巽流体力学の行間埋め 第４章
４．流体力学の基礎方程式
- 式(4･2)の導出
- 式(4･3)の導出
- 式(4･11)が式(4･12)を満たすことの導出
- 式(4･20)の導出
- 式(4･21)が式(4･20)を満たすことの導出
- 式(4･22)の計算の導出(p.56の1行目まで)
- 式(4･26)の導出
- 式(4･27)の導出
- 式(4･28)の導出
- 式(4･30)の導出
- 式(4･31)の導出
- 式(4･36)の導出
- 式(4･37)の導出
- 式(4･38)の導出
- 式(4･39)の導出
- 式(4･40)の導出
- p.61上：\(\text{div}\boldsymbol{u}\)の式変形の導出
- 式(4･44)の導出
- 式(4･46)の導出
- 式(4･47)の導出
- 式(4･61)の導出
式(4･1)より
\begin{align*}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\text{div}(\rho\boldsymbol{u})
&=
\frac{\partial \rho}{\partial t}+{\color{red}\boldsymbol{u}\cdot\text{grad}\rho-\boldsymbol{u}\cdot\text{grad}\rho}+\text{div}(\rho\boldsymbol{u}) \\ \\
&=
\frac{D \rho}{D t}-\boldsymbol{u}\cdot\text{grad}\rho+\text{div}(\rho\boldsymbol{u})&&...\text{式(2･6)より} \\ \\
&=
\frac{D \rho}{D t}-\boldsymbol{u}\cdot\text{grad}\rho+\rho\text{div}\boldsymbol{u}+\boldsymbol{u}\cdot\text{grad}\rho&&...\text{(1)} \\ \\
&=
\frac{D \rho}{D t}+\rho\text{div}\boldsymbol{u}& \\ \\
\end{align*}
と導出できる。(1)ではベクトル解析の公式(こちらの式(5)など)を参考。
式(4･3)上の式を式(4･2)に代入する。
\begin{align*}
&&\frac{D\rho}{Dt}+\rho\text{div}\boldsymbol{u}&=0 \\ \\
&\Rightarrow&
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\left(\frac{1}{\delta V}\frac{D\delta V}{Dt}\right)&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\delta V\frac{D\rho}{Dt}+\rho\frac{D\delta V}{Dt}&=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{Dt}\left(\rho\delta V\right)
\end{align*}
と導出できる。
式(4･11)を式(4･12)に代入すると
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}
&=
\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial \varPsi}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{-\partial \varPsi}{\partial x} \\ \\
&=
\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial y\partial x} \\ \\
&=
0
\end{align*}
と導出できる。ここで、二階偏微分は微分の順番を交換できるとした。
式(A･17)の変数を置換する。p.55中段より
\(r\to y,z\to x\)と置換することで式(4･20)が導ける。
\begin{align*}
\frac{1}{y}\frac{\partial}{\partial y}(yv)+\frac{\partial u}{\partial x}
&=
\frac{1}{y}\frac{\partial}{\partial y}\left\{y\left(-\frac{1}{y}\frac{\partial \varPsi}{\partial x}\right)\right\}+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{y}\frac{\partial\varPsi}{\partial y}\right) \\ \\
&=
-\frac{1}{y}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \varPsi}{\partial x}\right)+\frac{1}{y}\frac{\partial^2\varPsi}{\partial x\partial y} \\ \\
&=
-\frac{1}{y}\frac{\partial^2 \varPsi}{\partial y\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial^2\varPsi}{\color{red}\partial y\partial x}&&...\text{(1)} \\ \\
&=
0
\end{align*}
と導出できる。(1)では二階微分において微分の順番を交換した。
\begin{align*}
Q
&=
\int (\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n})dS&&...S\text{は考えている表面全体を示す} \\ \\
&=
\int_O^P (\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n})2\pi yds&&...\text{考えている表面は回転対称であるため、円周}2\pi y\text{と表面に沿った線成分}ds\text{を用いた} \\ \\
&=
2\pi\int_O^P (un_x+vn_y) yds& \\ \\
&=
2\pi\int_O^P \left(\frac{1}{y}\frac{\partial\varPsi}{\partial y}\frac{dy}{ds}+\left(-\frac{1}{y}\frac{\partial\varPsi}{\partial x}\right)\left(-\frac{dx}{ds}\right)\right) yds&&...\text{式(4･13)(4･21)より} \\ \\
&=
2\pi\int_O^P \left(\frac{\partial\varPsi}{\partial y}\frac{dy}{ds}+\frac{\partial\varPsi}{\partial x}\frac{dx}{ds}\right)ds&\\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(4･25)より
\begin{align*}
&&\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_i)&=\frac{\partial}{\partial x_j}(p_{ij}-\rho u_iu_j)+\rho K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_i)+\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_iu_j)&=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\rho\frac{\partial}{\partial t}u_i+u_i\frac{\partial}{\partial t}\rho+(\rho u_j)\frac{\partial}{\partial x_j}u_i+u_i\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j)&=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
u_i\left(\frac{\partial}{\partial t}\rho+\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j)\right)+\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}u_i+u_j\frac{\partial}{\partial x_j}u_i\right) &=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
u_i\left(\frac{\partial}{\partial t}\rho+\text{div}(\rho \boldsymbol{u})\right)+\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}u_i+(\boldsymbol{u}\cdot\text{grad})u_i\right) &=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
u_i\cdot 0+\rho\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ K_i \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(4･26)の両辺のに\(\delta V\)をかけると
\begin{align*}
&&
\delta V\frac{D u_i}{Dt} &=\delta V\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ \delta VK_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\rho\delta V\frac{D u_i}{Dt} &=\delta V\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ \rho K_i\delta V \\ \\
