巽流体力学の行間埋め　第１章

１．流体と流体力学

1. 式(1･3)の導出
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こちらの解説などを参考
平均自由行路\(\lambda\)は \begin{align*} \lambda&=\frac{1}{\sqrt{2}n\sigma} \\ \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}n4\pi r^2}&&...\text{リンク先式(2)より} \\ \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}n4\pi \frac{1}{4}\sigma^2}&&...\text{新たに}\sigma=2r\text{と定義} \\ \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}n\pi \sigma^2}&\\ \\ \end{align*} が得られる。ここで、分子数密度\(n\)に対し、単位体積当たりの分子数として\(n\to \frac{n}{v}\)とする。1分子当たりの体積は\(v_0=\frac{v}{n}\)であらわされるため、 \begin{align*} \lambda &\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}n/v\pi \sigma^2}&\\ \\ &= \frac{v/n}{\sqrt{2}\pi \sigma^2}&\\ \\ &= \frac{v_0}{\sqrt{2}\pi \sigma^2}&\\ \\ \end{align*} と導出できる。


2. 式(1･4)の導出
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p.2下部より\(l_0=v_0^{1/3}\)なので、 \begin{align*} \frac{\lambda}{l_0} &= \frac{v_0}{l_0\sqrt{2}\pi \sigma^2}&\\ \\ &= \frac{v_0}{v_0^{1/3}\sqrt{2}\pi \sigma^2}&\\ \\ &= \frac{v_0^{2/3}}{\sqrt{2}\pi \sigma^2}&\\ \\ &= \frac{l_0^{2}}{\sqrt{2}\pi \sigma^2}&\\ \\ &= \frac{(l_0/\sigma)^{2}}{\sqrt{2}\pi}&\\ \\ \end{align*} と導出できる。


3. p.7式(7･5)の導出
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\begin{align*} \text{div}\boldsymbol{u} &= \text{div}\text{grad}\Phi \\ \\ &= \text{div} \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial\Phi}{\partial x_1} \\ \frac{\partial\Phi}{\partial x_2} \\ \frac{\partial\Phi}{\partial x_3} \\ \end{array} \right) \\ \\ &= \frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial\Phi}{\partial x_1}+\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial\Phi}{\partial x_2}+\frac{\partial}{\partial x_3}\frac{\partial\Phi}{\partial x_3} \\ \\ &= \left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}\right)\Phi \\ \\ &= 0&&...\text{式(4･9)より} \end{align*} と導出できる。