理論電磁気学の行間埋め　第８章

真空中の電磁波の基本法則

式(1.7)の導出

式(1.17)の両辺を時間微分すると

\begin{array}{rclrcl} (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) A (x, t) & = & 0 \\ \Rightarrow & \frac{\partial}{\partial t} (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) A (x, t) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) \frac{\partial}{\partial t} A (x, t) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) (- E (x, t)) & = & 0 & . . . 式(1.15)より \\ \Leftrightarrow & (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) E (x, t) & = & 0 \end{array}

が得られる。
また、式(1.17)の回転をとると、

\begin{array}{rclrcl} (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) A (x, t) & = & 0 \\ \Rightarrow & rot (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) A (x, t) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) rot A (x, t) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) B (x, t) & = & 0 & . . . 式(1.16)より \end{array}

が得られる。

真空中の電磁波

p.188 $(Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) A (x, t)$ の計算の導出

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A (x, t) = e^{(1)} a_{k} (t) e^{i k \cdot x}

を代入する。この際に、

k = (k_{x}, k_{y}, k_{z}), x = (x, y, z)

とする。

\begin{array}{rcl} (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) A (x, t) & = & (Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) e^{(1)} a_{k} (t) e^{i k \cdot x} \\ = & e^{(1)} (Δ a_{k} (t) e^{i k \cdot x} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} a_{k} (t) e^{i k \cdot x}) \\ = & e^{(1)} (a_{k} (t) (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z)} - \frac{1}{c^{2}} e^{i k \cdot x} {\ddot{a}}_{k} (t)) \\ = & e^{(1)} (a_{k} (t) ((i k_{x})^{2} + (i k_{y})^{2} + (i k_{z})^{2}) e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z)} - \frac{1}{c^{2}} e^{i k \cdot x} {\ddot{a}}_{k} (t)) \\ = & e^{(1)} (a_{k} (t) (- (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2})) e^{i k \cdot x} - \frac{1}{c^{2}} e^{i k \cdot x} {\ddot{a}}_{k} (t)) \\ = & e^{(1)} (a_{k} (t) (- k^{2}) e^{i k \cdot x} - \frac{1}{c^{2}} e^{i k \cdot x} {\ddot{a}}_{k} (t)) \\ = & - e^{(1)} (k^{2} a_{k} (t) + \frac{1}{c^{2}} {\ddot{a}}_{k} (t)) e^{i k \cdot x} \end{array}

式(2.6)の導出

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k = (k_{x}, k_{y}, k_{z}), x = (x, y, z), e^{(1)} = (e_{x}, e_{y}, e_{z})

とする。

\begin{array}{rcl} div A (x, t) & = & div e^{(1)} a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & \frac{\partial}{\partial x} e_{x} a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ + \frac{\partial}{\partial y} e_{y} a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ + \frac{\partial}{\partial z} e_{z} a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & e_{x} a_{k} \frac{\partial}{\partial x} e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} \\ + e_{y} a_{k} \frac{\partial}{\partial y} e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} \\ + e_{z} a_{k} \frac{\partial}{\partial z} e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} \\ = & e_{x} a_{k} (i k_{x}) e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} \\ + e_{y} a_{k} (i k_{y}) e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} \\ + e_{z} a_{k} (i k_{z}) e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} \\ = & e_{x} a_{k} (i k_{x}) e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ + e_{y} a_{k} (i k_{y}) e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ + e_{z} a_{k} (i k_{z}) e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & i a_{k} (e_{x} k_{x} + e_{y} k_{y} + e_{z} k_{z}) e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & i a_{k} e^{(1)} \cdot k e^{i (k \cdot x - ω t)} \end{array}

が得られる。

式(2.12)の導出

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p.190にあるように、式(2.8)と式(2.9)の実数部分をとって、１周期にわたる時間平均を計算する。複素数Cの実数部分を

R e (C)

とする。

\begin{array}{rcl} \overset{―}{S} & = & \frac{1}{μ_{0}} \overset{―}{E \times B} \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} E \times B d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} (e^{(1)} R e (i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)})) \times (e^{(2)} R e (i k a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)})) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} (e^{(1)} \times e^{(2)}) R e (i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)})) \times (R e (i k a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)})) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(3)} R e (i ω a_{k} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t)) R e (i k a_{k} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t))) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k} R e (i \cos (k \cdot x - ω t) - \sin (k \cdot x - ω t)) k a_{k} (R e (i \cos (k \cdot x - ω t) - \sin (k \cdot x - ω t))) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k} (- \sin (k \cdot x - ω t)) k a_{k} ((- \sin (k \cdot x - ω t))) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k}^{2} k \sin^{2} (k \cdot x - ω t) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k}^{2} k (\frac{1 - 2 \sin 2 (k \cdot x - ω t)}{2}) d t \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k}^{2} k {[\frac{t + 2 / 2 ω \cos 2 (k \cdot x - ω t)}{2}]}_{0}^{2 π / ω} \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k}^{2} k [\frac{2 π / ω + 2 / 2 ω \cos 2 (k \cdot x - ω 2 π / ω) - 2 / 2 ω \cos 2 (k \cdot x - 0 ω)}{2}] \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k}^{2} k [\frac{2 π / ω + 2 / 2 ω \cos 2 (k \cdot x - 2 π) - 2 / 2 ω \cos 2 (k \cdot x ω)}{2}] \\ = & \frac{1}{μ_{0}} \frac{1}{2 π / ω} e^{(3)} ω a_{k}^{2} k [\frac{2 π / ω}{2}] \\ = & e^{(3)} \frac{ω a_{k}^{2} k}{2 μ_{0}} \end{array}

が得られる。ここで、

\frac{1}{2 μ} E \times B *

を計算する。

\begin{array}{rcl} \frac{1}{2 μ_{0}} E \times B^{*} & = & \frac{1}{2 μ_{0}} (e^{(1)} i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \times (e^{(2)} (- i k a_{k}) e^{- i (k \cdot x - ω t)}) \\ = & \frac{1}{2 μ_{0}} e^{(1)} \times e^{(2)} ω a_{k} k a_{k} \\ = & \frac{ω a_{k}^{2} k}{2 μ_{0}} e^{(3)} \end{array}

が得られる。これは時間によらず一定であるため時間平均がこの値に一致することから

\begin{array}{r} \overset{―}{S} = \frac{1}{2 μ_{0}} E \times B^{*} \end{array}

となる。

式(2.13)の導出

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式(2.11)の時間平均を考える。複素数Cの実数部分を

R e (C)

と書く。一項目は

\begin{array}{rcl} \overset{―}{E \cdot D} & = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} R e (E) \cdot R e (D) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(1)} R e (i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \cdot ε_{0} e^{(1)} R e (i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} ε_{0} e^{(1)} \cdot e^{(1)} R e (i ω a_{k} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t))) R e (i ω a_{k} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t))) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} ε_{0} 1 (ω a_{k})^{2} R e (i \cos (k \cdot x - ω t) - \sin (k \cdot x - ω t))^{2} d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} (- \sin (k \cdot x - ω t))^{2} d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} \sin^{2} (k \cdot x - ω t) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} \frac{1 - 2 \sin 2 (k \cdot x - ω t)}{2} d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} {[\frac{t - \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - ω t)}{2}]}_{0}^{2 π / ω} \\ = & \frac{1}{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} [\frac{2 π / ω - \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - ω 2 π / ω) + \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - 0 ω)}{2}] \\ = & \frac{1}{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} [\frac{2 π / ω - \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - 2 π) + \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x)}{2}] \\ = & \frac{1}{2 π / ω} ε_{0} (ω a_{k})^{2} [\frac{2 π / ω}{2}] \\ = & \frac{ε_{0} (ω a_{k})^{2}}{2} \end{array}

