- 式(6.7)の導出
p.223の下部に導出がある。デルタ関数の微分については
こちらなどを参考に。
p.223の下部の最後の変形について
\begin{eqnarray}
&&\theta\left(\Delta-\frac 1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{c^2}\delta \dot{\boldsymbol{D}}(\boldsymbol{x},t)\\ \\
&=&
0-\frac{1}{c^2}\delta(t)\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\delta(t)\left. \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right|_{t=0}&...\delta(t)\text{がかけられているため、}t=0\text{以外では0になるため}\\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\delta(t)\delta^3(\boldsymbol{x})&...\text{式(2.36)より}\\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
- 式(6.9)の導出(p.223中央：式(6.8)の左辺の計算)
式(6.3)と式(6.7)をそれぞれ以下のように変形する。
\begin{eqnarray}
(6.3)&\Leftrightarrow&\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi(\boldsymbol{x},t)=0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\Delta\psi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(\boldsymbol{x},t) &...(1)\\ \\
(6.7)&\Leftrightarrow&\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)D_{ret}(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{c^2}\delta(t)\cdot\delta^3(\boldsymbol{x}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\Delta D_{ret}(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}D_{ret}(\boldsymbol{x},t)-\delta(t)\cdot\delta^3(\boldsymbol{x})\right) &...(2)\\ \\
\end{eqnarray}
これらを式(6.8)に代入すると、
\begin{eqnarray}
(6.8)\text{左辺}
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\Delta'\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\Delta'D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\right) \\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\Delta'\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\Delta'D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right)&...&\boldsymbol{R}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}' \\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t'^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\left(\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial^2}{\partial t'^2}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')-\delta(t-t')\cdot\delta^3(\boldsymbol{R})\right)\right)\right)&...&(1)(2)\text{より} \\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t'^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial^2}{\partial t'^2}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')+\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')\delta(t-t')\cdot\delta^3(\boldsymbol{R})\right)& \\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t'^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial^2}{\partial t'^2}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right)+\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)&...&\text{デルタ関数の性質より}\boldsymbol{R}=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}'=\boldsymbol{x}, t'=t\\
&&&&\text{を}\psi(\boldsymbol{x}',t')\text{に代入}\\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial^2}{\partial t'^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial^2}{\partial t'^2}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right)& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial^2}{\partial t'^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')+\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial^2}{\partial t'^2}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')-\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right)& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(\frac{\partial}{\partial t'}\left[D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right]-\frac{\partial}{\partial t'}\left[\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right]\right)& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(\frac{\partial}{\partial t'}\left[D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right]\right)& \\ \\
\end{eqnarray}
となり、p.223中段の式が得られる。そのあとの積分については、
\begin{eqnarray}
(6.8)\text{左辺}
