理論電磁気学の行間埋め　第10章

\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t) &=& \frac{\partial}{\partial t}F'(\boldsymbol{x}',t)+\frac{\partial}{\partial x'}F'(\boldsymbol{x}',t)\frac{\partial x'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial y'}F'(\boldsymbol{x}',t)\frac{\partial y'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z'}F'(\boldsymbol{x}',t)\frac{\partial z'}{\partial t} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial t}F'(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v}t,t)+\frac{\partial}{\partial x'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial x'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial y'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial y'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial z'}{\partial t} \\ \\ \Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial t}F'(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v}t,t) &=& \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{\partial}{\partial x'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial x'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial y'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial y'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial z'}{\partial t}\right) \end{eqnarray} が得られる。

式(1.4)の説明に「\(\overline{\boldsymbol{F}}\)は\(\boldsymbol{x}\)の関数としてかきなおしたことのよる関数系の変化を示す」と書かれているため、\(\overline{\boldsymbol{F}}\)には\(x',y',z'\)などが含まれない関数になっている。そのため、時間微分は \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v}t,t)=\frac{\partial}{\partial t}\overline{\boldsymbol{F}}(\boldsymbol{x},t;\boldsymbol{v}) \end{eqnarray} と書ける。また、式(1.5)より、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v}t,t)=\frac{\partial}{\partial t}\overline{\boldsymbol{F}}(\boldsymbol{x},t;\boldsymbol{v})=\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \end{eqnarray} となる。

\(\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)=(\frac{\partial x'}{\partial t},\frac{\partial y'}{\partial t},\frac{\partial z'}{\partial t})\)とすると 式(1.9)より \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}F'(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{v}t,t) &=& \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{\partial}{\partial x'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial x'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial y'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial y'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)\frac{\partial z'}{\partial t}\right) \\ \\ &=& \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{\partial}{\partial x'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)(-v_x)+\frac{\partial}{\partial y'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)(-v_y)+\frac{\partial}{\partial z'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)(-v_z)\right) \\ \\ &=& \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t)+\frac{\partial}{\partial x'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)v_x+\frac{\partial}{\partial y'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)v_y+\frac{\partial}{\partial z'}F'(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{v}t,t)v_z \\ \\ &=& \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t)+\frac{\partial}{\partial x}F(\boldsymbol{x},t)v_x+\frac{\partial}{\partial y}F(\boldsymbol{x},t)v_y+\frac{\partial}{\partial z}F(\boldsymbol{x},t)v_z\,\,...\text{式(1.7)(1.8)より} \\ \\ &=& \frac{d}{dt}F'(\boldsymbol{x}',t)+\text{grad}F(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{v}\\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t)+\text{grad}F(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{v}\,\,...\text{式(1.10)より}\\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t)+\nabla F(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{v}\\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial t}F(\boldsymbol{x},t)+\boldsymbol{v}\cdot \nabla F(\boldsymbol{x},t)\\ \\ \end{eqnarray} と書ける。

\begin{eqnarray} \left(v_x\frac{\partial B_y}{\partial y}-v_y\frac{\partial B_x}{\partial y}\right)-\left(v_z\frac{\partial B_x}{\partial z}-v_x\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)=\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})|_x \end{eqnarray} であることを示す。まず、p.449(7)(d)を用いると \begin{eqnarray} \text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) &=& \boldsymbol{v}\text{div}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\text{div}\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{B}\cdot\text{grad})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B} \\ \\ &=& \boldsymbol{v}0-\boldsymbol{B}\text{div}\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{B}\cdot\text{grad})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}...\text{式(1.21)より} \\ \\ &=& -\boldsymbol{B}0+(\boldsymbol{B}\cdot\text{grad})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}...\text{発散divは微分操作が含まれ、}\boldsymbol{v}\text{は定数であるため} \\ \\ &=& (\boldsymbol{B}\cdot\text{grad})0-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}...\text{勾配gradは微分操作が含まれ、}\boldsymbol{v}\text{は定数であるため} \\ \\ &=& -(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この\(x\)成分は \begin{eqnarray} -(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}|_x &=& -\left(v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z}\right)B_x \\ \\ &=& -v_x\frac{\partial}{\partial x}B_x-v_y\frac{\partial}{\partial y}B_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}B_x \\ \\ &=& -v_x\left(\frac{\partial}{\partial x}B_x+\frac{\partial}{\partial y}B_y+\frac{\partial}{\partial z}B_z-\frac{\partial}{\partial y}B_y-\frac{\partial}{\partial z}B_z\right)-v_y\frac{\partial}{\partial y}B_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}B_x \\ \\ &=& -v_x\left(\text{div}\boldsymbol{B}-\frac{\partial}{\partial y}B_y-\frac{\partial}{\partial z}B_z\right)-v_y\frac{\partial}{\partial y}B_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}B_x \\ \\ &=& -v_x\left(0-\frac{\partial}{\partial y}B_y-\frac{\partial}{\partial z}B_z\right)-v_y\frac{\partial}{\partial y}B_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}B_x \,\,...\text{式(1.21)より}\\ \\ &=& v_x\frac{\partial}{\partial y}B_y+v_x\frac{\partial}{\partial z}B_z-v_y\frac{\partial}{\partial y}B_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}B_x\\ \\ &=& \left(v_x\frac{\partial B_y}{\partial y}-v_y\frac{\partial B_x}{\partial y}\right)-\left(v_z\frac{\partial B_x}{\partial z}-v_x\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)\\ \\ \end{eqnarray} となることが確認された。

