理論電磁気学の行間埋め　第11章

式(1.2)を式(1.1)に代入すると \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{x}'^2-ct'^2 \\ \\ &=& x'^2+y'^2+z'^2-ct'^2 \\ \\ &=& (\alpha_1(x-vt))^2+(\beta_1 y)^2+(\gamma_1z)^2-c^2(\delta_1x+\varepsilon_1t)^2 \\ \\ &=& \alpha_1^2(x^2-2vtx+v^2t^2)+\beta_1^2 y^2+\gamma_1^2z^2-c^2(\delta_1^2x^2+2\delta_1x\varepsilon_1t+\varepsilon_1^2t^2) \\ \\ &=& (\alpha_1^2-c^2\delta_1^2)x^2+\beta_1^2 y^2+\gamma_1^2z^2-c^2t^2(\varepsilon_1^2-\frac{1}{c^2}\alpha_1^2v^2)-2xt(\alpha_1^2v+c^2\delta_1\varepsilon_1) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、変換前の式と係数を比較する。 \begin{eqnarray} (\alpha_1^2-c^2\delta_1^2)&x^2&+\beta_1^2 &y^2&+\gamma_1^2&z^2&-(\varepsilon_1^2-\frac{1}{c^2}\alpha_1^2v^2)&c^2t^2&-2(\alpha_1^2v+c^2\delta_1\varepsilon_1)&xt&&=&0 \\ \\ 1&x^2&+ 1&y^2&+1&z^2&-1&c^2t^2&- 0\cdot&2xt&&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} ここで、p.350上部より、変換法則は線形である必要がある。そのため、係数に定数倍がかかることは許される。従って、\(\beta_1\)を定数として扱うと、 \begin{eqnarray} (\alpha_1^2-c^2\delta_1^2)&x^2&+\beta_1^2 &y^2&+\gamma_1^2&z^2&-(\varepsilon_1^2-\frac{1}{c^2}\alpha_1^2v^2)&c^2t^2&-2(\alpha_1^2v+c^2\delta_1\varepsilon_1)&xt&&=&0 \\ \\ \beta_1^2&x^2&+ \beta_1^2&y^2&+\beta_1^2&z^2&-\beta_1^2&c^2t^2&- 0\cdot\beta_1^2&2xt&&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
\(xt\)の係数は\(0\)なので \begin{eqnarray} \alpha_1^2v+c^2\delta_1\varepsilon_1=0...(1) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
\(z^2\)の係数の比較から \begin{eqnarray} \gamma_1^2&=&\beta_1^2 \\ \\ \Rightarrow\gamma_1&=&\beta_1...(2) \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(\beta_1=-\gamma_1\)は採択しなかった。
\(c^2t^2\)の係数の比較から \begin{eqnarray} \varepsilon_1^2-\frac{1}{c^2}\alpha_1^2v^2&=&\beta_1^2 \\ \\ \Leftrightarrow\varepsilon_1^2c^2-\alpha_1^2v^2&=&c^2\beta_1^2...(3) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
\(x^2\)の係数の比較から \begin{eqnarray} \varepsilon_1^2-c^2\delta_1^2&=&\beta_1^2...(4) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(1)~(4)より、式(1.3)が得られた。

式(1.13)より、\(x\)を求めるために式変形すると \begin{eqnarray} && x'&=&\frac{x-vt}{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \\ &\Leftrightarrow& x&=&vt+x'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \\ && &=&vt+x'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...\text{(*)} \\ \\ \end{eqnarray} となる。一方で\(t\)を求めると \begin{eqnarray} && t'&=&\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \\ \\ &\Leftrightarrow& t&=&\frac{v}{c^2}x+t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(*)を代入すると \begin{eqnarray} && t&=&\frac{v}{c^2}x+t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } \\ \\ &&&=& \frac{v}{c^2}\left(vt+x'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)+t'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } \\ \\ &&&=& \frac{v^2}{c^2}t+\left(\frac{vx'}{c^2}+t'\right)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } \\ \\ &\Leftrightarrow& (1-\frac{v^2}{c^2})t &=& \left(\frac{vx'}{c^2}+t'\right)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2t &=& \left(\frac{vx'}{c^2}+t'\right)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } \\ \\ &\Leftrightarrow& t &=& \frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これを用いて、(*)は \begin{eqnarray} && x &=&vt+x'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...\text{(*)} \\ \\ && &=&v\left(\frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }}\right)+x'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ \\ && &=&\frac{vt'+\frac{v^2}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }}+\frac{x'\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }\\ \\ && &=&\frac{vt'+\frac{v^2}{c^2}x'+x'\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }}\\ \\ && &=&\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }}\\ \\ \end{eqnarray} となる。

p.356上の\(x''\)に\(x',t'\)を代入する。 \begin{eqnarray} x'' &=& \frac{x'-wt'}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }-w\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } }{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}} \\ \\ &=& \frac{x-vt-w\left(t-\frac{v}{c^2}x\right) }{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2} }\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)x-(v+w)t }{\sqrt{1+\frac{v^2w^2}{c^4}-\frac{v^2+w^2}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)\left[x-\frac{v+w}{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)}t\right] }{\sqrt{1+\frac{v^2w^2}{c^4}-\frac{(v+w)^2-2vw}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)\left[x-ut\right] }{\sqrt{1+\frac{v^2w^2}{c^4}+\frac{2vw}{c^2}-\frac{(v+w)^2}{c^2} } }&...&\text{式(1.21)より}\\ \\ &=& \frac{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)\left[x-ut\right] }{\sqrt{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)^2-\frac{(v+w)^2}{c^2} } }&\\ \\ &=& \frac{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)\left[x-ut\right] }{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)\sqrt{1-\frac{1}{c^2}\frac{(v+w)^2}{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)^2} } }&\\ \\ &=& \frac{\left(1-\frac{vw}{c^2}\right)\left[x-ut\right] }{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }&...&\text{式(1.21)より}\\ \\ &=& \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }&\\ \\ \end{eqnarray} となる。\(t''\)を求めると \begin{eqnarray} t'' &=& \frac{t'-\frac{w}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }-\frac{w}{c^2}\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{t-\frac{v}{c^2}x-\frac{w}{c^2}(x-vt) }{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2} }\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \\ \\ &=& \frac{t-\frac{v}{c^2}x-\frac{w}{c^2}(x-vt) }{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }&...&x''\text{の導出より} \\ \\ &=& \frac{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)t-\frac{x}{c^2}(v+w) }{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }& \\ \\ &=& \frac{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)\left(t-\frac{x}{c^2}\frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}}\right) }{\left(1+\frac{vw}{c^2}\right)\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }& \\ \\ &=& \frac{\left(t-\frac{x}{c^2}\frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}}\right) }{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }& \\ \\ &=& \frac{t-\frac{u}{c^2}x }{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2} } }&...&\text{式(1.21)より} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(1.24)より \begin{eqnarray} &&u_x'(t')&=&\frac{u_x(t)-v}{1-\frac{1}{c^2}vu_x(t)} \\ \\ &\Leftrightarrow& u_x'(t')\left(1-\frac{1}{c^2}vu_x(t)\right)&=&u_x(t)-v \\ \\ &\Leftrightarrow& u_x'(t')+v&=&u_x(t)\left(1+\frac{1}{c^2}vu'_x(t)\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& u_x(t)&=&\frac{u_x'(t')+v}{1+\frac{1}{c^2}vu'_x(t)} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} u &=& \frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}} \\ \\ &=& (u'+v)\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)^{-1} \\ \\ &\simeq& (u'+v)\left(1-\frac{u'v}{c^2}\right)&...&x\text{が小さいとき}(1+x)^n\sim 1+nx\text{と近似できるため} \\ \\ &=& u'+v-\frac{u'v}{c^2}u'+\frac{u'v}{c^2}v& \\ \\ &\simeq& u'+v-\frac{u'v}{c^2}u'&...&v^2\text{の項を小さいとみなすため} \\ \\ &=& u'+v-\frac{u'^2}{c^2}v& \\ \\ &=& \frac{c}{n}+v-\frac{\left(\frac{c}{n}\right)^2}{c^2}v& \\ \\ &=& \frac{c}{n}+v-\frac{1}{n^2}v& \\ \\ &=& \frac{c}{n}+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)v& \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\(\beta=\frac{v}{c}\)とする。式(1.13)より \begin{eqnarray} x'&=&\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ \\ &=&\frac{x-\frac{v}{c}ct}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=&\frac{x+i\beta ict}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ \Rightarrow x_1' &=& \frac{x_1+i\beta x_4}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}x_1+\frac{i\beta }{\sqrt{1-\beta^2}}x_4&...&(1) \\ \\ t'&=&\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ \\ &=&\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ \Leftrightarrow ict'&=&\frac{ict-i\frac{v}{c}x}{\sqrt{1-\beta^2}}&...&\text{両辺に}ic\text{をかけた} \\ \\ &=&\frac{ict-i\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}}& \\ \\ \Rightarrow x_4' &=& \frac{x_4-i\beta x_1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}x_4-\frac{i\beta }{\sqrt{1-\beta^2}}x_1&...&(2) \\ \\ \end{eqnarray} となり、(1)(2)から、(1.28)の\(x_1',x_4'\)が示された。

\begin{eqnarray} \tan\theta &=& \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ \\ &=& \frac{\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}} \\ \\ &=& i\beta \\ \\ \end{eqnarray}