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_{t_0}^{t_1}dt'\int_Vd^3x'\left(\frac{\partial}{\partial t'}\left[D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right]\right)& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\int_{t_0}^{t_1}dt'\left(\frac{\partial}{\partial t'}\left[D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right]\right)& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\right]_{t_0}^{t_1}& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[\theta(t-t')D(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}\left(\theta(t-t')D(\boldsymbol{R},t-t')\right)\right]_{t_0}^{t_1}& \\ \\
\end{eqnarray}
ここで、p222の下部より、\(t_1\gt t\gt t_0\)であることを用いると
\begin{eqnarray}
(6.8)\text{左辺}
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[\theta(t-t')D(\boldsymbol{R},t-t')\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}\left(\theta(t-t')D(\boldsymbol{R},t-t')\right)\right]_{t_0}^{t_1}& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[\theta(t-t_1)D(\boldsymbol{R},t-t_1)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right|_{t'=t_1}-\psi(\boldsymbol{x}',t_1)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\left(\theta(t-t_1)D(\boldsymbol{R},t-t')\right)\right|_{t'=t_1}-\theta(t-t_0)D(\boldsymbol{R},t-t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right|_{t'=t_0}+\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\left(\theta(t-t_0)D(\boldsymbol{R},t-t')\right)\right|_{t'=t_0}\right]& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[0\cdot D(\boldsymbol{R},t-t_1)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right|_{t'=t_1}-\psi(\boldsymbol{x}',t_1)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\left(0\cdot D(\boldsymbol{R},t-t')\right)\right|_{t'=t_1}-1\cdot D(\boldsymbol{R},t-t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right|_{t'=t_0}+\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\left(1\cdot D(\boldsymbol{R},t-t')\right)\right|_{t'=t_0}\right]& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[-D(\boldsymbol{R},t-t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right|_{t'=t_0}+\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}D(\boldsymbol{R},t-t')\right|_{t'=t_0}\right]& \\ \\
\end{eqnarray}
ここで、\(t_0\to t'\)とすると、
\begin{eqnarray}
(6.8)\text{左辺}
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[-D(\boldsymbol{R},t-t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')\right|_{t'=t_0}+\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\left.\frac{\partial}{\partial t'}D(\boldsymbol{R},t-t')\right|_{t'=t_0}\right]& \\ \\
&=&
\frac{1}{c^2}\psi(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x'\left[D(\boldsymbol{R},t-t_0)\frac{\partial}{\partial t'}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}D(\boldsymbol{R},t-t')\right]& \\ \\
&=&
(6.9)& \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
- p.224 上部\(\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t-t')\)の計算
\(D_{ret}(\boldsymbol{R},t)\)について、p.196 式(2.40)の式を用いて方向微分すると
\begin{eqnarray}
&&
\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t) \\ \\
&=&
\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}\left(\frac{1}{4\pi c}\frac{1}{R}\delta(R-c(t-t'))\right)&...&\boldsymbol{R}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',|\boldsymbol{R}|=R \text{を用いた。}\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\left(\delta(R-c(t-t'))\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}\delta(R-c(t-t'))\right)&\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\left(\delta(R-c(t-t'))\boldsymbol{n}'\cdot\frac{\boldsymbol{R}}{R}\frac{\partial}{\partial R}\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\boldsymbol{n}'\cdot\frac{\boldsymbol{R}}{R}\frac{\partial}{\partial R}\delta(R-c(t-t'))\right)&...&D_{ret}\text{における}\boldsymbol{R}\text{の向きの微分係数と、その向き}\frac{\boldsymbol{R}}{R}\text{を用いる。}\\
&&&&\boldsymbol{n}'\text{方向の成分を取り出すためには}\boldsymbol{n}'\text{との内積を取る。}\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\boldsymbol{n}'\cdot\frac{\boldsymbol{R}}{R}\left(\delta(R-c(t-t'))\frac{-1}{R^2}+\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}\delta(R-c(t-t'))\right)&\\ \\
\end{eqnarray}
と書ける。
ここで、p.196 式(2.42)にあるように、
