理論電磁気学の行間埋め　第９章

p.275下より、 \begin{eqnarray} \frac{dh(t)}{dt}=\frac{dt_0'}{dt}=\left[\frac{df(t_0')}{dt_0'}\right]^{-1} \end{eqnarray} であり、式(3.8)より、 \begin{eqnarray} t_0'=h(t) \end{eqnarray} なので、これらを式(3.7)の右辺に代入することで \begin{eqnarray} g(h(t))\frac{dh(t)}{dt}=g(t_0')\left[\frac{df(t_0')}{dt_0'}\right]^{-1} \end{eqnarray} が得られる。

\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{r}(t_0')=(r_x(t_0'),r_y(t_0'),r_z(t_0'))\)とする。 \begin{eqnarray} \frac{df(t_0')}{dt_0'} &=& 1+\frac{1}{c}\frac{d}{dt_0'}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')| &...&\text{二行目}\\ \\ &=& 1+\frac{1}{c}\frac{d}{dt_0'}\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2} &\\ \\ &=& 1+\frac{1}{c}\left(\frac{(x-r_x(t_0'))\frac{d}{dt_0'}(x-r_x(t_0'))}{\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2} }+\frac{(y-r_y(t_0'))\frac{d}{dt_0'}(y-r_y(t_0'))}{\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2} }+\frac{(z-r_z(t_0'))\frac{d}{dt_0'}(z-r_z(t_0'))}{\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2} }\right) &\\ \\ &=& 1-\frac{1}{c}\left(\frac{(x-r_x(t_0'))\frac{d}{dt_0'}r_x(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')| }+\frac{(y-r_y(t_0'))\frac{d}{dt_0'}r_y(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')| }+\frac{(z-r_z(t_0'))\frac{d}{dt_0'}r_z(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')| }\right) &\\ \\ &=& 1-\frac{1}{c|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|}\left((x-r_x(t_0'))\frac{d}{dt_0'}r_x(t_0')+(y-r_y(t_0'))\frac{d}{dt_0'}r_y(t_0')+(z-r_z(t_0'))\frac{d}{dt_0'}r_z(t_0')\right) &\\ \\ &=& 1-\frac{1}{c|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|} \left( \begin{array}{cccc} x-r_x(t_0') \\ y-r_y(t_0') \\ z-r_z(t_0') \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{d}{dt_0'}r_x(t_0') \\ \frac{d}{dt_0'}r_y(t_0') \\ \frac{d}{dt_0'}r_z(t_0') \end{array} \right) \\ \\ &=& 1-\frac{1}{c|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\cdot\frac{d}{dt_0'}\boldsymbol{r}(t_0') \\ \\ &=& 1-\frac{1}{c}\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}(t_0')}{dt_0'} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.3)を\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\)に対応させると \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\frac{\mu_0e}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dt'\frac{\delta\left(t-t'-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|}{c}\right)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|}\dot{\boldsymbol{r}}(t')...(1) \end{eqnarray} となる。式(3.5)に対して \begin{eqnarray} g(t')=\frac{\mu_0e}{4\pi}\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|} \end{eqnarray} と置くことで、以後、同じ議論になる。(1)の積分の結果は \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{\mu_0e}{4\pi}\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|}\left[\frac{df(t_0')}{dt_0'}\right]^{-1} \\ \\ &=& \frac{\mu_0e}{4\pi}\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|\alpha(t_0')} \\ \\ &=& \frac{\mu_0e}{4\pi}\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{x}'=(x',y',z')\)を用いる。仮想的に\(\phi\)に作用させるとし、\(x\)成分に着目すると \begin{eqnarray} \text{grad}_x|_x &=& \frac{\partial}{\partial x} \\ \\ &=& \frac{\partial R}{\partial x}\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x}(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|)\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ &=& \frac{\partial }{\partial x}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ &=& \frac{(x-x')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ &=& \frac{(x-x')}{R}\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。\(y,z\)成分を加味することで \begin{eqnarray} \text{grad}_x &=& \frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'}{R}\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ &=& \boldsymbol{n}_0\frac{\partial }{\partial R} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.2)の勾配をとる。その際に式(3.16)によって\(\text{grad}_x=\boldsymbol{n}\frac{\partial}{\partial R}\)に変換して作用させる。式(3.2)中で\(R=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\)に関係する部分は \begin{eqnarray} \frac{\delta\left(t-t'-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}{c}\right)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|} &=& \frac{\delta\left(t-t'-\frac{R}{c}\right)}{R} \end{eqnarray} であるから、式(3.17)ではこの部分に微分を作用させている。

式(3.17)を空間的に積分すると、デルタ関数における積分であるため\(\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{r}(t')\)を代入したものになる。その際にp.278上部の\(\boldsymbol{n}(t'),\boldsymbol{R}(t'),R(t')\)を利用すると、デルタ関数の積分によって\(\boldsymbol{n}\to\boldsymbol{n}(t'),\boldsymbol{R}\to\boldsymbol{R}(t'),R\to R(t')\)と置き換えられる。式(3.17)より \begin{eqnarray} \text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\int_Vd^3x'\int_{-\infty}^{\infty}dt'\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t'))\boldsymbol{n}\frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R}{c}\right)}{R}\right) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}dt'\boldsymbol{n}(t')\frac{\partial}{\partial R(t')}\left(\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R(t')}{c}\right)}{R(t')}\right) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}dt'\boldsymbol{n}(t')\left(-\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R(t')}{c}\right)}{R^2(t')}+\frac{1}{R(t')}\frac{\partial}{\partial R(t')}\delta\left(t-t'-\frac{R(t')}{c}\right)\right) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}dt'\boldsymbol{n}(t')\left[-\frac{1}{R^2(t')}\delta\left(t-t'-\frac{R(t')}{c}\right)+\frac{1}{R(t')}\frac{\partial}{\partial R(t')}\delta\left(t-t'-\frac{R(t')}{c}\right)\right] \\ \\ \end{eqnarray}