\(\beta=\frac{v}{c}\)とする。式(1.13)より \begin{eqnarray} x'&=&\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ \\ &=&\frac{x-\frac{v}{c}ct}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=&\frac{x-\beta ct}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ \Rightarrow x_1' &=& \frac{x_1-\beta x_0}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}x_1-\frac{\beta }{\sqrt{1-\beta^2}}x_0&...&(1) \\ \\ t'&=&\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ \\ &=&\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ \Leftrightarrow ct'&=&\frac{ct-\frac{v}{c}x}{\sqrt{1-\beta^2}}&...&\text{両辺に}c\text{をかけた} \\ \\ &=&\frac{ct-\beta x}{\sqrt{1-\beta^2}}& \\ \\ \Rightarrow x_0' &=& \frac{x_0-\beta x_1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}x_0-\frac{\beta }{\sqrt{1-\beta^2}}x_1&...&(2) \\ \\ \end{eqnarray} となり、(1)(2)から、(1.28)の\(x_1',x_4'\)が示された。

図(1.4)より、\((x_1,x_0)\)の座標系から見ると原点Oと点Qの\(x_0(=ct)\)成分は明らかに異なることから、同時刻ではないことがわかる。
一方で、\((x_1',x_0')\)の座標系から見ると、原点Oも点Qも\(x_0'=0(=ct')\)であることから、同時刻であると言える。

K'系における棒は、(K系から見たときの)原点Oから図1.6の\(b'\)(双曲線Cとの交点)までの長さを持つと仮定する。この時、直線\(Ob'\)は \begin{eqnarray} x_0=\beta x_1 \end{eqnarray} と書くことができる。\(x_0,x_1\)ともに正の値を持つときの双曲線Cとの交点を求めると \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_0^2-x_1^2&=&-1\\ x_0&=&\beta x_1 \end{array} \right. \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} (x_0,x_1)=(\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}) \end{eqnarray} が得られる。ここで、棒をK系から観測したときの長さは、\(b'\)を通り\(x_0'\)軸と平行な線と\(x_1\)軸の交点\(b''\)と原点Oとの間の距離になる(こちらの解説などを参考)。
そこで、点\(b''\)の座標を求めると、点\(b'\)は\((x_0,x_1)=(\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}})\)で、\(x_0'\)に平行な直線の傾きは\(\frac{1}{\beta}\)であることから、 \begin{eqnarray} x_0&=&\frac{1}{\beta}\left(x_1-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right)+\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} &...&b'\text{を通り、}x_0'\text{軸に平行な直線の方程式}\\ \\ 0&=&\frac{1}{\beta}\left(b''_x-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right)+\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} &...&x_1=b''_x\text{のとき}x_0=0\text{を求める}\\ \\ 0&=&b''_x-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{\beta^2}{\sqrt{1-\beta^2}} &\\ \\ b''_x&=&\frac{1-\beta^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\\ \\ &=&\sqrt{1-\beta^2} \end{eqnarray} が得られる。ここで、p.361よりLorentz変換によって図1.3の\(\overline{OQ},\overline{OP}\)から\(\overline{OQ'},\overline{OP'}\)に変換されていることに着目する。
\(x_1'\)軸と双曲線Cとの交点は、Lorentz変換によって\(x_1\)と双曲線Cとの交点、つまり\((x_0,x_1)=(0,1)\)に変換されるはずである。しかし、棒の\(x_1\)座標は\(\sqrt{1-\beta^2}\)であることから、1より小さい。
従って、K'系の長さ1の棒はK系の座標から見ると長さが縮んでいることが分かった。
他に示し方はあると思う。

p.367下部の式(2.4)の変形の最後の式に、式(2.2)の \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)&=&\rho_e(\boldsymbol{x},t) \\ \\ \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)&=&\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x},t) \end{eqnarray} を代入することで \begin{eqnarray} \text{div}'\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\rho_e'(\boldsymbol{x},t)&=&0 \\ \\ \Leftrightarrow\text{div}'\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)&=&\rho_e'(\boldsymbol{x},t) \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

p.369中段の式(2.9)の変形の最後の式に、式(2.2)の \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)&=&0 \\ \\ \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)&=&-\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \end{eqnarray} を代入することで得られる。

式(2.15)より、\(\boldsymbol{v}=(0,0,v)\)であることから \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)&=&\mu(\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{cccc} B_x \\ B_y+\frac{1}{c^2}vE_z \\ B_z-\frac{1}{c^2}vE_y \end{array} \right) &=& \mu\left( \begin{array}{cccc} H_x \\ H_y+vD_z \\ H_z-vD_y \end{array} \right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{cccc} B_x \\ B_y+\frac{1}{c}\frac{v}{c}E_z \\ B_z-\frac{1}{c}\frac{v}{c}E_y \end{array} \right) &=& \mu\left( \begin{array}{cccc} H_x \\ H_y+c\frac{v}{c}D_z \\ H_z-c\frac{v}{c}D_y \end{array} \right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{cccc} B_x \\ B_y+\frac{1}{c}\beta E_z \\ B_z-\frac{1}{c}\beta E_y \end{array} \right) &=& \mu\left( \begin{array}{cccc} H_x \\ H_y+c\beta D_z \\ H_z-c\beta D_y \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} であることが示せる。また、式(2.16)について \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}',t')&=&\varepsilon\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{x}',t') \\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{cccc} D_x \\ \frac{D_y-\frac{\beta}{c}H_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \frac{D_z+\frac{\beta}{c}H_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{array} \right) &=& \varepsilon\left( \begin{array}{cccc} E_x \\ \frac{E_y-vB_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \frac{E_z+vB_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{array} \right) &...&\text{式(2.5)(2.10)より}\\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{cccc} D_x \\ D_y-\frac{\beta}{c}H_z \\ D_z-\frac{\beta}{c}H_y \end{array} \right) &=& \varepsilon\left( \begin{array}{cccc} E_x \\ E_y-vB_z \\ E_z+vB_y \end{array} \right) &...&\text{x,y,zはそれぞれ独立なので、y成分同士、z成分同士}\\&&&&&&\text{の共通項}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\text{で割った。} \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{cccc} D_x \\ D_y-\frac{1}{c^2}vH_z \\ D_z+\frac{1}{c^2}vH_y \end{array} \right) &=& \varepsilon\left( \begin{array}{cccc} E_x \\ E_y-vB_z \\ E_z+vB_y \end{array} \right) &\\ \\ &\Leftrightarrow& \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+ \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ -\frac{1}{c^2}vH_z \\ \frac{1}{c^2}vH_y \end{array} \right) &=& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+ \varepsilon\left( \begin{array}{cccc} 0 \\ -vB_z \\ vB_y \end{array} \right) &\\ \\ &\Leftrightarrow& \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t) &=& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)&...&\boldsymbol{v}=(0,0,v)\text{より} \end{eqnarray} が得られる。

式(3.3)に式(3.2)を代入すると \begin{eqnarray} x_{\mu}'x_{\mu}' &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\mu\nu}x_{\nu}\sum_{\rho=1}^4a_{\mu\rho}x_{\rho} \\ \\ &=& (a_{\mu1}x_{1}+a_{\mu2}x_{2}+a_{\mu3}x_{3}+a_{\mu4}x_{4})(a_{\mu1}x_{1}+a_{\mu2}x_{2}+a_{\mu3}x_{3}+a_{\mu4}x_{4})\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\mu=1}^4(a_{\mu1}x_{1}+a_{\mu2}x_{2}+a_{\mu3}x_{3}+a_{\mu4}x_{4})(a_{\mu1}x_{1}+a_{\mu2}x_{2}+a_{\mu3}x_{3}+a_{\mu4}x_{4})&...&(1)\\ \\ \end{eqnarray} となる。式(3.3)の右辺は \begin{eqnarray} x_{\nu}x_{\nu} &=& \displaystyle\sum_{\nu}^4x_{\nu}x_{\nu} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu}^4x_{\nu}^2 \\ \\ &=& x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{4}^2&...&(2) \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。(1)の\(x_i^2\)\((i=1\sim 4)\)の係数は(2)の\(x_i^2\)の係数と同じで\(1\)になることから、 \begin{eqnarray} 1 &=& \displaystyle\sum_{\mu}a_{\mu i}^2 \\ \\ &=& a_{1i}^2+a_{2i}^2+a_{3i}^2+a_{4i}^2 \\ \\ \end{eqnarray} となり、式(3.4)を満たしている(\(\nu=\rho\)になっている)。
一方で、(1)の\(x_ix_j(i\neq j)\)の係数は\(0\)であることから、 \begin{eqnarray} 0 &=& 2\displaystyle\sum_{\mu}a_{\mu i}a_{\mu j} \\ \\ &=& 2(a_{1 i}a_{1 j}+a_{2 i}a_{2 j}+a_{3 i}a_{3 j}+a_{4 i}a_{4 j}) \end{eqnarray} が得られ、こちらも式(3.4)を満たしている(\(\nu\neq \rho\)になっている)。