となる。二項目は同様にして、

\begin{array}{rcl} \overset{―}{B \cdot H} & = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} R e (B) \cdot R e (H) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} e^{(2)} R e (i k a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \cdot \frac{1}{μ_{0}} e^{(2)} R e (i k a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} e^{(2)} \cdot e^{(2)} R e (i k a_{k} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t))) R e (i k a_{k} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t))) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} 1 (k a_{k})^{2} R e (i \cos (k \cdot x - ω t) - \sin (k \cdot x - ω t))^{2} d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} (- \sin (k \cdot x - ω t))^{2} d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} \sin^{2} (k \cdot x - ω t) d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \int_{0}^{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} \frac{1 - 2 \sin 2 (k \cdot x - ω t)}{2} d t \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} {[\frac{t - \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - ω t)}{2}]}_{0}^{2 π / ω} \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} [\frac{2 π / ω - \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - ω 2 π / ω) + \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - 0 ω)}{2}] \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} [\frac{2 π / ω - \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x - 2 π) + \frac{2}{2 ω} \cos 2 (k \cdot x)}{2}] \\ = & \frac{1}{2 π / ω} \frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2} [\frac{2 π / ω}{2}] \\ = & \frac{(k a_{k})^{2}}{2 μ_{0}} \end{array}

が得られるため、一項目と二項目を合わせて、

\begin{array}{rcl} \overset{―}{w} & = & \frac{1}{2} (\overset{―}{E \cdot D} + \overset{―}{B \cdot H}) \\ = & \frac{ε_{0} (ω a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} \end{array}

となる。一方、式(2.13)を計算すると、

\begin{array}{rcl} \frac{1}{4} (E \cdot D^{*} + B \cdot H^{*}) \\ = & \frac{1}{4} (e^{(1)} (i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \cdot ε_{0} e^{(1)} (- i ω a_{k} e^{- i (k \cdot x - ω t)}) + e^{(2)} (i k a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \cdot \frac{1}{μ_{0}} e^{(2)} (- i k a_{k} e^{- i (k \cdot x - ω t)})) \\ = & \frac{1}{4} (ε_{0} e^{(1)} \cdot e^{(1)} (i ω a_{k}) (- i ω a_{k}) + \frac{1}{μ_{0}} e^{(2)} \cdot e^{(2)} (i k a_{k}) (- i k a_{k})) \\ = & \frac{1}{4} (ε_{0} 1 (ω a_{k})^{2} + \frac{1}{μ_{0}} 1 (k a_{k})^{2}) \\ = & \frac{ε_{0} (ω a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} \\ = & \overset{―}{w} \end{array}

が得られる。最後は時間によらない定数であるため、時間平均をとっても同じ値となることを利用した。

式(2.14)の導出

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式(2.9)を式(2.12)に代入する。

\begin{array}{rclr} \overset{―}{S} & = & \frac{1}{2 μ_{0}} E \times B^{*} \\ = & \frac{1}{2 μ_{0}} (e^{(1)} i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \times (e^{(2)} (- i k a_{k}) e^{- i (k \cdot x - ω t)}) \\ = & \frac{1}{2 μ_{0}} e^{(1)} \times e^{(2)} ω a_{k} k a_{k} \\ = & \frac{ω a_{k}^{2} k}{2 μ_{0}} e^{(3)} \\ = & \frac{c k a_{k}^{2} k}{2 μ_{0}} e^{(3)} & . . . 式(2.4)より \\ = & \frac{c k^{2}}{2 μ_{0}} | a_{k} |^{2} e^{(3)} \end{array}

が得られる。

式(2.15)の導出

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式(2.9)を式(2.13)に代入する。

\begin{array}{rclr} \overset{―}{w} & = & \frac{1}{4} (E \cdot D^{*} + B \cdot H^{*}) \\ = & \frac{1}{4} (e^{(1)} (i ω a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \cdot ε_{0} e^{(1)} (- i ω a_{k} e^{- i (k \cdot x - ω t)}) + e^{(2)} (i k a_{k} e^{i (k \cdot x - ω t)}) \cdot \frac{1}{μ_{0}} e^{(2)} (- i k a_{k} e^{- i (k \cdot x - ω t)})) \\ = & \frac{1}{4} (ε_{0} e^{(1)} \cdot e^{(1)} (i ω a_{k}) (- i ω a_{k}) + \frac{1}{μ_{0}} e^{(2)} \cdot e^{(2)} (i k a_{k}) (- i k a_{k})) \\ = & \frac{1}{4} (ε_{0} 1 (ω a_{k})^{2} + \frac{1}{μ_{0}} 1 (k a_{k})^{2}) \\ = & \frac{ε_{0} (ω a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} \\ = & \frac{ε_{0} (c k a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} & . . . 式(2.4)より \\ = & \frac{ε_{0} c^{2} (k a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} \\ = & \frac{ε_{0} \frac{1}{ε_{0} μ_{0}} (k a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} & . . . ε_{0} μ_{0} = \frac{1}{c^{2}} であるため \\ = & \frac{\frac{1}{μ_{0}} (k a_{k})^{2}}{4} + \frac{(k a_{k})^{2}}{4 μ_{0}} \\ = & \frac{k^{2}}{2 μ_{0}} | a_{k} |^{2} \end{array}

が得られる。

式(2.21)の導出

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p.191の楕円的な偏りを持つ場合の式を用いる。この式に式(2.20)を適用する。

\begin{array}{rcl} A (x, t) & = & [e^{(1)} | a_{k}^{(1)} | e^{i δ_{1}} + e^{(2)} | a_{k}^{(2)} | e^{i δ_{2}}] e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & [e^{(1)} | a_{k}^{(1)} | + e^{(2)} | a_{k}^{(2)} | e^{i (δ_{2} - δ_{1})}] e^{i δ_{1}} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & [e^{(1)} + e^{(2)} e^{i (δ_{2} - δ_{1})}] | a_{k} | e^{i δ_{1}} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & [e^{(1)} + e^{(2)} e^{i (\pm π / 2)}] | a_{k} | e^{i δ_{1}} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & [e^{(1)} \pm i e^{(2)}] | a_{k} | e^{i δ_{1}} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & | a_{k} | [e^{(1)} \pm i e^{(2)}] e^{i δ_{1}} e^{i (k \cdot x - ω t)} \end{array}

が得られる。ここで

δ_{1}

は位相であるため、

δ_{1} = 0

とすることで、

\begin{array}{rcl} A (x, t) & = & | a_{k} | [e^{(1)} \pm i e^{(2)}] e^{i δ_{1}} e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & | a_{k} | [e^{(1)} \pm i e^{(2)}] e^{i (k \cdot x - ω t)} \end{array}

が得られる。

式(2.22)の導出

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式(2.21)を変形する。

\begin{array}{rcl} A (x, t) & = & | a_{k} | [e^{(1)} \pm i e^{(2)}] e^{i (k \cdot x - ω t)} \\ = & | a_{k} | [e^{(1)} \pm i e^{(2)}] (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t)) \\ = & | a_{k} | (e^{(1)} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t)) \pm i e^{(2)} (\cos (k \cdot x - ω t) + i \sin (k \cdot x - ω t))) \\ = & | a_{k} | ((e^{(1)} \cos (k \cdot x - ω t) \pm i^{2} e^{(2)} \sin (k \cdot x - ω t)) + i (e^{(1)} \sin (k \cdot x - ω t) \pm e^{(2)} \cos (k \cdot x - ω t))) \\ = & | a_{k} | ((e^{(1)} \cos (k \cdot x - ω t) \mp e^{(2)} \sin (k \cdot x - ω t)) + i (e^{(1)} \sin (k \cdot x - ω t) \pm e^{(2)} \cos (k \cdot x - ω t))) \end{array}

