理論電磁気学の行間埋め　第９章

式(4.1)より、磁場による力は電荷の速度\(\boldsymbol{v}\)に比例している。加えて、磁場の大きさは電場の大きさの\(\frac{1}{c}\)であることから、電荷の速度が光速度より遅いとき、磁場による力は無視できる。

\begin{eqnarray} \frac{dP}{d\Omega} &=& \frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0c}\left(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{\beta}})\right)^2 \\ \\ \end{eqnarray} である。ここで、このエネルギー放出量と、その時間平均の間の関係としてはp.190のように、そのまま二乗するか絶対値をとって二乗して半分にするかという違いがある。これを適用することで、 \begin{eqnarray} \frac{d\overline{P}}{d\Omega} &=& \frac{1}{2}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0c}\left|\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{\beta}})\right|^2 \\ \\ &=& \frac{e^2}{32\pi^2\varepsilon_0c}\left|\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{\beta}})\right|^2 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(4.6)に式(4.7)を代入すると \begin{eqnarray} \frac{d\sigma_T}{d\Omega} &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^2}{c^4E_0^2}|\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\ddot{\boldsymbol{r}}(t))|^2 \\ \\ &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^2}{c^4E_0^2}|\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}e\frac{E_0}{m}e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)})|^2 \\ \\ &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^2}{c^4E_0^2}\left(e\frac{E_0}{m}\right)^2|\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)})|^2 \\ \\ &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^2}{c^4E_0^2}\left(e\frac{E_0}{m}\right)^2(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)}))(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}e^{-i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)}))&...&|A|^2=A\cdot A^*\text{より} \\ \\ &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^2}{c^4E_0^2}\left(e\frac{E_0}{m}\right)^2(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}))(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}))& \\ \\ &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^2}{c^4E_0^2}\left(e\frac{E_0}{m}\right)^2(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}))^2&...&\boldsymbol{n},\boldsymbol{e}\text{は実数であるため} \\ \\ &=& \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{e^4}{c^4m^2}(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}))^2& \\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{(4\pi\varepsilon_0c^2m)^2}\right)(\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}))^2& \\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c^2m}\right)^2(|\boldsymbol{n}|\cdot|(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e})|\sin\frac{\pi}{2})^2&...&\text{二乗しているので外積の項は大きさとして扱える。}\\&&&&\boldsymbol{n}\text{との外積をとったベクトルと}\boldsymbol{n}\text{の間の角度は}\frac{\pi}{2}\text{になることを利用した。} \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c^2m}\right)^2(|(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e})|)^2&...&|\boldsymbol{n}|=1\\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c^2m}\right)^2(|\boldsymbol{n}|\cdot |\boldsymbol{e}|\sin\Theta)^2&...&\boldsymbol{n},\boldsymbol{e}\text{がなす角を}\Theta\text{としている}\\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c^2m}\right)^2\sin^2\Theta&...&|\boldsymbol{n}|=|\boldsymbol{e}|=1\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