デルタ関数を含む積分を実行し、\(\boldsymbol{n}\to\boldsymbol{n}(t'),\boldsymbol{R}\to\boldsymbol{R}(t'),R\to R(t')\)と置き換える。その後、\(h=t-\frac{R(t')}{c}\)とすると \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} &=& \frac{\partial h}{\partial t}\frac{\partial}{\partial h} \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial h} \\ \\ &=& \frac{\partial R(t')}{\partial h}\frac{\partial}{\partial R(t')} \\ \\ &=& -c\frac{\partial}{\partial R(t')} \\ \\ \end{eqnarray} となるため、これを代入すると式(3.19)の二行目が得られる。

\begin{eqnarray} A=\frac{dh(y)}{dy}\frac{\left(\boldsymbol{n}(t')-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t')\right)}{R(t')} \end{eqnarray} とする。 \begin{eqnarray} \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0 c}\int_{-\infty}^{\infty}dy A\frac{\partial\delta(t-y)}{\partial y} &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0 c}\left[A\delta(t-y)\right]_{-\infty}^{\infty}-\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0 c}\int_{-\infty}^{\infty}dy \frac{\partial}{\partial y}A\delta(t-y) \\ \\ &=& 0-\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0 c}\int_{-\infty}^{\infty}dy \frac{\partial}{\partial y}A\delta(t-y) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 c}\int_{-\infty}^{\infty}dy \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{dh(y)}{dy}\frac{\left(\boldsymbol{n}(t')-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t')\right)}{R(t')}\right)\delta(t-y) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 c} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{dh(t)}{dt}\frac{\left(\boldsymbol{n}(t')-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t')\right)}{R(t')}\right)&...&\text{デルタ関数の積分より}y=t \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 c} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{dh(t)}{dt}\frac{\left(\boldsymbol{n}(t_0')-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\right)}{R(t_0')}\right)&...&(1) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(t'\to t_0'\)に置換
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p.279上部より、\(y=t'+\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|}{c}\)である。デルタ関数の積分より、\(y=t\)であることから、 \begin{eqnarray} t&=&t'+\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|}{c} \\ \\ \Leftrightarrow t'&=&t-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t')|}{c} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これは式(3.15)より、\(t_0'\)と一致するため、\(t'=t_0'\)とした

\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\)のx成分を考える。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)|_x &=& \nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)|_x \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial y}A_z(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial}{\partial z}A_y(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \frac{\partial R}{\partial y}\frac{\partial}{\partial R}A_z(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial R}{\partial z}\frac{\partial }{\partial R}A_y(\boldsymbol{x},t)&...&R=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|\text{とした} \\ \\ &=& \frac{y-y'}{R}\frac{\partial}{\partial R}A_z(\boldsymbol{x},t)-\frac{z-z'}{R}\frac{\partial }{\partial R}A_y(\boldsymbol{x},t)&...&(1)\\ \\ &=& n_{0y}\frac{\partial}{\partial R}A_z(\boldsymbol{x},t)-n_{0z}\frac{\partial }{\partial R}A_y(\boldsymbol{x},t)&...&\boldsymbol{n}_0=(n_{0x},n_{0y},n_{0z})\text{とした}\\ \\ &=& \left.\boldsymbol{n}_0\times\frac{\partial}{\partial R}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\right|_x&\\ \\ \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) &=& \nabla\times\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \boldsymbol{n}_0\times\frac{\partial}{\partial R}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)&\\ \\ &=& \boldsymbol{n}_0\times\frac{\partial}{\partial R}\frac{\mu_0e}{4\pi}\int_Vd^3x'\int_{-\infty}^{\infty}dt'\frac{\delta\left(t-t'-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}{c}\right)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\dot{\boldsymbol{r}}(t')\delta^3(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{r}(t'))&\\ \\ &=& \boldsymbol{n}_0\times\frac{\partial}{\partial R}\frac{\mu_0e}{4\pi}\int_Vd^3x'\int_{-\infty}^{\infty}dt'\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R}{c}\right)}{R}\dot{\boldsymbol{r}}(t')\delta^3(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{r}(t'))&\\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial R}\frac{\mu_0e}{4\pi}\int_Vd^3x'\int_{-\infty}^{\infty}dt'\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R}{c}\right)}{R}\boldsymbol{n}_0\times\dot{\boldsymbol{r}}(t')\delta^3(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{r}(t'))&\\ \\ &=& \frac{\mu_0e}{4\pi}\int_Vd^3x'\int_{-\infty}^{\infty}dt'\boldsymbol{n}_0\times\dot{\boldsymbol{r}}(t')\delta^3(\boldsymbol{x}'-\boldsymbol{r}(t'))\frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{\delta\left(t-t'-\frac{R}{c}\right)}{R}\right)&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(\frac{\partial}{\partial y}R=\frac{y-y'}{R},\frac{\partial}{\partial z}R=\frac{z-z'}{R}\)を利用
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\(R=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}\)を利用して、\(y\)についてのみ示す。 \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}R &=& \frac{\partial}{\partial y}\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ \\ &=& \frac{y-y'}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} \\ \\ &=& \frac{y-y'}{R} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{n}(t_0')}{\partial t_0'} &=& \frac{\partial }{\partial t_0'}\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')}{R(t_0')} \\ \\ &=& \frac{1}{R(t_0')}\frac{\partial }{\partial t_0'}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\frac{\partial }{\partial t_0'}\frac{1}{R(t_0')} \\ \\ &=& \frac{1}{R(t_0')}(-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\frac{\partial }{\partial t_0'}\frac{1}{R(t_0')} \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\frac{\partial R(t_0')}{\partial t_0'}\frac{\partial }{\partial R(t_0')}\frac{1}{R(t_0')}&...&\text{微分する変数を変えるとこうなる。} \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\left(-\frac{1}{R^2(t_0')}\frac{\partial R(t_0')}{\partial t_0'}\right)&...&R(t_0')\text{を}t_0'\text{の関数として微分するとこちらが得られる} \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\left(-\frac{1}{R^2(t_0')}\frac{\partial }{\partial t_0'}\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2}\right)&...&(1) \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\left(-\frac{1}{R^2(t_0')}\frac{(x-r_x(t_0'))(-\dot{r}_x(t_0'))+(y-r_y(t_0'))(-\dot{r}_y(t_0'))+(z-r_z(t_0'))(-\dot{r}_z(t_0')) }{\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2}}\right)& \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\left(-\frac{1}{R^2(t_0')}\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\cdot(-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{R(t_0')}\right)& \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')}{R(t_0')}\left(\frac{1}{R(t_0')}\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0'))\cdot(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{R(t_0')}\right)& \\ \\ &=& \frac{-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')}+\boldsymbol{n}(t_0')\left(\frac{1}{R(t_0')}\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))\right)&...&\boldsymbol{n}(t_0')=\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')}{R(t_0')} \\ \\ &=& \frac{1}{R(t_0')}\left(-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')+\boldsymbol{n}(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))\right)\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{R(t_0')}\left(-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0'))+\boldsymbol{n}(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))\right)\right)&...&\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')=1 \\ \\ &=& \frac{1}{R(t_0')}\left(\boldsymbol{n}(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))\right)-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0'))\right)& \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{R(t_0')}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(R(t_0')=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|\)を利用
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\(\boldsymbol{r}(t_0')=(r_x(t_0'),r_y(t_0'),r_z(t_0'))\)として、 \(R(t_0')=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t_0')|=\sqrt{(x-r_x(t_0'))^2+(y-r_y(t_0'))^2+(z-r_z(t_0'))^2}\)を利用した。