\begin{eqnarray} \left(v_x\frac{\partial D_y}{\partial y}-v_y\frac{\partial D_x}{\partial y}\right)-\left(v_z\frac{\partial D_x}{\partial z}-v_x\frac{\partial D_z}{\partial z}\right)=\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D})|_x \end{eqnarray} であることを示す。まず、p.449(7)(d)を用いると \begin{eqnarray} \text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D}) &=& \boldsymbol{v}\text{div}\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}\text{div}\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{D}\cdot\text{grad})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{D} \\ \\ &=& \boldsymbol{v}\text{div}\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}0+(\boldsymbol{D}\cdot\text{grad})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{D}...\text{発散divは微分操作が含まれ、}\boldsymbol{v}\text{は定数であるため} \\ \\ &=& \boldsymbol{v}\text{div}\boldsymbol{D}+(\boldsymbol{D}\cdot\text{grad})0-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{D}...\text{勾配gradは微分操作が含まれ、}\boldsymbol{v}\text{は定数であるため} \\ \\ &=& \boldsymbol{v}\text{div}\boldsymbol{D}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{D} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この\(x\)成分は \begin{eqnarray} \boldsymbol{v}\text{div}\boldsymbol{D}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{D}|_x &=& v_x\text{div}\boldsymbol{D}-\left(v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z}\right)D_x \\ \\ &=& v_x\text{div}\boldsymbol{D}-v_x\frac{\partial}{\partial x}D_x-v_y\frac{\partial}{\partial y}D_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}D_x \\ \\ &=& v_x\text{div}\boldsymbol{D}-v_x\left(\frac{\partial}{\partial x}D_x+\frac{\partial}{\partial y}D_y+\frac{\partial}{\partial z}D_z-\frac{\partial}{\partial y}D_y-\frac{\partial}{\partial z}D_z\right)-v_y\frac{\partial}{\partial y}D_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}D_x \\ \\ &=& v_x\text{div}\boldsymbol{D}-v_x\left(\text{div}\boldsymbol{D}-\frac{\partial}{\partial y}D_y-\frac{\partial}{\partial z}D_z\right)-v_y\frac{\partial}{\partial y}D_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}D_x \\ \\ &=& v_x\text{div}\boldsymbol{D}-v_x\text{div}\boldsymbol{D}-v_x\left(-\frac{\partial}{\partial y}D_y-\frac{\partial}{\partial z}D_z\right)-v_y\frac{\partial}{\partial y}D_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}D_x\\ \\ &=& v_x\frac{\partial}{\partial y}D_y+v_x\frac{\partial}{\partial z}D_z-v_y\frac{\partial}{\partial y}D_x-v_z\frac{\partial}{\partial z}D_x\\ \\ &=& \left(v_x\frac{\partial D_y}{\partial y}-v_y\frac{\partial D_x}{\partial y}\right)-\left(v_z\frac{\partial D_x}{\partial z}-v_x\frac{\partial D_z}{\partial z}\right)\\ \\ \end{eqnarray} となることが確認された。

回転座標系の運動方程式の導出として、こちらなど参考

式(3.1)の回転の中身を比較すると得られる。

変位電流\(\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\)、伝導電流\(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x},t)\)、対流電流\(\rho_e(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{v}\)がそれぞれ0であるときに、式(3.2)の回転の中身を比較すると得られる。