図(4.1)より、\(\boldsymbol{k}\)の方向を\(z\)方向、左下、右をそれぞれ\(x,y\)方向とする。\(\boldsymbol{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta),\boldsymbol{e}=(\sin\psi,\cos\psi,0)\)であるから、これを用いて計算する。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e} &=& \left( \begin{array}{cccc} \sin\theta\cos\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\theta \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{cccc} \cos\psi\\ \sin\psi\\ 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -\cos\theta\sin\psi\\ \cos\theta\cos\psi\\ \sin\theta\cos\phi\sin\psi-\sin\theta\sin\phi\cos\psi\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -\cos\theta\sin\psi\\ \cos\theta\cos\psi\\ -\sin\theta(\sin\phi\cos\psi-\cos\phi\sin\psi)\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -\cos\theta\sin\psi\\ \cos\theta\cos\psi\\ -\sin\theta\sin(\phi-\psi)\\ \end{array} \right) \\ \\ \boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}) &=& \left( \begin{array}{cccc} \sin\theta\cos\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\theta \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{cccc} -\cos\theta\sin\psi\\ \cos\theta\cos\psi\\ -\sin\theta\sin(\phi-\psi)\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -\sin\theta\sin\phi\sin\theta\sin(\phi-\psi)-\cos\theta\cos\theta\cos\psi \\ -\cos\theta\cos\theta\sin\psi+\sin\theta\cos\phi\sin\theta\sin(\phi-\psi)\\ \sin\theta\cos\phi\cos\theta\cos\psi+\sin\theta\sin\phi\cos\theta\sin\psi \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -\sin^2\theta\sin\phi\sin(\phi-\psi)-\cos^2\theta\cos\psi \\ -\cos^2\theta\sin\psi+\sin^2\theta\cos\phi\sin(\phi-\psi)\\ \sin\theta\cos\theta(\cos\phi\cos\psi+\sin\phi\sin\psi) \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -\sin^2\theta\sin\phi\sin(\phi-\psi)-\cos^2\theta\cos\psi \\ -\cos^2\theta\sin\psi+\sin^2\theta\cos\phi\sin(\phi-\psi)\\ \sin\theta\cos\theta\cos(\phi-\psi) \end{array} \right) \\ \\ (\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}))^2 &=& \left( \begin{array}{cccc} -\sin^2\theta\sin\phi\sin(\phi-\psi)-\cos^2\theta\cos\psi \\ -\cos^2\theta\sin\psi+\sin^2\theta\cos\phi\sin(\phi-\psi)\\ \sin\theta\cos\theta\cos(\phi-\psi) \end{array} \right) ^2 \\ \\ &=& (-\sin^2\theta\sin\phi\sin(\phi-\psi)-\cos^2\theta\cos\psi)^2+(-\cos^2\theta\sin\psi+\sin^2\theta\cos\phi\sin(\phi-\psi))^2+(\sin\theta\cos\theta\cos(\phi-\psi))^2 \\ \\ &=& \sin^4\theta(\sin^2\phi\sin^2(\phi-\psi)+\cos^2\phi\sin^2(\phi-\psi))+\cos^4\theta(\cos^2\psi+\sin^2\psi)+\sin^2\theta\cos^2\theta(\cos^2(\phi-\psi)+2\sin\phi\cos\psi\sin(\phi-\psi)-2\sin\psi\cos\phi\sin(\phi-\psi)) \\ \\ &=& \sin^4\theta\sin^2(\phi-\psi)(\sin^2\phi+\cos^2\phi)+\cos^4\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta(\cos^2(\phi-\psi)+2\sin(\phi-\psi)(\sin\phi\cos\psi-\sin\psi\cos\phi)) \\ \\ &=& \sin^4\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^4\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta(\cos^2(\phi-\psi)+2\sin(\phi-\psi)\sin(\phi-\psi)) \\ \\ &=& \sin^4\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^4\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta(\cos^2(\phi-\psi)+2\sin^2(\phi-\psi)) \\ \\ &=& \sin^4\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^4\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta(\cos^2(\phi-\psi)+\sin^2(\phi-\psi)+\sin^2(\phi-\psi)) \\ \\ &=& \sin^4\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^4\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta(1+\sin^2(\phi-\psi)) \\ \\ &=& \sin^4\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^4\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta\sin^2(\phi-\psi)+\sin^2\theta\cos^2\theta \\ \\ &=& \sin^2\theta(\sin^2\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^2\theta\sin^2(\phi-\psi))+\cos^2\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta) \\ \\ &=& \sin^2\theta\sin^2(\phi-\psi)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\cos^2\theta \\ \\ &=& \sin^2\theta\sin^2(\phi-\psi)+\cos^2\theta \\ \\ &=& \sin^2\theta(1-\cos^2(\phi-\psi))+\cos^2\theta \\ \\ &=& -\sin^2\theta\cos^2(\phi-\psi)+\sin^2\theta+\cos^2\theta \\ \\ &=& 1-\sin^2\theta\cos^2(\phi-\psi) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\sin^2\Theta &=& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi(1-\sin^2\theta\cos^2(\phi-\psi))\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\int_0^{2\pi}d\phi\cos^2(\phi-\psi)\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\int_0^{2\pi}d\phi\frac{1+\cos 2(\phi-\psi)}{2}\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\left[\frac{\phi+\frac{1}{2}\sin 2(\phi-\psi)}{2}\right]_0^{2\pi}\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\left[\frac{2\pi+\frac{1}{2}\sin 2(2\pi-\psi)}{2}-\frac{0+\frac{1}{2}\sin 2(0-\psi)}{2}\right]\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\left[\frac{2\pi+\frac{1}{2}\sin (4\pi-2\psi)}{2}-\frac{\frac{1}{2}\sin (-2\psi)}{2}\right]\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\left[\frac{2\pi+\frac{1}{2}\sin (4\pi-2\psi-4\pi)}{2}-\frac{\frac{1}{2}\sin (-2\psi)}{2}\right]\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\left[\frac{2\pi+\frac{1}{2}\sin (-2\psi)}{2}-\frac{\frac{1}{2}\sin (-2\psi)}{2}\right]\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(2\pi-\sin^2\theta\left[\frac{2\pi}{2}\right]\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(2-\sin^2\theta\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(2-(1-\cos^2\theta)\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(1+\cos^2\theta\right)\\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} \int d\Omega\frac{d\sigma_T}{d\Omega} &=& \int d\Omega\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\frac{1}{2}(1+\cos^2\theta) \\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}\sin\theta d\phi \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\frac{1}{2}(1+\cos^2\theta) \\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\frac{1}{2}\int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}\sin\theta d\phi (1+\cos^2\theta) \\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\frac{1}{2}2\pi\int_0^{\pi}d\theta\sin\theta (1+\cos^2\theta) \\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\int_0^{\pi}d\theta\sin\theta (1+\cos^2\theta) \\ \\ &=& -\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\int_0^{\pi}(-d\theta\sin\theta) (1+\cos^2\theta) \\ \\ &=& -\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\int_{1}^{-1}dx(1+x^2)&...&x=\cos\theta,dx=-\sin\theta d\theta\text{とした} \\ \\ &=& \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\int_{-1}^{1}dx(1+x^2)&...&\text{積分区間を入れ替えた} \\ \\ &=& 2\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\int_{0}^{1}dx(1+x^2)&...&\text{偶関数の積分であるため} \\ \\ &=& 2\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\left[x+\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}& \\ \\ &=& 2\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2\pi\left[1+\frac{1}{3}\right]& \\ \\ &=& \frac{8\pi}{3}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\right)^2& \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(4.18)と式(4.7)を比較すると\(-\frac{\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)}\)倍だけ異なることがわかる。この項は向きなどに依存しない項なので、散乱断面積は \begin{eqnarray} \left(-\frac{\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)}\right)^2 = \frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2} \end{eqnarray} 倍だけずれることになる。

