理論電磁気学の行間埋め　第４章

はじめにp.455の(B・24)下式の\(A(k)\)(Fourier級数)を求める。その後、それと(B・24)の上式を用いてデルタ関数を表す。
三次元(\(\boldsymbol{k}=(k_x,k_Y,k_z)\))のフーリエ積分を考える。 \begin{eqnarray} A(\boldsymbol{k}) &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}'}\delta^3(\boldsymbol{x}')dx'dy'dz' \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}'}\delta(x')\delta(y')\delta(z')dx'dy'dz' \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k_xx'+k_yy'+k_zz')}\delta(x')\delta(y')\delta(z')dx'dy'dz' \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx'}e^{-ik_yy'}e^{-ik_zz'}\delta(x')\delta(y')\delta(z')dx'dy'dz' \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx'}\delta(x')dx'\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_yy'}\delta(y')dy'\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_zz'}\delta(z')dz' \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx'}\delta(x')dx'\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_yy'}\delta(y')dy'\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_zz'}\delta(z')dz'\right) \\ \\ \end{eqnarray} それぞれの項は同じ値をとるため、\(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx'}\delta(x')dx'\)を求める。 \begin{eqnarray} &&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx'}\delta(x')dx' \\ \\ &=& e^{-ik_x0} &...f(x)=\int_a^bdx'\delta(x-x')f(x')において、x=0,f(x')=e^{-ik_xx}であるため \\ \\ &=& 1 \end{eqnarray} 従って、 \begin{eqnarray} A(\boldsymbol{k}) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx'}\delta(x')dx'\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_yy'}\delta(y')dy'\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_zz'}\delta(z')dz' \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}1\frac{1}{\sqrt{2\pi}}1\frac{1}{\sqrt{2\pi}}1 \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\\ \\ \end{eqnarray} となる。これを用いて、 \begin{eqnarray} \delta^3(\boldsymbol{x}) &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}dk_xdk_ydk_z \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^3e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}dk_xdk_ydk_z \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^6\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}dk_xdk_ydk_z \\ \\ &=& \left(\frac{1}{2\pi}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}dk_xdk_ydk_z \\ \\ &=& \left(\frac{1}{2\pi}\right)^3\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3k \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\(\Delta G(\boldsymbol{x})\)を求める。 \begin{eqnarray} \Delta G(\boldsymbol{x}) &=& \Delta\int_{-\infty}^{\infty}G(\boldsymbol{k})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3k \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}G(\boldsymbol{k})(\Delta e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}})d^3k \\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(\boldsymbol{k}=(k_x,k_y,k_z),\boldsymbol{x}=(x,y,z)\)とする。 \begin{eqnarray} \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \end{eqnarray} であるため、 \begin{eqnarray} \Delta e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}} &=& \Delta e^{-i(k_xx+k_yy+k_zz)} \\ \\ &=& \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)e^{-i(k_xx+k_yy+k_zz)} \\ \\ &=& \left((-ik_x)^2+(-ik_y)^2+(-ik_z)^2\right) \\ \\ &=& -(k_x^2+k_y^2+k_z^2) \\ \\ &=& -\boldsymbol{k}^2 \end{eqnarray} が得られる。これを用いて、 \begin{eqnarray} &&\Delta G(\boldsymbol{x})&=&-\delta^3(\boldsymbol{x}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \Delta\int_{-\infty}^{\infty}G(\boldsymbol{k})(\Delta e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}})d^3k&=&\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\right)\Delta\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3k \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_{-\infty}^{\infty}\Delta G(\boldsymbol{k})(\Delta e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}})d^3k&=&\Delta\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(2\pi)^3}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3k \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_{-\infty}^{\infty}(-\boldsymbol{k}^2)G(\boldsymbol{k})(e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}})d^3k&=&\Delta\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(2\pi)^3}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}d^3k \\ \\ \end{eqnarray} 被積分部分を比較して、 \begin{eqnarray} -\boldsymbol{k}^2G(\boldsymbol{k})=-\frac{1}{(2\pi)^3} \end{eqnarray} となる。

三次元デカルト座標から球面極座標に座標変換することを考える。 この時、デカルト座標におけるz座標をxに割り当て、動径方向(r方向)をkと置くことで\(\boldsymbol{k},\boldsymbol{x}\)の内積が\(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}=kx\cos{\theta}\)になる。