\begin{eqnarray} &&\frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha(t_0')R^2(t_0')}+\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')} \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}\alpha(t_0')+\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')} \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)+\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}&...&(3.12)\text{より} \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}-\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\left(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}+\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}& \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}-\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\left(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)-\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}& \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}-\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\left(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)-\boldsymbol{n}(t_0')\left(\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)+\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}&...&\text{式(3.23)の上の式より} \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}-\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}& \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}-\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{c\alpha^2(t_0')R^2(t_0')}&...&\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')=1 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.22)の括弧の中に着目する \begin{eqnarray} &&\frac{4\pi}{\mu_0 e}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha(t_0')}+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\alpha(t_0')+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}&...&(3.12)\text{より} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)\\ &&+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\times\frac{\partial}{\partial t_0'}\boldsymbol{n}(t_0')+\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')\right)&...&\text{p.441(A・25)より} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)\\ &&+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\times\left(\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0'))}{R(t_0')}\right)+\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')\right)&...&\text{p.280}\boldsymbol{n}(t_0')\text{の微分を利用} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)\\ &&+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\times\frac{1}{R(t_0')}\left(\boldsymbol{n}(t_0')\left\{\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\right\}-\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\left\{\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right\}\right)+\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')\right)&...&\text{p.280下の公式を利用} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)\\ &&+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\left(\frac{1}{R^2(t_0')\alpha(t_0')}\left(\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')\left\{\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\right\}-\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\left\{\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right\}\right)+\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')\right)& \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\left(1-\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')\right)\\ &&+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\left(\frac{1}{R^2(t_0')\alpha(t_0')}\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')\left\{\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\right\}+\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')\right)&...&\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A}=0\text{を利用} \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}-\frac{1}{c}\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\cdot\boldsymbol{n}(t_0')+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha(t_0')}\left\{\boldsymbol{n}(t_0')\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\right\}+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')& \\ \\ &=& \frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')& \\ \\ &=& \left[\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right]\times\boldsymbol{n}(t_0')& \\ \\ \Leftrightarrow \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{\mu_0e}{4\pi}\left[\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r} }(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right]\times\boldsymbol{n}(t_0')& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')=0\)であることを用いる。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t) &=& \boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{1}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)-\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{cR^2(t_0')\alpha^2(t_0')}-\frac{1}{c^2\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right] \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[0+0-\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{cR^2(t_0')\alpha^2(t_0')}-\frac{1}{c^2\alpha(t_0')}\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right] \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')}{cR^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c^2\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\times\boldsymbol{n}(t_0')\right] \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{cR^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c^2\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right]\times\boldsymbol{n}(t_0') \\ \\ &=& \frac{e\mu_0}{4\pi\varepsilon_0\mu_0}\left[\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{cR^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c^2\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right]\times\boldsymbol{n}(t_0') \\ \\ &=& c^2\frac{e\mu_0}{4\pi}\left[\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{cR^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c^2\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right]\times\boldsymbol{n}(t_0')&...&\frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}=c^2 \\ \\ &=& c\frac{e\mu_0}{4\pi}\left[\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R^2(t_0')\alpha^2(t_0')}+\frac{1}{c\alpha(t_0')}\frac{\partial}{\partial t_0'}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')}{R(t_0')\alpha(t_0')}\right)\right]\times\boldsymbol{n}(t_0')& \\ \\ &=& c\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)& \\ \\ \Leftrightarrow \frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)}{c}&=&\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \frac{d}{dt_0'}(\alpha R) &=& R\frac{d}{dt_0'}\alpha+\alpha\frac{d}{dt_0'}R \\ \\ &=& R\frac{d}{dt_0'}\alpha+\alpha\frac{d}{dt_0'}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}| \\ \\ &=& R\frac{d}{dt_0'}\alpha-\alpha\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}&...&(1) \\ \\ &=& R\frac{d}{dt_0'}\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}&...&(3.12) \\ \\ &=& R\frac{d}{dt_0'}\left(-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}&...&\text{微分中に含まれる定数項を}0\text{にした} \\ \\ &=& -\frac{1}{c}R\frac{d}{dt_0'}\left(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}& \\ \\ &=& -\frac{1}{c}R\left(\frac{d\boldsymbol{n}}{dt_0'}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}+\boldsymbol{n}\cdot\frac{d\dot{\boldsymbol{r}}}{dt_0'}\right)-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}& \\ \\ &=& -\frac{1}{c}R\left(\frac{\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{r}})}{R}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}+\boldsymbol{n}\cdot\frac{d\dot{\boldsymbol{r}}}{dt_0'}\right)-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}& \\ \\ &=& -\frac{1}{c}R\left(\left(\frac{-\dot{\boldsymbol{r} }+\boldsymbol{n}\left(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }\right)}{R}\right)\cdot\dot{\boldsymbol{r} }-\frac{1}{c}R\boldsymbol{n}\cdot\frac{d\dot{\boldsymbol{r} } }{dt_0'}\right)-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }& \\ \\ &=& -\frac{1}{c}\left(-\dot{\boldsymbol{r} }+\boldsymbol{n}\left(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }\right)\right)\cdot\dot{\boldsymbol{r} }-\frac{1}{c}R\boldsymbol{n}\cdot\ddot{\boldsymbol{r} }-\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }\right)\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }& \\ \\ &=& \frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r} }^2-\frac{1}{c}\left(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }\right)^2-\frac{1}{c}R\boldsymbol{n}\cdot\ddot{\boldsymbol{r} }-\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }+\frac{1}{c}(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} })^2& \\ \\ &=& \frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r} }^2-\frac{R}{c}\boldsymbol{n}\cdot\ddot{\boldsymbol{r} }-\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(\boldsymbol{x}=(x,y,z),\boldsymbol{r}=(r_x,r_y,r_z)\)を利用
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\(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|=\sqrt{(x-r_x)^2+(y-r_y)^2+(z-r_z)^2}\)を用いると \begin{eqnarray} \frac{d}{dt_0'}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}| &=& \frac{d}{dt_0'}\sqrt{(x-r_x)^2+(y-r_y)^2+(z-r_z)^2} \\ \\ &=& \frac{(x-r_x)\dot{r_x}+(y-r_y)\dot{r_y}+(z-r_z)\dot{r_z}}{\sqrt{(x-r_x)^2+(y-r_y)^2+(z-r_z)^2}} \\ \\ &=& \frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r})\cdot\dot{\boldsymbol{r}}}{\sqrt{(x-r_x)^2+(y-r_y)^2+(z-r_z)^2}} \\ \\ &=& \frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r})\cdot\dot{\boldsymbol{r}}}{R} \\ \\ &=& \frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r})}{R}\cdot\dot{\boldsymbol{r}} \\ \\ &=& \boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}} \\ \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \frac{d}{dt_0'}\frac{1}{\alpha R} &=& \frac{-1}{(\alpha R)^2}\cdot\frac{d}{dt_0'}(\alpha R) \\ \\ &=& \frac{-1}{(\alpha R)^2}\left(\frac{1}{c}\dot{\boldsymbol{r} }^2-\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r} }-\frac{R}{c}\boldsymbol{n}\cdot\ddot{\boldsymbol{r} }\right)&...&\text{p.282上部より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{1}{c}\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \frac{1}{c}\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0'))\} }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right] \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0'))\} }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right] \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{\beta}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0'))\} }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right] \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(0-\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{\beta}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0'))\} }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right]&...&\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{n}=0 \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{\beta}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0'))\} }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right]&...&\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{\beta}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\boldsymbol{n}(t_0')\times\frac{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))( \boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{\beta} (t_0')) -\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\right) }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right]&...&\text{p.283上の公式や、式(3.27)の下から二行目より} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{\beta}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\frac{(\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{\beta}(t_0'))( \boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{\beta} (t_0')) -\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\right) }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right] \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{\beta}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\frac{(0-\boldsymbol{n}(t_0')\times\boldsymbol{\beta}(t_0'))( \boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{\beta} (t_0')) -\boldsymbol{n}(t_0')\times\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\right) }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right]&...&\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{n}=0 \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\boldsymbol{\beta}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0'))(1-\boldsymbol{\beta}^2(t_0'))}{\alpha^3(t_0')R^2(t_0')}+\frac{(\boldsymbol{\beta}(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0'))( \boldsymbol{n}(t_0')\cdot\boldsymbol{\beta} (t_0')) +\dot{\boldsymbol{\beta} }(t_0')\times\boldsymbol{n}(t_0')\left(\boldsymbol{n}(t_0')\cdot(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\right) }{c\alpha^3(t_0')R(t_0')}\right]&...&\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\boldsymbol{v}(t_0')\)は\(x\)軸方向を向いている。\(\boldsymbol{R}(t_0')\)はAからPに向かうベクトルであることから、成す角を\(\theta\)とすると\(\boldsymbol{v}(t_0')\cdot\boldsymbol{R}(t_0')=vR(t_0')\cos\theta\)となる。
図3.2より、\(R(t_0')\cos\theta=X(t_0')\)であるので、\(\boldsymbol{v}(t_0')\cdot\boldsymbol{R}(t_0')=vX(t_0')\)になる。