p.300上の条件に従って近似する。 \begin{eqnarray} \sigma_R &=& \sigma_T\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2} \\ \\ &=& \sigma_T\frac{\omega^4}{\omega_0^4(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2})^2} \\ \\ &\sim& \sigma_T\frac{\omega^4}{\omega_0^4(1-0)^2} \\ \\ &=& \sigma_T\frac{\omega^4}{\omega_0^4} \\ \\ &=& \sigma_T\frac{(\frac{2\pi c}{\lambda})^4}{(\frac{2\pi c}{\lambda_0})^4} &...&c=\frac{\omega}{2\pi}\lambda\text{(fは振動数)より}\omega=\frac{2\pi c}{\lambda}\\ \\ &=& \sigma_T\frac{\lambda_0^4}{\lambda^4} &\\ \\ \end{eqnarray} と示される。

式(5.4)より \begin{eqnarray} \boldsymbol{K}(t) &=& \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\ddot{\boldsymbol{v}}(t) \\ \\ &=& \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\dddot{\boldsymbol{x}}(t) \\ \\ &=& \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{d^3}{dt^3}\boldsymbol{x}(t) \\ \\ \end{eqnarray} と書き直せるので、これを運動方程式に足すことで得られる。

式(5.6)の外力を\(0\)にして式(5.8)を代入する。 \begin{eqnarray} &&m\frac{d^2\boldsymbol{r}(t)}{dt^2}&=&\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{d^3\boldsymbol{r}(t)}{dt^3} \\ \\ &\Leftrightarrow& m\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt}&=&\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{d^2\boldsymbol{v}(t)}{dt^2} \\ \\ &\Rightarrow& m\frac{d}{dt}\dot{\boldsymbol{v}(0)}\exp\left(\frac{t}{T_0}\right)&=&\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{d^2}{dt^2}\dot{\boldsymbol{v}(0)}\exp\left(\frac{t}{T_0}\right) \\ \\ &\Rightarrow& \frac{m}{T_0}\dot{\boldsymbol{v}(0)}\exp\left(\frac{t}{T_0}\right)&=&\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{T_0^2}\dot{\boldsymbol{v}(0)}\exp\left(\frac{t}{T_0}\right) \\ \\ \end{eqnarray} この時、\(T_0=\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3m}\)と係数の解が存在するため、式(5.8)がこの方程式を満たすことがわかる。