が得られる。それぞれ、x軸、y軸、z軸の実数要素を抜き出す。波動

k

の進行方向が

e^{(3)}

(z軸)の方向であるため、

k \cdot x = k_{z} z

となることを利用する。

\begin{array}{rcl} A_{x} (x, t) & = & | a_{k} | \cos (k_{z} z - ω t) \\ A_{y} (x, t) & = & \mp | a_{k} | \sin (k_{z} z - ω t) \\ A_{x} (x, t) & = & 0 \end{array}

が得られる。

式(2.25)の導出

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式(2.23)を変形する。

\begin{array}{rclr} A (x, t) & = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [a (k) e^{i (k \cdot x - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d k [a (k) e^{i (k z - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - ω t)}] \\ = & \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{i (k z - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - ω t)}] + \int_{- \infty}^{0} d k [a (k) e^{i (k z - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - ω t)}] \\ = & \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{i (k z - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - ω t)}] + \int_{\infty}^{0} (- d k^{'}) [a (k^{'}) e^{i (- k^{'} z - ω t)} + a^{*} (k^{'}) e^{- i (- k^{'} z - ω t)}] & . . . k = - k^{'} とし、 d k = - d k^{'} とした \\ = & \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{i (k z - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - ω t)}] - \int_{0}^{\infty} (- d k^{'}) [a (k^{'}) e^{i (- k^{'} z - ω t)} + a^{*} (k^{'}) e^{- i (- k^{'} z - ω t)}] & . . . 二項目の積分区間を 0 \to \infty とした \\ = & \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{i (k z - ω t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - ω t)}] + \int_{0}^{\infty} d k^{'} [a (k^{'}) e^{- i (k^{'} z + ω t)} + a^{*} (k^{'}) e^{i (k^{'} z + ω t)}] \\ = & \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{i (k z - k c t)} + a^{*} (k) e^{- i (k z - k c t)}] + \int_{0}^{\infty} d k^{'} [a (k^{'}) e^{- i (k^{'} z + k^{'} c t)} + a^{*} (k^{'}) e^{i (k^{'} z + k^{'} c t)}] & . . . ω = k c を代入(式(2.24)) \\ = & \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{i k (z - c t)} + a^{*} (k) e^{- i k (z - c t)}] + \int_{0}^{\infty} d k [a (k) e^{- i k (z + c t)} + a^{*} (k) e^{i k (z + c t)}] & . . . 二項目の変数を k^{'} \to k に変更 \\ = & f (z - c t) + g (z + c t) \end{array}

が得られる。

p.192 $E_{x} (z, t)$ の式変形

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u = z - c t, s = z + c t

とする。

\begin{array}{rcl} E_{x} (z, t) & = & - \frac{\partial A_{x}}{\partial t} \\ = & - \frac{\partial f (z - c t)}{\partial t} - \frac{\partial g (z + c t)}{\partial t} \\ = & - \frac{\partial f (u)}{\partial t} - \frac{\partial g (s)}{\partial t} \\ = & - \frac{\partial f (u)}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial g (s)}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial t} \\ = & - \frac{\partial f (u)}{\partial u} (- c) - \frac{\partial g (s)}{\partial s} c \\ = & c \frac{\partial f (u)}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u} - c \frac{\partial g (s)}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial s} \\ = & c \frac{\partial f (u)}{\partial z} \frac{\partial (u + c t)}{\partial u} - c \frac{\partial g (s)}{\partial z} \frac{\partial (s - c t)}{\partial s} \\ = & c \frac{\partial f (u)}{\partial z} - c \frac{\partial g (s)}{\partial z} \\ = & c \frac{\partial f (z - c t)}{\partial z} - c \frac{\partial g (z + c t)}{\partial z} \end{array}

が得られる。

式(2.27)の導出

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\begin{array}{rcl} B_{y} (z, t) & = & (rot A)_{y} \\ = & \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x} \\ = & \frac{\partial}{\partial z} (f (z - c t) + g (z + c t)) - 0 \\ = & f (z - c t) + g (z + c t) \\ = & \frac{1}{c} [c f (z - c t) - (- c g (z + c t))] \\ = & \frac{1}{c} [F (z - c t) - G (z + c t)] \end{array}

が得られる。

式(2.31)の導出

▼ 詳細を開く

式(2.29)と式(2.30)を足して式を整理する。

\begin{array}{rclrc} 2 a (k) e^{- i ω t} & = & \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} A (x, t) d^{3} x + \frac{i}{(2 π)^{3}} \frac{1}{ω} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} \frac{A (x, t)}{\partial t} d^{3} x \\ \Leftrightarrow & 2 a (k) e^{- i ω t} & = & \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} [A (x, t) + \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a (k) e^{- i ω t} & = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} [A (x, t) + \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a (k) & = & e^{i ω t} \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} [A (x, t) + \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a (k) & = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i (k \cdot x - i ω t)} [A (x, t) + \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \end{array}

が得られる。

式(2.32)の導出

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式(2.29)から式(2.30)を足して式を整理する。

\begin{array}{rclrcl} 2 a^{*} (- k) e^{i ω t} & = & \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} A (x, t) d^{3} x - \frac{i}{(2 π)^{3}} \frac{1}{ω} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} \frac{A (x, t)}{\partial t} d^{3} x \\ \Leftrightarrow & 2 a^{*} (- k) e^{i ω t} & = & \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} [A (x, t) - \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a^{*} (- k) e^{i ω t} & = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} [A (x, t) - \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a^{*} (- k) & = & e^{- i ω t} \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k \cdot x} [A (x, t) - \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a^{*} (- k) & = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i (k \cdot x + i ω t)} [A (x, t) - \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x \\ \Leftrightarrow & a^{*} (k^{'}) & = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i (- k^{'} \cdot x + i ω t)} [A (x, t) - \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x & . . . k = - k^{'} とした \\ \Leftrightarrow & a^{*} (k) & = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i (k \cdot x - i ω t)} [A (x, t) - \frac{i}{ω} \frac{A (x, t)}{\partial t}] d^{3} x & . . . k^{'} を k に置換した \end{array}

が得られる。

式(2.36)の導出

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p.195 の

\frac{\partial D (x, t)}{\partial t}

を利用して、

\begin{array}{rclr} {\frac{\partial D (x, t)}{\partial t} |}_{t = 0} & = & {\frac{+ 1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i (k \cdot x - ω t)} + e^{- i (k \cdot x - ω t)}] |}_{t = 0} \\ = & \frac{+ 1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i k \cdot x} + e^{- i k \cdot x}] \\ = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} + \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{- i k \cdot x} \\ = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} (\int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} + \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{- i k \cdot x}) \\ = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} (\int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} + \int_{\infty}^{- \infty} (- d^{3} k^{'}) e^{i k^{'} \cdot x}) & . . . k = k^{'} とした \\ = & \frac{1}{2 (2 π)^{3}} (\int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} + \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k^{'} e^{i k^{'} \cdot x}) \\ = & \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} & . . . 一項目と二項目が同じ計算なので \\ = & \frac{1}{(2 π)^{3}} (2 π)^{3} δ (x) & . . . (1) 下で解説 \\ = & δ (x) \end{array}

が得られる。
(1)の積分は

k = (k_{x}, k_{y}, k_{z}), x = (x, y, z)