伝導電流\(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x},t)=0\)である。変位電流\(\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\)の中の電束密度\(\boldsymbol{D}\)は、円盤上の電荷密度\(\rho_e\)が時間変化しないことから、\(\rho_e=\nabla \boldsymbol{D}\)より、時間変化しない。従って、変位電流は0になる。 加えて、今回の実験では式(3.14)に用いているような分極\(\boldsymbol{P}\)は起きていないと考えられるため、\(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D})\)の項は0になる。式(3.2)からこれらを引き、残った式が式(3.15)になる。

\(\varepsilon=\varepsilon_0\)とすると式(3.10)は \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=& \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+(\varepsilon_0-\varepsilon_0)\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \\ \\ \end{eqnarray} となる。これは例えばp.185式(1.2)のような、真空中のMaxwell方程式と一致する。
次に、真空中であるため、\(\rho_e(\boldsymbol{x},t)=0,\boldsymbol{i}_e=0,\varepsilon=\varepsilon_0,\mu=\mu_0\)を考えると式(3.14)は \begin{eqnarray} \frac{1}{\mu_0}\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x},t))+0+0\boldsymbol{v} \\ \\ &=& \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{rot}(\boldsymbol{v}\times(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\varepsilon_0\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)))&...&\boldsymbol{D}=\boldsymbol{P}+\boldsymbol{E}\text{より} \\ \\ &=& \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{rot}(\boldsymbol{v}\times(\varepsilon_0\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)-\varepsilon_0\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t))) \\ \\ &=& \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これは例えばp.185式(1.1)のような、真空中のMaxwell方程式と一致する。

\(\varepsilon=\varepsilon_0\)とするとヘルツ方程式の式(3.9)は \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=& \varepsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\varepsilon_0\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ \end{eqnarray} となる。これは例えばp.185式(1.2)のような、真空中のMaxwell方程式と一致しない。
次に、真空中であるため、\(\rho_e(\boldsymbol{x},t)=0,\boldsymbol{i}_e=0,\varepsilon=\varepsilon_0,\mu=\mu_0\)を考えるとヘルツの方程式の式(3.2)は \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t))+0+0\boldsymbol{v} \\ \\ &=& \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t))& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これは例えばp.185式(1.1)のような、真空中のMaxwell方程式と一致しない。

