理論電磁気学の行間埋め　第２章

\begin{eqnarray} \frac{\partial \rho (\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)&=&e\left[\frac{\partial}{\partial t}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))+\text{div}\{\dot{\boldsymbol{r} }(t)\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))\} \right] \\ \\ \end{eqnarray} ここで、二項目に着目すると、 \begin{eqnarray} &&e\left[\text{div}\{\dot{\boldsymbol{r} }(t)\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))\} \right] \\ \\ &=& e\left[(\text{div}\ \dot{\boldsymbol{r} }(t))\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))+\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot\text{grad}_x\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right] &...積の微分公式より&\\ \\ &=& e\left[(0)\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))+\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot\text{grad}_x\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right]&...\text{div}は場に関する微分であるから、点電荷の座標に関する微分(\text{div})は0になる。& \\ \\ &=& e\left[\text{grad}_x\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right] \\ \\ \end{eqnarray} 従って、 \begin{eqnarray} \frac{\partial \rho (\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)=e\left[\frac{\partial}{\partial t}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))+\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \text{grad}_x\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right] \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(一行目)
次にこの式の右辺一項目に着目する。ここで、\(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)\)とし、その成分を\((u_1,u_2,u_3)\)とする。 \begin{eqnarray} e\left[\frac{\partial}{\partial t}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))\right] &=& e\left[\frac{\partial}{\partial t}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& e\left[\frac{\partial u_1}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u_1}\delta^3(\boldsymbol{u})+\frac{\partial u_2}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u_2}\delta^3(\boldsymbol{u})+\frac{\partial u_3}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& e\left[\frac{\partial (x_1-r_1(t))}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u_1}\delta^3(\boldsymbol{u})+\frac{\partial (x_2-r_2(t))}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u_2}\delta^3(\boldsymbol{u})+\frac{\partial (x_3-r_3(t))}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& e\left[-\dot{r}_1(t)\frac{\partial}{\partial u_1}\delta^3(\boldsymbol{u})-\dot{r}_2(t)\frac{\partial}{\partial u_2}\delta^3(\boldsymbol{u})-\dot{r}_3(t)\frac{\partial}{\partial u_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& -e\left[\dot{r}_1(t)\frac{\partial}{\partial u_1}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_2(t)\frac{\partial}{\partial u_2}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_3(t)\frac{\partial}{\partial u_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& -e\left[\dot{r}_1(t)\frac{\partial r_1(t)}{\partial u_1}\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_2(t)\frac{\partial r_2(t)}{\partial u_2}\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_3(t)\frac{\partial r_3(t)}{\partial u_3}\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& -e\left[\dot{r}_1(t)\frac{\partial (x_1-u_1)}{\partial u_1}\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_2(t)\frac{\partial (x_2-u_2)}{\partial u_2}\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_3(t)\frac{\partial (x_3-u_3)}{\partial u_3}\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& -e\left[-\dot{r}_1(t)\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{u})-\dot{r}_2(t)\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{u})-\dot{r}_3(t)\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& e\left[\dot{r}_1(t)\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_2(t)\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{u})+\dot{r}_3(t)\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \text{grad}_r\delta^3(\boldsymbol{u})\right] \\ \\ &=& e\left[\text{grad}_r\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))\cdot\dot{\boldsymbol{r} }(t) \right] \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。二項目に着目すると、 \begin{eqnarray} e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \text{grad}_x\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right] &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial}{\partial x_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial}{\partial x_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial u_1}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial u_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial u_2}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial u_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\frac{\partial}{\partial u_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial (x_1-r_1(t))}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial u_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial (x_2-r_2(t))}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial u_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial (x_3-r_3(t))}{\partial x_3}\frac{\partial}{\partial u_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial r_1(t)}{\partial u_1}\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial r_2(t)}{\partial u_2}\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial r_3(t)}{\partial u_3}\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial (x_1-u_1)}{\partial u_1}\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial (x_2-u_2)}{\partial u_2}\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial (x_3-u_3)}{\partial u_3}\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} -\frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ -\frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ -\frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& -e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial r_1}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial}{\partial r_2}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \\ \frac{\partial}{\partial r_3}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \end{array} \right) \right] \\ \\ &=& -e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \text{grad}_r\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right] \\ \\ \end{eqnarray} が得られることから、一項目と二項目を合わせて、 \begin{eqnarray} \frac{\partial \rho (\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)&=&e\left[\frac{\partial}{\partial t}\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))+\text{div}\{\dot{\boldsymbol{r} }(t)\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))\} \right] \\ \\ &=& e\left[\text{grad}_r\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t))\cdot\dot{\boldsymbol{r} }(t) \right]-e\left[\dot{\boldsymbol{r} }(t)\cdot \text{grad}_r\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}(t)) \right] \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となることがわかる。