であるとして、

\begin{array}{rcl} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} & = & \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d k_{x} d k_{y} d k_{z} k e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z)} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d k_{x} d k_{y} d k_{z} k e^{i k_{x} x} e^{i k_{y} y} e^{i k_{z} z} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d k_{x} e^{i k_{x} x} \int_{- \infty}^{\infty} d k_{y} e^{i k_{y} y} \int_{- \infty}^{\infty} d k_{z} k e^{i k_{z} z} \\ = & 2 π δ (x) 2 π δ (y) 2 π δ (z) \\ = & (2 π)^{3} δ (x) \end{array}

となる。

式(2.38)の確認

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\frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}}

を計算すると、

\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} & = & \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} \\ = & \frac{\partial}{\partial t} \frac{+ 1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i (k \cdot x - ω t)} + e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & \frac{+ 1}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [(- i ω) e^{i (k \cdot x - ω t)} + (i ω) e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & - \frac{i ω}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i (k \cdot x - ω t)} - e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & - ω^{2} \frac{i}{2 (2 π)^{3} ω} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i (k \cdot x - ω t)} - e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & - ω^{2} D (x, t) \end{array}

が得られる。
次に

Δ D (x, t)

を計算する。

k = (k_{x}, k_{y}, k_{z}), x = (x, y, z)

とすると

\begin{array}{rcl} Δ D (x, t) & = & (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) D (x, t) \end{array}

ここで、xについての微分を考えると

\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} D (x, t) & = & \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{ω} [e^{i (k \cdot x - ω t)} + e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{ω} [e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} + e^{- i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)}] \\ = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{ω} [(i k_{x})^{2} e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} + (- i k_{x})^{2} e^{- i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)}] \\ = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{ω} [(i k_{x})^{2} e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} + (i k_{x})^{2} e^{- i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)}] \\ = & (i k_{x})^{2} \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{ω} [e^{i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)} + e^{- i (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)}] \\ = & - k_{x}^{2} D (x, t) \end{array}

となることから、

\begin{array}{rcl} Δ D (x, t) & = & (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) D (x, t) \\ = & (- k_{x}^{2} - k_{y}^{2} - k_{z}^{2}) D (x, t) \\ = & - (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) D (x, t) \\ = & - k^{2} D (x, t) \end{array}

が得られる。

\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}}

との差をとると、

\begin{array}{rcl} Δ D (x, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} D (x, t)}{\partial t^{2}} & = & - k^{2} D (x, t) - \frac{- 1}{c^{2}} ω^{2} D (x, t) \\ = & (- k^{2} + \frac{1}{c^{2}} ω^{2}) D (x, t) \\ = & (- k^{2} + \frac{1}{c^{2}} (c | k |)^{2}) D (x, t) \\ = & (- k^{2} + | k |^{2}) D (x, t) \\ = & 0 \end{array}

となることから、式(2.38)を満たす。

式(2.39)の導出

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D (x, t)

の積分の際、参考書に従った極座標を採用すると、

\begin{array}{rclr} D (x, t) & = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{ω} [e^{i (k \cdot x - ω t)} - e^{- i (k \cdot x - ω t)}] \\ = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \frac{k^{2} d \sin θ d φ d θ d k}{ω} [e^{i (k r \cos θ - ω t)} - e^{- i (k r \cos θ - ω t)}] \\ = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \frac{k^{2} d \sin θ d φ d θ d k}{ω} [e^{i (k r \cos θ - ω t)} - e^{- i (k r \cos θ - ω t)}] \\ = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \frac{k^{2} d \sin θ d φ d θ d k}{c k} [e^{i (k r \cos θ - c k t)} - e^{- i (k r \cos θ - c k t)}] \\ = & \frac{i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} 2 π \frac{k^{2} d \sin θ d θ d k}{c k} [e^{i k (r \cos θ - c t)} - e^{- i k (r \cos θ - c t)}] \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \int_{1}^{- 1} \frac{k^{2} (- d u) d k}{c k} [e^{i k (r u - c t)} - e^{- i k (r u - c t)}] & . . . u = \cos θ, d u = - \sin θ d θ とした \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \int_{- 1}^{1} \frac{k^{2} (d u) d k}{c k} [e^{i k (r u - c t)} - e^{- i k (r u - c t)}] \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} {[\frac{k^{2} d k}{c k} [\frac{1}{i k r} e^{i k (r u - c t)} - \frac{- 1}{i k r} e^{- i k (r u - c t)}]]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} {[\frac{k^{2} d k}{c k} [\frac{1}{i k r} e^{i k (r u - c t)} - \frac{- 1}{i k r} e^{- i k (r u - c t)}]]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} {[\frac{k^{2} d k}{i c k^{2} r} [e^{i k (r u - c t)} + e^{- i k (r u - c t)}]]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} {[\frac{d k}{i c r} [e^{i k (r u - c t)} + e^{- i k (r u - c t)}]]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} [\frac{d k}{i c r} [e^{i k (r - c t)} + e^{- i k (r - c t)} - e^{i k (- r - c t)} - e^{- i k (- r - c t)}]] \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \frac{1}{i c r} \int_{0}^{\infty} d k [e^{i k (r - c t)} + e^{- i k (r - c t)} - e^{- i k (r + c t)} - e^{i k (r + c t)}] \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \frac{1}{i c r} [\int_{0}^{\infty} d k [e^{i k (r - c t)} - e^{i k (r + c t)}] + \int_{0}^{\infty} d k [e^{- i k (r - c t)} - e^{- i k (r + c t)}]] \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \frac{1}{i c r} [\int_{0}^{\infty} d k [e^{i k (r - c t)} - e^{i k (r + c t)}] + \int_{0}^{- \infty} (- d k^{'}) [e^{i k^{'} (r - c t)} - e^{i k^{'} (r + c t)}]] & . . . k^{'} = - k とした \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \frac{1}{i c r} [\int_{0}^{\infty} d k [e^{i k (r - c t)} - e^{i k (r + c t)}] + \int_{- \infty}^{0} d k^{'} [e^{i k^{'} (r - c t)} - e^{i k^{'} (r + c t)}]] & . . . 二項目の積分区間の入れ替え \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \frac{1}{i c r} [\int_{- \infty}^{\infty} d k e^{i k (r - c t)} - (\int_{- \infty}^{\infty} d k e^{i k (r + c t)})] & . . . 積分の結合 \\ = & \frac{2 π i}{2 (2 π)^{3}} \frac{1}{i c r} [2 π δ (r - c t) - 2 π δ ((r + c t))] & . . . p.455 (B・25)より \\ = & \frac{1}{2 (2 π)} \frac{1}{c r} [δ (r - c t) - δ ((r + c t))] \\ = & \frac{1}{4 π c} \frac{1}{r} [δ (r - c t) - δ ((r + c t))] \end{array}

が得られる。

誘電体中の電磁波

式(3.12)の導出

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式(3.2)をFourier積分で書くと

\begin{array}{rclrcl} rot H (x, t) - \frac{\partial D (x, t)}{\partial t} & = & 0 \\ \Leftrightarrow & rot (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{μ (ω)} B (x, ω) e^{i ω t} d ω) - \frac{\partial}{\partial t} (\int_{- \infty}^{\infty} ε (ω) E (x, ω) e^{i ω t} d ω) & = & 0 & . . . 式(3.9)を利用 \\ \Leftrightarrow & (\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{μ (ω)} rot B (x, ω) e^{i ω t} d ω) - (\int_{- \infty}^{\infty} ε (ω) E (x, ω) \frac{\partial}{\partial t} e^{i ω t} d ω) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{1}{μ (ω)} rot B (x, ω) e^{i ω t} - ε (ω) E (x, ω) (i ω) e^{i ω t}) d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{1}{μ (ω)} rot B (x, ω) - ε (ω) E (x, ω) (i ω)) e^{i ω t} d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{μ (ω)} (rot B (x, ω) - μ (ω) ε (ω) E (x, ω) (i ω)) e^{i ω t} d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{μ (ω)} (rot B (x, ω) - \frac{i ω}{v (ω)^{2}} E (x, ω)) e^{i ω t} d ω & = & 0 & . . . v (ω)^{2} = \frac{1}{μ (ω) ε (ω)} \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} (rot B (x, ω) - \frac{i ω}{v (ω)^{2}} E (x, ω)) & = & 0 \end{array}