\begin{eqnarray}
&&\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'&=&c(t-t') \\ \\
&\Leftrightarrow&
R&=&c(t-t') \\ \\
\end{eqnarray}
と書ける。このことから、これを用いて、\(h=R-c(t-t')\)と置くと、
\begin{eqnarray}
\frac{d h}{dR}&=&1 \\ \\
\frac{dt'}{dh}&=&\frac{d}{dh}\frac{h-R+ct}{c}=\frac{1}{c}
\end{eqnarray}
が得られるため、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dR}&=&\frac{dh}{dR}\frac{d}{dh} \\ \\
&=&
\frac{d}{dh} \\ \\
&=&
\frac{dt'}{dh}\frac{d}{dt'} \\ \\
&=&
\frac{1}{c}\frac{d}{dt'} \\ \\
\end{eqnarray}
が導ける。これを用いて、
\begin{eqnarray}
&&
\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}D_{ret}(\boldsymbol{R},t) \\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\boldsymbol{n}'\cdot\frac{\boldsymbol{R}}{R}\left(\delta(R-c(t-t'))\frac{-1}{R^2}+\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}\delta(R-c(t-t'))\right)&\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\boldsymbol{n}'\cdot\frac{\boldsymbol{R}}{R}\left(-\frac{\delta(R-c(t-t'))}{R^2}+\frac{1}{cR}\frac{\partial}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right)&\\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
- 式(6.10)の導出
式(6.8)の右辺を計算する。
\begin{eqnarray}
(6.8)\text{右辺}
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial \boldsymbol{n}'}-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\right)\\ \\
\end{eqnarray}
この中の積分の二項目はp.224の上式で示している。一項目については方向微分であるため、\(\boldsymbol{n}\)方向への方向微分を
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n} }=\boldsymbol{n}\cdot \nabla
\end{eqnarray}
と書けることを利用し、
\begin{eqnarray}
&& \int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial \boldsymbol{n}'}\right)\\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')\right)\\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(\left(\frac{1}{4\pi c}\frac{1}{R}\delta(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|-c(t-t'))\right)\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')\right)&...&\text{式(2.40)より}\\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(\left(\frac{1}{4\pi c}\frac{1}{R}\delta(R-c(t-t'))\right)\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')\right)&...&|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|=R\text{を用いた}\\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(\frac{1}{4\pi c}\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}\delta(R-c(t-t'))\right)&\\ \\
\end{eqnarray}
が得られるため、これらを用いると、
\begin{eqnarray}
(6.8)\text{右辺}
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial \boldsymbol{n}'}-\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{n}'}D_{ret}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}',t-t')\right)\\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left(\left(\frac{1}{4\pi c}\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}\delta(R-c(t-t'))\right)+\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{1}{4\pi c}\boldsymbol{n}'\cdot\frac{\boldsymbol{R}}{R}\left(-\frac{\delta(R-c(t-t'))}{R^2}+\frac{1}{cR}\frac{\partial}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right)\right)&\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}\delta(R-c(t-t'))-\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{R^3}\psi(\boldsymbol{x}',t')\delta(R-c(t-t'))+\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]&\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}\delta(R-c(t-t'))-\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{R^3}\psi(\boldsymbol{x}',t')\delta(R-c(t-t'))+\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(-\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right)\right]&...&\text{後述(1)}\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\int_{t_0}^{t_1}dt'\oint_SdS'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}\delta(R-c(t-t'))-\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{R^3}\psi(\boldsymbol{x}',t')\delta(R-c(t-t'))-\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]&\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\oint_SdS'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}-\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{R^3}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\right]_{t'=t-\frac{R}{c} }&...&\text{デルタ関数の積分より}\\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi c}\oint_SdS'\boldsymbol{n}'\cdot\left[\frac{\nabla '\psi(\boldsymbol{x}',t')}{R}-\frac{\boldsymbol{R}}{R^3}\psi(\boldsymbol{x}',t')-\frac{\boldsymbol{R}}{cR^2}\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\right]_{t'=t-\frac{R}{c} }&\\ \\
