理論電磁気学の行間埋め　第５章

式(2.2)はベクトルである。それぞれの成分は別の成分に影響を与えないため、独立して計算することができる。j成分を考えると、 \begin{eqnarray} \Delta A_j(\boldsymbol{x})=-\mu i_{ej}(\boldsymbol{x}) \end{eqnarray} となり、これは四章の式(1.5)のPoissonの方程式と同じ形をしていることから、その解である式(2.7)と同じ形状になると推測される。 従って、解は \begin{eqnarray} A_j(\boldsymbol{x})=\frac{\mu}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{i_{ej}(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' \end{eqnarray} が得られるため、ベクトルのそれぞれの成分に関する計算をまとめて、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\frac{\mu}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\boldsymbol{i}_{e}(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' \end{eqnarray} となる。

p.445の式(A・44)より \begin{eqnarray} &&\text{div}^{\prime}\frac{\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}^{\prime})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}|}&=&\text{div}^{\prime}\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}^{\prime})\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}|}+\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}^{\prime})\cdot\text{grad}^{\prime}\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}|} \\ \\ &\Leftrightarrow& \boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}^{\prime})\cdot\text{grad}^{\prime}\frac{}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}|}&=&\text{div}^{\prime}\frac{\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}^{\prime})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}|}-\text{div}^{\prime}\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}^{\prime})\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}|} \end{eqnarray} が得られる。両辺を積分することで該当の式変形を得られる。

\begin{eqnarray} &&\left(\text{rot}\frac{\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)_x \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\)とし、\(\boldsymbol{u}=(u_x,u_y,u_z),\boldsymbol{x}=(x,y,z), \boldsymbol{x}'=(x',y',z')\)とする。 \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial u_y}{\partial y}\frac{\partial}{\partial u_y}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{u}|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial u_z}{\partial z}\frac{\partial}{\partial u_z}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{u}|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')1\frac{\partial}{\partial u_y}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{u}|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')1\frac{\partial}{\partial u_z}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{u}|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial y'}{\partial u_y}\frac{\partial}{\partial y'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial z'}{\partial u_z}\frac{\partial}{\partial z'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial (y-u_y)}{\partial u_y}\frac{\partial}{\partial y'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial (z-u_z)}{\partial u_z}\frac{\partial}{\partial z'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')(-1)\frac{\partial}{\partial y'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')(-1)\frac{\partial}{\partial z'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& -\boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial y'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)+\boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial z'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial z'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)-\boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\frac{\partial}{\partial y'}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{i}_y(\boldsymbol{x}')\left(\text{grad}'\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)_z-\boldsymbol{i}_z(\boldsymbol{x}')\left(\text{grad}'\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)_y \\ \\ &=& \left(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\times\text{grad}'\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\right)_x \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' \end{eqnarray} のそれぞれの成分について1/rのべきに展開する。j成分に着目すると、p90 式(3.9)より、 \begin{eqnarray} A_j(\boldsymbol{r})&=&\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{i_j(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' \\ \\ &=& \frac{\mu}{4\pi}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int_Vi_j|x'|^lP_l(\cos\theta')d^3x' \end{eqnarray} これを元のベクトルに戻すことで、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})&=&\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' \\ \\ &=& \frac{\mu}{4\pi}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int_V\boldsymbol{i}_e|x'|^lP_l(\cos\theta')d^3x' \end{eqnarray} が得られる。

p.134 の公式を体積積分する。 \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})-\boldsymbol{x}'(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\cdot\boldsymbol{r})&=&[\boldsymbol{x}'\times\boldsymbol{i}_e]\times\boldsymbol{r} \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_V\left(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})-\boldsymbol{x}'(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\cdot\boldsymbol{r})\right)d^3x'&=&\int_V\left([\boldsymbol{x}'\times\boldsymbol{i}_e]\times\boldsymbol{r}\right)d^3x' \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_V\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})d^3x'-\int_V\boldsymbol{x}'(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\cdot\boldsymbol{r})d^3x'&=&\int_V\left([\boldsymbol{x}'\times\boldsymbol{i}_e]\right)d^3x'\times\boldsymbol{r}&...\boldsymbol{r}は定数のため \\ \\ \end{eqnarray}

\(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\)がスカラー量で、\(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\)がベクトル量であることから、p.445 (A・44)より、 \begin{eqnarray} &&\text{div}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')) \\ \\ &=& \underbrace{\text{grad}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r}))}_{(1)}\cdot\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')+\underbrace{x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{div}'\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')}_{(2)} \\ \\ (1) &=& \text{grad}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})) \\ \\ &=& (\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{grad}'x'+ x'\text{grad}'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(\boldsymbol{x}'=(x,y,z)\)とすると、 \begin{eqnarray} \text{grad}'x' &=& \text{grad}'|\boldsymbol{x}'| \\ \\ &=& \text{grad}'\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \frac{\partial}{\partial y}\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \frac{\partial}{\partial z}\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{c} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{x'} \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\boldsymbol{x}'}{x'} \end{eqnarray} が得られる。また、\(\boldsymbol{r}=(r_x,r_y,r_z)\)とすると、 \begin{eqnarray} \text{grad}'(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{r}) &=& \text{grad}'(xr_x+yr_y+zr_z) &=& \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}xr_x+yr_y+zr_z \\ \frac{\partial}{\partial y}xr_x+yr_y+zr_z \\ \frac{\partial}{\partial z}xr_x+yr_y+zr_z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{c} r_x \\ r_y \\ r_z \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \boldsymbol{r} \end{eqnarray} が得られる。これらを用いると、(1)は、 \begin{eqnarray} (1) &=& \text{grad}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})) \\ \\ &=& (\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{grad}'x'+ x'\text{grad}'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\\ \\ &=& (\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\frac{\boldsymbol{x}'}{x'}+ x'\boldsymbol{r}\\ \\ \end{eqnarray} となるため、\(\text{div}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}'))\)を求めると \begin{eqnarray} &&\text{div}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')) \\ \\ &=& \text{grad}'(x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r}))\cdot\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')+x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{div}'\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\\ \\ &=& ((\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\frac{\boldsymbol{x}'}{x'}+ x'\boldsymbol{r})\cdot\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')+x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{div}'\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\\ \\ &=& (\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\frac{\boldsymbol{x}'}{x'}\cdot\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')+ x'\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')+x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{div}'\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\\ \\ &=& (\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\left(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\right)_x+ x'(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\cdot\boldsymbol{r})+x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{div}'\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\\ \\ &=& x'(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\text{div}'\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')+(\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{r})\left(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\right)_x+ x'(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\cdot\boldsymbol{r})\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(\frac{\boldsymbol{x}'}{x'}\cdot\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')=\left(\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}')\right)_x\)とした。

式(5.9)に式(5.6)を代入する。 \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \sigma [-\text{grad}\phi(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{E}_{ex}(\boldsymbol{x})]\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& [-\text{grad}\phi(\boldsymbol{x})+\boldsymbol{E}_{ex}(\boldsymbol{x})]\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{grad}\phi(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})&=&\boldsymbol{E}_{ex}(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial \phi(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{n}}&=&\boldsymbol{E}_{ex}(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) \\ \\ \end{eqnarray} となる。ここで、\(\text{grad}\phi(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})\)を方向微分をみなし、\(\frac{\partial \phi(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{n}}\)に変換した。