式(5.20)を式(5.19)の右辺に代入すると \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\frac{\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}{c}\right)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\int_Vd^3x'\frac{\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}{c}\right)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right] \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\frac{\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t-\frac{R}{c}\right)}{R}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\int_Vd^3x'\frac{\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t-\frac{R}{c}\right)}{R}\right] \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\frac{1}{R}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t-\frac{R}{c}\right)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\int_Vd^3x'\frac{1}{R}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t-\frac{R}{c}\right)\right] \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\frac{1}{R}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^n\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\int_Vd^3x'\frac{1}{R}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^n\frac{\partial^n}{\partial t^n}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]&...&(5.20)\text{を代入} \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\frac{1}{R}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^n\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\frac{1}{R}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^n\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\frac{1}{c}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\frac{1}{c}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{1}{c}\left[\nabla\int_Vd^3x'\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{1}{c}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\nabla\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\left[\nabla\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\int_Vd^3x'\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\int_Vd^3x'\left[\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]&...&\nabla\text{は}\boldsymbol{x}\text{に対する演算子なので}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\text{には作用しない} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t) &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}'}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}}{|-\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)&...&\text{2項目において、}\boldsymbol{x}'\to\boldsymbol{x}\text{に置換した} \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^3}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)&...&\text{絶対値であるから、中身の正負は問わないためマイナスを付けた} \\ \\ &=& 0& \\ \\ \end{eqnarray} となり、0になる。

式(5.21)の右辺を変形する。 \begin{eqnarray} && \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{c^2}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\frac{1}{c^2}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+2}}{(n+2)!c}\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{(n+2)-1}\frac{\partial^{n+2}}{\partial t^{n+2}}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\frac{1}{c^2}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]&...&\text{スカラー・ポテンシァルの項を}n\to n+2\text{にした} \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!c}\frac 1{(n+1)(n+2)}\nabla\left(\frac{R}{c}\right)^{n+1}\frac{\partial^{n+2}}{\partial t^{n+2}}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c}\frac{1}{c^2}\left(\frac{R}{c}\right)^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!c^{n+2}}\frac 1{(n+1)(n+2)}\nabla{R}^{n+1}\frac{\partial^{n+2}}{\partial t^{n+2}}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!c^{n+2}}{R}^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!c^{n+2}}\int_Vd^3xd^3x'\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\frac 1{(n+1)(n+2)}\nabla{R}^{n+1}\frac{\partial^{n+2}}{\partial t^{n+2}}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+{R}^{n-1}\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!c^{n+2}}\int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\frac 1{(n+1)(n+2)}\frac{\nabla{R}^{n+1} }{R^{n-1} }\frac{\partial^{n+2}}{\partial t^{n+2}}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]&...&\nabla\text{は}\boldsymbol{x}\text{に対する演算子なので}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\text{には作用しない} \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!c^{n+2}}\int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\left[\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\nabla{R}^{n+1} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\frac{\partial^{n+2}}{\partial t^{n+2}}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \boldsymbol{F}_1-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!c^{n+2}}\int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\left[\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\nabla{R}^{n+1} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(5.22)の\(\boldsymbol{x}'\)に関する部分を抜き出して変形する。 \begin{eqnarray} && \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\left[\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\nabla{R}^{n+1} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\right]& \\ \\ &=& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}}\left[\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\frac{\nabla{R}^{n+1} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\right]& \\ \\ &\to& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\frac{\nabla{R}^{n+1} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\right]& \\ \\ \end{eqnarray} となる。