\end{eqnarray}
が導出できる。
<(1)について>
p.223の脚注：\(\dot{\delta}(t)f(t)=-\delta(t)\dot{f}(t)\)を利用する。
\begin{eqnarray}
&&\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right] \\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right] \\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(\left[\psi(\boldsymbol{x}',t')\delta(R-c(t-t'))\right]_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\partial\psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]\right) \\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(\left[\psi(\boldsymbol{x}',t')\delta(R-c(t-t'))\right]_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\partial\psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]\right) \\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(\left[\psi(\boldsymbol{x}',t_1)\delta(R-c(t-t_1))-\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\delta(R-c(t-t_0))\right]-\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\partial\psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]\right) \\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(-\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right)\right]
\end{eqnarray}
ここで、\(R-c(t-t')=0\Leftrightarrow t'=t-\frac Rc\)となる\(t,t'\)はp.222の上部下部より、\(t_0 \lt t,t' \lt t_1\)という制約が課されているため、\(t_0,t_1\)は\(t'=t-\frac{R}{c}\)と一致しないことがわかる。そこで、デルタ関数の値は0をとるため、
\begin{eqnarray}
&&\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\psi(\boldsymbol{x}',t')\frac{\partial}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right] \\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(\left[\psi(\boldsymbol{x}',t_1)\delta(R-c(t-t_1))-\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\delta(R-c(t-t_0))\right]-\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\partial\psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]\right) \\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(\left[\psi(\boldsymbol{x}',t_1)\cdot 0-\psi(\boldsymbol{x}',t_0)\cdot 0\right]-\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\partial\psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right]\right) \\ \\
&=&
\int_{t_0}^{t_1}dt'\left[\frac{\boldsymbol{n}'\cdot\boldsymbol{R}}{cR^2}\left(-\frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}',t')}{\partial t'}\delta(R-c(t-t'))\right)\right]
\end{eqnarray}
となることがわかる。
- 式(6.13)が波動方程式の解になること
波動方程式
\begin{eqnarray}
\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi(r,t)=0
\end{eqnarray}
について、ラプラシアン\(\Delta\)を極座標形式で記述する。p.115の式(8.9)を参考にすると
\begin{eqnarray}
\Delta=\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r+\frac 1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac 1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\end{eqnarray}
と書けることを利用し、
\begin{eqnarray}
&&\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi(r,t)&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\left(\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r+\frac 1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac 1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi(r,t)&=&0 \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。式(6.13)を左辺に代入すると
\begin{eqnarray}
&&\left(\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r+\frac 1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac 1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi(r,t) \\ \\
&=&
\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r\psi(r,t)+\frac 1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\psi(r,t)+\frac 1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}\psi(r,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(r,t) \\ \\
&=&
