(k\cdot 0-\omega t)]}{2k}}{2}\right] & \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\left[A^2\frac{\delta x-\frac{\sin[2(0-\omega t)]}{2k}}{2}-h^2\delta x-A^2\frac{-\frac{\sin[2(0-\omega t)]}{2k}}{2}\right] &&...(1) \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\left[A^2\frac{\delta x}{2}-h^2\delta x\right] & \\ \\ &= \frac{\rho}{2} g\delta x\left(\frac{A^2}{2}-h^2\right) & \\ \\ \end{align*} と導出できる。

(2)ではp.103下より、\(\delta x\)の中には十分多数の波数を含んでいると仮定しているため、\(k\delta x\)は十分大きな値になっていると考えられる。このとき、平均的には\(\sin[2(k\delta x-\omega t)]\to\sin[2(0-\omega t)]\)になる(要議論：厳密な議論が必要)。


30. 式(6･83)の導出
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式(6･81)に式(6･5)を代入する。式(6･5)は \begin{align*} \frac{\rho}{2}|\text{grad}\varPhi|^2 &= \rho f(t)-p-\rho\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-\rho gy \\ \\ &= \rho \frac{p_0}{\rho}-p-\rho\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-\rho gy&&...\text{p.81中段より} \\ \\ &= p_0-p-\rho\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-\rho gy& \\ \\ \end{align*} と式変形することができるため、 \begin{align*} E &= {\color{red}\frac{\rho}{2}|\text{grad}\varPhi|^2}+\rho gy \\ \\ &= p_0-p-\rho\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-\rho gy+\rho gy \\ \\ &= -\rho\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-(p-p_0) \\ \\ \end{align*} と導出できる。


31. p.106上の式の導出
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式(6･82)の右辺第一項の積分の中身だけ計算する。 \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}E &= \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho}{2}|\text{grad}\varPhi|^2+\rho gy\right) \\ \\ &= \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho}{2}|\text{grad}\varPhi|^2+0\right) \\ \\ &= \frac{\rho}{2}\cdot 2\left(\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\varPhi\right)\cdot\left(\text{grad}\varPhi\right) \\ \\ &= \rho\left(\text{grad}\frac{\partial}{\partial t}\varPhi\right)\cdot\left(\text{grad}\varPhi\right)&&...\text{微分の順番を入れ替えた} \\ \\ &= \rho\text{grad}\frac{\partial}{\partial t}\varPhi\cdot\text{grad}\varPhi \end{align*} と計算できる。


32. 式(6･84)の導出
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式(6･82)の右辺第一項だけ計算する。 \begin{align*} \int_V\frac{\partial}{\partial t}EdV &= \int_V\rho\text{grad}\frac{\partial}{\partial t}\varPhi\cdot\text{grad}\varPhi dV \\ \\ &= \rho\int_V\left(\text{grad}\frac{\partial\varPhi}{\partial t}\cdot\text{grad}\varPhi+{\color{red}\frac{\partial\varPhi}{\partial t}\Delta \varPhi }\right) dV&&...\Delta \varPhi=0\text{より} \\ \\ &= \rho\int_S\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial t}\cdot\frac{\partial\varPhi}{\partial n}+\right) dS&&...\text{Greenの定理より} \\ \\ \end{align*} と計算できる。これを用いて第二項と合わせることで式(6･84)が得られる。
Greenの定理はこちらなど参考。