式(4.4)に式(4.3)を代入した後、近似する。 \begin{eqnarray} t' &=& t-\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}) \\ \\ &=& t-\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t)) \\ \\ &=& t-\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}t) \\ \\ &=& t-\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')-\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}t) \\ \\ &=& t-\frac{1}{c}(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{x}')-(\beta^2t)&...&\boldsymbol{\beta}=\frac{\boldsymbol{v}}{c},\beta^2=\frac{v^2}{c^2}\text{とした} \\ \\ &\simeq& t-\frac{1}{c}(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{x}')&...&\beta^2\text{の項は十分小さいとして無視した} \\ \\ &=& t-\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} F(\boldsymbol{x},t) &=& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')) \\ \\ &=& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}(t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')),t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')) \\ \\ &=& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t'+\boldsymbol{v}\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'),t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')) \\ \\ &=& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t'+v\boldsymbol{e}_v\frac{1}{c^2}(v\boldsymbol{e}_v\cdot\boldsymbol{x}'),t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))&...&\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_v, |\boldsymbol{e}_v|=1\text{とした} \\ \\ &=& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t'+\boldsymbol{e}_v\frac{v^2}{c^2}(\boldsymbol{e}_v\cdot\boldsymbol{x}'),t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))& \\ \\ &\simeq& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t'+\boldsymbol{e}_v\frac{0}{c^2}(\boldsymbol{e}_v\cdot\boldsymbol{x}'),t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))&...&\beta=\frac{v}{c}\text{とし、}\beta^2\text{の項かは無視するため} \\ \\ &=& F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t',t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))& \\ \\ &=& \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})&...&\text{式(1.4)に即した変換} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)\)とする。 \begin{eqnarray} \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial x} &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t)}{\partial x} \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t)}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x} \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t)}{\partial x'}&...&\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t\text{より、}x=x'+v_xt\text{であるから}dx=dx' \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{\partial x'}&\\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{d x'}-\frac{\partial t'}{\partial x'}\frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{\partial t'}&...&(1)\\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{d x'}-\frac{\partial t'}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x'}\frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{\partial t'}&\\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{d x'}-1\cdot\frac{\partial t}{\partial x'}\frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{\partial t'}&...&t=t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{v})\text{より}dt=dt'\text{であるから}\\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{d x'}-\frac{\partial }{\partial x'}(t'+\frac{1}{c^2}(v_xx'+v_yy'+v_zz'))\frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{\partial t'}&\\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{d x'}-\frac{1}{c^2}v_x\frac{\partial F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t,t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}'))}{\partial t'}&\\ \\ &=& \frac{d \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})}{d x'}-\frac{1}{c^2}v_x\frac{\partial \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})}{\partial t'}&...&\text{式(4.12)より}\\ \\ &=& \frac{\partial \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})}{\partial x'}-\frac{1}{c^2}v_x\frac{\partial \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})}{\partial t'}&...&\overline{F}\text{は変数}\boldsymbol{x}',t'\text{で書かれた関数なので偏微分に置き換えられる。}\\ \\ &=& \frac{\partial {F}(\boldsymbol{x},t)}{\partial x'}-\frac{1}{c^2}v_x\frac{\partial {F}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}&...&\text{式(4.12)より}\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)\)とする。 \begin{eqnarray} \frac{d F(\boldsymbol{x},t)}{dt'} &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}+\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t'}+\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t'}+\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t'} \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}+\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial x}v_x+\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}v_y+\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial z}v_z&...&\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t\text{より、} \left( \begin{array}{cccc} x \\ y\\ z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} x'+v_xt \\ y'+v_yt \\ z'+v_zt\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}+v_x\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x'}+v_y\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y'}+v_z\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial z'}& \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}+v_x\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial x}+v_y\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}+v_z\frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial z}&...& \left( \begin{array}{cccc} x \\ y\\ z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} x'+v_xt \\ y'+v_yt \\ z'+v_zt\\ \end{array} \right)\text{より} \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}+(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad}') F(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}+(\boldsymbol{v}\cdot\nabla') F(\boldsymbol{x},t)...\text{(A)} \\ \\ \end{eqnarray} であることを利用すると \begin{eqnarray} \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t} \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}&...&t=t'+\frac{1}{c^2}(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{v})\text{より} \\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x},t)}{dt'}-(\boldsymbol{v}\cdot\nabla') F(\boldsymbol{x},t)&...&\text{(A)式より} \\ \\ &=& \frac{d F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t',t'+\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')}{dt'}-(\boldsymbol{v}\cdot\nabla') F(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{v}t',t'+\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{x}')&...&\text{式(4.12)より} \\ \\ &=& \frac{d \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})}{dt'}-(\boldsymbol{v}\cdot\nabla') \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})& \\ \\ &=& \frac{\partial \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})}{\partial t'}-(\boldsymbol{v}\cdot\nabla') \overline{F}(\boldsymbol{x}',t';\boldsymbol{v})&...&\overline{F}\text{は変数}\boldsymbol{x}',t'\text{で書かれた関数なので偏微分に置き換えられる。} \\ \\ &=& \frac{\partial F(\boldsymbol{x},t)}{\partial t'}-(\boldsymbol{v}\cdot\nabla') F(\boldsymbol{x},t)&...&\text{式(4.12)より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)\)とする。回転の\(x\)成分を求めると \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)|_x &=& \frac{\partial}{\partial y}E_z(\boldsymbol{x}',t)-\frac{\partial}{\partial z}E_y(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ &=& \left(\frac{\partial}{\partial y'}-\frac{1}{c^2}v_y\frac{\partial}{\partial t'}\right)E_z(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{\partial}{\partial z'}-\frac{1}{c^2}v_z\frac{\partial}{\partial t'}\right)E_y(\boldsymbol{x}',t)&...&\text{式(4.15)より} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial y'}E_z(\boldsymbol{x}',t)-\frac{\partial}{\partial z'}E_y(\boldsymbol{x}',t)-\frac{1}{c^2}\left[v_y\frac{\partial}{\partial t'}E_z(\boldsymbol{x}',t)-v_z\frac{\partial}{\partial t'}E_y(\boldsymbol{x}',t)\right]& \\ \\ &=& \text{rot'}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}',t)|_x-\left.\frac{1}{c^2}\left[\boldsymbol{v}\times\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t'}\right]\right|_x& \\ \\ &=& \text{rot'}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}',t)|_x-\left.\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t'}\left[\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}',t)\right]\right|_x&...&\boldsymbol{v}\text{は時間に依存しない定数であるため} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)\)とする。はじめに\(\text{rot}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\)を求める。 \begin{eqnarray} \text{rot}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) &=& \boldsymbol{v}\text{div}'\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\text{div}'\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{B}\cdot\text{grad})\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}&...&\text{p.449(7)(d)より} \\ \\ &=& \boldsymbol{v}\text{div}'\boldsymbol{B}-0+0-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}&...&\boldsymbol{v}\text{は定数であるため、微分操作をすると}0\text{になる。} \\ \\ &=& \boldsymbol{v}\text{div}'\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{v}\cdot\text{grad})\boldsymbol{B}&\\ \\ &=& \boldsymbol{v}\text{div}'\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}&...&(A) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これを利用して、 \begin{eqnarray} -\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& -\frac{\partial }{\partial t}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& -\left(\frac{\partial}{\partial t'}-\boldsymbol{v}\cdot\nabla'\right)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial t'}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)+\boldsymbol{v}\cdot\nabla'\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial t'}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)+\left(\boldsymbol{v}\cdot\text{div}'\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t))\right) \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial t'}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t))&...&\text{式(4.23)の仮定より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(4.22)の導出と同様に得られる。 \(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{v}=(v_x,v_y,v_z)\)とする。回転の\(x\)成分を求めると \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)|_x &=& \frac{\partial}{\partial y}H_z(\boldsymbol{x}',t)-\frac{\partial}{\partial z}H_y(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ &=& \left(\frac{\partial}{\partial y'}-\frac{1}{c^2}v_y\frac{\partial}{\partial t'}\right)H_z(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{\partial}{\partial z'}-\frac{1}{c^2}v_z\frac{\partial}{\partial t'}\right)H_y(\boldsymbol{x}',t)&...&\text{式(4.15)より} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial y'}H_z(\boldsymbol{x}',t)-\frac{\partial}{\partial z'}H_y(\boldsymbol{x}',t)-\frac{1}{c^2}\left[v_y\frac{\partial}{\partial t'}H_z(\boldsymbol{x}',t)-v_z\frac{\partial}{\partial t'}H_y(\boldsymbol{x}',t)\right]& \\ \\ &=& \text{rot'}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}',t)|_x-\left.\frac{1}{c^2}\left[\boldsymbol{v}\times\frac{\partial\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t'}\right]\right|_x& \\ \\ &=& \text{rot'}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}',t)|_x-\left.\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t'}\left[\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}',t)\right]\right|_x&...&\boldsymbol{v}\text{は時間に依存しない定数であるため} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(4.29)の2式目までは式(4.24)の導出と同様に得られる。 \begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& \frac{\partial}{\partial t'}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{v}\cdot\text{div}'\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\text{rot}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t))& \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial t'}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{v}\rho_e(\boldsymbol{x},t)+\text{rot}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t))&...&\text{式(4.30)の仮定より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