\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r\psi(r,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(r,t) \\ \\
&=&
\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r\frac{f}{r}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{f}{r}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})} \\ \\
&=&
\frac 1r\frac{\partial^2}{\partial r^2}fe^{i\omega(t-\frac{r}{c})}-\frac{1}{c^2}(i\omega)^2\frac{f}{r}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})} \\ \\
&=&
\frac 1r(-\frac{i\omega}c)^2fe^{i\omega(t-\frac{r}{c})}-\frac{1}{c^2}(i\omega)^2\frac{f}{r}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})} \\ \\
&=&
\frac 1r(-\frac{\omega^2}{c^2})fe^{i\omega(t-\frac{r}{c})}+\frac{1}{c^2}\omega^2\frac{f}{r}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})} \\ \\
&=&
0
\end{eqnarray}
となり、波動方程式を満たすことがわかる。
- 式(6.15)の計算
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{n}'\cdot \nabla'\psi(r_1,t)
&=&
(-\boldsymbol{n})\cdot \nabla'\psi(r_1,t) \\ \\
&=&
-\boldsymbol{n}\cdot \frac{\boldsymbol{r}_1}{r_1}\frac{\partial}{\partial r_1}\psi(r_1,t) &...&\text{方向微分であるため}\boldsymbol{r}_1\text{の向きとして}\frac{\boldsymbol{r}_1}{r_1}\text{を用いた}\\ \\
&=&
-\boldsymbol{n}\cdot \frac{\boldsymbol{r}_1}{r_1}\frac{\partial}{\partial r_1}\frac{f}{r_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})} &\\ \\
&=&
- \frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r}_1}{r_1}\left(e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})}\frac{\partial}{\partial r_1}\frac{f}{r_1}+\frac{f}{r_1}\frac{\partial}{\partial r_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})}\right) &\\ \\
&=&
- \frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r}_1}{r_1}\left(e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})}\frac{-f}{r_1^2}+\frac{f}{r_1}\left(\frac{-i\omega}{c}\right)e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})}\right) &\\ \\
&=&
- \frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r}_1}{r_1}\left(\frac{-f}{r_1^2}+\frac{f}{r_1}\frac{-i\omega}{c}\right)e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})} &\\ \\
&=&
- \frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r}_1}{r_1}\left(-\frac{1}{r_1}-i\frac{\omega}{c}\right)\frac{f}{r_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})} &\\ \\
&=&
\frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{r}_1}{r_1}\left(\frac{1}{r_1}+i\frac{\omega}{c}\right)\frac{f}{r_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1}{c})} &\\ \\
\end{eqnarray}
- p.226 下部 Sをどのようにとっても\(\psi(r,t)\)の値は変わらないことについて
式(6.16)に代入する\(\psi(r_1,t)\)は式(6.14)で定義されているため、Sをどのようにとっても\(\psi(r,t)\)の値は変わらないと考えられる。
- 式(6.17)の導出
式(6.16)を式変形すると
\begin{eqnarray}
\psi(r,t)
&=&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1^2}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1^2}-\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}-\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{eqnarray}
(1)
&=&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
(2)
&=&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{-\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{-\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&=&
-\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
\end{eqnarray}
ここで、\(|\boldsymbol{R}|=R,|-\boldsymbol{R}|=R\)であることを用いる。図6.5より、\(\boldsymbol{r}_1,-\boldsymbol{R}\)はそれぞれ、楕円の中で焦点から表面までのベクトルを表している。ここで、(2)において\(-\boldsymbol{R}\)と\(\boldsymbol{r}_1\)をそれぞれ置換する。その際、\(|\pm\boldsymbol{R}|=R,|\pm\boldsymbol{r}_1|=r_1\)であることを用いると
\begin{eqnarray}
(2)
&=&
-\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(-\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&\Rightarrow&
-\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{(r_1)^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}\right\} \right]\frac{f}{r_1R}e^{i\omega(t-\frac{R+r_1}{c})} \\ \\
&=&
-\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{(r_1)^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&=&
-(1)\\ \\
\end{eqnarray}
であることがわかる。従って、
\begin{eqnarray}
\psi(r,t)
&=&
(1)+(2) \\ \\
&=&
(1)-(1) \\ \\
&=&
0\\ \\