\(x\)成分を考えると \begin{eqnarray} \left.\text{grad}\frac{1}{R^*}\right|_x &=& \frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{R^*} \\ \\ &=& \frac{-1}{R^{*2}}\frac{\partial}{\partial x}R^* \\ \\ &=& \left.-\frac{1}{R^{*2}}\text{grad}R^*\right|_x \\ \\ \end{eqnarray} となることから上記の式が得られる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t) &=& -\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \frac{\mu_0e\boldsymbol{v}}{4\pi}\frac{1}{R^{*2}}\frac{\partial R^*}{\partial t}+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*2}}\text{grad}R^{*}&...&\text{式(3.37)より} \\ \\ &=& \frac{\mu_0e\boldsymbol{v}}{4\pi}\frac{1}{R^{*2}}\left(-\frac{1}{R^*}(x-vt)\right)+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*2}}\text{grad}R^{*}&...&\text{p.285下より} \\ \\ &=& \frac{\mu_0e\boldsymbol{v}}{4\pi}\frac{1}{R^{*2}}\left(-\frac{1}{R^*}(x-vt)\right)+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*2}} \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{R^*}(x-vt)\\ \frac{1}{R^*}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)y\\ \frac{1}{R^*}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)z\\ \end{array} \right)&...&\text{p.285下、p.286上より} \\ \\ &=& \frac{\mu_0e}{4\pi}\frac{1}{R^{*2}}\left(-\frac{1}{R^*}(x-vt)\right) \left( \begin{array}{cccc} v\\ 0\\ 0 \end{array} \right)+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*2}} \left( \begin{array}{cccc} \frac{1}{R^*}(x-vt)\\ \frac{1}{R^*}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)y\\ \frac{1}{R^*}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)z\\ \end{array} \right)& \\ \\ &=& -\frac{\mu_0\varepsilon_0e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*3}}\left(x-vt\right) \left( \begin{array}{cccc} v\\ 0\\ 0 \end{array} \right)+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*3}} \left( \begin{array}{cccc} (x-vt)\\ \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)y\\ \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)z\\ \end{array} \right)& \\ \\ &=& -\frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{1}{R^{*3}}\left(x-vt\right) \left( \begin{array}{cccc} v\\ 0\\ 0 \end{array} \right)+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^{*3}} \left( \begin{array}{cccc} (x-vt)\\ \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)y\\ \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)z\\ \end{array} \right)& \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{1}{R^{*3}} \left( \begin{array}{cccc} -\frac{1}{c^2}v\left(x-vt\right)+(x-vt)\\ 0+\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)y\\ 0+\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)z \end{array} \right)& \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{1}{R^{*3}} \left( \begin{array}{cccc} \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(x-vt\right)\\ \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)y\\ \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)z \end{array} \right)& \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{1}{R^{*3}} \left( \begin{array}{cccc} x-vt\\ y\\ z \end{array} \right)\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)& \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{\boldsymbol{R}(t)}{R^{*3}}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)&...&\text{式(3.39)より} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.35)より、\(\boldsymbol{A}\)は\(\boldsymbol{v}\)の定数倍であるため平行。