33. p.107：\(\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}\delta t\)の計算の導出
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p.106下に示される面\(S_n\)は\(x\)軸に垂直である。\(z\)軸方向には均一であると考えられるため、単位長さ当たりの積分をしても値は変わらない。したがって、\(y\)軸方向の積分のみを考えればよく、 \begin{align*} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}\delta t &= \int_0^{\delta t}\rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{S(x)}\frac{\partial\varPhi}{\partial t}\frac{\partial\varPhi}{\partial x}dSdt \\ \\ &= \int_0^{\delta t}\rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\frac{\partial\varPhi}{\partial t}\frac{\partial\varPhi}{\partial x}dydt \\ \\ &= \int_0^{\delta t}\rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(-\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\omega\sin(kx-\omega t)\right)\left(-\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\{-k\sin(kx-\omega t)\}\right)dydt&&...\text{式(6･20)を用いた} \\ \\ &= \int_0^{\delta t}\rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\right)^2(-k\omega)\sin^2(kx-\omega t)dydt \\ \\ &= \int_0^{\delta t}\rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\right)^2(-k\omega)\frac{1-2\cos2(kx-\omega t)}{2}dydt \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\right)^2(-k\omega)\left[\frac{t+\frac{2}{2\omega}\sin2(kx-\omega t)}{2}\right]_0^{\delta t}dy \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\right)^2(-k\omega)\left[\frac{\delta t+\frac{1}{\omega}\sin2(kx-\omega \delta t)-\frac{1}{\omega}\sin2(kx-\omega \cdot 0)}{2}\right]dy \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\right)^2(-k\omega)\left[\frac{\delta t+\frac{1}{\omega}{\color{red}\sin2(kx)}-\frac{1}{\omega}\sin2(kx)}{2}\right]dy&&...\text{(1)} \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\cosh[k(y+h)]\right)^2(-k\omega)\frac{\delta t}{2}dy& \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\int_{-h}^0\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\right)^2\frac{\cosh[2k(y+h)]+1}{2}(-k\omega)\frac{\delta t}{2}dy&&...\text{(2)} \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\right)^2\left[\frac{\frac{\sinh[2k(y+h)]}{2k}+y}{2}\right]_{-h}^0(-k\omega)\frac{\delta t}{2}& \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\right)^2\left[\frac{\frac{\sinh[2k(0+h)]}{2k}-\frac{\sinh[2k(-h+h)]}{2k}-(-h)}{2}\right](-k\omega)\frac{\delta t}{2}& \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Ac}{\sinh(kh)}\right)^2\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right](-k\omega)\frac{\delta t}{2}& \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{A}{\sinh(kh)}\right)^2\frac{g}{k}\tanh(kh)\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right](-k\omega)\frac{\delta t}{2}&&...\text{式(6･19)} \\ \\ &= \rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{A}{\sinh(kh)}\right)^2\frac{g}{k}(-kck)\tanh(kh)\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right]\frac{\delta t}{2}&&...\text{式(6･19)より}\omega=ck \\ \\ &= -\rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{A}{\sinh(kh)}\right)^2gk\tanh(kh)\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right]\frac{\delta t}{2}& \\ \\ &= -\rho\frac{\partial}{\partial x}A^2gk\frac{1}{\sinh^2(kh)}\frac{\sinh(kh)}{\cosh(kh)}\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right]\frac{\delta t}{2}& \\ \\ &= -\rho\frac{\partial}{\partial x}A^2gk\frac{1}{\sinh(kh)\cosh(kh)}\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right]\frac{\delta t}{2}& \\ \\ &= -\rho\frac{\partial}{\partial x}A^2gk\frac{1}{\frac{1}{2}\sinh(2kh)}\left[\frac{\sinh[2kh]}{4k}+\frac{h}{2}\right]\frac{\delta t}{2}&&...\text{(2)} \\ \\ &= -\rho\frac{\partial}{\partial x}A^2gk\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2k}+\frac{h}{\sinh(2kh)}\right]\delta t& \\ \\ &= -\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{1}{2}\rho A^2g\left(\frac{1}{2}+\frac{hk}{\sinh(2kh)}\right)\right]\delta t&&...\text{(3)} \\ \\ \end{align*} と計算できる。

(1)では、p.107上より、\(\delta t\)の中には十分多数の振動を含んでいると仮定しているため、\(\omega\delta t\)は十分大きな値になっていると考えられる。このとき、平均的には\(\sin[2(k x-\omega \delta t)]\to\sin[2(kx-0)]\)になる(要議論：厳密な議論が必要)。

(2)では、双曲線関数の加法定理より\(2\cosh^2x=\cosh2x+1,\sinh2x=2\sinh x\cosh x\)を用いた。こちらなど参考。

(3)では、p.81より非圧縮性流体を仮定しているため、\(\rho\)が定数であることを用いた。


34. 式(6･89)の導出
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p.108下の条件より、\(z\)方向には均一であると考えられるため、 \begin{align*} \frac{\partial \varPhi}{\partial z}=0 \end{align*} と言える。そのため、式(6･2)より \begin{align*} &&\Delta\varPhi&=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial z^2}&=0 \\ \\ &\Rightarrow& \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial y^2}&=0 \\ \\ \end{align*} となる。


35. 式(6･90)の導出
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p.108下の条件より、水の深さは一定である。したがって式(6･3)で用いられる法線方向は\(y\)軸方向であるため、式(6･3)は式(6･90)になる。