\end{eqnarray}
となる。
- 式(6.18)の近似
\begin{eqnarray}
\psi(r,t)
&=&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1^2}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
\end{eqnarray}
において、各項の絶対値が、\(r_1,R\)にどのように比例するかを考えると
\begin{eqnarray}
\left|\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1^2}\right|\propto \frac{1}{r_1} \\ \\
\left|\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right||\propto \frac{1}{R} \\ \\
\left|\frac{i\omega}{c}\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}\right|\propto 1 \\ \\
\left|\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right|\propto 1 \\ \\
\end{eqnarray}
となるといえるため、\(r_1,R\)が大きな値の時、一項目と二項目は0に近似できる。従って、
\begin{eqnarray}
\psi(r,t)
&=&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left[\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1^2}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R^2}\right\}+\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right]\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&\sim&
\frac{1}{4\pi}\oint_SdS'\left(\frac{i\omega}{c}\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right)\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&=&
\frac{1}{4\pi}\frac{i\omega}{c}\oint_SdS'\left(\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right)\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&=&
\frac{i}{2}\frac{\omega}{2\pi c}\oint_SdS'\left(\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right)\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
&=&
\frac{i}{2\lambda}\oint_SdS'\left(\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right)\frac{f}{Rr_1}e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})}&...&\lambda=\frac{2\pi c}{\omega}\text{を利用} \\ \\
&=&
\frac{if}{2\lambda}\oint_S\frac{dS'}{Rr_1}\left(\left\{\frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R}\right\} \right)e^{i\omega(t-\frac{r_1+R}{c})} \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
- p.227下部の積分で\(dS'=2\pi r_1^2\sin\theta\cdot d\theta\)となること
極座標の積分において、動径方向\(r=r_1\)で固定して面積分することを考える。面積要素\(dS'\)は
\begin{eqnarray}
dS'=r_1^2\sin\theta d\theta d\varphi
\end{eqnarray}
と書くことができる。ここで、\(\varphi\)は図6.6のOP軸周りに\(0\to 2\pi\)の積分区間で取る。ここで、積分値は\(\varphi\)に依存しないので、\(\varphi\)を先に積分すると、
\begin{eqnarray}
dS'
&=&
r_1^2\sin\theta d\theta d\varphi \\ \\
&\Rightarrow&
2\pi r_1^2\sin\theta d\theta \\ \\
\end{eqnarray}
となる。
- \(\psi_k(r,t)\)の計算
\begin{eqnarray}
\psi_k(r,t)
&=&
\frac{i\pi f}{\lambda r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}\int_{R_0+(k-1)\frac{\lambda}{2}}^{R_0+k\frac{\lambda}{2}}(1+\cos\chi)e^{-2\pi i\frac{R}{\lambda}}dR \\ \\
&=&
\frac{i\pi f}{\lambda r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}(1+\cos\chi)\int_{R_0+(k-1)\frac{\lambda}{2}}^{R_0+k\frac{\lambda}{2}}e^{-2\pi i\frac{R}{\lambda}}dR&...&\text{p.228より、角度}\chi \text{はほとんど一定と見なせるため積分の外に出した} \\ \\
&=&
\frac{i\pi f}{\lambda r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}s_k \left[-\frac{\lambda}{2\pi i}e^{-2\pi i\frac{R}{\lambda}}\right]_{R_0+(k-1)\frac{\lambda}{2}}^{R_0+k\frac{\lambda}{2}}& \\ \\
&=&
\frac{i\pi f}{\lambda r}\frac{\lambda}{2\pi i}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}s_k \left[-e^{-2\pi i\frac{R}{\lambda}}\right]_{R_0+(k-1)\frac{\lambda}{2}}^{R_0+k\frac{\lambda}{2}}& \\ \\
&=&
\frac{ f}{2 r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}s_k \left[-e^{-2\pi i\frac{R_0+k\frac{\lambda}{2}}{\lambda}}+e^{-2\pi i\frac{R_0+(k-1)\frac{\lambda}{2}}{\lambda}}\right]& \\ \\
&=&
\frac{ f}{2 r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}s_k e^{-2\pi i\frac{R_0}{\lambda}}\left[-e^{-2\pi i\frac{k\frac{\lambda}{2}}{\lambda}}+e^{-2\pi i\frac{(k-1)\frac{\lambda}{2}}{\lambda}}\right]& \\ \\
&=&
\frac{ f}{2 r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}s_k e^{-2\pi i\frac{R_0}{\lambda}}\left[-e^{-i\pi k}+e^{-i\pi (k-1)}\right]& \\ \\
&=&
\frac{ f}{2 r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)}s_k e^{-2\pi i\frac{r-r_1}{\lambda}}\left[-e^{-i\pi k}+e^{-i\pi (k-1)}\right]&...&\text{図6.7より、}R_0=r-r_1 \\ \\
&=&
