第11章理論電磁気学

式(5.1)の右辺を計算し、左辺と比較する。 \begin{eqnarray} \frac{T}{c^2}\boldsymbol{u}(t) &=& \frac{1}{c^2}\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2}\boldsymbol{u}^2(t)}}\boldsymbol{u}(t) \\ \\ &=& \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2}\boldsymbol{u}^2(t)}}\boldsymbol{u}(t) \\ \\ &=& \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}} \left( \begin{array}{cccc} u_x(t) \\ u_y(t) \\ u_z(t) \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} になる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{G}_f &=& \frac{1}{c^2}\overline{\boldsymbol{S}}V \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}Vc\overline{w}\boldsymbol{e} \\ \\ &=& \frac{W_f}{c^2}c\boldsymbol{e} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

p.440式(A・18)の公式を用いて計算される。

p.404中段の説明より、電場は球対象に広がっているため、電場の方向による偏りはないと考えられる。従って、 \begin{eqnarray} E_x=E_y=E_z=\frac{1}{\sqrt{3}}E \end{eqnarray} と置くことで、\(E_x^2+E_y^2+E_z^2=E^2\)を満たし、向きによる偏りがない状態にすることができる。これを用いて、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{G}_f &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\boldsymbol{v}\int_Vdx^3(E_x^2+E_y^2+E_z^2-E_z^2) \\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\boldsymbol{v}\int_Vdx^3(\left(\frac{E}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{E}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{E}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\frac{E}{\sqrt{3}}\right)^2) \\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\boldsymbol{v}\int_Vdx^3(\frac{2E^2}{3}) \\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{2}{3}\boldsymbol{v}\int_Vdx^3E^2 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

p.286式(3.42)より、今回考えている磁場は、電場に\(v\)をかけた程度の量であることがわかる。従って、\(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{B}\)は\(v^2\)程度の大きさであることが推測できる。

\begin{eqnarray} G_i^f &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3xT_{ij}w_{j}+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3xT_{i4}w_4 \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3xT_{ij}\frac{v_j}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}}+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3xT_{i4}\frac{ic}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v^2}}{c^2}}}&...&\text{式(5.11)より}w_j=\frac{v_j}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}} \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{v_j}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}}\int_Vd^3xT_{ij}+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\frac{-i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}|_{i}\frac{ic}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v^2}}{c^2}}}&...&\text{式(3.54)より} \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{v_j}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}}\int_Vd^3xT_{ij}+\frac{1}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v^2} }{c^2} } }\int_Vd^3x\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}|_{i}& \\ \\ \end{eqnarray} と導ける。