&\Leftrightarrow&
\rho\delta V\frac{D u_i}{Dt}+u_i\underbrace{\frac{D }{Dt}(\rho\delta V)}_{\text{式(4･3)より}0} &=\delta V\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ \rho K_i\delta V \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D }{Dt}(\rho u_i\delta V) &=\delta V\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ \rho K_i\delta V \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
\begin{align*}
&&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p_{ii}}{\partial x_i}+\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\frac{\partial p_{ik}}{\partial x_k}\right)+ K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial (-p)}{\partial x_i}+ K_i&&...\text{式(3･5)より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+ K_i \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(4･26)に式(3･11)を適用する。
\begin{align*}
&&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ K_i \\ \\
&\Rightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_j}\left((-p+\chi e_{kk})\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)+ K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\left[-\frac{\partial p}{\partial x_j}\delta_{ij}+\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\chi e_{kk}\delta_{ij}\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{2\mu e_{ij}-\frac{2}{3}\mu e_{kk}\delta_{ij} \right\}\right]+ K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\left[-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\chi e_{kk}\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{\mu\left(2 e_{ij}-\frac{2}{3} e_{kk}\delta_{ij} \right)\right\}\right]+ K_i&&...\text{縮約部分はクロネッカーのデルタより}j=i\text{の項だけ残る} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\left[-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\chi \underbrace{\frac{\partial u_k}{\partial x_k}}_{\text{式(2･29)}}\right)+\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{\mu\left(2 \underbrace{\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)}_{\text{式(2･25)}}-\frac{2}{3} \underbrace{\frac{\partial u_k}{\partial x_k}}_{\text{式(2･29)}}\delta_{ij} \right)\right\}\right]+ K_i& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\chi \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3} \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij} \right)\right\}+ K_i& \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
\(\mu,\chi\)が一定であるとすると式(4･30)より
\begin{align*}
&&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\chi \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3} \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij} \right)\right\}+ K_i& \\ \\
&\Rightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\chi\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3} \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij} \right)+ K_i& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\chi\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3} \frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\delta_{ij}\right) + K_i& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\left(\chi+\frac{\mu}{3}-{\color{red}\frac{\mu}{3}}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3} \frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + K_i&&...(1) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\left(\chi+\frac{\mu}{3}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{\color{red}3}{3} \frac{1}{\rho}\mu\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + K_i& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\left(\chi+\frac{\mu}{3}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{\mu}{\rho}\left[\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)\right] + K_i& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\left(\chi+\frac{\mu}{3}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{\mu}{\rho}\left[\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)\right] + K_i& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\left(\chi+\frac{\mu}{3}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{\mu}{\rho}\left[\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial }{\partial {\color{red}x_i}}\frac{\partial u_j}{\partial {\color{red}x_j}}-\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)\right] + K_i&&...(2) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D u_i}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{1}{\rho}\left(\chi+\frac{\mu}{3}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}\left( \frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right)+\frac{\mu}{\rho}\left[\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right] + K_i& \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