\begin{eqnarray} G(\boldsymbol{x}) &=& \frac{1}{(2\pi)^3}\int_{0}^{\infty}k^2dk\int_0^{\pi}d\theta\sin \theta\frac{e^{ikx\cos\theta } }{k^2}\int_0^{2\pi}\varphi \\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^3}\int_{0}^{\infty}k^2dk\int_0^{\pi}d\theta\sin \theta\frac{e^{ikx\cos\theta } }{k^2} 2\pi \\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}k^2dk\int_0^{\pi}d\theta\sin \theta\frac{e^{ikx\cos\theta } }{k^2} \\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}k^2dk\int_0^{\pi}(-\sin\theta d\theta) \frac{-e^{ikx\cos\theta } }{k^2} \\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}k^2dk\int_1^{-1}dt \frac{-e^{ikxt } }{k^2} &...t=\cos\theta, dt=-\sin \theta d\thetaとした。その時、tは1から-1までの積分になる\\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty}k^2dk\int_{-1}^{1}dt \frac{e^{ikxt } }{k^2} &...tを-1から1までの積分にした\\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty} \frac{1 }{k^2}k^2dk\left[e^{ikxt }/ikx \right]_{-1}^{1}dt \\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty} dk\left[(e^{ikx }-e^{-ikx })/ikx \right] \\ \\ &=& \frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty} dk\left[(2i\sin(kx))/ikx \right] &...\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\Leftrightarrow 2i\sin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}\\ \\ &=& \frac{2}{(2\pi)^2}\int_{0}^{\infty} dk\left[(\sin(kx))/kx \right] \\ \\ &=& \frac{2}{(2\pi)^2x}\int_{0}^{\infty} xdk\left[(\sin(kx))/kx \right] \\ \\ &=& \frac{2}{(2\pi)^2x}\int_{0}^{\infty} dy\frac{\sin y}{y} &...y=kx, dy=xdkとした。\\ \\ &=& \frac{2}{(2\pi)^2x}\frac{\pi}{2}&...\text{sinc}関数の積分より\\ \\ &=& \frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\boldsymbol{x}|}\\ \\ \end{eqnarray} となる。sinc関数の積分についてはこちらを参考。

こちらを参考。

\(\boldsymbol{r}\)は定数（変数ではない）のベクトルであるため、 \begin{eqnarray} \phi_1(\boldsymbol{r}) &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r^3}\int_V(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{x}')\rho_e(\boldsymbol{x}')d^3x' \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r^3}\boldsymbol{r}\cdot\int_V\boldsymbol{x}'\rho_e(\boldsymbol{x}')d^3x' \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r^3}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r^2}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\cdot\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r^2}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{n}}{r^2} \\ \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} -\frac 12 \int_V\text{div}\{\phi(\boldsymbol{x})\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})\}d^3x= -\frac 12 \oint_S\phi(\boldsymbol{x})\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS \end{eqnarray} の変形について、これはp.445 (A・42)のGaussの定理より成立する。

\(\boldsymbol{r}\)は定数（変数ではない）のベクトルであるため、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})\cdot\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}) &=& (-\text{grad}\phi(\boldsymbol{s}))\cdot\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})&...(4.15)より \\ \\ \end{eqnarray} ここで、p.445 (A・44)より、 \begin{eqnarray} \text{div}(\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})) &=& \text{grad}\phi(\boldsymbol{x})\cdot\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})+\phi(\boldsymbol{x})\text{div}\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}) \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})\cdot\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}) &=& (-\text{grad}\phi(\boldsymbol{s}))\cdot\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})&...(4.15)より \\ \\ &=& -\text{div}[\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})]+\phi(\boldsymbol{x})\text{div}\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &=& -\text{div}[\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})]+\phi(\boldsymbol{x})\text{div}\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &=& -\text{div}[\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})]+\phi(\boldsymbol{x})\text{div}(\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}))&...(4.17)より \\ \\ &=& -\text{div}[\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})]+\phi(\boldsymbol{x})(\text{div}\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x})-\text{div}\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}))&...(4.17)より \\ \\ &=& -\text{div}[\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})]+\phi(\boldsymbol{x})(\rho_e(\boldsymbol{x})-\rho_e(\boldsymbol{x}))&...(4.11)(4.11)'より \\ \\ &=& -\text{div}[\phi(\boldsymbol{x})\delta\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})] \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{i=1}^n e_i'\phi_i&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon}&&\left[e_1'\left( 0+\frac{e_2}{r_{21} }+\frac{e_3}{r_{31} }+\ldots+\frac{e_n}{r_{n1} }\right) \right.\\ &&&+& e_2'\left(\frac{e_1}{r_{12} }+0+\frac{e_3}{r_{32} }+\ldots+\frac{e_n}{r_{n2} }\right) \\ &&&+& \ldots \\ &&&+& \left. e_n'\left(\frac{e_1}{r_{n1} }+\frac{e_2}{r_{n2} }+\frac{e_3}{r_{n3} }+\ldots+0\right)\right] \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon}&&\left[ e_1\left( 0+\frac{e_2'}{r_{21} }+\frac{e_3'}{r_{31} }+\ldots+\frac{e_n'}{r_{n1} }\right) \right.\\ &&&+& e_2\left(\frac{e_1'}{r_{12} }+0+\frac{e_3'}{r_{32} }+\ldots+\frac{e_n'}{r_{n2} }\right) \\ &&&+& \ldots \\ &&&+& \left. e_n\left(\frac{e_1'}{r_{n1} }+\frac{e_2'}{r_{n2} }+\frac{e_3'}{r_{n3} }+\ldots+0\right)\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^ne_i\phi_i' \end{eqnarray}