各ベクトルの成分を\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{x}'=(x',y',z'),\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)=(i_{0x'},i_{0y'},i_{0z'})\)とする。 \begin{eqnarray} &&\int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\frac{\nabla{R}^{n+1} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\right]& \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\frac{(n+1)R^n\frac{\boldsymbol{R}}{R} }{(n+1)(n+2)R^{n-1} }\right]\,\,...(1) \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{\partial}{\partial t}\rho_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\frac{R^{n-1}\boldsymbol{R} }{(n+2)R^{n-1} }\right]& \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\text{div}'\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)\frac{R^{n-1}\boldsymbol{R} }{(n+2)R^{n-1} }\right]\,\,...\text{p.20式(6.1)などの電荷保存則より} \\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{1}{n+2 }\text{div}'\boldsymbol{i}_0\left(\boldsymbol{x}',t\right)R^{n-1}\boldsymbol{R}\right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{n+2}\boldsymbol{i}_0\cdot\nabla\left(R^{n-1}\boldsymbol{R}\right)\right]\,\,...(2)\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{n+2}(i_{0x'}\frac{\partial}{\partial x'}+i_{0y'}\frac{\partial}{\partial y'}+i_{0z'}\frac{\partial}{\partial z'})\left(R^{n-1}\boldsymbol{R} \right)\right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{n+2}(i_{0x'}\frac{\partial}{\partial x'}+i_{0y'}\frac{\partial}{\partial y'}+i_{0z'}\frac{\partial}{\partial z'}) \left( \begin{array}{cccc} R^{n-1}(x-x') \\ R^{n-1}(y-y') \\ R^{n-1}(z-z') \\ \end{array} \right) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)+\frac{1}{n+2} \left( \begin{array}{cccc} i_{0x'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(x-x')-R^{n-1})+i_{0y'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(x-x'))+i_{0z'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(x-x')) \\ i_{0x'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(y-y'))+i_{0y'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(y-y')-R^{n-1})+i_{0z'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(y-y')) \\ i_{0x'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(z-z'))+i_{0y'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(z-z'))+i_{0z'}(-(n-1)R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(z-z')-R^{n-1}) \\ \end{array} \right) \right]&\\ &&\,\,...(3)\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2} \left( \begin{array}{cccc} i_{0x'}(R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(x-x')+\frac{R^{n-1}}{n-1})+i_{0y'}(R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(x-x'))+i_{0z'}(R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(x-x')) \\ i_{0x'}(R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(y-y'))+i_{0y'}(R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(y-y')+\frac{R^{n-1}}{n-1})+i_{0z'}(R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(y-y')) \\ i_{0x'}(R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(z-z'))+i_{0y'}(R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(z-z'))+i_{0z'}(R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(z-z')+\frac{R^{n-1}}{n-1}) \\ \end{array} \right) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2} \left( \begin{array}{cccc} i_{0x'}(R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(x-x'))+i_{0y'}(R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(x-x'))+i_{0z'}(R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(x-x')) \\ i_{0x'}(R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(y-y'))+i_{0y'}(R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(y-y'))+i_{0z'}(R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(y-y')) \\ i_{0x'}(R^{n-2}\frac{x-x'}{R}(z-z'))+i_{0y'}(R^{n-2}\frac{y-y'}{R}(z-z'))+i_{0z'}(R^{n-2}\frac{z-z'}{R}(z-z')) \\ \end{array} \right) -\frac{R^{n-1}}{n+2} \left( \begin{array}{cccc} i_{0x'} \\ i_{0y'} \\ i_{0z'}\\ \end{array} \right) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2}R^{n-3} \left( \begin{array}{cccc} i_{0x'}((x-x')(x-x'))+i_{0y'}((y-y')(x-x'))+i_{0z'}((z-z')(x-x')) \\ i_{0x'}((x-x')(y-y'))+i_{0y'}((y-y')(y-y'))+i_{0z'}((z-z')(y-y')) \\ i_{0x'}((x-x')(z-z'))+i_{0y'}((y-y')(z-z'))+i_{0z'}((z-z')(z-z')) \\ \end{array} \right) -\frac{R^{n-1}}{n+2}\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2}R^{n-3} \left( \begin{array}{cccc} (x-x')(i_{0x'}(x-x')+i_{0y'}(y-y')+i_{0z'}(z-z')) \\ (y-y')(i_{0x'}(x-x')+i_{0y'}(y-y')+i_{0z'}(z-z')) \\ (z-z')(i_{0x'}(x-x')+i_{0y'}(y-y')+i_{0z'}(z-z')) \\ \end{array} \right) -\frac{R^{n-1}}{n+2}\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2}R^{n-3} \left( \begin{array}{cccc} (x-x')\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R} \\ (y-y')\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R} \\ (z-z')\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R} \\ \end{array} \right) -\frac{R^{n-1} }{n+2}\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2}R^{n-3}(\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R})\boldsymbol{R} -R^{n-1}\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2}\frac{(\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R})\boldsymbol{R}}{R^2} -\frac{1}{n+2}\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t) \right]&\\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\frac{n+1}{n+2}\boldsymbol{i}_{0x'}\left(\boldsymbol{x}',t\right)-\frac{n-1}{n+2}\frac{(\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R})\boldsymbol{R}}{R^2} \right]&\\ \\ \end{eqnarray} と導ける。