式(1.8)が \begin{eqnarray} m\ddot{\boldsymbol{r}}(t)=-m\omega_0^2\boldsymbol{r}(t)-e\dot{\boldsymbol{r}}(t)\times \boldsymbol{B} \end{eqnarray} であるので、\(\boldsymbol{B}=(0,0,B)\)であることを利用して各成分を求める。x成分は \begin{eqnarray} m\frac{d^2x}{dt^2}&=&-m\omega_0^2x-e(\frac{dy}{dt}B-0\cdot\frac{dz}{dt}) \\ \\ &=& -m\omega_0^2x-e\frac{dy}{dt}B \\ \\ \end{eqnarray} となる。y成分は \begin{eqnarray} m\frac{d^2y}{dt^2}&=&-m\omega_0^2y-e(\frac{dz}{dt}0-B\cdot\frac{dx}{dt}) \\ \\ &=& -m\omega_0^2y+e\frac{dx}{dt}B \\ \\ \end{eqnarray} となり、z成分は \begin{eqnarray} m\frac{d^2z}{dt^2}&=&-m\omega_0^2z-e(\frac{dx}{dt}0-0\cdot\frac{dy}{dt}) \\ \\ &=& -m\omega_0^2z \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

方程式 \begin{eqnarray} (\omega_0^2-\omega^2)^2=\frac{e^2B^2}{m^2}\omega^2 \end{eqnarray} の両辺を\frac 12 乗する。その際に、\(\omega\gt 0\)の場合を考え、(1)\(\omega_0^2-\omega^2\geq 0\)の場合と(2)\(\omega_0^2-\omega^2\leq 0\)の場合で分ける。
(1)の場合。 \begin{eqnarray} &&(\omega_0^2-\omega^2)^2&=&\frac{e^2B^2}{m^2}\omega^2 \\ \\ &\Rightarrow&\omega_0^2-\omega^2&=&\frac{|eB|}{m}\omega \\ \\ &\Leftrightarrow&m\omega^2+|eB|\omega-m\omega_0^2&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow&\omega&=&\frac{-|eB|\pm\sqrt{e^2B^2+4m^2\omega_0^2}}{2m} \\ \\ &&&=&-\frac{|eB|}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{eB}{2m}\right)^2+\omega_0^2} \\ \\ &\Rightarrow&\omega&=&-\frac{|eB|}{2m}+\sqrt{\left(\frac{eB}{2m}\right)^2+\omega_0^2} &...\omega\geq 0\\ \\ \end{eqnarray} となる。
(2)の場合、 \begin{eqnarray} &&(\omega_0^2-\omega^2)^2&=&\frac{e^2B^2}{m^2}\omega^2 \\ \\ &\Rightarrow&-\omega_0^2+\omega^2&=&\frac{|eB|}{m}\omega \\ \\ &\Leftrightarrow&m\omega^2-|eB|\omega-m\omega_0^2&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow&\omega&=&\frac{|eB|\pm\sqrt{e^2B^2+4m^2\omega_0^2}}{2m} \\ \\ &&&=&\frac{|eB|}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{eB}{2m}\right)^2+\omega_0^2} \\ \\ &\Rightarrow&\omega&=&\frac{|eB|}{2m}+\sqrt{\left(\frac{eB}{2m}\right)^2+\omega_0^2} &...\omega\geq 0\\ \\ \end{eqnarray} となる。一項目の正負が異なるだけなので、 \begin{eqnarray} \omega '&=&\frac{eB}{2m}+\sqrt{\left(\frac{eB}{2m}\right)^2+\omega_0^2} \\ \\ \omega ''&=&-\frac{eB}{2m}+\sqrt{\left(\frac{eB}{2m}\right)^2+\omega_0^2} \\ \\ \end{eqnarray} と書ける。

\(\frac{ds}{dt}\)を計算すると \begin{eqnarray} \frac{ds}{dt}&=&\frac{d}{dt}\frac em \int_0^t B(x(t))dt \\ \\ &=& \frac em B(x(t)) \end{eqnarray} であるので、式(1.15)に代入すると、 \begin{eqnarray} m\frac{dv_x(t)}{dt}&=&m\frac{dv_x(s)}{ds}\frac{ds}{dt} \\ \\ &=& m\frac{dv_x(s)}{ds}\frac em B(x(t)) \\ \\ &=& \frac{dv_x(s)}{ds}e B(x(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{dv_x(s)}{ds}e B(x(t))=ev_y(s)B(x(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{dv_x(s)}{ds}=v_y(s) \\ \\ \end{eqnarray} となる。同様にして、 \begin{eqnarray} m\frac{dv_y(t)}{dt}&=&m\frac{dv_y(s)}{ds}\frac{ds}{dt} \\ \\ &=& m\frac{dv_y(s)}{ds}\frac em B(x(t)) \\ \\ &=& \frac{dv_y(s)}{ds}e B(x(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{dv_y(s)}{ds}e B(x(t))=-ev_x(s)B(x(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{dv_y(s)}{ds}=-v_x(s) \\ \\ \end{eqnarray}