\frac{ f}{2 r}e^{i(\omega t-2\pi r_1/\lambda)-2\pi i\frac{r-r_1}{\lambda}}s_k \left[-(-1)^k+(-1)^{k-1}\right]& \\ \\
&=&
\frac{ f}{2 r}e^{i(\omega t-2\pi r/\lambda)}s_k \left[(-1)^{k-1}+(-1)^{k-1}\right]& \\ \\
&=&
\frac{ f}{ r}(-1)^{k-1}e^{i(\omega t-2\pi r/\lambda)}s_k& \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
- \(s_2=\frac{s_1+s_3}2\)が近似的に成り立つこと
\(\chi_{k-1},\chi_k,\chi_{k+1}\)の間の変化が小さいとき、これらはこの範囲内で一次関数的に変化していると近似できる。
そうすると、\(\chi_{k-1},\chi_{k+1}\)の平均が\(\chi_{k}\)になると考えられるため、\(s_2=\frac{s_1+s_3}2\)が近似的に成り立つと考えられる。
- p.229 \(N=\text{偶数}\)の時の\(s\)の総和に関する近似
\begin{eqnarray}
s&=&\frac{s_1}2+\left(\frac{s_1}2-s_2+\frac{s_3}2\right)+\ldots+\left(\frac{s_{N-3}}2-s_{N-2}+\frac{s_{N-1}}2\right)+\frac{s_{N-1}}2-S_N \\ \\
&\simeq&
\frac{s_1}2+\frac{s_{N-1}}2-S_N &...&\text{Nが奇数の時と同様にしてN-1までの和を求めた}\\ \\
&\simeq&
\frac{s_1}2+\frac{s_{N}}2-S_N &...&(1)\\ \\
&=&
\frac{s_1}2-\frac{s_{N}}2
\end{eqnarray}
が得られる。
(1)について
\begin{eqnarray}
s_k=1+\cos \chi_k
\end{eqnarray}
において、\(\chi_k=\pi\)周りのテイラー展開をすると
\begin{eqnarray}
\cos x\simeq 1+\frac{1}{2}x^2\ldots
\end{eqnarray}
と表せるため、\(x\)の一次の項以下では値は変わらないと近似できる。従って微小な\(\delta\)を考えると、
\begin{eqnarray}
\cos\pi\simeq\cos(\pi-\delta)
\end{eqnarray}
と言えることから、
\begin{eqnarray}
&&\cos\chi_{N-1}\simeq\cos\chi_N \\ \\
&\Leftrightarrow&
1+\cos\chi_{N-1}\simeq 1+\cos\chi_N \\ \\
&\Leftrightarrow&
s_{N-1}\simeq s_N \\ \\
\end{eqnarray}
と近似できるといえる。
- 式(6.24)の導出
参考書に従って、式(6.23)中の\(\frac{1}{r_1R}\left\{ \frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R} \right\}\)を積分の外に出す。
\begin{eqnarray}
\psi(P,t)
&=&
\frac{if}{2\lambda}\frac{1}{r_1R}\left\{ \frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R} \right\}\int_{S=\text{小孔}}dSe^{i(\omega t-\frac{2\pi(r_1+R)}{\lambda})} \\ \\
&=&
\frac{if}{2\lambda}\frac{1}{r_1R}\left\{ \frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R} \right\}e^{i\omega t}\int_{S=\text{小孔} }dSe^{-i\frac{2\pi(r_1+R)}{\lambda} } \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。図6.8に従って積分の外において、\(\boldsymbol{r}_1\to\boldsymbol{\rho}_1,\boldsymbol{R}\to\boldsymbol{\rho}_P\)に変換する。この際、\(\rho_1\)の向きは\(\boldsymbol{r}_1\)と逆なので、変換の際に負号を付ける。
\begin{eqnarray}
\psi(P,t)
&=&
\frac{if}{2\lambda}\frac{1}{r_1R}\left\{ \frac{(\boldsymbol{r}_1\cdot\boldsymbol{n})}{r_1}+\frac{(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{n})}{R} \right\}e^{i\omega t}\int_{S=\text{小孔} }dSe^{-i\frac{2\pi(r_1+R)}{\lambda} } \\ \\
&=&
\frac{if}{2\lambda}\frac{1}{\rho_1\rho_P}\left\{ \frac{(-\boldsymbol{\rho}_1\cdot\boldsymbol{n})}{\rho_1}+\frac{(\boldsymbol{\rho}_P\cdot\boldsymbol{n})}{\rho_P} \right\}e^{i\omega t}\int_{S=\text{小孔}}dSe^{-i\frac{2\pi(r_1+R)}{\lambda} } \\ \\
&=&
-\frac{if}{2\lambda}\frac{1}{\rho_1\rho_P}\left\{ \frac{(\boldsymbol{\rho}_1\cdot\boldsymbol{n})}{\rho_1}-\frac{(\boldsymbol{\rho}_P\cdot\boldsymbol{n})}{\rho_P} \right\}e^{i\omega t}\int_{S=\text{小孔}}dSe^{-i\frac{2\pi(r_1+R)}{\lambda} } \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
- 式(6.25)の\(r_1^2,r_1\)の近似、式(6.26)の\(R\)の近似
図6.8から、\(\rho_1^2=x_1^2+y_1^2+z_1^2\)であるから、
\begin{eqnarray}
r_1^2
&=&
(x_1-x)^2+(y_1-y)^2+z_1^2 \\ \\
&=&
x_1^2-2x_1x+x^2+y_1^2-2y_1y+y^2+z_1^2 \\ \\
&=&
\rho_1^2-2x_1x+x^2-2y_1y+y^2 \\ \\
\end{eqnarray}
ここで、\(x,y\)が\(x_1,y_1\)に比べて小さいとすると、
\begin{eqnarray}
r_1^2
&=&
\rho_1^2-2x_1x+x^2-2y_1y+y^2 \\ \\
&\simeq&
\rho_1^2-2x_1x-2y_1y \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。\(r_1\)を求めると
\begin{eqnarray}
&&r_1^2&\simeq&\rho_1^2-2x_1x-2y_1y \\ \\
&\Rightarrow&
r_1&\simeq&\sqrt{\rho_1^2-2x_1x-2y_1y} \\ \\
&&
&=&
\rho_1\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} } \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。ここで\(x,y\)についてテイラー展開すると
\begin{eqnarray}
r_1&\simeq&\sqrt{\rho_1^2-2x_1x-2y_1y} \\ \\
&=&
\rho_1\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} } \\ \\
&\simeq&
\rho_1\left(\left.\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} }\right|_{x=0,y=0}
+\left.\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} }\right|_{x=0,y=0}x+
+\left.\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} }\right|_{x=0,y=0}y