36. 式(6･91)(6･92)の導出
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p.108下の条件より、\(z\)方向には均一であると考えられるため、 \begin{align*} \frac{\partial \varPhi}{\partial z}=0 \end{align*} と言える。したがって、式(6･4)から式(6･91)が得られる。

同様にして式(6･6)中より \begin{align*} |\text{grad}\varPhi|^2 &= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial \varPhi}{\partial x} \\ \frac{\partial \varPhi}{\partial y} \\ \frac{\partial \varPhi}{\partial z} \end{array} \right)^2 \\ \\ &= \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial \varPhi}{\partial x} \\ \frac{\partial \varPhi}{\partial y} \\ 0 \end{array} \right)^2 \\ \\ &= \left(\frac{\partial \varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\right)^2 \end{align*} となるため、式(6･6)より \begin{align*} && \eta &= -\frac{1}{g}\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-\frac{1}{2g}|\text{grad}\varPhi|^2 \\ \\ &\Leftrightarrow& g\eta &= -\frac{\partial\varPhi}{\partial t}-\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial \varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\right)^2\right\} \\ \\ &\Leftrightarrow& 0 &= \frac{\partial\varPhi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial \varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\right)^2\right\}+g\eta \\ \\ \end{align*} と導出できる。


37. 式(6･93)の導出
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式(6･19)を用いると \begin{align*} c &= \sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kh)} \\ \\ &\simeq \left(\frac{g}{k}\left\{kh-\frac{1}{3}(kh)^3+\frac{2}{15}(kh)^5+\ldots\right\}\right)^{\frac{1}{2}}&&...\tanh x\text{のマクローリン展開より} \\ \\ &= \left(\frac{g}{k}kh\left\{1-\frac{1}{3}(kh)^2+\frac{2}{15}(kh)^4+\ldots\right\}\right)^{\frac{1}{2}}& \\ \\ &= \sqrt{gh}\left(1-\frac{1}{3}(kh)^2+\frac{2}{15}(kh)^4+\ldots\right)^{\frac{1}{2}}& \\ \\ &\simeq \sqrt{gh}\left\{1+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}(kh)^2+\frac{2}{15}(kh)^4+\ldots\right)+\frac{\frac12(-\frac{1}{2})}{2}\left(-\frac{1}{3}(kh)^2+\frac{2}{15}(kh)^4+\ldots\right)^2+\ldots\right\}&&...(1+x)^{\frac{1}{2}}\text{のマクローリン展開より} \\ \\ &= \underbrace{\sqrt{gh}}_{=c_0}\left\{1-\frac{1}{6}(kh)^2+O(k^2)\right\}&&...k\text{の指数が}4\text{以上の項をまとめた} \\ \\ \end{align*} と導出できる。

\(\tanh x\)のマクローリン展開はこちらなど参考。
\((1+x)^{\frac{1}{2}}\)のマクローリン展開はこちらなど参考。



38. 式(6･98)の導出
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式(6･89)に式(6･97)を代入する。 \begin{align*} \text{一項目} &= \frac{\partial^2\varPhi}{\partial x^2} \\ \\ &= \frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\varPhi}{\partial \xi}\right) \\ \\ &= \varepsilon^{1/2}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^{1/2}\frac{\partial\varPhi}{\partial \xi}\right)&&...\text{式(6･96)より} \\ \\ &= \varepsilon\frac{\partial^2\varPhi}{\partial \xi^2}& \\ \\ &= \varepsilon^{1/2}\left(\varepsilon\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}+\varepsilon^2\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial \xi^2}+\ldots\right)&&...\text{式(6･97)} \\ \\ \\ \text{二項目} &= \frac{\partial^2\varPhi}{\partial y^2} \\ \\ &= \varepsilon^{1/2}\left(\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial y^2}+\varepsilon\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}+\ldots\right) \\ \\ \end{align*} と導出できるため、 \begin{align*} && \text{一項目}+\text{二項目}&=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon^{1/2}\left(\varepsilon\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}+\varepsilon^2\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial \xi^2}+\ldots\right)+\varepsilon^{1/2}\left(\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial y^2}+\varepsilon\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}+\ldots\right) &= 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon^{1/2}\left(\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial y^2}+\varepsilon\left\{\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}\right\}+\ldots+\varepsilon^{n-1}\left\{\frac{\partial^2\varPhi^{(n-1)}}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2\varPhi^{(n)}}{\partial y^2}\right\}+\ldots\right) &= 0 \\ \\ \end{align*} が得られる。各\(\varepsilon\)の係数がそれぞれ\(0\)になるため、式(6･98)が得られる。


