理論電磁気学の行間埋め　第３章

式(1.3)を式(1.1)に代入すると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}) &=& -\text{grad}\phi(\boldsymbol{x}) \\ \\ &=& -\frac e{4\pi\varepsilon_0}\text{grad}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ \end{eqnarray} ベクトルとしての\(\boldsymbol{R}\)は点電荷の位置から、考えている点\(\boldsymbol{x}\)に向かうベクトルであり、スカラーとしての\(R\)はその大きさだと考えることができる。
そのため、点電荷を中心に置いた座標系を考えて勾配(\(\text{grad}\))を考える。 こちらを参考にして、\(\boldsymbol{r}\rightarrow\boldsymbol{R}\)とすると、 \begin{eqnarray} -\frac e{4\pi\varepsilon_0}\text{grad}\left(\frac{1}{R}\right) &=& -\frac e{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{\boldsymbol{R}}{R^3}\right) \\ \\ &=& \frac 1{4\pi\varepsilon_0}\frac{e}{R^2}\frac{\boldsymbol{R}}{R}\\ \\ \end{eqnarray} となることがわかる。

式(1.4)にある\(R_{Q',P},R_{QP}\)を\(\boldsymbol{s}\)を用いてベクトル表記する。ここではわかりやすさのためにベクトルとしての\(\boldsymbol{s}\)を\(\vec{\boldsymbol{s}}\)と書く。
\(s\rightarrow 0\)の極限を考えるので、\(\boldsymbol{R}_{QP}=\boldsymbol{R}\)とする。 \begin{eqnarray} \phi(\boldsymbol{x}) &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac 1{R_{Q'P}}-\frac 1{R_{QP}}\right) \\ \\ &=& \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac 1{|\boldsymbol{R}+\vec{\boldsymbol{s}}|}-\frac 1{|\boldsymbol{R}|}\right) \\ \\ &=& \frac{es}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac 1{|\boldsymbol{R}+\vec{\boldsymbol{s}}|}-\frac 1{|\boldsymbol{R}|} }s \\ \\ &=& \frac{es}{4\pi\varepsilon_0}\left(|\boldsymbol{R}+\frac{\vec{\boldsymbol{s}} }{s}s|^{-1}-|\boldsymbol{R}|^{-1} \right)/s \\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(s\to 0\)とすることを考えると、この式は方向微分に相当することがわかる。従って、 \begin{eqnarray} \phi(\boldsymbol{x}) &=& \frac{es}{4\pi\varepsilon_0}\left(|\boldsymbol{R}+\frac{\vec{\boldsymbol{s}} }{s}s|^{-1}-|\boldsymbol{R}|^{-1} \right)/s \\ \\ &\Rightarrow& \displaystyle\lim_{s\to 0}\frac{es}{4\pi\varepsilon_0}\left(|\boldsymbol{R}+\frac{\vec{\boldsymbol{s}} }{s}s|^{-1}-|\boldsymbol{R}|^{-1} \right)/s \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{s\to 0}\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\left(|\boldsymbol{R}+\frac{\vec{\boldsymbol{s}} }{s}s|^{-1}-|\boldsymbol{R}|^{-1} \right)/s \\ \\ &=& \frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\partial}{\partial s}\frac{1}{|\boldsymbol{R}|} \\ \\ \end{eqnarray} ここで、sの方向微分であることを利用して、 \begin{eqnarray} \phi(\boldsymbol{x}) &=& \frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\partial}{\partial s}\frac{1}{|\boldsymbol{R}|} \\ \\ &=& \frac{es}{4\pi\varepsilon_0}\text{grad}\frac{1}{|\boldsymbol{R}|}\cdot\frac{\vec{\boldsymbol{s}}}{s} \\ \\ &=& \frac{es}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{\boldsymbol{s}}}{s}\cdot\text{grad}\frac{1}{|\boldsymbol{R}|} \\ \\ &=& \frac{e\vec{\boldsymbol{s}}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\text{grad}\frac{1}{|\boldsymbol{R}|} \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\boldsymbol{p}\cdot\text{grad}\frac{1}{|\boldsymbol{R}|} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} E_x'&=&\oint_{球面}\frac{\omega d\sigma \cos(\pi-\theta)}{4\pi\varepsilon_0a^2} \\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi \frac{\omega \cos(\pi-\theta)}{4\pi\varepsilon_0a^2}a^2\sin\theta&...球面極座標では\varphi が0\to 2\pi、\theta が0\to \piを動くため\\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi \frac{\omega (-\cos\theta)}{4\pi\varepsilon_0a^2}a^2\sin\theta\\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi \frac{-P\cos\theta (-\cos\theta)}{4\pi\varepsilon_0a^2}a^2\sin\theta&\omega=-P\cos\theta を代入\\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi \frac{P\cos^2\theta}{4\pi\varepsilon_0a^2}a^2\sin\theta\\ \\ &=& \int_0^{\pi}d\theta2\pi \frac{P\cos^2\theta}{4\pi\varepsilon_0a^2}a^2\sin\theta&...変数\varphi は被積分関数に含まれないため\\ \\ &=& \frac{2a^2\pi P}{4\pi\varepsilon_0a^2}\int_0^{\pi}d\theta\cos^2\theta \sin\theta\\ \\ &=& \frac{2a^2\pi P}{4\pi\varepsilon_0a^2}\left[\frac 13 (-\cos^3\theta)\right]_0^{\pi}\\ \\ &=& \frac{ P}{2\varepsilon_0}\left[\frac 13 (-\cos^3\pi+\cos^30)\right]\\ \\ &=& \frac{ P}{2\varepsilon_0}\left[\frac 13 (-(-1)^3+1^3)\right]\\ \\ &=& \frac{ P}{2\varepsilon_0}\frac 23\\ \\ &=& \frac{ P}{3\varepsilon_0}\\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.2)において、\(\sigma=\rho^{-1}\)と\(l=dx, S=dS\)を代入すると得られる。