式(5.12)の右辺の第2項、第1項と計算し、足し合わせる。 \begin{eqnarray} \text{式(5.12)第2項} &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2} } }\int_V(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})_id^3x \\ \\ &\simeq& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-0 } }\int_V(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})_id^3x &...&v^2\text{の項を無視するため}\\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\mu_0}\int_V(\boldsymbol{E}\times\mu_0\boldsymbol{H})_id^3x &\\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\mu_0}\int_V(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})_id^3x &\\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\mu_0}\int_V(\boldsymbol{E}\times(\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E}))_id^3x &...&\text{p.286式(3.42)より}\\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}\frac{\varepsilon_0}{c^2}\int_V(\boldsymbol{E}\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E}))_id^3x &\\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}G_f &...&\text{式(5.6)より}\\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}\frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{2}{3}v_i\int_Vd^3xE^2 &...&\text{式(5.7)より、}\boldsymbol{v}\text{のi成分を}v_i\text{とした}\\ \\ &=& \frac{c^2}{c^2}\frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{2}{3}v_i\int_Vd^3xE^2 &\\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{2}{3}v_i\int_Vd^3xE^2 &\\ \\ \\ \text{式(5.12)第1項} &=& \frac{1}{c^2}\frac{v_j}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v} }{c^2} } }\int_Vd^3xT_{ij} \\ \\ &\simeq& \frac{1}{c^2}v_j\int_Vd^3xT_{ij}&...&v^2\text{の項を無視するため} \\ \\ &\simeq& \frac{1}{c^2}v_j\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_iE_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}\boldsymbol{E}^2)&...&\text{p.406上式より} \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_iv_jE_j-\frac{1}{2}v_j\delta_{ij}\boldsymbol{E}^2)& \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_i(v_xE_x+v_yE_y+v_zE_z)-\frac{1}{2}v_j\delta_{ij}\boldsymbol{E}^2)&...&\text{記法のルールより} \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}v_j\delta_{ij}\boldsymbol{E}^2)& \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}(\displaystyle\sum_{j=1}^3v_j\delta_{ij})\boldsymbol{E}^2)&...&\text{記法のルールより} \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}v_i\boldsymbol{E}^2)&...&\text{Kronecherのデルタより、}j=i\text{の項のみ残る} \\ \\ &=& \frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}v_i\boldsymbol{E}^2)&...&\text{(1)}\\ \\ \end{eqnarray} ここで(1)の一項目のベクトルとしての表記に着目する。 \begin{eqnarray} &&\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}&\\ \\ &\Rightarrow& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\int_Vd^3x\boldsymbol{E}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E})&\\ \\ \end{eqnarray} となるが、この項は式(5.6)の積分の2項目と一致するため、その結果を用いて、 \begin{eqnarray} \frac{\varepsilon_0}{c^2}\int_Vd^3x\boldsymbol{E}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}) &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\boldsymbol{v}\int_Vd^3xE_z^2 \\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\boldsymbol{v}\frac{1}{3}\int_Vd^3xE^2&...&\boldsymbol{E}=(\frac{E}{\sqrt{3}},\frac{E}{\sqrt{3}},\frac{E}{\sqrt{3}})\text{とした} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この\(i\)成分を用いて、(1)の計算をすると \begin{eqnarray} (1)&=&\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\varepsilon_0(E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}v_i\boldsymbol{E}^2) \\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\int_Vd^3x(E_i\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{E})-\frac{\varepsilon_0}{c^2}\int_Vd^3x(\frac{1}{2}v_i\boldsymbol{E}^2) \\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{c^2}v_i\frac{1}{3}\int_Vd^3xE^2-\frac{\varepsilon_0}{c^2}\int_Vd^3x(\frac{1}{2}v_i\boldsymbol{E}^2) \\ \\ &=& -\frac{1}{6}\frac{\varepsilon_0}{c^2}v_i\int_Vd^3xE^2 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これらを用いて、 \begin{eqnarray} \text{式(5.12)} &=& \text{式(5.12)第1項}+\text{式(5.12)第2項} \\ \\ &\simeq& -\frac{1}{6}\frac{\varepsilon_0}{c^2}v_i\int_Vd^3xE^2+\frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{2}{3}v_i\int_Vd^3xE^2 \\ \\ &\simeq& \frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{1}{2}v_i\int_Vd^3xE^2 \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} W_f &=& \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2} } }\int_Vd^3xT_{44}-\frac{1}{c^2}\int_VS_id^3x\frac{v_i}{\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2} }} \\ \\ &\simeq& \int_Vd^3xT_{44}-\frac{1}{c^2}\int_VS_id^3xv_i &...&v^2\text{を無視すると}\frac{1}{1-\frac{\boldsymbol{v}^2}{c^2}}\sim 1\text{になる}\\ \\ &=& \int_Vd^3xT_{44}-\frac{1}{c^2}\int_V\frac{-c}{i}T_{i4}d^3xv_i &...&\text{式(3.56)より}\\ \\ &=& \int_Vd^3xT_{44}-\frac{1}{c^2}\int_V\frac{-c}{i}\left(-\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)_id^3xv_i &...&\text{式(3.54)より}\\ \\ &=& \int_Vd^3xT_{44}-\frac{1}{c^4}\int_V\boldsymbol{E}\times(\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E})|_id^3xv_i &...&\text{p.286式(3.42)より}\\ \\ &=& \int_Vd^3xT_{44}-\frac{1}{c^4}\int_V\boldsymbol{E}\times(v_i\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E})|_id^3x &\\ \\ &\simeq& \int_Vd^3xT_{44} &...&v^2\text{の項を無視した}\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。その後、\(T_{44}\)を考えるにあたり、p.405上より、式(3.53)の磁場の項は\(v^2\)が含まれるため無視してよく、 \begin{eqnarray} W_f &\simeq& \int_Vd^3xT_{44} &\\ \\ &\simeq& \int_Vd^3x\frac{1}{2}(\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) &\\ \\ &=& \frac{\varepsilon_0}{2}\int_Vd^3xE^2 &\\ \\ \end{eqnarray} となる。

理論電磁気学の行間埋め 第11章

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