(1)では縮約から、クロネッカーのデルタで0にならない項のみ残した。
(2)では微分の順番を入れ替えた。
(1)では縮約から、クロネッカーのデルタで0にならない項のみ残した。
(2)では微分の順番を入れ替えた。
一部の項に着目する。
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial t}\left\{\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)u_i\right\}
&=
\frac{\partial}{\partial t}\left\{\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+u_i\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{u_i\right\} \\ \\
&=
\frac{D}{D t}\left\{\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{u_i\right\} \\ \\
&=
\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\frac{D}{D t}\left\{\rho\right\}+\rho\frac{D}{D t}\left\{\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{u_i\right\} \\ \\
&=
\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\left\{-\rho\text{div}\boldsymbol{u}\right\}+\rho\frac{D}{D t}\left\{\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{u_i\right\} \\ \\
&=
\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\left\{-\rho\text{div}\boldsymbol{u}\right\}+\rho\frac{D}{D t}\left\{\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}+\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\text{div}\boldsymbol{u} \\ \\
&=
\rho\frac{D}{D t}\left\{\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}
\end{align*}
となることから、
\begin{align*}
&&
\frac{\partial}{\partial t}\left\{\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}&=\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{ p_{ij}u_j-\rho\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)u_i-\theta_i \right\}+\rho K_iu_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\rho\frac{D}{D t}\left\{\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)\right\}&=\frac{\partial}{\partial x_i}\left\{ p_{ij}u_j-\theta_i \right\}+\rho K_iu_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{D t}\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)&=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\left( p_{ij}u_j-\theta_i \right)+K_iu_i \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(4･26)より
\begin{align*}
&&
\frac{D u_i}{Dt} &=\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ K_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
u_i\frac{D u_i}{Dt} &=u_i\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ u_iK_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{1}{2}\cdot 2u_i\frac{D u_i}{Dt} &=u_i\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ u_iK_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{1}{2}\frac{D }{Dt}\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2\right) &=u_i\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+ u_iK_i \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(4･36)から式(4･37)を引く。式(4･36)を変形すると
\begin{align*}
&&
\frac{D}{D t}\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2+U\right)&=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\left( p_{ij}u_j-\theta_i \right)+K_iu_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{D t}\left(\frac{1}{2}|\boldsymbol{u}|^2\right)+\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}u_j\frac{\partial}{\partial x_i}p_{ij}+\frac{1}{\rho}p_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}u_j-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i +K_iu_i \\ \\
\end{align*}
が得られる。式(4･37)を引くと
\begin{align*}
\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}p_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}u_j-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i \\ \\
\end{align*}
が得られる。
式(4･38)の左辺に\(\rho\delta V\)をかけると
\begin{align*}
\rho\delta V\frac{DU}{Dt}
&=
\rho\delta V\frac{DU}{Dt}+ U\underbrace{\frac{D}{Dt}(\rho\delta V)}_{(1)}&&...\text{(1)は式(4･3)より}0 \\ \\
&=
\frac{D}{Dt}(\rho U\delta V)\\ \\
\end{align*}
となることから、式(4･38)より
\begin{align*}
&&\frac{DU}{Dt}
&=
\frac{1}{\rho}p_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \theta_i}{\partial x_i} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\rho\delta V\frac{DU}{Dt}
&=
\rho\delta V\frac{1}{\rho}p_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\rho\delta V\frac{1}{\rho}\frac{\partial \theta_i}{\partial x_i} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{Dt}(\rho U\delta V)
&=
p_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\delta V-\frac{\partial \theta_i}{\partial x_i}\delta V \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
式(4･38)に式(3･5)を代入すると
\begin{align*}
&&
\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}p_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i \\ \\
&\Rightarrow&