1. (1)\(\nabla R^{n+1}=(n+1)R^n\frac{\boldsymbol{R}}{R}\)を利用
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\(\boldsymbol{R}=(x-x',y-y',z-z'),R=|\boldsymbol{R}|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}\)を利用する。 \begin{eqnarray} \nabla R^{n+1} &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x}R^{n+1} \\ \frac{\partial}{\partial y}R^{n+1} \\ \frac{\partial}{\partial z}R^{n+1} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} (n+1)R^n\frac{\partial R}{\partial x} \\ (n+1)R^n\frac{\partial R}{\partial y} \\ (n+1)R^n\frac{\partial R}{\partial z} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& (n+1)R^n\left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ \frac{\partial}{\partial y}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ \frac{\partial}{\partial z}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& (n+1)R^n\left( \begin{array}{cccc} \frac{x-x'}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} } \\ \frac{y-y'}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} } \\ \frac{z-z'}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} } \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& (n+1)R^n\left( \begin{array}{cccc} \frac{x-x'}{R} \\ \frac{y-y'}{R} \\ \frac{z-z'}{R} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& (n+1)R^n\frac{\boldsymbol{R}}{R} \end{eqnarray}


2. (2)部分積分を利用
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\(x'\)成分に着目する。 \begin{eqnarray} && \text{div}'\cdot\left(\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\left[R^{n-1}(x-x')\right]\right) &=& \left[R^{n-1}(x-x')\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)+\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\cdot\text{grad}'\left[R^{n-1}(x-x')\right] \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_Vd^3x'\text{div}'\cdot\left(\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\left[R^{n-1}(x-x')\right]\right) &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}(x-x')\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)+\int_Vd^3x'\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\cdot\text{grad}'\left[R^{n-1}(x-x')\right] \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_S\left(\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\left[R^{n-1}(x-x')\right]\right)\cdot\boldsymbol{n}dS &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}(x-x')\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)+\int_Vd^3x'\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\cdot\text{grad}'\left[R^{n-1}(x-x')\right]&...\text{Gaussの定理より} \\ \\ &\Leftrightarrow& 0 &=& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}(x-x')\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)+\int_Vd^3x'\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\cdot\text{grad}'\left[R^{n-1}(x-x')\right]&...\text{表面において}\boldsymbol{i}_0=0\text{であるため積分の際は0になる。} \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}(x-x')\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t) &=& -\int_Vd^3x'\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t)\cdot\text{grad}'\left[R^{n-1}(x-x')\right]&\\ \\ && &=& -\int_Vd^3x'\left( \begin{array}{cccc} i_{0x'} \\ i_{0y'} \\ i_{0z'} \\ \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x'}\left[R^{n-1}(x-x')\right] \\ \frac{\partial}{\partial y'}\left[R^{n-1}(x-x')\right] \\ \frac{\partial}{\partial z'}\left[R^{n-1}(x-x')\right] \\ \end{array} \right)\\ \\ && &=& -\int_Vd^3x'\left( i_{0x'}\frac{\partial}{\partial x'}\left[R^{n-1}(x-x')\right]+ i_{0y'}\frac{\partial}{\partial y'}\left[R^{n-1}(x-x')\right]+ i_{0z'}\frac{\partial}{\partial z'}\left[R^{n-1}(x-x')\right] \right)\\ \\ && &=& -\int_Vd^3x'\left( i_{0x'}\frac{\partial}{\partial x'}+ i_{0y'}\frac{\partial}{\partial y'}+ i_{0z'}\frac{\partial}{\partial z'} \right)\left[R^{n-1}(x-x')\right]\\ \\ && &=& -\int_Vd^3x' \boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\nabla \left[R^{n-1}(x-x')\right]\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これらをそれぞれ\(x',y',z'\)成分を用いてベクトル表記をすると \begin{eqnarray} \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}(x-x')\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t) &=& -\int_Vd^3x' \boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\nabla \left[R^{n-1}(x-x')\right]\\ \\ \Rightarrow \int_Vd^3x'\left[R^{n-1}\boldsymbol{R}\right]\text{div}'\cdot\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}',t) &=& -\int_Vd^3x' \boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\nabla \left[R^{n-1}\boldsymbol{R}\right]\\ \\ \end{eqnarray} と変形できる。


3. (3)\(R\)と\((x-x')\)などが混ざった微分
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\(R^{n-1}\)の後ろにつく変数(\(x',y',z'\))が微分する変数と一致するかどうかで変わる。初めに同じ場合を計算すると \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x'}R^{n-1}(x-x') &=& (x-x')\frac{\partial}{\partial x'}R^{n-1}+R^{n-1}\frac{\partial}{\partial x'}(x-x') \\ \\ &=& (x-x')(n-1)R^{n-2}\frac{\partial R}{\partial x'}+R^{n-1}(-1) \\ \\ &=& (x-x')(n-1)R^{n-2}\frac{\partial }{\partial x'}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}-R^{n-1} \\ \\ &=& (x-x')(n-1)R^{n-2}\frac{-(x-x')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}-R^{n-1} \\ \\ &=& (x-x')(n-1)R^{n-2}\frac{-(x-x')}{R}-R^{n-1} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。次に異なる場合を計算すると \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x'}R^{n-1}(y-y') &=& (y-y')\frac{\partial}{\partial x'}R^{n-1}\\ \\ &=& (y-y')(n-1)R^{n-2}\frac{\partial R}{\partial x'} \\ \\ &=& (y-y')(n-1)R^{n-2}\frac{\partial }{\partial x'}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ \\ &=& (y-y')(n-1)R^{n-2}\frac{-(x-x')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} \\ \\ &=& (y-y')(n-1)R^{n-2}\frac{-(x-x')}{R} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。それぞれ\(x',y',z'\)の組み合わせについて適用して計算する。