が得られる。

式(3.14)の導出

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式(3.10)から、Lorentzゲージを用いると、p.185 式(1.6)のように書くことができる。微分操作がされている

\frac{\partial A (x, t)}{\partial t}

に着目する。この項をFourier積分で書くと

\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial t} A (x, t) & = & \frac{\partial}{\partial t} \int_{- \infty}^{\infty} A (x, ω) e^{i ω t} d ω \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} A (x, ω) \frac{\partial}{\partial t} e^{i ω t} d ω \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} A (x, ω) i ω e^{i ω t} d ω \end{array}

が得られる。これを利用して式全体をFourier積分で書くと

\begin{array}{rclrc} E (x, t) & = & - \frac{\partial}{\partial t} A (x, t) - grad ϕ (x, t) \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} E (x, ω) e^{i ω t} d ω & = & \int_{- \infty}^{\infty} (- \frac{\partial}{\partial t} A (x, t) - grad ϕ (x, t)) e^{i ω t} d ω \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} E (x, ω) e^{i ω t} d ω & = & \int_{- \infty}^{\infty} (- i ω A (x, ω) - grad ϕ (x, ω)) e^{i ω t} d ω \end{array}

積分の中身を比較すると、

\begin{array}{rcl} E (x, ω) e^{i ω t} & = & - i ω A (x, ω) - grad ϕ (x, ω) \end{array}

が得られる。

B (x, t) = rot A (x, t)

については、変数tに関する微分などの操作はないため、両辺をFourier積分で表して中身を比較すると、

\begin{array}{rclrc} B (x, t) & = & rot A (x, t) \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} B (x, ω) e^{i ω t} d ω & = & \int_{- \infty}^{\infty} rot A (x, t) e^{i ω t} d ω \\ \Leftrightarrow & B (x, ω) & = & A (x, t) \end{array}

となる。

式(3.15)の導出

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LorentzゲージをFourier積分で書くと

\begin{array}{rclrc} div A (x, t) + \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ϕ (x, t) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (div A (x, t) + \frac{1}{v (ω)^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ϕ (x, t)) e^{i ω t} d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (div A (x, t) e^{i ω t} + \frac{1}{v (ω)^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ϕ (x, t) e^{i ω t}) d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (div A (x, t) e^{i ω t} + \frac{1}{v (ω)^{2}} ϕ (x, t) \frac{\partial}{\partial t} e^{i ω t}) d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (div A (x, t) e^{i ω t} + \frac{1}{v (ω)^{2}} ϕ (x, t) i ω e^{i ω t}) d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} (div A (x, t) + \frac{1}{v (ω)^{2}} ϕ (x, t) i ω) e^{i ω t} d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & div A (x, t) + \frac{1}{v (ω)^{2}} ϕ (x, t) i ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & div A (x, t) + \frac{1}{v (ω)^{2}} ϕ (x, t) i ω & = & 0 \end{array}

が得られる。

式(3.16)の導出

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式(3.12)より

\begin{array}{rclrcl} \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} (rot B (x, ω) - \frac{i ω}{v (ω)^{2}} E (x, ω)) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} (rot (rot A (x, ω)) - \frac{i ω}{v (ω)^{2}} (- i ω A (x, ω) - grad ϕ (x, ω))) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} ((grad div A (x, ω) - Δ A (x, ω)) - \frac{ω^{2}}{v (ω)^{2}} A (x, ω) + grad (\frac{i ω}{v (ω)^{2}} ϕ (x, ω))) & = & 0 & . . . rot rot A = grad div A - Δ A を用いた(p.449 (7)(c)) \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} ((grad div A (x, ω) - Δ A (x, ω)) - \frac{ω^{2}}{v (ω)^{2}} A (x, ω) + grad (- div A (x, ω))) & = & 0 & . . . 式(3.15) \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} ((- Δ A (x, ω)) - \frac{ω^{2}}{v (ω)^{2}} A (x, ω)) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} ((Δ A (x, ω)) + \frac{ω^{2}}{v (ω)^{2}} A (x, ω)) & = & 0 \end{array}

が得られる。
式(3.13)を式変形すると、

\begin{array}{rclrcl} \int_{- \infty}^{\infty} d ω ε (ω) div E (x, ω) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω ε (ω) div (- i ω A (x, ω) - grad ϕ (x, ω)) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω ε (ω) (- i ω div A (x, ω) - div grad ϕ (x, ω)) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω ε (ω) (- i ω (- \frac{i ω}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω)) - Δ ϕ (x, ω)) & = & 0 & . . . 一項目：式(3.15)、二項目：div grad ϕ = Δ ϕ より (p .446 A ・ 47) \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω ε (ω) (- \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω) - Δ ϕ (x, ω)) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \int_{- \infty}^{\infty} d ω ε (ω) (Δ ϕ (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω)) & = & 0 \end{array}

が得られる。

式(3.14)(3.15)(3.16)が式(3.17)に対して不変であること。

▼ 詳細を開く

各式に代入する。
<式(3.14)>

\begin{array}{rclr} - i ω A^{'} (x, ω) - grad ϕ^{'} (x, ω) \\ = & - i ω (A (x, ω) + grad χ_{0} (x, ω)) - grad (ϕ (x, ω) - i ω χ_{0} (x, ω)) \\ = & - i ω A (x, ω) - grad ϕ (x, ω) - i ω grad χ_{0} (x, ω) + grad i ω χ_{0} (x, ω) \\ = & - i ω A (x, ω) - grad ϕ (x, ω) \\ = & E (x, ω) \\ rot A^{'} (x, ω) \\ = & rot (A (x, ω) + grad χ_{0} (x, ω)) \\ = & rot A (x, ω) + rot grad χ_{0} (x, ω) \\ = & rot A (x, ω) & . . . p.447 (A・55) より \\ = & B (x, ω) \end{array}

より、式(3.14)は不変である。
<式(3.15)>

\begin{array}{rclr} div A^{'} (x, ω) + \frac{i ω}{v^{2} (ω)} ϕ^{'} (x, ω) \\ = & div (A (x, ω) + grad χ_{0} (x, ω)) + \frac{i ω}{v^{2} (ω)} (ϕ (x, ω) - i ω χ_{0} (x, ω)) \\ = & div A (x, ω) + \frac{i ω}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω) + div grad χ_{0} (x, ω) - i ω \frac{i ω}{v^{2} (ω)} χ_{0} (x, ω) \\ = & div A (x, ω) + \frac{i ω}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω) + Δ χ_{0} (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} χ_{0} (x, ω) \\ = & 0 + (Δ + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)}) χ_{0} (x, ω) & . . . 式(3.15)より \\ = & 0 & . . . 式(3.18)の条件より \end{array}