式(5.7)から\(Q_i\)を求める。行列形式で表すと \begin{eqnarray} &&\left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_n \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} P_{11}&P_{12}&\ldots&P_{1n}\\ P_{21}&P_{22}&\ldots&P_{2n}\\ \vdots&\ddots& \\ P_{n1}&P_{n2}&\ldots&P_{nn}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \\ Q_n \end{array} \right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{ccc} P_{11}&P_{12}&\ldots&P_{1n}\\ P_{21}&P_{22}&\ldots&P_{2n}\\ \vdots&\ddots& \\ P_{n1}&P_{n2}&\ldots&P_{nn}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_n \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} P_{11}&P_{12}&\ldots&P_{1n}\\ P_{21}&P_{22}&\ldots&P_{2n}\\ \vdots&\ddots& \\ P_{n1}&P_{n2}&\ldots&P_{nn}\\ \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} P_{11}&P_{12}&\ldots&P_{1n}\\ P_{21}&P_{22}&\ldots&P_{2n}\\ \vdots&\ddots& \\ P_{n1}&P_{n2}&\ldots&P_{nn}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \\ Q_n \end{array} \right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \left( \begin{array}{ccc} P_{11}&P_{12}&\ldots&P_{1n}\\ P_{21}&P_{22}&\ldots&P_{2n}\\ \vdots&\ddots& \\ P_{n1}&P_{n2}&\ldots&P_{nn}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_n \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \\ Q_n \end{array} \right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \boldsymbol{P}^{-1}\left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_n \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \\ Q_n \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} ここで、左辺にある逆行列の各成分は、余因子を用いた計算によって(参考) \begin{eqnarray} \boldsymbol{P}^{-1}&=& \left( \begin{array}{ccc} P_{11}&P_{12}&\ldots&P_{1n}\\ P_{21}&P_{22}&\ldots&P_{2n}\\ \vdots&\ddots& \\ P_{n1}&P_{n2}&\ldots&P_{nn}\\ \end{array} \right)^{-1} \\ \\ &=& \frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\left( \begin{array}{ccc} (-1)^{1+1}|\boldsymbol{P}_{11}|&(-1)^{1+2}|\boldsymbol{P}_{12}|&\ldots&(-1)^{1+n}|\boldsymbol{P}_{1n}|\\ (-1)^{2+1}|\boldsymbol{P}_{21}|&(-1)^{2+2}|\boldsymbol{P}_{22}|&\ldots&(-1)^{2+n}|\boldsymbol{P}_{2n}|\\ \vdots&\ddots& \\ (-1)^{n+1}|\boldsymbol{P}_{n1}|&(-1)^{n+2}|\boldsymbol{P}_{n2}|&\ldots&(-1)^{n+n}|\boldsymbol{P}_{nn}|\\ \end{array} \right) \end{eqnarray} ここで、\(|\boldsymbol{P}|\)は\(\boldsymbol{P}\)の行列式、\(|\boldsymbol{P}_{ij}|\)を、\(|\boldsymbol{P}|\)からi行目とj列目を除いて得られる行列の行列式とした。 これを用いて、 \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \\ Q_n \end{array} \right) &=& \boldsymbol{P}^{-1}\left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_n \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\left( \begin{array}{ccc} (-1)^{1+1}|\boldsymbol{P}_{11}|&(-1)^{1+2}|\boldsymbol{P}_{12}|&\ldots&(-1)^{1+n}|\boldsymbol{P}_{1n}|\\ (-1)^{2+1}|\boldsymbol{P}_{21}|&(-1)^{2+2}|\boldsymbol{P}_{22}|&\ldots&(-1)^{2+n}|\boldsymbol{P}_{2n}|\\ \vdots&\ddots& \\ (-1)^{n+1}|\boldsymbol{P}_{n1}|&(-1)^{n+2}|\boldsymbol{P}_{n2}|&\ldots&(-1)^{n+n}|\boldsymbol{P}_{nn}|\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_n \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\left( \begin{array}{ccc} (-1)^{1+1}|\boldsymbol{P}_{11}|\phi_1+&(-1)^{1+2}|\boldsymbol{P}_{12}|\phi_2+&\ldots&(-1)^{1+n}|\boldsymbol{P}_{1n}|\phi_n\\ (-1)^{2+1}|\boldsymbol{P}_{21}|\phi_1+&(-1)^{2+2}|\boldsymbol{P}_{22}|\phi_2+&\ldots&(-1)^{2+n}|\boldsymbol{P}_{2n}|\phi_n\\ \vdots&\ddots& \\ (-1)^{n+1}|\boldsymbol{P}_{n1}|\phi_1+&(-1)^{n+2}|\boldsymbol{P}_{n2}|\phi_2+&\ldots&(-1)^{n+n}|\boldsymbol{P}_{nn}|\phi_n\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{1+i}|\boldsymbol{P}_{1i}|\phi_i\\ \displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{2+i}|\boldsymbol{P}_{2i}|\phi_i\\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{n+i}|\boldsymbol{P}_{ni}|\phi_i\\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} 以上より、 \begin{eqnarray} Q_j&=&\frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{j+i}|\boldsymbol{P}_{ji}|\phi_i \\ \\ &=&\frac{1}{|\boldsymbol{P}|}\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}|\boldsymbol{P}_{ij}|\phi_i &...式(5.8)より\\ \\ \end{eqnarray}