\begin{eqnarray} a_{\mu\rho}x_{\mu}' &=& a_{\mu\rho}\displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\mu\nu}x_{\nu}&...&\text{式(3.2)より} \\ \\ &=& a_{\mu\rho}a_{\mu\nu}x_{\nu}&...&\text{p.373下、総和の記載ルールより} \\ \\ &=& \delta_{\nu\rho}x_{\nu}&...&\text{式(3.4)より} \\ \\ &=& x_{\rho}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} x_{\rho}x_{\rho} &=& a_{\mu\rho}x_{\mu}'a_{\nu\rho}x_{\nu}' &...&\text{式(3.5)より}\\ \\ &=& a_{\mu\rho}a_{\nu\rho}x_{\mu}'x_{\nu}' &\\ \\ &=& x_{\mu}'x_{\mu}' &...&(1)\text{式(3.3)より}x_{\rho}x_{\rho}=x_{\mu}'x_{\mu}'\\ \\ \end{eqnarray} となる。この最後の変形が成立するためには \begin{eqnarray} && a_{\mu\rho}a_{\nu\rho}x_{\mu}'x_{\nu}' \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\mu=0}^4a_{\mu\rho}a_{\nu\rho}x_{\mu}'x_{\nu}' \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\mu=0}^4(a_{\mu\rho}x_{\mu}')a_{\nu\rho}x_{\nu}' \\ \\ &=& (a_{1\rho}x_{1}'+a_{2\rho}x_{2}'+a_{3\rho}x_{3}'+a_{4\rho}x_{4}')a_{\nu\rho}'x_{\nu}' \\ \\ &=& (a_{1\rho}x_{1}'+a_{2\rho}x_{2}'+a_{3\rho}x_{3}'+a_{4\rho}x_{4}')\displaystyle\sum_{\nu=0}^4a_{\nu\rho}x_{\nu}' \\ \\ &=& (a_{1\rho}x_{1}'+a_{2\rho}x_{2}'+a_{3\rho}x_{3}'+a_{4\rho}x_{4}')(a_{1\rho}x_{1}'+a_{2\rho}x_{2}'+a_{3\rho}x_{3}'+a_{4\rho}x_{4}')&...&(2) \\ \\ &=& x_{\mu}'x_{\mu}'&...&\text{(1)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\mu=1}^4x_{\mu}'x_{\mu}'& \\ \\ &=& x_{1}'x_{1}'+x_{2}'x_{2}'+x_{3}'x_{3}'+x_{4}'x_{4}'&...&(3) \\ \\ \end{eqnarray} (2)(3)は等しいことから\(x_{i}'x_{i}'\)の係数を比較すると \begin{eqnarray} 1&=&\displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{i\rho}a_{i\rho} \end{eqnarray} であるから、\(a_{\mu\rho}a_{\nu\rho}=\delta_{\mu\nu}\)によって満たされる。また、\(x_i'x_j'(i\neq j)\)の係数を比較すると \begin{eqnarray} 0&=&2\displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{i\rho}a_{j\rho} \\ \\ \displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{i\rho}a_{j\rho}&=&0\\ \\ \end{eqnarray} であることから、こちらも\(a_{\mu\rho}a_{\nu\rho}=\delta_{\mu\nu}\)によって満たされる。

一例を出すと \begin{eqnarray} a_{\mu1}a_{\mu1} &=& \displaystyle\sum_{\mu=1}^4a_{\mu1}a_{\mu1} \\ \\ &=& a_{11}a_{11}+a_{21}a_{21}+a_{31}a_{31}+a_{41}a_{41} \\ \\ &=& \frac{1}{1-\beta^2}+0+0+\frac{-\beta^2}{1-\beta^2} \\ \\ &=& 1 \\ \\ a_{4\rho}a_{4\rho} &=& \displaystyle\sum_{\rho}^4a_{4\rho}a_{4\rho} \\ \\ &=& a_{41}a_{41}+a_{42}a_{42}+a_{43}a_{43}+a_{44}a_{44} \\ \\ &=& \frac{-\beta^2}{1-\beta^2}+0+0+\frac{1}{1-\beta^2} \\ \\ &=& 1 \\ \\ a_{\mu1}a_{\mu4} &=& \displaystyle\sum_{\mu=1}^4a_{\mu1}a_{\mu4} \\ \\ &=& a_{11}a_{14}+a_{21}a_{24}+a_{31}a_{34}+a_{41}a_{44} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0+\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となる。

テンソル\(S\)の成分の種類は、\(\mu\nu\)が\(1,2,3,4\)をとることと、\(S_{\nu\mu}=S_{\mu\nu}\)であることから、\((\mu,\nu)\)(ただし\(\mu\geq\nu\))を満たす組み合わせの数と等しいことがわかる。
その数は、4種類のものから二種類を選ぶ方法と、1種類のものを選ぶ方法の和なので、\({}_4\text{C}_2+4=10\)種類となる。
反対称テンソルについては、\(A_{\mu\mu}=T_{\mu\mu}-T_{\mu\mu}=0\)であることから、対角成分は独立な成分とはならない。また、\(A_{\nu\mu}=-A_{\mu\nu}\)であることから、独立な成分の数は、\((\mu,\nu)\)(ただし\(\mu\gt\nu\))を満たす組み合わせの数と等しいことがわかる。
その数は、4種類のものから二種類を選ぶ方法と等しいため、\({}_4\text{C}_2=6\)種類 となる。

\begin{eqnarray} \frac{\partial B_{\mu}(x)}{\partial x_{\mu}} &=& \frac{\partial }{\partial x_{\mu}}(\displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\nu\mu}B_{\nu}'(x')) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\nu\mu}\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\mu}}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\nu\mu}\left(\displaystyle\sum_{\rho=1}^4\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\rho}'}\frac{\partial x_{\rho}'}{\partial x_{\mu}}\right)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\nu\mu}\left(\displaystyle\sum_{\rho=1}^4\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\rho}'}a_{\rho\mu}\right)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4a_{\nu\mu}a_{\rho\mu}\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\rho}'}&...&\text{記法のルールより}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4\delta_{\nu\rho}\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\rho}'}&...&\text{式(3.7)より}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu,\rho=1}^4\delta_{\nu\rho}\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\rho}'}&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4\frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\nu}'}&...&\delta_{\nu\rho}\text{より}\rho=\nu\text{の項のみ残る。}\\ \\ &=& \frac{\partial B_{\nu}'(x')}{\partial x_{\nu}'}&...&\text{記法のルールより}\\ \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \frac{\partial T_{\mu\nu}(x)}{\partial x_{\nu}} &=& \frac{\partial }{\partial x_{\nu}}a_{\rho\mu}a_{\tau\nu}T_{\rho\tau}(x')&...&\text{式(3.14)より} \\ \\ &=& a_{\rho\mu}a_{\tau\nu}\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}T_{\rho\tau}(x)& \\ \\ &=& a_{\rho\mu}a_{\tau\nu}\left(\displaystyle\sum_{\beta=1}^4\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\beta}'}\frac{\partial x_{\beta}'}{\partial x_{\nu}}\right)& \\ \\ &=& a_{\rho\mu}a_{\tau\nu}\left(\displaystyle\sum_{\beta=1}^4a_{\beta\nu}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\beta}'}\right)& \\ \\ &=& a_{\rho\mu}a_{\tau\nu}a_{\beta\nu}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\beta}'}&...&\text{記法ルールより} \\ \\ &=& a_{\rho\mu}\delta_{\tau\beta}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\beta}'}&...&\text{式(3.7)より} \\ \\ &=& a_{\rho\mu}\displaystyle\sum_{\beta=1}^4\delta_{\tau\beta}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\beta}'}& \\ \\ &=& a_{\rho\mu}\displaystyle\sum_{\beta,\tau=1}^4\delta_{\tau\beta}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\beta}'}& \\ \\ &=& a_{\rho\mu}\displaystyle\sum_{\tau=1}^4\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\tau}'}&...&\text{Kronecherのデルタより}\beta=\tau\text{の項のみが残るので} \\ \\ &=& a_{\rho\mu}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\tau}'}&...&\text{記法ルールより} \\ \\ \end{eqnarray} となる。ここでこの計算の両辺に\(a_{\alpha\mu}\)をかけると \begin{eqnarray} a_{\alpha\mu}\frac{\partial T_{\mu\nu}(x)}{\partial x_{nu}} &=& a_{\alpha\mu}a_{\rho\mu}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\tau}'} \\ \\ &=& \delta_{\alpha\rho}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\tau}'} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\rho=1}^4\delta_{\alpha\rho}\frac{\partial T_{\rho\tau}(x')}{\partial x_{\tau}'} \\ \\ &=& \frac{\partial T_{\alpha\tau}(x')}{\partial x_{\tau}'}&...&\text{Kronecherのデルタより}\rho=\alpha\text{の項のみ残した}\\ \\ \end{eqnarray} よって式(3.19)が示された。