\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}(-p\delta_{ij})\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{D t}U&=-p\frac{1}{\rho}\frac{\partial u_i}{\partial x_i}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i&&...\text{クロネッカーのデルタより}i=j\text{の項のみ残るため} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{D t}U&=-\frac{p}{\rho}\text{div}\boldsymbol{u}-\frac{1}{\rho}\text{div}\boldsymbol{\theta}& \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
\begin{align*}
\rho\frac{D}{Dt}\left(\frac{1}{\rho}\right)
&=
\rho\left(-\frac{1}{\rho^2}\right)\frac{D}{Dt}\rho \\ \\
&=
-\frac{1}{\rho}\frac{D}{Dt}\rho \\ \\
\end{align*}
が得られる。
式(4･43)に式(3･41)を代入する。
\begin{align*}
&&T\frac{DS}{DT}&=-\frac{1}{\rho}\text{div}\boldsymbol{\theta} \\ \\
&\Rightarrow&
T\frac{DS}{DT}&=-\frac{1}{\rho}\text{div}\left(-k\text{grad}T\right) \\ \\
&&
&=
\frac{k}{\rho}\text{div}\text{grad}T&&...k\text{は定数であるとした} \\ \\
&&
&=
\frac{k}{\rho}\triangle T&&...\text{式(4･33)を用いた} \\ \\
\end{align*}
式(2･25)より\(e_{ij}=e_{ji}\)である。式(3･11)より
\begin{align*}
p_{ji}
&=
\left((-p+\chi e_{kk})\delta_{ji}+2\mu\left(e_{ji}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ji}\right)\right) \\ \\
&=
\left((-p+\chi e_{kk})\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)&&...\text{クロネッカーのデルタも添え字の交換が可能} \\ \\
&=
p_{ij}
\end{align*}
であることから、
\begin{align*}
p_{ij}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}
&=
\left\{\begin{array}{l}
&p_{11}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}&+p_{12}\frac{\partial u_2}{\partial x_1}&+p_{13}\frac{\partial u_3}{\partial x_1} \\
&+
p_{21}\frac{\partial u_1}{\partial x_2}&+p_{22}\frac{\partial u_2}{\partial x_2}&+p_{23}\frac{\partial u_3}{\partial x_2} \\
&+
p_{31}\frac{\partial u_1}{\partial x_3}&+p_{32}\frac{\partial u_2}{\partial x_3}&+p_{33}\frac{\partial u_3}{\partial x_3}
\end{array}
\right.&&...\text{見やすさのために並べている} \\ \\
&=
\left\{\begin{array}{l}
&p_{11}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}&+\frac{1}{2}\left(p_{12}\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+p_{21}\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right)&+\frac{1}{2}\left(p_{13}\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+p_{31}\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) \\
&+
\frac{1}{2}\left(p_{21}\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+p_{12}\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)&+p_{22}\frac{\partial u_2}{\partial x_2}&+\frac{1}{2}\left(p_{23}\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+p_{32}\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) \\
&+
\frac{1}{2}\left(p_{31}\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+p_{13}\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right)&+\frac{1}{2}\left(p_{32}\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+p_{23}\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right)&+p_{33}\frac{\partial u_3}{\partial x_3}
\end{array}
\right.& \\ \\
&=
\left\{\begin{array}{l}
&p_{11}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}&+p_{12}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right)&+p_{13}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) \\
&+
p_{21}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)&+p_{22}\frac{\partial u_2}{\partial x_2}&+p_{23}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) \\
&+
p_{31}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right)&+p_{32}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right)&+p_{33}\frac{\partial u_3}{\partial x_3}
\end{array}
\right.&&...p_{ij}=p_{ji}\text{を用いた} \\ \\
&=
\left\{\begin{array}{l}
&p_{11}e_{11}&+p_{12}e_{12}&+p_{13}e_{13} \\
&+
p_{21}e_{21}&+p_{22}e_{22}&+p_{23}e_{23} \\
&+
p_{31}e_{31}&+p_{32}e_{32}&+p_{33}e_{33} \\
\end{array}
\right.&&...\text{式(2･25)} \\ \\
&=
p_{ij}e_{ij}&&...\text{縮約より}
\end{align*}
の関係式が得られる。これを用いて式(4･38)に式(3･11)を代入する。
\begin{align*}
&&
\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}p_{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}u_j-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}p_{ij}e_{ij}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i \\ \\
&\Rightarrow&
\frac{D}{D t}U&=\frac{1}{\rho}\left((-p+\chi e_{kk})\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)e_{ij}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_i}\theta_i \\ \\
&&
&=-\frac{p}{\rho}\underbrace{\delta_{ij}e_{ij}}_{(1)}+\frac{1}{\rho}\left(\chi e_{kk}\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)e_{ij}-\frac{1}{\rho}\text{div}\boldsymbol{\theta} \\ \\
&&
&=-\frac{p}{\rho}\underbrace{e_{jj}}_{(1)}+\frac{1}{\rho}\left(\chi e_{kk}\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)e_{ij}-\frac{1}{\rho}\text{div}\boldsymbol{\theta} \\ \\
&&