\(\boldsymbol{R}=(R_x,R_y,R_z),\boldsymbol{v}_0(t)=(v_{0x},v_{0y},v_{0z})\)として式(5.23)の\(x\)成分を抜き出して変形する。その際に\(\boldsymbol{i}_0(\boldsymbol{x}',t)=\boldsymbol{v}_0(t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\)を代入すると \begin{eqnarray} && \left.\int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\left(\frac{n+1}{n+2}\right)\boldsymbol{v}_0(t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{n-1}{n-2}\right)\frac{(\boldsymbol{v}_0(t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R})}{R^2}\boldsymbol{R}\right]\right|_x \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\left[\left(\frac{n+1}{n+2}\right)v_{0x}(t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)-\left(\frac{n-1}{n-2}\right)\frac{(\boldsymbol{v}_0(t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\cdot\boldsymbol{R})}{R^2}R_x\right] \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\left[\left(\frac{n+1}{n+2}\right)v_{0x}(t)-\left(\frac{n-1}{n-2}\right)\frac{(\boldsymbol{v}_0(t)\cdot\boldsymbol{R})}{R^2}R_x\right] \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\left[\left(\frac{n+1}{n+2}\right)v_{0x}(t)-\left(\frac{n-1}{n-2}\right)\frac{v_{0x}R_x+v_{0y}R_y+v_{0z}R_z}{R^2}R_x\right] \\ \\ &=& \int_Vd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\left[\left(\frac{n+1}{n+2}-\frac{n-1}{n-2}\frac{R_x^2}{R^2}\right)v_{0x}(t)+\left(-\frac{n-1}{n-2}\frac{R_yR_x}{R^2}\right)v_{0y}(t)+\left(-\frac{n-1}{n-2}\frac{R_zR_x}{R^2}\right)v_{0z}(t)\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j}^{x,y,z}\int_Vd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\left[\left(\frac{n+1}{n+2}\delta_{x,j}-\frac{n-1}{n-2}\frac{R_xR_j}{R^2}\right)v_{0j}(t)\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j}^{x,y,z}\int_Vd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_{0j}(t)\left[\frac{n+1}{n+2}\delta_{x,j}-\frac{n-1}{n-2}\frac{R_xR_j}{R^2}\right] \\ \\ \Rightarrow (5.23)&=&\displaystyle\sum_{j}^{x,y,z}\int_Vd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_{0j}(t)\left[\frac{n+1}{n+2}\delta_{i,j}-\frac{n-1}{n-2}\frac{R_iR_j}{R^2}\right]\,\,...i=x,y,z\text{について一般的に書き直した} \\ \\ \end{eqnarray}

\(i\neq j\)の場合として\(i=x,j=y\)を考える。式(5.22)の積分部分で、\(R_xR_y\)を含む箇所を考えると \begin{eqnarray} (5.22)&\Rightarrow& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_xR_y}{R^2} \\ \\ &=& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_x(y-y')}{R^2} \\ \\ &=& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_xy}{R^2}-\int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_xy'}{R^2} \\ \\ &=& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_xy}{R^2}-\int_Vd^3x'd^3xR^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x}',t)\rho_0(\boldsymbol{x},t)v_y\frac{R_xy}{R^2}\,\,...y,y'\text{で積分区間が同じであり、}y'\to y\text{で積分の正負が変わらないため} \\ \\ &=& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_x(y-y)}{R^2} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} になる。次に\(i=j=x\)の時を考える。 \begin{eqnarray} (5.22)&\Rightarrow& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_xR_x}{R^2} \\ \\ &=& \int_Vd^3xd^3x'R^{n-1}\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)v_y\frac{R_x^2}{R^2} \\ \\ \end{eqnarray} ここで、剛体球としての電子に関する自己力を計算しているため、積分範囲は球になると考えられる。この時、\(x,y,z\)方向は対称的となることから、 \begin{eqnarray} R^2=R_x^2+R_y^2+R_z^2=R_x^2+R_x^2+R_x^2=3R_x^2 \end{eqnarray} と書けると言える。この時、\(R_x^2=\frac{1}{3}R^2\)となるから、上記とまとめると、 \begin{eqnarray} R_iR_j=\frac{1}{3}R^2\delta_{ij} \end{eqnarray} になる。
もっと良い説明があるかもしれない。要検討。