\begin{eqnarray} A'_{13} &=& a_{1\rho}a_{3\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{1\rho}\displaystyle\sum_{\tau=1}^4a_{3\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{1\rho}(a_{31}A_{\rho1}+a_{32}A_{\rho2}+a_{33}A_{\rho3}+a_{34}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{1\rho}a_{33}A_{\rho3} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{1\rho}a_{33}A_{\rho3} \\ \\ &=& a_{33}(a_{11}A_{13}+a_{12}A_{23}+a_{13}A_{33}+a_{14}A_{43}) \\ \\ &=& a_{33}(a_{11}A_{13}+a_{14}A_{43}) \\ \\ &=& a_{33}(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{13}+\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{43}) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{13}+\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{43} \\ \\ \\ A'_{14} &=& a_{1\rho}a_{4\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{1\rho}\displaystyle\sum_{\tau=1}^4a_{4\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{1\rho}(a_{41}A_{\rho1}+a_{42}A_{\rho2}+a_{43}A_{\rho3}+a_{44}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{1\rho}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho1}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho4}) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{1\rho}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho1}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{11}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{11}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{14})+a_{14}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{41}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{44}) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{11}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{14})+\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{41}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{44}) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{14}+\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{41} \\ \\ &=& \frac{1}{1-\beta^2}A_{14}+\frac{\beta^2}{1-\beta^2}A_{41} \\ \\ &=& \frac{1}{1-\beta^2}A_{14}-\frac{\beta^2}{1-\beta^2}A_{14} \\ \\ &=& A_{14} \\ \\ \\ A'_{23} &=& a_{2\rho}a_{3\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{2\rho}\displaystyle\sum_{\tau=1}^4a_{3\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{2\rho}a_{33}A_{\rho3} \\ \\ &=& a_{2\rho}A_{\rho3} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{2\rho}A_{\rho3} \\ \\ &=& a_{22}A_{23} \\ \\ &=& A_{23} \\ \\ \\ A'_{24} &=& a_{2\rho}a_{4\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{2\rho}\displaystyle\sum_{\tau=1}^4a_{4\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{2\rho}(a_{41}A_{\rho1}+a_{44}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{2\rho}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho1}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho4}) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{2\rho}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho1}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{22}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{21}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{24}) \\ \\ &=& \frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{21}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{24} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{24}+\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{21} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{24}+\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{12} \\ \\ \\ A'_{34} &=& a_{3\rho}a_{4\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{3\rho}\displaystyle\sum_{\tau=1}^4a_{4\tau}A_{\rho\tau} \\ \\ &=& a_{3\rho}(a_{41}A_{\rho1}+a_{44}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{3\rho}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho1}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho4}) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\rho=1}^4a_{3\rho}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho1}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{\rho4}) \\ \\ &=& a_{33}(\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{31}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{34}) \\ \\ &=& \frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{31}+\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{34} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{34}+\frac{-i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{31} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{34}+\frac{i\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}A_{13} \\ \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.38)上のそれぞれの成分を計算する。\(\beta=\frac{v}{c}\)として、 \begin{eqnarray} \text{式(3.38)上左辺} &=& H_{\mu\nu}w_{\nu} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} H_{11}w_1+H_{12}x_2+H_{13}w_3+H_{14}w_4 \\ H_{21}w_1+H_{22}x_2+H_{23}w_3+H_{24}w_4 \\ H_{31}w_1+H_{32}x_2+H_{33}w_3+H_{34}w_4 \\ H_{41}w_1+H_{42}x_2+H_{43}w_3+H_{44}w_4 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0+0+0-icD_x\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -H_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0-icD_y\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0-icD_z\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ icD_x\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0+0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{c^2D_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -H_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{c^2D_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{c^2D_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \frac{ivcD_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} となる。一方右辺は \begin{eqnarray} \text{式(3.38)上右辺} &=& c\varepsilon F_{\mu\nu}w_{\nu} \\ \\ &=& c\varepsilon\left( \begin{array}{cccc} F_{11}w_1+F_{12}x_2+F_{13}w_3+F_{14}w_4 \\ F_{21}w_1+F_{22}x_2+F_{23}w_3+F_{24}w_4 \\ F_{31}w_1+F_{32}x_2+F_{33}w_3+F_{34}w_4 \\ F_{41}w_1+F_{42}x_2+F_{43}w_3+F_{44}w_4 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& c\varepsilon\left( \begin{array}{cccc} 0+0+0-iE_x\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -cB_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0-iE_y\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ cB_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0-iE_z\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ iE_x\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+0+0+0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& c\varepsilon\left( \begin{array}{cccc} \frac{cE_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -cB_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{cE_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ cB_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{cE_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \frac{ivE_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} &&\left\{ \begin{array}{cccc} \frac{c^2D_x}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&c\varepsilon\frac{cE_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -H_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{c^2D_y}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&-c\varepsilon cB_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+c\varepsilon\frac{cE_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{c^2D_z}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&c\varepsilon cB_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+c\varepsilon\frac{cE_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \frac{ivcD_x}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&c\varepsilon\frac{ivE_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\{ \begin{array}{cccc} D_x&=&\varepsilon E_x \\ -H_z\frac{v/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{D_y}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&-\varepsilon B_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\varepsilon\frac{E_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_y\frac{v/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{D_z}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&c\varepsilon B_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\varepsilon\frac{E_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ D_x&=&\varepsilon E_x \\ \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\{ \begin{array}{cccc} D_x'&=&\varepsilon E_x' \\ -H_z\frac{\beta/c}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{D_y}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&-\varepsilon B_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\varepsilon\frac{E_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_y\frac{\beta/c}{\sqrt{1-\beta^2}}+\frac{D_z}{\sqrt{1-\beta^2}}&=&c\varepsilon B_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+\varepsilon\frac{E_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ D_x'&=&\varepsilon E_x' \\ \end{array} \right.&...&\text{式(2.5)より}\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\{ \begin{array}{cccc} D_x'&=&\varepsilon E_x' \\ D_y'&=&\varepsilon E_y' \\ D_z'&=&\varepsilon E_z' \\ D_x'&=&\varepsilon E_x' \\ \end{array} \right.&...&\text{式(2.5)より}\\ \\ \end{eqnarray} を示していることがわかる。
次に式(3.38)下の式について考える。\(\nu=\mu\)の時、 \begin{eqnarray} \text{式(3.38)下式左辺}F_{\mu\mu}w_{\rho}+F_{\mu\rho}w_{\mu}+F_{\rho\mu}w_{\mu} &=& F_{\mu\rho}w_{\mu}+F_{\rho\mu}w_{\mu}&...&\text{反対称なので}F_{\mu\mu}=0 \\ \\ &=& w_{\mu}(F_{\mu\rho}-F_{\mu\rho})&...&\text{反対称なので}F_{\rho\mu}=-F_{\mu\rho} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となる。右辺の\(H_{\mu\nu}\)も同様に反対称であるため、計算結果は\(0\)になり、式は満たされている。
次に\(\rho,\nu,\mu\)がそれぞれ異なるときを考える。この時三つの値が決まっていれば、どんな順番に割り振っても値は同じになる。これを利用して、ベクトル的な表現として、上から\((\rho,\nu,\mu)=(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)\)と割り振った時の値を計算する。 \begin{eqnarray} \text{式(3.38)下式左辺} &=& F_{\mu\nu}w_{\rho}+F_{\nu\rho}w_{\mu}+F_{\rho\mu}w_{\nu} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} F_{32}w_{1}+F_{21}w_{3}+F_{13}w_{2}...(\rho,\nu,\mu)=(1,2,3) \\ F_{42}w_{1}+F_{21}w_{4}+F_{14}w_{2}...(\rho,\nu,\mu)=(1,2,4) \\ F_{43}w_{1}+F_{31}w_{4}+F_{14}w_{3}...(\rho,\nu,\mu)=(1,3,4) \\ F_{43}w_{2}+F_{32}w_{4}+F_{24}w_{3}...(\rho,\nu,\mu)=(2,3,4) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} F_{32}\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ F_{42}\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+F_{21}\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ F_{43}\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+F_{31}\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ F_{32}\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -cB_x\frac{v}{\sqrt{ 1-\beta^2} } \\ iE_y\frac{ v}{\sqrt{ 1-\beta^2} }-cB_z\frac{ic}{\sqrt{ 1-\beta^2} } \\ iE_z\frac{ v}{\sqrt{ 1-\beta^2} }+cB_y\frac{ic}{\sqrt{ 1-\beta^2} } \\ -cB_x\frac{ ic}{\sqrt{ 1-\beta^2} } \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{-cvB_x}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ i\frac{vE_y-c^2B_z}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ i\frac{vE_z+c^2B_y}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ i\frac{-c^2B_x}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{-cvB_x'}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ -ic^2\frac{B_z-\frac{\beta}{c}E_y}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ ic^2\frac{B_y+\frac{\beta}{c}E_z}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ i\frac{-c^2B_x'}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ \end{array} \right)&...&\text{式(3.31)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{-cvB_x'}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ -ic^2B_z' \\ ic^2B_y' \\ i\frac{-c^2B_x'}{\sqrt{1-\beta^2} } \\ \end{array} \right)&...&\text{式(3.31)より} \\ \\ \\ \text{式(3.38)下式右辺} &=& c\mu(H_{\mu\nu}w_{\rho}+H_{\nu\rho}w_{\mu}+H_{\rho\mu}w_{\nu}) \\ \\ &=& c\mu\left( \begin{array}{cccc} H_{32}w_{1}+H_{21}w_{3}+H_{13}w_{2}...(\rho,\nu,\mu)=(1,2,3) \\ H_{42}w_{1}+H_{21}w_{4}+H_{14}w_{2}...(\rho,\nu,\mu)=(1,2,4) \\ H_{43}w_{1}+H_{31}w_{4}+H_{14}w_{3}...(\rho,\nu,\mu)=(1,3,4) \\ H_{43}w_{2}+H_{32}w_{4}+H_{24}w_{3}...(\rho,\nu,\mu)=(2,3,4) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& c\mu\left( \begin{array}{cccc} H_{32}\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_{42}\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+H_{21}\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_{43}\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+H_{31}\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ H_{32}\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& c\mu\left( \begin{array}{cccc} -H_x\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ icD_y\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}-H_z\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ icD_z\frac{v}{\sqrt{1-\beta^2}}+H_y\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -H_x\frac{ic}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& c\mu\left( \begin{array}{cccc} \frac{-vH_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ ic\frac{vD_y-H_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ ic\frac{vD_z+H_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ ic\frac{-H_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& c\mu\left( \begin{array}{cccc} \frac{-vH_x'}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -ic\frac{H_z-c\beta D_y}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ ic\frac{H_y+c\beta D_z}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ ic\frac{-H_x'}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right)&...&v=c\frac{v}{c}=c\beta\text{と式(3.27)より} \\ \\ &=& c\mu\left( \begin{array}{cccc} \frac{-vH_x'}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -icH_z' \\ icH_y' \\ ic\frac{-H_x'}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right)&...&\text{式(3.27)より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この両辺を比較して、
\begin{eqnarray} &&\left\{ \begin{array}{cccc} \frac{-cvB_x'}{\sqrt{1-\beta^2} }&=&c\mu\frac{-vH_x'}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ -ic^2B_z'&=& -c\mu icH_z' \\ ic^2B_y'&=& c\mu icH_y' \\ i\frac{-c^2B_x'}{\sqrt{1-\beta^2} }&=& c\mu ic\frac{-H_x'}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \end{array} \right. \\ \\ &\Leftrightarrow& \left\{ \begin{array}{cccc} B_x'&=&\mu H_x' \\ B_z'&=& \mu H_z' \\ B_y'&=& \mu H_y' \\ B_x'&=& \mu H_x'\\ \end{array} \right. \\ \\ \end{eqnarray} となり、\(\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}\)が表現されている。

