巽流体力学の行間埋め 第５章
５．完全流体の運動の一般論
- 式(5･5)の導出
- p.67中段：式(5･7)の書き換えの導出
- p.69下段：式(5･15)から得られる関係式(式(5･16)上)の導出
- 式(5･20)の導出
- 式(5･22)の式変形の導出
- 式(5･26)の導出
- 式(5･29)の導出
- 式(5･30)の導出
- p.73中段：運動方程式(5･8)の式変形と式(5･34)の導出
- p.75下の式変形の導出
式(2･9)において\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{u}\)を代入すると
\begin{align*}
\frac{D\boldsymbol{u}}{Dt}&=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\frac{1}{2}\left\{\text{grad}(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u})+\text{rot}\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{u}+\text{rot}\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{u}-\text{rot}(\underbrace{\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{u}}_{(1)})+\boldsymbol{u}\text{div}\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}\text{div}\boldsymbol{u} \right\} \\ \\
&=
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\frac{1}{2}\left\{\text{grad}(|\boldsymbol{u}|\cdot|\boldsymbol{u}|\cos 0 )+2\text{rot}\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{u} \right\} \\ \\
&=
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\frac{1}{2}\left\{\text{grad}q^2-2\boldsymbol{u}\times\text{rot}\boldsymbol{u} \right\} \\ \\
&=
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\frac{1}{2}\text{grad}q^2-\boldsymbol{u}\times\text{rot}\boldsymbol{u} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。(1)では、同一ベクトル同士の外積が\(0\)になることを用いた。
式(5･7)の右辺が、原始関数\(T\)を用いて
\begin{align*}
\int\frac{dp}{\rho(p)}=T(p)-T(0)
\end{align*}
と書けるとする。(積分区間の下端を\(0\)とした)式(5･7)より
\begin{align*}
&&P(p)&=T(p)-T(0) \\ \\
&\Rightarrow&
\text{grad}P(p)
&=
\left(
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial}{\partial x}(T(p)-T(0)) \\
\frac{\partial}{\partial y}(T(p)-T(0)) \\
\frac{\partial}{\partial z}(T(p)-T(0))
\end{array}
\right) \\ \\
&&
&=
\left(
\begin{array}{cccc}
\frac{1}{\rho(p)}\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{1}{\rho(p)}\frac{\partial p}{\partial y} \\
\frac{1}{\rho(p)}\frac{\partial p}{\partial z}
\end{array}
\right)&&...\text{原始関数であるため}\frac{\partial T(x)}{\partial x}=\frac{1}{\rho(x)} \\ \\
&&
&=
\frac{1}{\rho(p)}\text{grad}p
\end{align*}
と導出できる。
液面の降下速度は\(q_0\)なので、式(5･15)より
\begin{align*}
&&p_0+\frac{1}{2}\rho q_0^2+\rho gh&=p_0+\frac12\rho q^2 \\ \\
&\Rightarrow&
p_0+\rho gh&=p_0+\frac12\rho q^2&&...(1) \\ \\
\end{align*}
と導出できる。(1)ではp.69中段より、\(q_0\)が十分小さいとした。
式(5･19)を式変形すると
\begin{align*}
&&
p&=\rho^{\gamma}\exp\left(\frac{S-S_0}{c_V}\right) \\ \\
&\Leftrightarrow&
p&=\rho^{\gamma}\exp\left(\frac{S-S_0}{\gamma c_V}\cdot\gamma\right) \\ \\
&&&=
\rho^{\gamma}C^{\gamma}&&...C=\exp\left(\frac{S-S_0}{\gamma c_V}\right)\text{とした} \\ \\
&\Leftrightarrow&
p^{1/\gamma}&=\rho C \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{1}{\rho}&=\frac{C}{p^{1/\gamma}} \\ \\
\end{align*}
が得られる。これを用いると式(5･7)より
\begin{align*}
P&=\int\frac{dp}{\rho} \\ \\
&=
\int\frac{C}{p^{1/\gamma}}dp \\ \\
&=
\int C p^{-1/\gamma}dp \\ \\
&=
C \frac{p^{-1/\gamma+1}}{-\frac{1}{\gamma}+1}+const \\ \\
&=
C \frac{p^{-1/\gamma}}{-\frac{1}{\gamma}+1}p+const \\ \\
&=
\frac{C}{p^{1/\gamma}} \frac{p}{-\frac{1}{\gamma}+1}+const \\ \\
&=
\frac{1}{\rho} \frac{\gamma}{-1+\gamma}p+const \\ \\
&=
\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。積分定数は\(const=0\)とした。
式(3･16)より
\begin{align*}
\frac{p}{\rho}
&=
RT \\ \\
&=
(c_p-c_V)T&&...\text{式(3･33)} \\ \\
&=
\frac{c_p-c_V}{c_p}c_pT& \\ \\
&=
\frac{c_p/c_V-1}{c_p/c_V}I&&...\text{式(5･21)} \\ \\