2,3行目から4行目への式変形の際に \begin{eqnarray} \text{div}'(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E}) &=& \boldsymbol{E}\text{rot}'\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}\text{rot}'\boldsymbol{E} &...&\text{p.449(7)(b)より} \\ \\ &=& -\boldsymbol{v}\text{rot}'\boldsymbol{E} &...&\boldsymbol{v}\text{は定数なので微分操作(回転)をすることで0になる} \\ \\ \boldsymbol{v}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E})&=&0&...&\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{E}\text{は}\boldsymbol{v}\text{と垂直であるため、内積が0になる。} \end{eqnarray} を適用することで得られる。

式(4.47)上の式に式(4.45)を代入する。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\varepsilon\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\varepsilon\boldsymbol{v}\times\mu_0\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x},t)\right]-\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)&...&\text{式(4.45)}を代入 \\ \\ &=& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\mu_0\varepsilon\boldsymbol{v}\times\left[\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x},t)\right]-\mu_0\varepsilon_0\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)& \\ \\ &=& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\mu_0(\varepsilon-\varepsilon_0)\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{v}\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x},t))& \\ \\ &\simeq& \varepsilon\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\mu_0(\varepsilon-\varepsilon_0)\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)&...&\boldsymbol{v}\times(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{P})\text{は}\boldsymbol{v}\text{の2次の項を持つため0にした} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

\begin{eqnarray} \Delta t &=& t_{/\!/}-t_{\perp} \\ \\ &=& \frac{2l}{\sqrt{c^2-v^2}}-\frac{2cl}{c^2-v^2} \\ \\ &=& \frac{2l}{c}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}-\frac{2l}{c}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1} \\ \\ &\simeq& \frac{2l}{c}\left(1-\frac{-1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right)-\frac{2l}{c}\left(1-(-1)\frac{v^2}{c^2}\right)&...&(1+x)^{n}\text{において}x\text{が小さいとき、}(1+x)^{n}\sim 1+nx \\ \\ &=& \frac{l}{c}\left(\frac{v}{c}\right)^2 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。