39. 式(6･100)の導出
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式(6･98)より \begin{align*} &&\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial y^2}&=0 \\ \\ &\Rightarrow& \frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial y}&=f_0(\xi,\tau)&&...y\text{に関係しない定数として}f_0(\xi,\tau)\text{とした} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial y}&=0&&...\text{式(6･99)より}y=-h\text{で右辺が}0\text{になるため}f_0(\xi,\tau)=0 \\ \\ &\Rightarrow& \varPhi^{(1)}&=\varPhi^{(1)}(\xi,\tau)&&...y\text{に関係しない定数として}\varPhi^{(1)}(\xi,\tau)\text{とした} \\ \\ \end{align*} と導出できる。これを用いて式(6･98)より \begin{align*} &&\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}&=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}&=-\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}&=-y\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}+const \\ \\ &\Rightarrow& \frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}&=-(y+h)\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}&&...\text{式(6･99)の条件より}y=-h\text{の時右辺が}0\text{になるため}const=-h\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2} \\ \\ &\Rightarrow& \varPhi^{(2)}&=-\frac{1}{2}(y+h)^2\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}+f_1(\xi,\tau)&&...y\text{に関係ない定数として}-\frac{1}{2}h^2\frac{\partial^2\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^2}+f_1(\xi,\tau)\text{を用いた} \\ \\ \end{align*} と導出できる。逐次的にこれらを用いて、 \begin{align*} &&\frac{\partial^2\varPhi^{(3)}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial \xi^2}&=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial^2\varPhi^{(3)}}{\partial y^2}&=-\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial \xi^2} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial^2\varPhi^{(3)}}{\partial y^2}&=\frac{1}{2}(y+h)^2\frac{\partial^4\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^4}+\frac{\partial^2f_1(\xi,\tau)}{\partial\xi^2} \\ \\ &Rightarrow& \frac{\partial\varPhi^{(3)}}{\partial y}&=\frac{1}{2\cdot 3}(y+h)^3\frac{\partial^4\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^4}+(y+h)\frac{\partial^2f_1}{\partial\xi^2}&&...y=-h\text{で右辺は}0\text{になるのでそれを満たすように定数を付与して不定積分した} \\ \\ &\Rightarrow& \varPhi^{(3)}&=\frac{1}{6\cdot 4}(y+h)^4\frac{\partial^4\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^4}+\frac{1}{2}(y+h)^2\frac{\partial^2f_1}{\partial\xi^2}+f_2(\xi,\tau)&&...y\text{に関係ない定数として}\frac{1}{6\cdot 4}h^4\frac{\partial^4\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^4}+\frac{1}{2}h^2\frac{\partial^2f_1}{\partial\xi^2}+f_2(\xi,\tau)\text{を用いた} \\ \\ &\Leftrightarrow& \varPhi^{(3)}&=\frac{1}{24}(y+h)^4\frac{\partial^4\varPhi^{(1)}}{\partial \xi^4}+\frac{1}{2}(y+h)^2\frac{\partial^2f_1}{\partial\xi^2}+f_2(\xi,\tau)& \\ \\ \end{align*} と導出できる。


40. 式(6･101)の導出
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式(6･91)より \begin{align*} && \frac{\partial\varPhi}{\partial y}&=\frac{\partial\eta}{\partial t}+\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\frac{\partial\eta}{\partial x} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varepsilon^{1/2}\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\varepsilon^{1/2}\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varepsilon^{1/2}\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)&=\frac{\partial\tau}{\partial t}\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^{1/2}\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varepsilon^{1/2}\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^{5/2}\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^{3/2}\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)&&...(\ast) \\ \\ \end{align*} が得られる。

＜\(\varepsilon^0\)の項について＞

\begin{align*} \frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial y}&=0 \\ \\ \Rightarrow \varPhi^{(1)}&=\varPhi^{(1)}(\xi,\tau) \end{align*} となる。

＜\(\varepsilon^1\)の項について＞

\((\ast)\)を式変形する。 \begin{align*} && \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)&&...(\ast) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)&=\frac{\partial\xi}{\partial \tau}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)& \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)&=\left(-c_0\varepsilon^{-1}\right)\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)&&...\text{式(6･96)より}\xi=\varepsilon^{1/2}x-\varepsilon^{1/2}c_0\varepsilon^{-3/2}\tau=\varepsilon^{1/2}x-\varepsilon^{-1}c_0\tau\text{より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)&=-c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)& \\ \\ \end{align*} と式変形できるので、\(\varepsilon^1\)の項に着目すると \begin{align*} \frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}&=-c_0\frac{\partial\eta^{(1)}}{\partial\xi} \\ \\ \end{align*} となる。