式(3.36)より、 \begin{eqnarray} R^* &=& \sqrt{(x-vt)^2+\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)(y^2+z^2)} \\ \\ &=& \sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}\sqrt{\frac{(x-vt)^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}+y^2+z^2} \\ \\ &=& \sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}\sqrt{\frac{R_x^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}+R_y^2+R_z^2}&...&\text{式(3.39)より} \\ \\ \end{eqnarray} であるから \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{\boldsymbol{R}(t)}{R^{*3}}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)&...&\text{式(3.38)より} \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{\boldsymbol{R}(t)}{\left(\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}\sqrt{\frac{R_x^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}+R_y^2+R_z^2}\right)^3}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{\boldsymbol{R}(t)}{\left(\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}\right)^3\left(\sqrt{\frac{R_x^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}+R_y^2+R_z^2}\right)^3}\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2 \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}}\frac{\boldsymbol{R}(t)}{\left(\sqrt{\frac{R_x^2}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}+R_y^2+R_z^2}\right)^3} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

電磁場のエネルギーの時間平均はp.190式(2.12)に示されている。
(1)式(3.46)における電場の実数部分を積分して平均をとることで得られる。
(2)電場\(\boldsymbol{E}\)の実部の二乗に対して、係数\(\frac{1}{2}\)をかける。
後者は本来、磁場\(\boldsymbol{B}\)の複素共役を用いるが、\(\boldsymbol{B}\)の大きさは式(3.45)より\(\frac{1}{c}\boldsymbol{E}\)で表されることを用いると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}\boldsymbol{B}^*=\frac{1}{c}\boldsymbol{E}\boldsymbol{E}^*=\frac{1}{c}|\boldsymbol{E}|^2 \end{eqnarray} となり、電場のみの議論になる。

式(3.49)に式(3.46)を代入する。 \begin{eqnarray} \frac{dW}{dt} &=& \int\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{n}(t)\alpha(t)R^2(t)d\Omega&...&\text{式(3.49)} \\ \\ &=& \int\frac{1}{\mu_0c}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{\boldsymbol{n}(t)}{c^2\alpha^6(t)R^2(t)}\left(\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right)^2\cdot\boldsymbol{n}(t)\alpha(t)R^2(t)d\Omega&...&\text{式(3.46)を代入} \\ \\ &=& \int\frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{n}(t)}{\alpha^5(t)}\left(\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right)^2d\Omega \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{1}{\alpha^5(t)}\left(\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right)^2d\Omega&...&\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{n}(t)=1 \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{1}{\left(1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}(t)\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t)\right)^5}\left(\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right)^2d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&\text{式(3.28)より}\frac{\dot{\boldsymbol{r}}}{c}=\boldsymbol{\beta}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.50)より \begin{eqnarray} \frac{dW}{dt} &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0\varepsilon_0c^3}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&\varepsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\text{より}\\ \\ &\sim& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-0)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot 0\right)^5}d\Omega&...&\boldsymbol{\beta}\to 0\text{の近似をする}\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\left[|\boldsymbol{n}(t)|\cdot|\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\sin\frac{\pi}{2}\right]^2d\Omega&...&\text{二乗であるため、括弧の中の大きさの二乗を計算する。}\\ &&&&\boldsymbol{n}\text{との外積をとったベクトルと}\boldsymbol{n}\text{がなす角は垂直であることを利用した}\\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\left[|\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\right]^2d\Omega&...&|\boldsymbol{n}|=1\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\left[|\boldsymbol{n}(t)|\cdot|\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)|\sin\theta\right]^2d\Omega&...&\text{p.289下部より}\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{n}\text{がなす角を}\theta\text{としている}\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int\left[\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\sin\theta\right]^2d\Omega&...&|\boldsymbol{n}|=1\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\dot{\boldsymbol{\beta}}^2(t)\int\left[\sin\theta\right]^2d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{v}}(t)}{c}\right)^2\int\left[\sin\theta\right]^2d\Omega&...&\boldsymbol{\beta}=\frac{\boldsymbol{v}}{c}\text{より、}\dot{\boldsymbol{\beta}}=\frac{\dot{\boldsymbol{v}}}{c}\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{v}}(t)}{c}\right)^2\int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}\sin\theta d\phi\left[\sin\theta\right]^2&\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{v}}(t)}{c}\right)^22\pi\int_0^{\pi}d\theta\sin^3\theta &\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{v}}(t)}{c}\right)^22\pi\frac{4}{3} &...&(1)\\ \\ &=& \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\dot{\boldsymbol{v}}(t)\right)^2 &\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(\int_0^{\pi}d\theta\sin^3\theta=\frac{4}{3}\)を利用
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\begin{eqnarray} \int_0^{\pi}d\theta\sin^3\theta &=& \int_0^{\pi}d\theta\sin^2\theta\sin\theta \\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta(1-\cos^2\theta)\sin\theta \\ \\ &=& -\int_1^{-1}(1-x^2)dx&...&\cos\theta=x,dx=-\sin\theta d\theta \\ \\ &=& \int_{-1}^1(1-x^2)dx&...&\text{積分区間の入れ替え} \\ \\ &=& \left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^1& \\ \\ &=& \left[1-\frac{1}{3}-(-1)+\frac{1}{3}(-1)^3\right]& \\ \\ &=& \frac{4}{3} \end{eqnarray}