\begin{eqnarray} c\varepsilon_0F_{\mu\nu} &=& c\varepsilon_0 \left( \begin{array}{cccc} 0 & cB_z & -cB_y & -iE_x \\ -cB_z & 0 & cB_x & -iE_y \\ cB_y & -cB_x & 0 & -iE_z \\ iE_x & iE_y & iE_z & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& c\varepsilon_0 \left( \begin{array}{cccc} 0 & c\mu_0H_z & -c\mu_0H_y & -\frac{1}{\varepsilon_0}iD_x \\ -c\mu_0H_z & 0 & c\mu_0H_x & -\frac{1}{\varepsilon_0}iD_y \\ c\mu_0H_y & -c\mu_0H_x & 0 & -\frac{1}{\varepsilon_0}iD_z \\ \frac{1}{\varepsilon_0}iD_x & \frac{1}{\varepsilon_0}iD_y & \frac{1}{\varepsilon_0}iD_z & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & c\varepsilon_0c\mu_0H_z & -c\varepsilon_0c\mu_0H_y & -\frac{c\varepsilon_0}{\varepsilon_0}iD_x \\ -c\varepsilon_0c\mu_0H_z & 0 & c\varepsilon_0c\mu_0H_x & -\frac{c\varepsilon_0}{\varepsilon_0}iD_y \\ c\varepsilon_0c\mu_0H_y & -c\varepsilon_0c\mu_0H_x & 0 & -\frac{c\varepsilon_0}{\varepsilon_0}iD_z \\ \frac{c\varepsilon_0}{\varepsilon_0}iD_x & \frac{c\varepsilon_0}{\varepsilon_0}iD_y & \frac{c\varepsilon_0}{\varepsilon_0}iD_z & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & H_z & -H_y & -icD_x \\ -H_z & 0 & H_x & -icD_y \\ H_y & -H_x & 0 & -icD_z \\ icD_x & icD_y & icD_z & 0 \end{array} \right)&...&\varepsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\text{より} \\ \\ &=& H_{\mu\nu} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} &&\frac{\partial F_{\mu\nu} }{\partial x_{ \rho} }+\frac{\partial F_{\nu\rho}}{\partial x_{ \mu} }+\frac{\partial F_{\rho\mu} }{\partial x_{ \nu} } \\ \\ &=& \frac{ \partial }{ \partial x_{ \rho} } \left( \frac{ \partial A_{ \nu}}{\partial x_{\mu} } -\frac{\partial A_{\mu} }{\partial x_{\nu} }\right)+\frac{\partial }{ \partial x_{ \mu} }\left(\frac{\partial A_{\rho} }{\partial x_{ \nu} }-\frac{\partial A_{\nu} }{\partial x_{\rho} } \right)+\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\left(\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{\rho} }-\frac{\partial A_{\rho} }{\partial x_{\mu} }\right) \\ \\ &=& \frac{ \partial }{ \partial x_{ \rho} } \frac{ \partial A_{ \nu}}{\partial x_{\mu} } -\frac{ \partial }{ \partial x_{ \rho} }\frac{\partial A_{\mu} }{\partial x_{\nu} }+\frac{\partial }{ \partial x_{ \mu} }\frac{\partial A_{\rho} }{\partial x_{ \nu} }-\frac{\partial }{ \partial x_{ \mu} }\frac{\partial A_{\nu} }{\partial x_{\rho} } +\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{\rho} }-\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\frac{\partial A_{\rho} }{\partial x_{\mu} } \\ \\ &=& \frac{ \partial }{\partial x_{\mu} } \frac{ \partial A_{ \nu}}{ \partial x_{ \rho} } -\frac{ \partial }{ \partial x_{\nu}}\frac{\partial A_{\mu} }{\partial x_{ \rho} }+\frac{\partial }{ \partial x_{ \nu} }\frac{\partial A_{\rho} }{\partial x_{ \mu} }-\frac{\partial }{ \partial x_{ \mu} }\frac{\partial A_{\nu} }{\partial x_{\rho} } +\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{\rho} }-\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\frac{\partial A_{\rho} }{\partial x_{\mu} }&...&\text{偏微分の順番を入れ替えた} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray}