＜\(\varepsilon^2\)の項について＞

\((\ast)\)を式変形する。 \begin{align*} && \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)&&...(\ast) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\varepsilon^2\varPhi^{(3)}+\ldots\right)&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\ldots\}\right)+\frac{\partial\xi}{\partial \tau}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^3\eta^{(2)}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)& \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial y}+\varepsilon\frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}+\varepsilon^2\frac{\partial\varPhi^{(3)}}{\partial y}+\ldots&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\ldots\}\right)-c_0\varepsilon^{-1}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^3\eta^{(2)}\right)+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon\{\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\}\right)&&...\text{式(6･96)より}\xi=\varepsilon^{1/2}x-\varepsilon^{-1}c_0\tau\text{より} \\ \\ &\Leftrightarrow& 0+\varepsilon\frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}+\varepsilon^2\frac{\partial\varPhi^{(3)}}{\partial y}+\ldots&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\ldots\}\right)-c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^2\eta^{(2)}\right)+\varepsilon^2\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\right)&&...\varepsilon^0\text{の項のまとめより}\varPhi^{(1)}\text{は}y\text{成分を持たないため}\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\left[\frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}+\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}\eta+\ldots\right]+\varepsilon^2\frac{\partial\varPhi^{(3)}}{\partial y}+\ldots&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\ldots\}\right)-c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^2\eta^{(2)}\right)+\varepsilon^2\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\right)&&...\text{p.110下の展開より}\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\left[\frac{\partial\varPhi^{(2)}}{\partial y}+\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}(\varepsilon\eta^{(1)}+\ldots)+\ldots\right]+\varepsilon^2\frac{\partial\varPhi^{(3)}}{\partial y}+\ldots&=\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varepsilon^2\{\eta^{(1)}+\ldots\}\right)-c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon^2\eta^{(2)}\right)+\varepsilon^2\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\cdot\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots\right)&&...\text{式(6･97)より}\\ \\ \end{align*} と式変形できるので、\(\varepsilon^2\)の項に着目すると \begin{align*} \frac{\partial\varPhi^{(3)}}{\partial y}+\frac{\partial^2\varPhi^{(2)}}{\partial y^2}\eta^{(1)}&=\frac{\partial\eta^{(1)}}{\partial \tau}-c_0\frac{\partial\eta^{(2)}}{\partial \xi}+\frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial \xi}\frac{\partial\eta^{(1)}}{\partial \xi}&\\ \\ \end{align*} となる。


41. 式(6･102)の導出
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式(6･92)より \begin{align*} && \frac{\partial\varPhi}{\partial t}+\frac12\left\{\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varPhi}{\partial y}\right)^2\right\}+g\eta&=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}+\frac12\left\{\left(\frac{\partial}{\partial x}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}\right)^2\right\}+g\left\{\varepsilon(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)\right\}&=0&&...\text{式(6･97)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\tau}{\partial t}\frac{\partial}{\partial \tau}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}+\frac12\left\{\left(\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}\right)^2\right\}+g\left\{\varepsilon(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)\right\}&=0&\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon^{3/2}\frac{\partial}{\partial \tau}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}+\frac12\left\{\left(\varepsilon^{1/2}\frac{\partial}{\partial \xi}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left\{\varepsilon^{1/2}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right\}\right)^2\right\}+g\left\{\varepsilon(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)\right\}&=0&&...\text{式(6･96)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon^2\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)+\frac12\left\{\varepsilon^{2}\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g\varepsilon(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&&...(\ast)\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\frac{\partial\xi}{\partial \tau}\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon(-c_0\varepsilon^{-1})\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&\\ \\ &\Leftrightarrow& -c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&&...(\ast\ast)\\ \\ \end{align*} が得られる。

＜\(\varepsilon^0\)の項について＞

\((\ast\ast)\)より \begin{align*} && -c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\varPhi^{(1)}+\frac12\left(\frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial y}\right)^2+g\eta^{(1)}&=0 \\ \\ &\Rightarrow& -c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\varPhi^{(1)}+g\eta^{(1)}&=0 \\ \\ \end{align*} となる。ここで、「式(6･101)の導出」より、\(\frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial y}=0\)を用いた。