以上より、式(3.15)は不変である。
<式(3.16)>

\begin{array}{rclr} Δ A^{'} (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} A^{'} (x, ω) \\ = & Δ (A (x, ω) + grad χ_{0} (x, ω)) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} (A (x, ω) + grad χ_{0} (x, ω)) \\ = & Δ A (x, ω) + Δ grad χ_{0} (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} A (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} grad χ_{0} (x, ω) \\ = & Δ A (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} A (x, ω) + grad Δ χ_{0} (x, ω) + grad \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} χ_{0} (x, ω) & . . . (1) \\ = & Δ A (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} A (x, ω) + grad (Δ + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)}) χ_{0} (x, ω) \\ = & Δ A (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} A (x, ω) \end{array}

であることから、式(3.16)の上式に対して不変であることがわかる。
(1)の、勾配とラプラシアンの交換については

\begin{array}{rcl} (Δ grad ϕ)_{x} & = & Δ \frac{\partial}{\partial x} ϕ \\ = & (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \frac{\partial}{\partial x} ϕ \\ = & (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \frac{\partial}{\partial x}) ϕ \\ = & (\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) ϕ \\ = & \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) ϕ \\ = & \frac{\partial}{\partial x} Δ ϕ \\ = & (grad Δ ϕ)_{x} \end{array}

より、交換できる。
次に、式(3.16)の下式では、

\begin{array}{rclr} Δ ϕ^{'} (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} ϕ^{'} (x, ω) \\ = & Δ (ϕ (x, ω) - i ω χ_{0} (x, ω)) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} (ϕ (x, ω) - i ω χ_{0} (x, ω)) \\ = & Δ ϕ (x, ω) - Δ i ω χ_{0} (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω) - \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} i ω χ_{0} (x, ω) \\ = & Δ ϕ (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω) - i ω (Δ + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)}) χ_{0} (x, ω) \\ = & Δ ϕ (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} ϕ (x, ω) & . . . 式(3.18)より \end{array}

であることから、式(3.16)の下式は不変である。

基本方程式系が式(3.19)で表されること。

▼ 詳細を開く

式(3.17)のゲージ変換に対して式(3.14)は不変なので、

\begin{array}{rclrc} E (x, ω) & = & - i ω A^{'} (x, ω) - grad ϕ^{'} (x, ω) \\ = & - i ω A^{'} (x, ω) \end{array}

となる。

ϕ^{'} (x, ω) = 0

であることを用いた。
同様に式(3.14)に式(3.17)のゲージ変換を施すと

\begin{array}{rcl} B (x, ω) = rot A^{'} (x, ω) \end{array}

となる。
式(3.16)が式(3.17)のゲージ変換に対して不変なので、

\begin{array}{rcl} \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{i ω t} \frac{1}{μ (ω)} [Δ A^{'} (x, ω) + \frac{ω^{2}}{v^{2} (ω)} A^{'} (x, ω)] = 0 \end{array}

が得られる。
最後に、式(3.15)が式(3.17)のゲージ変換に対して不変なので、

\begin{array}{rclrc} div A^{'} (x, ω) + \frac{i ω}{v^{2} (ω)} ϕ^{'} (x, ω) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & div A^{'} (x, ω) & = & 0 \end{array}

最後の変換は

ϕ^{'} (x, ω) = 0

であることを用いた。

式(3.23)の計算

▼ 詳細を開く

\begin{array}{rclr} A (x, ω) & = & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{- i ω t} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} δ (ω - ω (k)) a (k) + (c . c .) \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d ω e^{- i ω t} δ (ω - ω (k)) \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{i k \cdot x} a (k) + (c . c .) \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k e^{- i ω (k) t} e^{i k \cdot x} a (k) + (c . c .) & . . . p.453 下部 デルタ関数の積分より \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i (k \cdot x - ω (k) t)} a (k)] + (c . c .) \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{i (k \cdot x - ω (k) t)} a (k)] + \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [e^{- i (k \cdot x - ω (k) t)} a^{*} (k)] & c.c.は複素共役を表すため \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [a (k) e^{i (k \cdot x - ω (k) t)} + a^{*} (k) e^{- i (k \cdot x - ω (k) t)}] \end{array}

が得られる。

式(3.27)の導出

▼ 詳細を開く

式(3.23)を用いる。

\begin{array}{rcl} A (x, ω) & = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [a (k) e^{i (k \cdot x - ω (k) t)} + a^{*} (k) e^{- i (k \cdot x - ω (k) t)}] \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [a (k) e^{i (k \cdot x - ω (k) t)}] + (c . c .) \end{array}

ここで、

k = k_{0} + k^{'}

とし、

k_{0}

を定数部分、

k^{'}

を変数とすると

\begin{array}{rclr} A (x, ω) & = & \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} k [a (k) e^{i (k \cdot x - ω (k) t)}] + (c . c .) \\ = & \int_{Δ k} d^{3} k [a (k_{0} + k^{'}) e^{i ((k_{0} + k^{'}) \cdot x - ω (k_{0} + k^{'}) t)}] + (c . c .) \\ = & \int_{Δ k} d^{3} k [a_{k_{0}} (k^{'}) e^{i ((k_{0} + k^{'}) \cdot x - ω (k_{0} + k^{'}) t)}] + (c . c .) & . . . a (k_{0} + k^{'}) = a_{k_{0}} (k^{'}) とした \\ = & \int_{Δ k} d^{3} k [a_{k_{0}} (k^{'}) e^{i ((k_{0} + k^{'}) \cdot x - (ω (k_{0}) + \frac{\partial ω (k_{0})}{\partial k_{0}} \cdot k^{'}) t)}] + (c . c .) \\ = & \int_{Δ k} d^{3} k [a_{k_{0}} (k^{'}) e^{i (k_{0} \cdot x - ω (k_{0}) t)} e^{i (k^{'} \cdot x - \frac{\partial ω (k_{0})}{\partial k_{0}} \cdot k^{'} t)}] + (c . c .) \\ = & e^{i (k_{0} \cdot x - ω (k_{0}) t)} \int_{Δ k} d^{3} k [a_{k_{0}} (k^{'}) e^{i k^{'} \cdot (x - \frac{\partial ω (k_{0})}{\partial k_{0}} t)}] + (c . c .) \end{array}

が得られる。

式(3.32)の導出

▼ 詳細を開く

式(3.24)の両辺を

k

で微分すると

\begin{array}{rclrcl} ω & = & \frac{c k}{n (ω)} \\ \Rightarrow & \frac{\partial ω}{\partial k} & = & c \frac{\partial}{\partial k} \frac{k}{n (ω)} \\ \Leftrightarrow & v_{g} & = & c (\frac{n (ω) - k \frac{\partial}{\partial k} n (ω)}{n (ω)^{2}}) \\ \Leftrightarrow & v_{g} & = & c (\frac{n (ω) - k \frac{\partial ω}{\partial k} \frac{\partial}{\partial ω} n (ω)}{n (ω)^{2}}) \\ \Leftrightarrow & v_{g} & = & c (\frac{n (ω) - k v_{g} \frac{\partial n (ω)}{\partial ω}}{n (ω)^{2}}) \\ \Leftrightarrow & n (ω)^{2} v_{g} + c k v_{g} \frac{\partial n (ω)}{\partial ω} & = & c n (ω) \\ \Leftrightarrow & v_{g} & = & c \frac{n (ω)}{n (ω)^{2} + c k \frac{\partial n (ω)}{\partial ω}} \\ \Leftrightarrow & v_{g} & = & \frac{c}{n (ω) + \frac{c k}{n (ω)} \frac{\partial n (ω)}{\partial ω}} \\ \Leftrightarrow & v_{g} & = & \frac{c}{n (ω) + ω \frac{\partial n (ω)}{\partial ω}} & . . . ω = c k / n (ω) より \end{array}