\right) \\ \\
&=&
\rho_1\left(1
+\left.\frac{1}{2}\frac{-2\frac{x_1}{\rho_1^2}}{\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} }}\right|_{x=0,y=0}x
+\left.\frac{1}{2}\frac{-2\frac{y_1}{\rho_1^2}}{\sqrt{1-2\frac{x_1x}{\rho_1^2}-2\frac{y_1y}{\rho_1^2} }}\right|_{x=0,y=0}y
\right) \\ \\
&=&
\rho_1\left(1
+\frac{1}{2}\frac{-2\frac{x_1}{\rho_1^2}}{1}x
+\frac{1}{2}\frac{-2\frac{y_1}{\rho_1^2}}{1}y
\right) \\ \\
&=&
\rho_1\left(1
-\frac{x_1}{\rho_1^2}x
-\frac{y_1}{\rho_1^2}y
\right) \\ \\
&=&
\rho_1
-\frac{x_1}{\rho_1}x
-\frac{y_1}{\rho_1}y
\\ \\
&=&
\rho_1
-\alpha_1x
-\beta_1y
&...&\alpha_1=x_1/\rho_1,\beta_1=y_1/\rho_1\text{とした}\\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
同様にして
\begin{eqnarray}
R^2&=&(x_P-x)^2+(y_P-y)^2+z_P^2 \\ \\
\rho_P^2&=&x_P^2+y_P^2+z_P^2 \\ \\
\alpha_P&=&\frac{x_P}{\rho_P} \\ \\
\beta_P&=&\frac{y_P}{\rho_P} \\ \\
\end{eqnarray}
として同様の計算をすることで\(R\simeq\rho_P-\alpha_Px-\beta_Py\)が求められる。
- 電磁波の入射方向と同方向で観測される回折波を考えるうえで\(\alpha_P=-\alpha_1,\beta_P=-\beta_1\)になること
図6.8より、\(\boldsymbol{\rho_P},\rho_1\)は逆向きを向いている。そのため、\(\rho_P,\rho_1\)がz軸と成す角をそれぞれ\(\phi_P,\phi_1\)とすると、
\begin{eqnarray}
\phi_1=\phi_P+\pi
\end{eqnarray}
になることがわかる。この余弦は
\begin{eqnarray}
\cos\phi_1&=&\cos(\phi_P+\pi) \\ \\
&=&
-\cos(\phi_P) \\ \\
\end{eqnarray}
であることから、方向余弦も同様に
\begin{eqnarray}
\alpha_P&=&-\alpha_1 \\ \\
\beta_P&=&-\beta_1 \\ \\
\end{eqnarray}
になる。
- 式(6.31)の導出
\begin{eqnarray}
\frac{J}{J_0}
&=&
\frac{1}{S^2}\left|\int_{-a}^ae^{i\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Px}dx\right|^2\cdot\left|\int_{-b}^be^{i\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Py}dy\right|^2 \\ \\
&=&
\frac{1}{S^2}\left|\left[\frac{\lambda}{2\pi i\alpha_P}e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Px}\right]_{-a}^a\right|^2\cdot\left|\left[\frac{\lambda}{2\pi i\beta_P}e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Py}\right]_{-b}^b\right|^2 \\ \\
&=&
\frac{1}{S^2}\left(\frac{\lambda}{\pi \alpha_P}\right)^2\left(\frac{\lambda}{\pi \beta_P}\right)^2\left|\left[\frac{1}{2i}e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Px}\right]_{-a}^a\right|^2\cdot\left|\left[\frac{1}{2i}e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Py}\right]_{-b}^b\right|^2 \\ \\
&=&
\frac{1}{S^2}\left(\frac{\lambda}{\pi \alpha_P}\right)^2\left(\frac{\lambda}{\pi \beta_P}\right)^2\left|\left[\frac{1}{2i}\left(e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa}-e^{-i\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa}\right)\right]\right|^2\cdot\left|\left[\frac{1}{2i}\left(e^{i\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb}-e^{-i\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb}\right)\right]\right|^2 \\ \\
&=&
\frac{1}{S^2}\left(\frac{\lambda}{\pi \alpha_P}\right)^2\left(\frac{\lambda}{\pi \beta_P}\right)^2\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa)\right|^2\cdot\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb)\right|^2&...&\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\text{を利用} \\ \\
&=&
\frac{1}{(4ab)^2}\left(\frac{\lambda}{\pi \alpha_P}\right)^2\left(\frac{\lambda}{\pi \beta_P}\right)^2\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa)\right|^2\cdot\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb)\right|^2&...&S=4ab\text{を利用(p.231下部)} \\ \\
&=&
\frac{1}{(2a\cdot 2b)^2}\left(\frac{\lambda}{\pi \alpha_P}\right)^2\left(\frac{\lambda}{\pi \beta_P}\right)^2\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa)\right|^2\cdot\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb)\right|^2& \\ \\
&=&
\left(\frac{\lambda}{2a\pi \alpha_P}\right)^2\left(\frac{\lambda}{2b\pi \beta_P}\right)^2\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa)\right|^2\cdot\left|\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb)\right|^2&\\ \\
&=&
\left[\frac{\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\alpha_Pa)}{\frac{2\pi }{\lambda}a\alpha_P}\right]^2\cdot\left[\frac{\sin(\frac{2\pi}{\lambda}\beta_Pb)}{\frac{2\pi }{\lambda}b\beta_P}\right]^2&\\ \\
\end{eqnarray}