＜\(\varepsilon^1\)の項について＞

\((\ast)\)を式変形する。 \begin{align*} && \varepsilon\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&&...(\ast)\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varPhi^{(1)}+\ldots\right)+\varepsilon\frac{\partial\xi}{\partial \tau}\frac{\partial}{\partial \xi}\varepsilon\varPhi^{(2)}+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varPhi^{(1)}+\ldots\right)+\varepsilon(-c_0\varepsilon^{-1})\frac{\partial}{\partial \xi}\varepsilon\varPhi^{(2)}+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&&...\text{式(6･96)より}\\ \\ &\Leftrightarrow& \varepsilon\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\varPhi^{(1)}+\ldots\right)-c_0\varepsilon\frac{\partial}{\partial \xi}\varPhi^{(2)}+\frac12\left\{\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varPhi^{(1)}+\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\varPhi^{(1)}+\varepsilon\varPhi^{(2)}+\ldots\right)\right)^2\right\}+g(\eta^{(1)}+\varepsilon\eta^{(2)}+\ldots)&=0&\\ \\ \end{align*} と式変形できるので、\(\varepsilon^1\)の項に着目すると \begin{align*} \frac{\partial}{\partial \tau}\varPhi^{(1)}-c_0\frac{\partial}{\partial \xi}\varPhi^{(2)}+\frac12\left(\frac{\partial\varPhi^{(1)}}{\partial \xi}\right)^2+g\eta^{(2)}&=0&\\ \\ \end{align*} となる。


42. 式(6･102)の導出
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p.116に演習問題となっている。


43. 式(6･106)の導出
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式(6･105)より \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial\zeta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\zeta} \\ \\ &= \frac{\partial}{\partial\zeta} \\ \\ \\ \frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial\zeta}{\partial t}\frac{\partial}{\partial\zeta} \\ \\ &= -\sigma\frac{\partial}{\partial\zeta} \\ \\ \\ \end{align*} となるためこれを式(6･104)に適用して計算すると \begin{align*} && \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\mu\frac{\partial u^3}{\partial x^3}&= 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& -\sigma\frac{\partial u}{\partial \zeta}+u\frac{\partial u}{\partial \zeta}+\mu\frac{\partial u^3}{\partial \zeta^3}&= 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \mu\frac{\partial u^3}{\partial \zeta^3}&=\sigma\frac{\partial u}{\partial \zeta}-u\frac{\partial u}{\partial \zeta} \\ \\ &\Leftrightarrow& \mu\frac{\partial u^3}{\partial \zeta^3}&=\sigma\frac{\partial u}{\partial \zeta}-\frac{\partial }{\partial \zeta}\left(\frac12u^2\right) \\ \\ &\Rightarrow& \mu\frac{\partial u^2}{\partial \zeta^2}&=\sigma u-\frac12u^2+A&&...\text{両辺を}\zeta\text{で積分し、積分定数を}A\text{とした} \\ \\ &\Rightarrow& \mu\frac{\partial u^2}{\partial \zeta^2}{\color{red}\frac{\partial u}{\partial \zeta}}&=\sigma u{\color{red}\frac{\partial u}{\partial \zeta}}-\frac12u^2{\color{red}\frac{\partial u}{\partial \zeta}}+A{\color{red}\frac{\partial u}{\partial \zeta}}& \\ \\ &\Leftrightarrow& \mu\frac{\partial u}{\partial \zeta}\left(\frac12\left\{\frac{\partial u}{\partial \zeta}\right\}^2\right)&=\sigma \frac{\partial u}{\partial \zeta}\left(\frac12u^2\right)-\frac12\frac{\partial }{\partial \zeta}\left(\frac13u^3\right)+A\frac{\partial u}{\partial \zeta}& \\ \\ &\Leftrightarrow& \mu\frac12\left(\frac{\partial u}{\partial \zeta}\right)^2&=\sigma \frac12u^2-\frac12\cdot\frac13u^3+Au+B&&...\text{両辺を}\zeta\text{で積分し、積分定数を}B\text{とした} \\ \\ &\Leftrightarrow& 3\mu\left(\frac{\partial u}{\partial \zeta}\right)^2&=-u^3+3\sigma u^2+6Au+6B&\\ \\ \end{align*} と導出できる。


44. 式(6･108)の導出
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三次方程式の解と係数の関係から導出できる。