が得られる。

p.208 $e^{- i ω t} = e^{i | t | R_{e} ω} e^{- | t | I_{m} ω}$ であること

▼ 詳細を開く

複素数

ω

の実部を

R_{e} ω

、虚部を

I_{m} ω

とすると、

\begin{array}{rclrc} ω & = & R_{e} ω + i I_{m} ω \end{array}

と書ける。また、

t < 0

であることから、

- t = | t |

となることを用いて、

\begin{array}{rcl} e^{- i ω t} & = & e^{i ω | t |} \\ = & e^{i (R_{e} ω + i I_{m} ω) | t |} \\ = & e^{(i R_{e} ω - I_{m} ω) | t |} \\ = & e^{i R_{e} ω | t |} e^{- I_{m} ω | t |} \end{array}

となる。

式(3.48)の積分に半円積分路 $C_{1}$ が付け加えられること

▼ 詳細を開く

e^{i ω t} = e^{i R_{e} ω | t |} e^{- I_{m} ω | t |}

は、

I_{m} ω > 0

で、

I_{m} ω \to \infty

の時、

e^{i ω t} = e^{i R_{e} ω | t |} e^{- I_{m} ω | t |} \to 0

となる。そこで、半円積分路

C_{1}

を利用して積分する際、半円の半径を

| R |

、偏角を

θ

とすると、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{1}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & lim_{| R | \to \infty} \int_{0}^{π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \end{array}

と表すことで、

I_{m} ω > 0

の領域で

C_{1}

の経路積分をすることができる。従って、

| R | \to \infty

の時に

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω \end{array}

に

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω \end{array}

を足しても値は変化しない。
<実際の評価>
半円積分路

C_{1}

を利用した積分は、半円の半径を

| R |

、偏角を

θ

とすると、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{1}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & \int_{0}^{π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \end{array}

と表せる。これを式変形すると、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{1}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & \int_{0}^{π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{π} \frac{e^{- i | R | (\cos θ + i \sin θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{π} \frac{e^{- | R | (i \cos θ - \sin θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{π} \frac{e^{- | R | i \cos θ t} e^{| R | \sin θ t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{π} \frac{e^{i | t | | R | \cos θ} e^{- | t | | R | \sin θ}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \end{array}

が得られる。ここで、分子に着目すると

\begin{array}{rcl} | e^{i | t | | R | \cos θ} e^{- | t | | R | \sin θ} | R | i e^{i θ} | & \leq & | e^{i | t | | R | \cos θ} | | e^{- | t | | R | \sin θ} | | | R | i e^{i θ} | \\ \leq & 1 | e^{- | t | | R | \sin θ} | | R | 1 \\ \leq & | e^{- | t | | R | \sin 0} | | R | \\ \leq & | R | \end{array}

となる。分母は

\begin{array}{rclr} | | R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2} | & \leq & | | R |^{2} e^{2 i θ} | & . . . R \to \infty より \\ \leq & | R |^{2} | e^{2 i θ} | \\ \leq & | R |^{2} * 1 \\ = & | R |^{2} \end{array}

であることから、

| R | \to \infty

とすることで、

\begin{array}{r} lim_{| R | \to \infty} \frac{e^{i | t | | R | \cos θ} e^{- | t | | R | \sin θ}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} < lim_{| R | \to \infty} \frac{| R |}{| R |^{2}} = 0 \end{array}

となるため、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{1}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & lim_{| R | \to \infty} \int_{0}^{π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} d θ \\ = & 0 \end{array}

となる。従って、式(3.48)の積分に半円積分路

C_{1}

を付け加えても値は変わらない。あまり良い議論ではないかもしれない…。

p.208 $A (0, t < 0) = 0$ になること

▼ 詳細を開く

A (0, t < 0)

を計算する際に経路

C_{1}

と

- \infty \to ω \to \infty

の経路を通る経路積分をする。その際にこの積分は複素積分に当たる。
この経路では、特異点に当たる

ω = \pm ω_{0}

を含まないため、複素積分の結果は0になる。参考：こちらや、関数論(複素関数論)の参考書など。

式(3.48)の積分に下半円の積分路 $C_{2}$ が付け加えられること

▼ 詳細を開く

C_{1}

を足すケースと同様に考える。

e^{i ω t} = e^{- i R_{e} ω t} e^{I_{m} ω | t |}

は、

I_{m} ω < 0

で、

I_{m} ω \to - \infty

の時、

e^{i ω t} = e^{- i R_{e} ω t} e^{I_{m} ω t} \to 0

となる。そこで、半円積分路

C_{2}

を利用して積分する際、半円の半径を

| R |

、偏角を

θ

とすると、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{1}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & lim_{| R | \to \infty} \int_{0}^{- π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \end{array}

と表すことで、

I_{m} ω > 0

の領域で

C_{2}

の経路積分をすることができる。従って、

| R | \to \infty

の時に

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω \end{array}

に

\begin{array}{r} \int_{C_{2}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω \end{array}

を足しても値は変化しない。
<実際の評価>
半円積分路

C_{2}

を利用した積分は、半円の半径を

| R |

、偏角を

θ

とすると、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{2}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & \int_{0}^{- π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \end{array}

と表せる。これを式変形すると、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{2}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & \int_{0}^{- π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{- π} \frac{e^{- i | R | (\cos θ + i \sin θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{- π} \frac{e^{- | R | (i \cos θ - \sin θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{- π} \frac{e^{- | R | i \cos θ t} e^{| R | \sin θ t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \\ = & \int_{0}^{π} \frac{e^{- i t | R | \cos θ} e^{t | R | \sin θ}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} (| R | i e^{i θ} d θ) \end{array}

が得られる。ここで、分子に着目すると

\begin{array}{rclr} | e^{- i t | R | \cos θ} e^{t | R | \sin θ} | R | i e^{i θ} | & \leq & | e^{- i t | R | \cos θ} | | e^{t | R | \sin θ} | | | R | i e^{i θ} | \\ \leq & 1 | e^{t | R | \sin θ} | | R | 1 \\ \leq & | e^{t | R | \sin 0} | | R | & . . .0 \to θ \to - π であるため、 \sin θ < 0 であるから \\ \leq & | R | \end{array}

となる。分母は

\begin{array}{rclr} | | R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2} | & \leq & | | R |^{2} e^{2 i θ} | & . . . R \to \infty より \\ \leq & | R |^{2} | e^{2 i θ} | \\ \leq & | R |^{2} * 1 \\ = & | R |^{2} \end{array}

であることから、

| R | \to \infty

とすることで、

\begin{array}{r} lim_{| R | \to \infty} \frac{e^{- i t | R | \cos θ} e^{t | R | \sin θ}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} < lim_{| R | \to \infty} \frac{| R |}{| R |^{2}} = 0 \end{array}

となるため、

\begin{array}{rcl} \int_{C_{2}} \frac{e^{- i ω t}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & lim_{| R | \to \infty} \int_{0}^{- π} \frac{e^{- i | R | \exp (i θ) t}}{| R |^{2} e^{2 i θ} - ω_{0}^{2}} d θ \\ = & 0 \end{array}