式(5.17)より、 \begin{eqnarray} W&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{2}\int_Vd^3xd^3x'\frac{\rho_0(\boldsymbol{x},t)\rho_0(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)\phi(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\int_Vd^3x\nabla\boldsymbol{D}_0(\boldsymbol{x},t)\phi(\boldsymbol{x},t) \,...\text{式(5.12)(p.304)より}\\ \\ &=& \frac{1}{2}\int_Vd^3x\boldsymbol{D}_0(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{x},t) \,...(1)\\ \\ &=& \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a}\,...\text{p.54式(4.6)} \\ \\ &=& \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0}\,...\text{p.54式(4.9)とその上の式より}2a=a_0 \\ \\ \end{eqnarray} になる。（要：議論）

1. (1)部分積分を利用（要：議論）
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\begin{eqnarray} \text{div}\phi\boldsymbol{D}=\boldsymbol{D}\cdot\text{grad}\phi+\phi\text{div}\boldsymbol{D} \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} && \int_Vd^3x\text{div}\phi\boldsymbol{D} &=& \int_Vd^3x\boldsymbol{D}\cdot\text{grad}\phi+\int_Vd^3x\phi\text{div}\boldsymbol{D}& \\ \\ && \int_SdS\phi\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n} &=& \int_Vd^3x\boldsymbol{D}\cdot(\text{grad}\phi+\dot{\boldsymbol{A}}-\dot{\boldsymbol{A}})+\int_Vd^3x\phi\text{div}\boldsymbol{D}&...\text{左辺、Gaussの定理より。} \\ \\ && 0 &=& \int_Vd^3x\boldsymbol{D}\cdot(\text{grad}\phi+\dot{\boldsymbol{A}}-\dot{\boldsymbol{A}})+\int_Vd^3x\phi\text{div}\boldsymbol{D}&...\text{左辺、無限に広く積分範囲をとることができ}\\&&&&&\text{その表面では}\phi,\boldsymbol{D}\text{は0になるから} \\ && 0 &=& \int_Vd^3x\boldsymbol{D}\cdot(-\boldsymbol{E}-\dot{\boldsymbol{A}})+\int_Vd^3x\phi\text{div}\boldsymbol{D}&...\boldsymbol{E}=-\text{grad}\phi-\dot{\boldsymbol{A}}\text{より} \\ \\ && \int_Vd^3x\boldsymbol{D}\cdot(\boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{A}}) &=& \int_Vd^3x\phi\text{div}\boldsymbol{D}&\\ \\ && \int_Vd^3x\boldsymbol{D}\cdot(\boldsymbol{E}) &=& \int_Vd^3x\phi\text{div}\boldsymbol{D}&\\ \\ \end{eqnarray} 最後は、\(\boldsymbol{A}\)が\(\phi\)より\(\frac{1}{c^2}\)倍小さいことや、\(\boldsymbol{A}\)には電流、つまり速度\(\boldsymbol{v}\)が含まれることから、十分小さくなると考えた。
しっかりと検証が必要。

電子の電荷密度を用いて電子の体積で積分しているため、 \begin{eqnarray} \int_Vd^3x\rho_0(\boldsymbol{x},t)=e \end{eqnarray} になることを用いて導出できる。

\begin{eqnarray} \ddot{\boldsymbol{r} }(t)=\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)^2\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \end{eqnarray} であるので、 \begin{eqnarray} \ddot{\boldsymbol{r} }(t)+\omega_0^2\boldsymbol{r}(t) &=& \left\{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)^2+\omega_0^2\right\}\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ &=& \left\{-\omega_0^2-i\gamma\omega_0+\frac{\gamma^2}{4}+\omega_0^2\right\}\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ &=& \left\{-i\gamma\omega_0+\frac{\gamma^2}{4}\right\}\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ &\sim& -i\gamma\omega_0\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t}&...&\omega_0\gg\gamma\text{より} \\ \\ \end{eqnarray} になる。

\begin{eqnarray} \dddot{\boldsymbol{r} }(t) &=& \left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)^3\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ &=& \left(-i\omega_0^3+3\omega_0^2\frac{\gamma}{2}+3i\omega_0\frac{\gamma^2}{4}-\frac{\gamma^3}{8}\right)\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ &\simeq& \left(-i\omega_0^3\right)^3\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t}&...&\omega_0\gg\gamma\text{より} \\ \\ &\simeq& -i\omega_0^3\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t}& \\ \\ \end{eqnarray} であるので、 \begin{eqnarray} \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0mc^3}\dddot{\boldsymbol{r}}(t) &\simeq& -\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0mc^3}i\omega_0^3\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ &=& -i\frac{e^2\omega_0^3}{6\pi\varepsilon_0mc^3}\boldsymbol{a}e^{\left(i\omega_0-\frac{\gamma}{2}\right)t} \\ \\ \end{eqnarray} になる。