式(3.42)の右辺の成分を考える。この際、独立した成分だけを考える。\((x_1,x_2,x_3,x_4)=x,y,z,ict\)を用いる(式(3.1)より\(x_4^2=c^2t^2\Rightarrow x_4=ict\))と \begin{eqnarray} \text{式(3.42)右辺} &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y} & \frac{\partial A_3}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial z} & \frac{\partial A_4}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial ict}\\ & 0 & \frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z} & \frac{\partial A_4}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial ict} \\ & & 0 & \frac{\partial A_4}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial ict} \\ & & & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y} & \frac{\partial A_3}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial z} & \frac{\partial A_4}{\partial x}-\frac{1}{ic}\frac{\partial A_1}{\partial t}\\ & 0 & \frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z} & \frac{\partial A_4}{\partial y}-\frac{1}{ic}\frac{\partial A_2}{\partial t} \\ & & 0 & \frac{\partial A_4}{\partial z}-\frac{1}{ic}\frac{\partial A_3}{\partial t} \\ & & & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & c\frac{\partial A_y}{\partial x}-c\frac{\partial A_x}{\partial y} & c\frac{\partial A_z}{\partial x}-c\frac{\partial A_x}{\partial z} & i\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{c}{ic}\frac{\partial A_x}{\partial t}\\ & 0 & c\frac{\partial A_z}{\partial y}-c\frac{\partial A_y}{\partial z} & i\frac{\partial \phi}{\partial y}-\frac{c}{ic}\frac{\partial A_y}{\partial t} \\ & & 0 & i\frac{\partial \phi}{\partial z}-\frac{c}{ic}\frac{\partial A_z}{\partial t} \\ & & & 0 \end{array} \right)&...&\text{式(3.43)を代入} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & cB_z & -cB_y & -i(-\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial t})\\ & 0 & cB_x & -i(-\frac{\partial \phi}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial t}) \\ & & 0 & -i(-\frac{\partial \phi}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial t}) \\ & & & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0 & cB_z & -cB_y & -iE_x\\ & 0 & cB_x & -iE_y \\ & & 0 & -iE_z \\ & & & 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \text{式(3.42)左辺} \end{eqnarray} より、式(3.43)と置いたものとして満たす。

\((x_1,x_2,x_3,x_4)=x,y,z,ict\)を用いる(式(3.1)より\(x_4^2=c^2t^2\Rightarrow x_4=ict\))と \begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x_{\nu}\partial x_{\nu}} &=& \displaystyle\sum_{\nu=1}^4\frac{\partial^2}{\partial x_{\nu}\partial x_{\nu}} \\ \\ &=& \frac{\partial^2}{\partial x_{1}\partial x_{1}}+\frac{\partial^2}{\partial x_{2}\partial x_{2}}+\frac{\partial^2}{\partial x_{3}\partial x_{3}}+\frac{\partial^2}{\partial x_{4}\partial x_{4}} \\ \\ &=& \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}+\frac{\partial^2}{(ic)^2\partial t^2} \\ \\ &=& \Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} &&\frac{\partial A_{\nu}'}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial A_{\mu}'}{\partial x_{\nu}} \\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x_{\mu}}\left(A_{\nu}+\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\nu}}\right)-\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\left(A_{\mu}+\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\mu}}\right) \\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x_{\mu}}A_{\nu}-\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}A_{\mu}+\frac{\partial }{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\nu}}-\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\mu}} \\ \\ &=& F_{\mu\nu}+\frac{\partial }{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\nu}}-\frac{\partial }{\partial x_{\mu}}\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\nu}} &...&\text{偏微分の順番を入れ替えた}\\ \\ &=& F_{\mu\nu}\\ \\ \\ &&\Box A_{\mu}'-\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(\frac{\partial A_{\nu}'}{\partial x_{\nu}}\right) \\ \\ &=& \Box \left(A_{\mu}+\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\mu}}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\left(A_{\nu}+\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\nu}}\right)\right) \\ \\ &=& \Box A_{\mu}-\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}A_{\nu}\right)+\Box\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\frac{\partial \lambda}{\partial x_{\nu}}\right) \\ \\ &=& -\frac{1}{c\varepsilon_0}j_{\mu}+\frac{\partial }{\partial x_{\mu}}\Box\lambda-\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(\Box\lambda\right)&...&\frac{\partial^2}{\partial x_{\nu}\partial x_{\nu}}=\Box\text{(式(3.44)より)の適用および、} \\&&&&\Box\text{と}\frac{\partial}{\partial x_{\nu}}\text{の偏微分の順番を入れ替えた} \\ &=& -\frac{1}{c\varepsilon_0}j_{\mu}&\\ \\ \end{eqnarray} より、式(3.42)(3.45)は式(3.46)のゲージ変換に対して不変である。

\(A_{\mu}^{(L)}\)は式(3.46)で示すゲージ変換であるから。

式(3.48)の上の2式は、式(3.42)(3.45)が式(3.46)のゲージ変換に対して不変であることの計算と同様である。3式目は \begin{eqnarray} \frac{\partial A_{\mu}^{(L)\prime}}{\partial x_\mu} &=& \frac{\partial }{\partial x_\mu}\left(A_{\mu}^{(L)}+\frac{\partial \chi}{\partial x_{\mu}}\right) \\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x_\mu}A_{\mu}^{(L)}+\frac{\partial }{\partial x_\mu}\frac{\partial \chi}{\partial x_{\mu}} \\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x_\mu}A_{\mu}^{(L)}+\Box \chi &...&\text{式(3.44)より}\\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x_\mu}A_{\mu}^{(L)}+0 &...&\text{ゲージ変換の要請(p.386下)より}\\ \\ &=& 0 &...&\text{式(3.48)の3式目より}\\ \\ \end{eqnarray} であることから、p.386下のゲージ変換に対して不変である。

\begin{eqnarray} T_{\nu\mu} &=& \varepsilon_0\left(F_{\nu\lambda}F_{\lambda\mu}+\frac{1}{4}\delta_{\nu\mu}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}\right) \\ \\ &=& \varepsilon_0\left((-F_{\lambda\nu})(-F_{\mu\lambda})+\frac{1}{4}\delta_{\mu\nu}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}\right)&...&F_{\nu\mu}\text{は反対称テンソルであり、Kronecherのデルタは対称であるから} \\ \\ &=& \varepsilon_0\left(F_{\lambda\nu}F_{\mu\lambda}+\frac{1}{4}\delta_{\mu\nu}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}\right)& \\ \\ &=& T_{\mu\nu}& \\ \\ \end{eqnarray} であることから対称テンソルである。

\begin{eqnarray} T_{\mu\mu} &=& \displaystyle\sum_{\mu=1}^4 T_{\mu\mu} \\ \\ &=& T_{11}+T_{22}+T_{33}+T_{44} \\ \\ &=& \varepsilon_0(F_{1\lambda}F_{\lambda 1}+\frac{1}{4}\delta_{11}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma})+\varepsilon_0(F_{2\lambda}F_{\lambda 2}+\frac{1}{4}\delta_{22}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma})+\varepsilon_0(F_{3\lambda}F_{\lambda 3}+\frac{1}{4}\delta_{33}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma})+\varepsilon_0(F_{4\lambda}F_{\lambda 4}+\frac{1}{4}\delta_{44}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}) \\ \\ &=& \varepsilon_0(F_{1\lambda}F_{\lambda 1}+F_{2\lambda}F_{\lambda 2}+F_{3\lambda}F_{\lambda 3}+F_{4\lambda}F_{\lambda 4})+\varepsilon_0(\frac{1}{4}\delta_{11}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}\delta_{22}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}\delta_{33}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}\delta_{44}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}) \\ \\ &=& \varepsilon_0\displaystyle\sum_{\sigma=1}^4F_{\sigma\lambda}F_{\lambda \sigma}+\varepsilon_0(\frac{1}{4}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}) \\ \\ &=& \varepsilon_0F_{\sigma\lambda}F_{\lambda \sigma}+\varepsilon_0F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}&...&\text{記法ルールによりまとめた} \\ \\ &=& -\varepsilon_0F_{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}+\varepsilon_0F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}&...&F_{\mu\nu}\text{は反対称テンソルであるため} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} &=& \displaystyle\sum_{\lambda=1}^4\sum_{\sigma=1}^4H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\lambda=1}^4(H_{\lambda1}F_{\lambda1}+H_{\lambda2}F_{\lambda2}+H_{\lambda3}F_{\lambda3}+H_{\lambda4}F_{\lambda4}) \\ \\ &=& H_{11}F_{11}+H_{12}F_{12}+H_{13}F_{13}+H_{14}F_{14} \\ && H_{21}F_{21}+H_{22}F_{22}+H_{23}F_{23}+H_{24}F_{24} \\ && H_{31}F_{31}+H_{32}F_{32}+H_{33}F_{33}+H_{34}F_{34} \\ && H_{41}F_{41}+H_{42}F_{42}+H_{43}F_{43}+H_{44}F_{44} \\ \\ &=& 0+H_zcB_z+(-H_y)(-cB_y)+(-icD_x)(-iE_x) \\ && (-H_z)(-cB_z)+0+H_xcB_x+(-iD_y)(-iE_y) \\ && H_ycB_y+(-H_x)(-cB_x)+0+(-iD_z)(-iE_z) \\ && icD_xiE_x+icD_yiE_y+icD_ziE_z+0 \\ \\ &=& c(2(H_xB_x+H_yB_y+H_zB_z)-2(D_xE_x+D_yE_y+D_zE_z)) \\ \\ &=& 2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) \\ \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} T_{44} &=& \frac{1}{c}\left(H_{4\lambda}F_{\lambda4}+\frac{1}{4}\delta_{44}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}\right)&...&\text{式(3.49)より} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(H_{4\lambda}F_{\lambda4}+\frac{1}{4}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(H_{4\lambda}F_{\lambda4}+\frac{1}{4}2c\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)\right)&...&\text{式(3.52)より} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(H_{41}F_{14}+H_{42}F_{24}+H_{43}F_{34}+H_{44}F_{44}+\frac{1}{4}2c\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(icD_x(-iE_x)+icD_y(-iE_y)+icD_z(-iE_z)+0+\frac{1}{4}2c\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(c(D_xE_x+D_yE_y+D_zE_z)+\frac{1}{4}2c\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(c\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}+\frac{1}{2}c\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)\right)& \\ \\ &=& \boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}\right)& \\ \\ \end{eqnarray}