となる。従って、式(3.48)の積分に半円積分路

C_{2}

を付け加えても値は変わらない。

p.208下の複素積分の計算

▼ 詳細を開く

留数定理を用いて計算する。積分経路を

C

として表現する。この経路は時計回りであるため、積分結果は反時計回りの複素積分の結果と正負が逆になる。特異点は

ω = \pm ω_{0}

でそれぞれ一位の極なので、

\begin{array}{rclr} \int_{C} \frac{e^{- i ω | t |}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & - 2 π i ({\frac{e^{- i ω | t |}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} (ω - ω_{0}) |}_{ω = ω_{0}} + {\frac{e^{- i ω | t |}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} (ω + ω_{0}) |}_{ω = - ω_{0}}) \\ = & - 2 π i ({\frac{e^{- i ω | t |}}{ω + ω_{0}} |}_{ω = ω_{0}} + {\frac{e^{- i ω | t |}}{ω - ω_{0}} |}_{ω = - ω_{0}}) \\ = & - 2 π i (\frac{e^{- i ω_{0} | t |}}{2 ω_{0}} + \frac{e^{i ω_{0} | t |}}{- 2 ω_{0}}) \\ = & \frac{2 π i}{ω_{0}} (\frac{e^{i ω_{0} | t |}}{2} - \frac{e^{- i ω_{0} | t |}}{2}) \\ = & - \frac{2 π}{ω_{0}} \frac{1}{2 i} (e^{i ω_{0} | t |} - e^{- i ω_{0} | t |}) \\ = & - \frac{2 π}{ω_{0}} \sin (ω_{0} | t |) & . . . \sin θ = \frac{1}{2 i} (e^{i θ} + e^{- i θ}) \end{array}

が得られる。

式(3.49)の導出

▼ 詳細を開く

p.206の例題に従って計算する。その際に、外から入射する電場を

E = E_{0} e^{i ω t}

とする。n番目の粒子に働く、速度に比例した抵抗を

m λ_{n}

とし、その時の固有の周波数を

ω_{n}

とする。運動方程式は

\begin{array}{r} m \frac{d v}{d t} = - m ω_{n}^{2} r + e E_{0} e^{i ω t} + m λ_{n} v \end{array}

と書ける。この時、特解として

r = C e^{i ω t}

と置くと

\begin{array}{rclrc} m \frac{d v}{d t} & = & - m ω_{n}^{2} r + e E_{0} e^{i ω t} + m λ_{n} v \\ \Leftrightarrow & m \frac{d^{2}}{d t^{2}} r & = & - m ω_{n}^{2} r + e E_{0} e^{i ω t} + m λ_{n} \frac{d}{d t} r \\ \Leftrightarrow & m (i ω)^{2} C e^{i ω t} & = & - m ω_{n}^{2} C e^{i ω t} + e E_{0} e^{i ω t} + m λ_{n} (i ω) C e^{i ω t} \\ \Leftrightarrow & - m ω^{2} C & = & - m ω_{n}^{2} C + e E_{0} + m λ_{n} (i ω) C \\ \Leftrightarrow & m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n}) C & = & e E_{0} \\ \Leftrightarrow & C & = & \frac{e E_{0}}{m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} \end{array}

と係数

C

が得られる。この電子の速度

v_{n}

は

\begin{array}{rcl} v_{n} & = & \frac{d}{d t} r_{n} \\ = & i ω C_{n} e^{i ω t} \\ = & \frac{i ω e E_{0}}{m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} e^{i ω t} \end{array}

となるため、電流密度は、N個の電子の総和として、

\begin{array}{rcl} i & = & \sum_{i = 1}^{N} e v \\ = & \sum_{i = 1}^{N} e \frac{i ω e E_{0}}{m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} e^{i ω t} \\ = & i \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2} E_{0}}{m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} ω e^{i ω t} \end{array}

と表すことができる。真空中のMaxwell方程式

\begin{array}{rcl} rot H & = & \frac{\partial D}{\partial t} + i \\ \Leftrightarrow rot B & = & μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E_{0}}{\partial t} + μ_{0} i \end{array}

に代入すると、

\begin{array}{rcl} rot B & = & μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E_{0}}{\partial t} + μ_{0} i \\ = & μ_{0} ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} (E_{0} e^{i ω t}) + μ_{0} i \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2} E_{0}}{m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} ω e^{i ω t} \\ = & i μ_{0} ε_{0} ω E_{0} e^{i ω t} + μ_{0} i \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2} E_{0}}{m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} ω e^{i ω t} \\ = & i μ_{0} ε_{0} (1 + \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2}}{ε_{0} m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})}) E_{0} ω e^{i ω t} \end{array}

が得られる。式(3.44)から類推される現象論的なMaxwell方程式は

\begin{array}{r} rot B = i ε μ ω E_{0} e^{i ω t} \end{array}

となるので、これと比較すると、

\begin{array}{r} μ ε = μ_{0} ε_{0} (1 + \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2}}{ε_{0} m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})}) \end{array}

より、

\begin{array}{r} n^{2} (ω) = 1 + \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2}}{ε_{0} m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} \end{array}

が得られる。
以下、要議論
Lorentz振動子に関する議論より、ここで、固有振動数

ω_{n}

を持つ電子の数を

h_{n}

とすると、

\begin{array}{rcl} n^{2} (ω) & = & 1 + \sum_{i = 1}^{N} \frac{e^{2}}{ε_{0} m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} \\ = & 1 + \sum_{n = 1} \frac{h_{n} e^{2}}{ε_{0} m (ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n})} \end{array}

が得られる。

\begin{array}{rcl} f_{n} & = & \frac{h_{n} e^{2}}{ε_{0} m} \end{array}

とすると、上式は

\begin{array}{rcl} n^{2} (ω) & = & 1 + \sum_{n = 1} \frac{f_{n}}{ω_{n}^{2} - ω^{2} - i ω λ_{n}} \end{array}

としてまとめられる。

p.209 式(3.51)の $A (z, t)$ の積分区間が変えられること

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式(3.51)を求める際に、式(3.48)の時と同様に積分区間

C_{1}

を加えて複素積分をする。この積分経路に従った積分の値は、

| R |

が大きいときに0になるため、積分区間を結合できる。また、この積分区間の内部には特異点がないため、区間全体の積分結果は0になることを考える。積分区間全体を

C

として、

\begin{array}{rclrc} - \frac{ω_{0} a}{2 π} \int_{C} \frac{e^{i (k (ω) z - ω t)}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & - \frac{ω_{0} a}{2 π} \int_{C_{1}} \frac{e^{i (k (ω) z - ω t)}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω - \frac{ω_{0} a}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i (k (ω) z - ω t)}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & 0 \\ \Leftrightarrow & - \frac{ω_{0} a}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i (k (ω) z - ω t)}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω & = & \frac{ω_{0} a}{2 π} \int_{C_{1}} \frac{e^{i (k (ω) z - ω t)}}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} d ω \end{array}

が得られるため、積分区間を変更できる。

p.209 $A (z, t)$ の分子が $| R | \to \infty$ のときに $e^{i k (ω) z - i ω t} \to e^{i ω (\frac{z}{c} - t)}$ になること

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k (ω)

は、p.209上式より、

\begin{array}{r} k (ω) = n (ω) \frac{ω}{c} \end{array}

と書ける。式(3.50)より

n (ω \to \infty) = 1

であることを用いて、

\begin{array}{rcl} lim_{ω \to \infty} k (ω) & = & lim_{ω \to \infty} n (ω) \frac{ω}{c} \\ = & \frac{ω}{c} \end{array}

となる。これを用いて、

\begin{array}{rcl} lim_{| R | \to \infty} e^{i k (ω) z - i ω t} & = & lim_{ω \to \infty} e^{i n (ω) \frac{ω}{c} z - i ω t} \\ = & e^{i \frac{ω}{c} z - i ω t} \\ = & e^{i ω (\frac{z}{c} - t)} \end{array}

となる。

理論電磁気学の行間埋め 第８章

理論電磁気学の行間埋め　第８章