式(3.47)より \begin{eqnarray} \overline{\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)} &=& \frac{1}{2\mu_0c}|\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)|^2\boldsymbol{n}(t) \\ \\ &=& \frac{1}{2\mu_0c}(|\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t))^2\boldsymbol{n}(t)&...&\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{に複素数は含まれていないため} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t) \end{eqnarray} が得られる。全平均放射エネルギーを求めると \begin{eqnarray} P &=& \frac{d\overline{W}}{dt} \\ \\ &=& \int\overline{\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)}\cdot\boldsymbol{n}(t)\alpha(t)R^2(t)d\Omega \\ \\ &=& \frac{1}{2}\int\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{n}(t)\alpha(t)R^2(t)d\Omega \\ \\ &=& \frac{1}{2}\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\dot{\boldsymbol{v}}(t)\right)^2 &...&\text{式(3.51)より}\\ \\ &=& \frac{e^2}{12\pi\varepsilon_0c^3}\left(\dot{\boldsymbol{v}}(t)\right)^2 &\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.50)より \begin{eqnarray} \frac{dW}{dt} &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{(\boldsymbol{n}(t)-\boldsymbol{\beta}(t))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega& \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[\boldsymbol{n}(t)\times\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&\boldsymbol{\beta},\dot{\boldsymbol{\beta}}\text{が平行であるという条件より} \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[|\boldsymbol{n}(t)|\cdot|\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\sin\frac{\pi}{2}\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&\text{二乗であるため、括弧の中の大きさの二乗を計算する。}\\ &&&&\boldsymbol{n}\text{との外積をとったベクトルと}\boldsymbol{n}\text{がなす角は垂直であることを利用した}\\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[|\{\boldsymbol{n}(t)\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&|\boldsymbol{n}|=1\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[|\{\boldsymbol{n}(t)|\cdot|\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\sin\theta\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&\dot{\boldsymbol{\beta}},\boldsymbol{n}\text{がなす角が}\theta\text{であるため}\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[|\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\sin\theta\right]^2}{\left(1-\boldsymbol{n}(t)\cdot\boldsymbol{\beta}(t)\right)^5}d\Omega&...&|\boldsymbol{n}|=1\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[|\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\sin\theta\right]^2}{\left(1-|\boldsymbol{n}(t)|\cdot|\boldsymbol{\beta}(t)|\cos\theta\right)^5}d\Omega&...&\text{内積の計算。}\dot{\boldsymbol{\beta}},\boldsymbol{n}\text{がなす角が}\theta\text{であることを利用}\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[|\dot{\boldsymbol{\beta}}(t)\}|\sin\theta\right]^2}{\left(1-|\boldsymbol{\beta}(t)|\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\int\frac{\left[\frac{\dot{v}(t)}{c}\sin\theta\right]^2}{\left(1-|\frac{v(t)}{c}|\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\left(\frac{\dot{v}(t)}{c}\right)^2\int\frac{\left[\sin\theta\right]^2}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c^3}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\left(\frac{\dot{v}(t)}{c}\right)^2\int\frac{\left[\sin\theta\right]^2}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0\varepsilon_0c^3}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\left(\frac{\dot{v}(t)}{c}\right)^2\int\frac{\left[\sin\theta\right]^2}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{c^2}{c^3}\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\left(\frac{\dot{v}(t)}{c}\right)^2\int\frac{\left[\sin\theta\right]^2}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\int\frac{\sin^2\theta}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(d\Omega=\sin\theta d\phi d\theta=2\pi\sin\theta d\theta\)より(\(\phi\)に依存しないので\(\phi\)の積分区間で積分を実施した)、 \begin{eqnarray} \frac{dW}{dt} &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\int\frac{\sin^2\theta}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}d\Omega&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\int_0^{\pi}\frac{\sin^2\theta}{\left(1-\frac{v(t)}{c}\cos\theta\right)^5}2\pi\sin\theta d\theta&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}2\pi\int_0^{\pi}\frac{1-\cos^2\theta}{\left(1-\beta\cos\theta\right)^5}\sin\theta d\theta&...&\frac{v(t)}{c}=\beta\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}2\pi\int_0^{\pi}\frac{1-\cos^2\theta}{\left(1-\beta\cos\theta\right)^5}\frac{1}{\beta}\sin\theta \beta d\theta&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}2\pi\int_{1-\beta}^{1+\beta}\frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}\frac{1}{\beta}d\xi&...&(1)\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\frac{2\pi}{\beta}\int_{1-\beta}^{1+\beta}\left(1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2\right)\frac{1}{\xi^5}d\xi&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\frac{2\pi}{\beta}\left\{\left[\left(1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2\right)\left(\frac{-1}{4\xi^4}\right)\right]_{1-\beta}^{1+\beta}-\int_{1-\beta}^{1+\beta}\left(-\frac{-2}{\beta}\frac{1-\xi}{\beta}\right)\left(\frac{-1}{4\xi^4}\right)d\xi\right\}&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\frac{2\pi}{\beta}\left\{\left[\frac{\beta^2-\left(1-\xi\right)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4\xi^4}\right)\right]_{1-\beta}^{1+\beta}+\frac{1}{2\beta^2}\int_{1-\beta}^{1+\beta}\left(1-\xi\right)\left(\frac{1}{\xi^4}\right)d\xi\right\}&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\frac{2\pi}{\beta}\left\{0+\frac{1}{2\beta^2}\int_{1-\beta}^{1+\beta}\left(1-\xi\right)\left(\frac{1}{\xi^4}\right)d\xi\right\}&...&(2)\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\frac{2\pi}{\beta}\frac{1}{2\beta^2}\int_{1-\beta}^{1+\beta}\left(\xi^{-4}-\xi^{-3}\right)d\xi&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\frac{2\pi}{\beta}\frac{1}{2\beta^2}\left[\frac{-1}{3}\xi^{-3}-\frac{-1}{2}\xi^{-2}\right]_{1-\beta}^{1+\beta}&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{-2+3\xi}{6\xi^3}\right]_{1-\beta}^{1+\beta}&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{-2+3(1+\beta)}{6(1+\beta)^3}-\frac{-2+3(1-\beta)}{6(1-\beta)^3}\right]&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{(1+3\beta)(1-\beta)^3-(1-3\beta)(1+\beta)^3}{6(1+\beta)^3(1-\beta)^3}\right]&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{(1-\beta)^3+3\beta(1-\beta)^3-(1+\beta)^3+3\beta(1+\beta)^3}{6(1+\beta)^3(1-\beta)^3}\right]&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{\{(1-\beta)^3-(1+\beta)^3\}+3\beta\{(1-\beta)^3+(1+\beta)^3\}}{6\{(1+\beta)(1-\beta)\}^3}\right]&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{\{(1-3\beta+3\beta^2-\beta^3)-(1+3\beta+3\beta^2+\beta^3)\}+3\beta\{(1-3\beta+3\beta^2-\beta^3)+(1+3\beta+3\beta^2+\beta^3)\}}{6(1-\beta^2)^3}\right]&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{16\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\beta^3}\left[\frac{16\beta^3}{6(1-\beta^2)^3}\right]&\\ \\ &=& \frac{e^2\dot{v}^2(t)}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{(1-\beta^2)^3}&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(1-\beta\cos\theta=\xi\)として変換
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このとき、\(d\xi=\beta\sin\theta d\theta\)であり、積分区間は、もともと\(0\to\pi\)だったので、\(1-\beta\cos 0\to1-\beta\cos\pi\)より、\(1-\beta\to+\beta\)になる。