&=-\frac{p}{\rho}\text{div}\boldsymbol{u}+\frac{1}{\rho}\underbrace{\left(\chi e_{kk}\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)e_{ij}}_{=\varPhi}-\frac{1}{\rho}\text{div}\boldsymbol{\theta} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
(1)ではクロネッカーのデルタによって\(i=j\)の項のみ残した。
(1)ではクロネッカーのデルタによって\(i=j\)の項のみ残した。
\(\varPhi\)を式変形して
\begin{align*}
\varPhi
&=
\left(\chi e_{kk}\delta_{ij}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\right)e_{ij} \\ \\
&=
\chi e_{kk}\underbrace{\delta_{ij}e_{ij}}_{(1)}+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij} \\ \\
&=
\chi e_{kk}e_{jj}+2\mu\underbrace{\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij}}_{(2)} \\ \\
\end{align*}
が得られる。
(1)ではクロネッカーのデルタと縮約記法により、\(i=j\)の項のみ足した。
ここで(2)に着目する。 \begin{align*} (2) &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij} \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)+\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right) \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{ij}\delta_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\delta_{ij}\right) \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{jj}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{jj}\right)&&...\text{クロネッカーのデルタより}i=j\text{の部分だけ残す} \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{jj}-\frac{1}{3}e_{kk}(\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33})\right)&&...\text{縮約より} \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{jj}-\frac{1}{3}e_{kk}3\right)& \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2& \\ \\ \end{align*} が得られるので、これを用いると \begin{align*} \varPhi &= \chi e_{kk}e_{jj}+2\mu\underbrace{\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij}}_{(2)} \\ \\ &= \chi (e_{kk})^2+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2 \\ \\ \end{align*} と導出できる。
(1)ではクロネッカーのデルタと縮約記法により、\(i=j\)の項のみ足した。
ここで(2)に着目する。 \begin{align*} (2) &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij} \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)+\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right) \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{ij}\delta_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\delta_{ij}\right) \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{jj}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{jj}\right)&&...\text{クロネッカーのデルタより}i=j\text{の部分だけ残す} \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{jj}-\frac{1}{3}e_{kk}(\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33})\right)&&...\text{縮約より} \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2+\frac{1}{3}e_{kk}\left(e_{jj}-\frac{1}{3}e_{kk}3\right)& \\ \\ &= \left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2& \\ \\ \end{align*} が得られるので、これを用いると \begin{align*} \varPhi &= \chi e_{kk}e_{jj}+2\mu\underbrace{\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)e_{ij}}_{(2)} \\ \\ &= \chi (e_{kk})^2+2\mu\left(e_{ij}-\frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}\right)^2 \\ \\ \end{align*} と導出できる。
p.65下部のように計算する。(おそらく本来のやり方ではないが)
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\delta t\to 0}\frac{F(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\delta t,t+\delta t)-F(\boldsymbol{x},t)}{\delta t}
&=
\displaystyle\lim_{\delta t\to 0}\frac{F(x_1+u_1\delta t,x_2+u_2\delta t,x_3+u_3\delta t,t+\delta t)-F(\boldsymbol{x},t)}{\delta t} \\ \\
&=
\displaystyle\lim_{\delta t\to 0}\frac{F(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial}{\partial x_1}F(\boldsymbol{x},t)u_1\delta t+\frac{\partial}{\partial x_2}F(\boldsymbol{x},t)u_2\delta t+\frac{\partial}{\partial x_3}F(\boldsymbol{x},t)u_3\delta t+\frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t)\delta t+\ldots-F(\boldsymbol{x},t)}{\delta t}&&...\text{多変数のテイラー展開より} \\ \\
&\simeq
\displaystyle\lim_{\delta t\to 0}\frac{\frac{\partial}{\partial x_1}F(\boldsymbol{x},t)u_1\delta t+\frac{\partial}{\partial x_2}F(\boldsymbol{x},t)u_2\delta t+\frac{\partial}{\partial x_3}F(\boldsymbol{x},t)u_3\delta t+\frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t)\delta t}{\delta t} \\ \\
&=
\displaystyle\lim_{\delta t\to 0}\frac{\partial}{\partial x_1}F(\boldsymbol{x},t)u_1+\frac{\partial}{\partial x_2}F(\boldsymbol{x},t)u_2+\frac{\partial}{\partial x_3}F(\boldsymbol{x},t)u_3+\frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t) \\ \\
&=
\frac{\partial}{\partial x_1}F(\boldsymbol{x},t)u_1+\frac{\partial}{\partial x_2}F(\boldsymbol{x},t)u_2+\frac{\partial}{\partial x_3}F(\boldsymbol{x},t)u_3+\frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t) \\ \\
&=
(\boldsymbol{u}\cdot\text{grad})F(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t) \\ \\
&=
\frac{DF}{Dt}
\end{align*}
と導出できる。