ここでは\(T_{i4}\)の\(i\)は\(1,2,3\)を表し、それぞれ\(x,y,z\)成分に対応していると考えられる。 \begin{eqnarray} T_{i4} &=& \left( \begin{array}{cccc} T_{14} \\ T_{24} \\ T_{34} \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \varepsilon_0(F_{1\lambda}F_{\lambda4}+\frac{1}{4}\delta_{14}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}) \\ \varepsilon_0(F_{2\lambda}F_{\lambda4}+\frac{1}{4}\delta_{14}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}) \\ \varepsilon_0(F_{3\lambda}F_{\lambda4}+\frac{1}{4}\delta_{14}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \varepsilon_0(F_{1\lambda}F_{\lambda4}) \\ \varepsilon_0(F_{2\lambda}F_{\lambda4}) \\ \varepsilon_0(F_{3\lambda}F_{\lambda4}) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \varepsilon_0(F_{11}F_{14}+F_{12}F_{24}+F_{13}F_{34}+F_{14}F_{44}) \\ \varepsilon_0(F_{21}F_{14}+F_{22}F_{24}+F_{23}F_{34}+F_{24}F_{44}) \\ \varepsilon_0(F_{31}F_{14}+F_{32}F_{24}+F_{33}F_{34}+F_{34}F_{44}) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \varepsilon_0(0+cB_z(-iE_y)-cB_y(-iE_z)+0) \\ \varepsilon_0(-cB_z(-iE_x)+0+cB_x(-iE_z)+0) \\ \varepsilon_0(cB_y(-iE_x)-cB_x(-iE_y)+0+0) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} ic\mu_0\varepsilon_0(-H_zE_y+H_yE_z) \\ ic\mu_0\varepsilon_0(H_zE_x-H_xE_z) \\ ic\mu_0\varepsilon_0(-H_yE_x+H_xE_y) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -ic\frac{1}{c^2}(E_yH_z-E_zH_y) \\ -ic\frac{1}{c^2}(E_zH_x-E_xH_z) \\ -ic\frac{1}{c^2}(E_xH_y-E_yH_x) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& -\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H} \end{eqnarray}

ここでは\(T_{ij}\)の\(i,j\)は\(1,2,3\)を表し、それぞれ\(x,y,z\)成分に対応していると考えられる。\(i,j\)に対して対称テンソルであるので、\(i\leq j\)の成分のみ考える。 \begin{eqnarray} T_{ij} &=& \left( \begin{array}{cccc} T_{11}&T_{12}&T_{13} \\ &T_{22}&T_{23} \\ &&T_{33} \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{c}(H_{1\lambda}F_{\lambda1}+\frac{1}{4}\delta_{11}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} )&\frac{1}{c}(H_{1\lambda}F_{\lambda2}+\frac{1}{4}\delta_{12}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} )&\frac{1}{c}(H_{1\lambda}F_{\lambda3}+\frac{1}{4}\delta_{13}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} ) \\ &\frac{1}{c}(H_{2\lambda}F_{\lambda2}+\frac{1}{4}\delta_{22}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} )&\frac{1}{c}(H_{2\lambda}F_{\lambda3}+\frac{1}{4}\delta_{23}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} ) \\ &&\frac{1}{c}(H_{3\lambda}F_{\lambda3}+\frac{1}{4}\delta_{33}H_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} ) \end{array} \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{c}(H_{1\lambda}F_{\lambda1}+\frac{1}{4}\delta_{11}2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) )&\frac{1}{c}(H_{1\lambda}F_{\lambda2}+\frac{1}{4}\delta_{12}2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) )&\frac{1}{c}(F_{1\lambda}H_{\lambda3}+\frac{1}{4}\delta_{13}2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) ) \\ &\frac{1}{c}(H_{2\lambda}F_{\lambda2}+\frac{1}{4}\delta_{22}2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) )&\frac{1}{c}(H_{2\lambda}F_{\lambda3}+\frac{1}{4}\delta_{23}2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) ) \\ &&\frac{1}{c}(H_{3\lambda}F_{\lambda3}+\frac{1}{4}\delta_{33}2c(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) ) \end{array} \right)&...&\text{式(3.52)より} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left( \begin{array}{cccc} H_{1\lambda}F_{\lambda1} &H_{1\lambda}F_{\lambda2} &F_{1\lambda}H_{\lambda3} \\ &H_{2\lambda}F_{\lambda2} &H_{2\lambda}F_{\lambda3} \\ &&H_{3\lambda}F_{\lambda3} \end{array} \right) + \frac{\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ &1&0 \\ &&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left( \begin{array}{cccc} 0-cH_zB_z-cH_yB_y+cD_xE_x &0+0+cH_yB_x+cD_xE_y &0+cH_zB_x+0+cD_xE_z \\ &-cH_zB_z+0-cH_xB_x+cD_yE_y &cH_zB_y+0+0+cD_yE_z \\ &&-cH_yB_y-cH_xB_x+0+cD_zE_z \end{array} \right) + \frac{\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ &1&0 \\ &&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -H_zB_z-H_yB_y+D_xE_x &H_yB_x+D_xE_y &H_zB_x+D_xE_z \\ &-H_zB_z-H_xB_x+D_yE_y &H_zB_y+D_yE_z \\ &&-H_yB_y-H_xB_x+D_zE_z \end{array} \right) + \frac{\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ &1&0 \\ &&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} H_xB_x-H_xB_x-H_zB_z-H_yB_y+D_xE_x &H_yB_x+D_xE_y &H_zB_x+D_xE_z \\ &H_yB_y-H_yB_y-H_zB_z-H_xB_x+D_yE_y &H_zB_y+D_yE_z \\ &&H_zB_z-H_zB_z-H_yB_y-H_xB_x+D_zE_z \end{array} \right) + \frac{\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ &1&0 \\ &&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} H_xB_x-\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}+D_xE_x &H_yB_x+D_xE_y &H_zB_x+D_xE_z \\ &H_yB_y-\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}+D_yE_y &H_zB_y+D_yE_z \\ &&H_zB_z-\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}+D_zE_z \end{array} \right) + \frac{\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ &1&0 \\ &&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} H_xB_x+D_xE_x &H_yB_x+D_xE_y &H_zB_x+D_xE_z \\ &H_yB_y+D_yE_y &H_zB_y+D_yE_z \\ &&H_zB_z+D_zE_z \end{array} \right) + \frac{-\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ &1&0 \\ &&1 \end{array} \right)&...&\text{対角成分のみ}\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}\text{が引かれている。} \\ &&&&\text{二項目は対角成分なのでそこから引くように直した} \\ &=& B_{i}H_{j}+D_{i}E_{j}-\frac{1}{2}\delta_{ij}(\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) \\ \\ &=& (D_{i}E_{j}-\frac{1}{2}\delta_{ij}\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E})+(B_{i}H_{j}-\frac{1}{2}\delta_{ij}\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}) \\ \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x_{nu}} &=& \varepsilon_0\frac{\partial }{\partial x_{\nu}}\left(F_{\mu\lambda}F_{\lambda\nu}+\frac{1}{4}\delta_{\mu\nu}F_{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma}\right) \\ \\ &=& \varepsilon_0\left(\frac{\partial F_{\mu\lambda}}{\partial x_{\nu}}F_{\lambda\nu}+F_{\mu\lambda}\frac{\partial F_{\lambda\nu}}{\partial x_{\nu}}+\frac{1}{4}\delta_{\mu\nu}\frac{\partial F_{\lambda\sigma}}{\partial x_{\nu}}F_{\lambda\sigma}+\frac{1}{4}\delta_{\mu\nu}F_{\lambda\sigma}\frac{\partial F_{\lambda\sigma}}{\partial x_{\nu}}\right) \\ \\ &=& \varepsilon_0\left(\frac{\partial F_{\mu\lambda}}{\partial x_{\nu}}F_{\lambda\nu}+F_{\mu\lambda}\frac{\partial F_{\lambda\nu}}{\partial x_{\nu}}+\frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\frac{\partial F_{\lambda\sigma}}{\partial x_{\nu}}F_{\lambda\sigma}\right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\frac{\partial F_{\mu\lambda}}{\partial x_{\nu}}F_{\lambda\nu}\)において、\(\nu\)と\(\lambda\)を入れ替えることで\(\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_{\lambda}}F_{\nu\lambda}\)を得られる。 次に、\(F_{\mu\nu}\)が反対称性を持つことを利用して、 \begin{eqnarray} \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_{\lambda}}F_{\nu\lambda} &=& \frac{\partial (-F_{\nu\mu})}{\partial x_{\lambda}}(-F_{\lambda\nu}) \\ \\ &=& \frac{\partial F_{\nu\mu}}{\partial x_{\lambda}}F_{\lambda\nu} \\ \\ \end{eqnarray} となることから、\(\frac{\partial F_{\mu\lambda}}{\partial x_{\nu}}F_{\lambda\nu}=\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_{\lambda}}F_{\nu\lambda}=\frac{\partial F_{\nu\mu}}{\partial x_{\lambda}}F_{\lambda\nu}\)になる。