2. (2)\(\left[\frac{\beta^2-\left(1-\xi\right)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4\xi^4}\right)\right]_{1-\beta}^{1+\beta}=0\)を利用
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\begin{eqnarray} \left.\frac{\beta^2-\left(1-\xi\right)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4\xi^4}\right)\right|_{\xi=1-\beta} &=& \frac{\beta^2-\left(1-(1-\beta)\right)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4(1-\beta)^4}\right) \\ \\ &=& \frac{\beta^2-\beta^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4(1-\beta)^4}\right) \\ \\ &=& 0 \\ \\ \left.\frac{\beta^2-\left(1-\xi\right)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4\xi^4}\right)\right|_{\xi=1+\beta} &=& \frac{\beta^2-\left(1-(1+\beta)\right)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4(1+\beta)^4}\right) \\ \\ &=& \frac{\beta^2-(-\beta)^2}{\beta^2}\left(\frac{-1}{4(1+\beta)^4}\right) \\ \\ &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} となることから、この積分は0になる。

誤植：\(\boldsymbol{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi)\)は間違いで、\(\boldsymbol{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\color{red}\cos\theta\color{black})\)のはず。
\(\frac{dP}{d\Omega}\)は、\(P\)の導出の際の全\(\Omega\)における積分を実施する前の要素だと考えられる。式(3.46)と、半径\(R(t_0')\)の球面上であることを用いると、式(3.49)の積分の中身に該当する。従って、\(\frac{dP}{d\Omega}=\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{n}(t_0')R^2(t_0')\alpha(t_0')\)になる。 \begin{eqnarray} \frac{dP}{d\Omega} &=& \boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{n}(t_0') \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{\boldsymbol{n}(t_0')}{c^2\alpha^6(t_0')R^2(t_0')}\left(\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0')\}\right)^2 \cdot\boldsymbol{n}(t_0')R^2(t_0')\alpha(t_0') \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{c^2\alpha^5(t_0')}\left(\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0')\}\right)^2 \\ \\ &=& \frac{1}{\mu_0c}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{c^2(1-\beta\cos\theta)^5}\frac{\alpha^2}{c^2}\left[(1-\beta\cos\theta)^2-(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi\right]&...&\text{p.291下の}\left[\boldsymbol{n}(t_0')\times\{(\boldsymbol{n}(t_0')-\boldsymbol{\beta}(t_0'))\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0')\}\right]^2 \\ &&&&\alpha(t_0')=1-\frac{1}{c}\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}(t_0')=1-\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\beta}=1-\beta\cos\theta\text{を用いた}\\ &=& \frac{(\alpha^2/c^2)}{\mu_0c}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{c^2(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.57)の角積分を実行する。 \begin{eqnarray} \int d\Omega\frac{dP}{d\Omega} &=& \int_0^{2\pi}\sin\theta d \phi\int_0^{\pi}d\theta \frac{dP}{d\Omega} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}\sin\theta d \phi\int_0^{\pi}d\theta \frac{(\alpha^2/c^2)}{\mu_0c}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\frac{1}{c^2(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ &=& \frac{(\alpha^2/c^2)}{\mu_0c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\right)\int_0^{2\pi}\sin\theta d \phi\int_0^{\pi}d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ &=& \frac{(\alpha^2/c^2)}{\mu_0\varepsilon_0c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\right)\int_0^{2\pi}\sin\theta d \phi\int_0^{\pi}d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ &=& \frac{(\alpha^2/c^2)c^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\right)\int_0^{2\pi}\sin\theta d \phi\int_0^{\pi}d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\right)\int_0^{2\pi}\sin\theta d \phi\int_0^{\pi}d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\right)\int_0^{2\pi} d \phi\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[1-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta\cdot\cos^2\phi}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] \\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi^2\varepsilon_0}\right)\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[2\pi-\pi\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] &...&\int_0^{2\pi}d\phi\cos^2\phi=\pi\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[2-\frac{(1-\beta^2)\sin^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] &\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\int_0^{\pi}\beta\sin\theta d\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3}\left[2-\frac{(1-\beta^2)(1-\cos^2\theta)}{(1-\beta\cos\theta)^2}\right] &\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1}{\xi^3}\left[2-\frac{(1-\beta^2)(1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2)}{\xi^2}\right] &...&\xi=1-\beta\cos\theta\text{で置換。