&=
\frac{\gamma-1}{\gamma}I&&...\text{p.46より} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(5･23)を式変形する。
\begin{align*}
P
&=
I \\ \\
&=
\frac{\gamma RT}{\gamma -1}&&...\text{式(5･22)より} \\ \\
&=
\frac{a^2}{\gamma -1}&&...\text{式(5･25)より} \\ \\
と導出できる。
式(5･28)より
\begin{align*}
\frac{1}{2}q^2+\frac{a^2}{\gamma-1}
&=
\frac{1}{2}0^2+\frac{a_s^2}{\gamma-1}&&...\text{よどみ点の条件より} \\ \\
&=
\frac{a_s^2}{\gamma-1} \\ \\ \\
\frac{1}{2}q^2+\frac{a^2}{\gamma-1}
&=
\frac{1}{2}a_{\ast}^2+\frac{a_{\ast}^2}{\gamma-1}\\ \\
&=
\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}a_{\ast}^2
\end{align*}
と導出できる。
式(5･29)より
\begin{align*}
&&
\frac{1}{2}q^2+\frac{a^2}{\gamma-1}
&=
\frac{a_s^2}{\gamma-1} \\ \\
&\Rightarrow&
q
&=
\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}(a_s^2-a^2)} \\ \\
&&&=
\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\left(\frac{\gamma p_s}{\rho_s}-\frac{\gamma p}{\rho}\right)}&&...\text{式(5･25)より}a_s=\sqrt{\frac{\gamma p_s}{\rho_s}}\text{とした} \\ \\
&&&=
\sqrt{\frac{2\gamma}{\gamma-1}\left(\frac{p_s}{\rho_s}-\frac{p}{\rho}\right)}& \\ \\ \\
q
&=
\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}(a_s^2-a^2)} \\ \\
&&&=
\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\left(\gamma RT_s-\gamma RT\right)}&&...\text{式(5･25)より}a_s=\sqrt{\gamma aRT_s}\text{とした} \\ \\
&&&=
\sqrt{\frac{2\gamma R}{\gamma-1}\left(T_s-T\right)}& \\ \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(5･8)より
\begin{align*}
&&
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} &=-\text{grad}\left(P+\frac{1}{2}q^2\right)+\boldsymbol{K}+\boldsymbol{u}\times\text{rot}\boldsymbol{u} \\ \\
&\Rightarrow&
\frac{\partial }{\partial t}\text{grad}\varPhi &=-\text{grad}\left(P+\frac{1}{2}q^2\right)+\boldsymbol{K}+0&&...\text{式(5･32)(5･33)より} \\ \\
&\Rightarrow&
\text{grad}\frac{\partial\varPhi }{\partial t} &=-\text{grad}\left(P+\frac{1}{2}q^2\right)+\boldsymbol{K}&&...\text{微分の順序を入れ替えた} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\text{grad}\left(\frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2\right)&=\boldsymbol{K}& \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
p.73中段の式を代入すると \begin{align*} && \text{grad}\left(\frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2\right)&=-\text{grad}\varOmega& \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{grad}\left(\frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2+\varOmega\right)&=0& \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2+\varOmega&=f(t)&&...\text{位置成分を持たない関数として}f(t)\text{を用いた。} \\ \\ \end{align*}
p.73中段の式を代入すると \begin{align*} && \text{grad}\left(\frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2\right)&=-\text{grad}\varOmega& \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{grad}\left(\frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2+\varOmega\right)&=0& \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\varPhi }{\partial t}+P+\frac{1}{2}q^2+\varOmega&=f(t)&&...\text{位置成分を持たない関数として}f(t)\text{を用いた。} \\ \\ \end{align*}
p.75下の条件では積分は周回の積分であることを利用すると
\begin{align*}
\varGamma(C)
&=
\oint_C(\boldsymbol{u}\cdot d\boldsymbol{s}) \\ \\
&=
\int_{S(C)}(\text{rot}\boldsymbol{u})\cdot \boldsymbol{n}dS&&...\text{式(2･40)(2･41)のストークスの定理より} \\ \\
&=
\int_{S(C)}\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{n}dS& \\ \\
&=
0&&...\text{条件(5･37)より}\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{n}=0
\end{align*}
と導出できる。