\((x_1,x_2,x_3,x_4)=(x,y,z,ict)\)を用いる。 \begin{eqnarray} \text{式(3.57)左辺} &=& \frac{\partial}{\partial x_{\nu}}T_{4\nu} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial x_{1}}T_{41}+\frac{\partial}{\partial x_{2}}T_{42}+\frac{\partial}{\partial x_{3}}T_{43}+\frac{\partial}{\partial x_{4}}T_{44} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial x}T_{14}+\frac{\partial}{\partial y}T_{24}+\frac{\partial}{\partial z}T_{34}+\frac{\partial}{\partial ict}\frac{1}{2}(\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}+\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B})&...&\text{式(3.53)、}T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}\text{より} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)|_x+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)|_y+\frac{\partial}{\partial z}\left(-\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)|_z-\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2}(\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}+\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B})&...&\text{式(3.54)より}\\ \\ &=& \text{div}\left(-\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)-\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2}(\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}+\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B})&\\ \\ &=& -\frac{i}{c}\text{div}\boldsymbol{S}-\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}w&...&\text{p.52式(4.2)より} \\ \\ \\ \text{式(3.57)右辺} &=& \frac{1}{c}F_{4\lambda}j_{\lambda} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(F_{41}j_{1}+F_{42}j_{2}+F_{43}j_{3}+F_{44}j_{4}\right) \\ \\ &=& \frac{1}{c}\left(iE_xi_x+iE_yi_y+iE_zi_z+0ic\rho\right)&...&\text{式(3.21)(3.32)より} \\ \\ &=& \frac{i}{c}\left(E_xi_x+E_yi_y+E_zi_z\right)&...&\text{式(3.21)(3.32)より} \\ \\ &=& \frac{i}{c}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{i}&\\ \\ \\ \Leftrightarrow -\frac{i}{c}\text{div}\boldsymbol{S}-\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}w&=&\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{i} \\ \\ \Leftrightarrow -\text{div}\boldsymbol{S}-\frac{\partial}{\partial t}w&=&\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{i} \\ \\ \end{eqnarray} が導ける。

\begin{eqnarray} &&\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot m_i\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}&=&\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\left(e_i\boldsymbol{E}+e_i\dot{\boldsymbol{r}}_i\times\boldsymbol{B}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{2} m_i\frac{d}{dt}\dot{\boldsymbol{r}}^2&=&\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot e_i\boldsymbol{E}&...&\dot{\boldsymbol{r}}\times\boldsymbol{B}\text{は} \dot{\boldsymbol{r}}\text{と垂直であるため、内積が0}\\ \\ &\Leftrightarrow& e_i\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot \boldsymbol{E}&=&\frac{1}{2} m_i\frac{d}{dt}\dot{\boldsymbol{r}}^2\\ \\ \end{eqnarray} が導ける。

\begin{eqnarray} \text{式(3.57)左辺} &=& \frac{\partial T_{1\nu}}{\partial x_{\nu} } \\ \\ &=& \frac{\partial T_{11}}{\partial x_{1} }+\frac{\partial T_{12}}{\partial x_{2} }+\frac{\partial T_{13}}{\partial x_{3} }+\frac{\partial T_{14}}{\partial x_{4} } \\ \\ &=& \frac{\partial T_{11}}{\partial x }+\frac{\partial T_{12}}{\partial y }+\frac{\partial T_{13}}{\partial z }+\frac{\partial T_{14}}{\partial ict} \\ \\ &=& \text{div}\boldsymbol{T}_1+\frac{\partial}{\partial ict }(-\frac{i}{c}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}|_x)...(1) \\ \\ &=& \text{div}\boldsymbol{T}_1-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t }\boldsymbol{S}|_x \\ \\ \\ \text{式(3.57)右辺} &=& \frac{1}{c}F_{1\lambda}j_{\lambda} \\ \\ &=& \frac{1}{c}(F_{11}j_{1}+F_{12}j_{2}+F_{13}j_{3}+F_{14}j_{4}) \\ \\ &=& \frac{1}{c}(0i_x+cB_zi_y-cB_yi_z-iE_xic\rho) \\ \\ &=& B_zi_y-B_yi_z+E_x\rho \\ \\ &=& \boldsymbol{i}\times\boldsymbol{B}|_x+E_x\rho \\ \\ \\ \text{div}\boldsymbol{T}_1-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t }\boldsymbol{S}|_x&=&\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{B}|_x+E_x\rho \end{eqnarray} が導ける。ただし(1)で、\(\boldsymbol{T}_1=(T_{11},T_{12},T_{13})\)としている。これらを三次元に拡張すると \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{T}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t }\boldsymbol{S}=\boldsymbol{i}\times\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}\rho \end{eqnarray} が得られる。ただし、\(\boldsymbol{T}_i=(T_{i1},T_{i2},T_{i3}),\boldsymbol{T}=(\boldsymbol{T}_1,\boldsymbol{T}_2,\boldsymbol{T}_3)\)としている。

式(3.68)より、 \begin{eqnarray} \omega^{\prime} &=& \frac{\omega-c\beta k_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& \omega\frac{1-\frac{c}{\omega}\beta k_x}{\sqrt{1-\beta^2}} \\ \\ &=& \omega\frac{1-\frac{1}{|k|}\beta k_x}{\sqrt{1-\beta^2}}&...&\text{p.188式(2.4)より}\omega=c|k| \\ \\ &=& \omega\frac{1-\beta\cos\theta}{\sqrt{1-\beta^2}}&...&\cos\theta=\frac{k_x}{|k|}\text{とした} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(\omega^{\prime}=c|k^{\prime}|\)であることを利用すると \begin{eqnarray} \cos\theta^{\prime} &=& \frac{k_x^{\prime}}{|k^{\prime}|} \\ \\ &=& \frac{ck_x^{\prime} }{\omega^{\prime} } \\ \\ &=& c\frac{1}{\omega^{\prime} }\frac{k_x-\frac{ 1 }{c}\beta\omega}{\sqrt{1-\beta^2}}&...&\text{式(3.68)上より} \\ \\ &=& c\frac{1}{\omega^{\prime}}\omega\frac{\frac{k_x}{\omega}-\frac{1}{c}\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}& \\ \\ &=& c\frac{1}{\omega^{\prime}}\omega\frac{\frac{k_x}{c|k|}-\frac{1}{c}\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}&...&\omega=c|k| \\ \\ &=& c\frac{1}{\omega^{\prime}}\omega\frac{\frac{1}{c}\cos\theta-\frac{1}{c}\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}& \\ \\ &=& \frac{1}{\omega^{\prime}}\omega\frac{\cos\theta-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}& \\ \\ &=& \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\omega(1-\beta\cos\theta)}\omega\frac{\cos\theta-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}& \\ \\ &=& \frac{\cos\theta-\beta}{1-\beta\cos\theta}& \\ \\ \\ \tan\theta^{\prime} &=& \frac{\sin\theta^{\prime}}{\cos\theta^{\prime}} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta^{\prime}}}{\cos\theta^{\prime}} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{1-(\frac{\cos\theta-\beta}{1-\beta\cos\theta})^2}}{\frac{\cos\theta-\beta}{1-\beta\cos\theta}} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{(1-\beta\cos\theta)^2-(\cos\theta-\beta)^2}}{\cos\theta-\beta} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{(1-\beta^2)-(1-\beta^2)\cos^2}}{\cos\theta-\beta} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{(1-\beta^2)(1-\cos^2)}}{\cos\theta-\beta} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{(1-\beta^2)\sin^2\theta}}{\cos\theta-\beta} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{(1-\beta^2)}\sin\theta}{\cos\theta-\beta} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。