式(3.55)の導出参考}\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\left(\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{2}{\xi^3}-\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{(1-\beta^2)(1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2)}{\xi^5}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\left(\left[-\frac{1}{\xi^2}\right]_{1-\beta}^{1+\beta}-(1-\beta^2)\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\left(\left[-\frac{1}{(1+\beta)^2}+\frac{1}{(1-\beta)^2}\right]-(1-\beta^2)\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\left(\left[-\frac{(1-\beta)^2-(1+\beta)^2}{(1+\beta)^2(1-\beta)^2}\right]-(1-\beta^2)\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\left(\left[-\frac{-4\beta}{\{(1+\beta)(1-\beta)\}^2}\right]-(1-\beta^2)\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{\beta}\left(\frac{4\beta}{(1-\beta^2)^2}-(1-\beta^2)\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)4\left(\frac{1}{(1-\beta^2)^2}-(1-\beta^2)\frac{4}{3(1-\beta^2)^3}\right)&...&(1)\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0}\right)4\left(\frac{1}{(1-\beta^2)^2}-\frac{1}{3(1-\beta^2)^2}\right)&\\ \\ &=& \frac{\alpha^2}{c^3}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)\frac{2}{3(1-\beta^2)^2}&\\ \\ &=& \frac{e^2\alpha^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\frac{1}{(1-\beta^2)^2}&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(\int_{1-\beta}^{1+\beta}d\xi \frac{1-\left(\frac{1-\xi}{\beta}\right)^2}{\xi^5}=\frac{4}{3(1-\beta^2)^3}\)を利用
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式(3.55)の導出の途中((1)近傍)で全く同じ式が現れる。その流れと同じ計算をすることで結果が得られる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0))}{cr} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}\times(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0))}{cr^3} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{\beta}} (t_0))\boldsymbol{r}-(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r})\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0)}{cr^3} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0))\boldsymbol{r}-r^2\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0) }{cr^3} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\frac{\boldsymbol{r} }{r}\cdot\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0) )\frac{\boldsymbol{r} }{r}-\dot{\boldsymbol{\beta} } (t_0)}{cr} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ ( \boldsymbol{n} \cdot\dot{\boldsymbol{\beta}} (t_0) )\boldsymbol{n}-\dot{\boldsymbol{\beta}}(t_0) }{cr} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ ( \boldsymbol{n} \cdot\frac{\dot{\boldsymbol{v}} (t_0)}{c} )\boldsymbol{n}-\frac{\dot{\boldsymbol{v}} (t_0)}{c} }{cr} \\ \\ &=& \frac{-e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{[-\dot{\boldsymbol{v} }(t_0)+(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{v} }(t_0))\boldsymbol{n}]}{r} \\ \\ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) &=& \frac{1}{c}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \\ \\ &=& \frac{1}{c}\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \\ \\ &=& \frac{1}{c}\boldsymbol{n}\times\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{[-\dot{\boldsymbol{v}}(t_0)+(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{v}}(t_0))\boldsymbol{n}]}{r} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{[-\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{v}}(t_0)+(\boldsymbol{n}\cdot\dot{\boldsymbol{v}}(t_0))\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{n}]}{r} \\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{-\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{v}}(t_0)+0}{r} &...&\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{n}=0\\ \\ &=& \frac{1}{c}\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{\dot{\boldsymbol{v}}(t_0)\times\boldsymbol{n}}{r} &...&\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

参考
アインシュタインの関係より、運動量pに対して\(p=\frac{h}{\lambda}\)であるから、速度\(v\)を持つ電子の運動量は \begin{eqnarray} p &=& mv \\ \\ &=& m(r\omega) \\ \\ &=& m\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{mr} } &...&v=r\omega\text{より、p.294中段の電子の加速度にrをかけてルートをとったもの} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{ me^2}{4\pi\varepsilon_0r} } & \\ \\ &=& \frac{h}{\lambda} \\ \\ \lambda&=&\frac{h}{\sqrt{\frac{ me^2}{4\pi\varepsilon_0r} } } \end{eqnarray} と波長が得られる。この波長が半径rの円周の長さの整数倍になっていればよい。最小の倍数は\(1\)なので、 \begin{eqnarray} &&2\pi r&=&1\lambda \\ \\ && &=&\frac{h}{\sqrt{\frac{ me^2}{4\pi\varepsilon_0r} } }\\ \\ &\Rightarrow&4\pi^2r^2 &=&\frac{h^2}{\frac{ me^2}{4\pi\varepsilon_0r} } \\ \\ && &=&\frac{4\pi\varepsilon_0rh^2}{ me^2 } \\ \\ &\Leftrightarrow&r &=&\frac{\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2}{m\frac{ e^2}{4\pi\varepsilon_0} } \\ \\ &\Rightarrow& r &=& \frac{\hbar^2}{m\frac{ e^2}{4\pi\varepsilon_0} } \\ \\ && &=& \frac{\hbar}{mc\frac{ e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} } \\ \\ && &=& \frac{\hbar}{mc }\left(\frac{ e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} \right)^{-1} \\ \\ \end{eqnarray}