\(s=\frac em\int_0^tB(x(t))dt\)に対して、式(1.20)を代入する。 \begin{eqnarray} s&=&\frac em\int_0^tB(x(t))dt \\ \\ &\cong& \frac em\int_0^t(B(0)+B'(0)\cdot x(t))dt \\ \\ &=& \frac em\left(\int_0^tB(0)dt+\int_0^t(B'(0)\cdot x(t))dt\right) \\ \\ &=& \frac em\left(B(0)t+\int_0^t(B'(0)\cdot x(t))dt\right) \\ \\ &=& \frac emB(0)t+\frac emB'(0)\int_0^t(x(t))dt \\ \\ \end{eqnarray}

\(\sin(x)\)を\(x=\theta\)周りで一次の項までのテイラー展開をする。 \begin{eqnarray} \sin(x)&\cong&\sin(\theta)+\frac{\cos(\theta)}{1!}(x-\theta)^1 \\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(x=\theta+\delta\)を代入すると、 \begin{eqnarray} \sin(\theta+\delta)&\cong&\sin(\theta)+\frac{\cos(\theta)}{1!}(\theta+\delta-\theta) \\ \\ &=& \sin(\theta)+\delta\cos(\theta) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
同様にして、\(\cos x\)を\(x=\theta\)周りでテイラー展開する。 \begin{eqnarray} \cos(x)&\cong&\cos(\theta)+\frac{-\sin(\theta)}{1!}(x-\theta)^1 \\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(x=\theta+\delta\)を代入すると、 \begin{eqnarray} \cos(\theta+\delta)&\cong&\cos(\theta)+\frac{-\sin(\theta)}{1!}(\theta+\delta-\theta) \\ \\ &=& \cos(\theta)-\delta\sin(\theta) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.18)に\(s\)の近似を代入した後、\(\sin,\cos\)を近似する。 \begin{eqnarray} v_y(t)&=&v_y(0)\cos s-v_x(0)\sin s \\ \\ &\cong& v_y(0)\cos \left(\frac emB(0)t+\frac emB'(0)\int_0^t(x(t))dt\right)-v_x(0)\sin\left(\frac emB(0)t+\frac emB'(0)\int_0^t(x(t))dt\right) &...sの近似を代入\\ \\ &\cong& v_y(0)\{ \cos \left(\frac emB(0)t\right)+\left(\frac emB'(0)\int_0^t(x(t))dt\right)\sin\left(\frac emB(0)t\right)\}-v_x(0)\{\sin\left(\frac emB(0)t\right)+\left(\frac emB'(0)\int_0^t(x(t))dt\right)\cos\left(\frac emB(0)t\right)\} &...\sin ,\cosの近似を代入\\ \\ &=& v_y(0)\{ \cos \left(\omega_0t\right)+\left(\omega_0'\int_0^t(x(t))dt\right)\sin\left(\omega_0t\right)\}-v_x(0)\{\sin\left(\omega_0t\right)+\left(\omega_0'\int_0^t(x(t))dt\right)\cos\left(\omega_0t\right)\} &...\omega_0=\frac emB(0),\omega_0'=\frac emB'(0)とした。\\ \\ &=& v_y(0)\{ \cos \left(\omega_0t\right)+\sin\left(\omega_0t\right)\cdot\left(\omega_0'\int_0^t(x(t))dt\right)\}-v_x(0)\{\sin\left(\omega_0t\right)+\cos\left(\omega_0t\right)\cdot\left(\omega_0'\int_0^t(x(t))dt\right)\} \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \int_0^tx(t)dt&=&\int_0^t\left(-\frac{v_y(0)}{\omega_0}\cos\omega_0t+\frac{v_x(0)}{\omega_0}\sin\omega_0t\right)dt \\ \\ &=& \left[-\frac{v_y(0)}{\omega_0^2}\sin\omega_0t-\frac{v_x(0)}{\omega_0^2}\cos\omega_0t\right]_0^t \\ \\ &=& \left[-\frac{v_y(0)}{\omega_0^2}\sin\omega_0t-\frac{v_x(0)}{\omega_0^2}\cos\omega_0t\right]-\left[-\frac{v_y(0)}{\omega_0^2}\sin\omega_00-\frac{v_x(0)}{\omega_0^2}\cos\omega_00\right] \\ \\ &=& \left[-\frac{v_y(0)}{\omega_0^2}\sin\omega_0t-\frac{v_x(0)}{\omega_0^2}\cos\omega_0t\right]-\left[-0-\frac{v_x(0)}{\omega_0^2}1\right] \\ \\ &=& -\frac{v_y(0)}{\omega_0^2}\sin\omega_0t-\frac{v_x(0)}{\omega_0^2}(\cos\omega_0t-1) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \overline{v_y}&=&\left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}v_y(t)dt \\ \\ &\cong& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}\left((v_y(0)\cos\omega_0t-v_x(0)\sin\omega_0t)+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\cos^2\omega_0t+v_y^2(0)\sin^2\omega_0t)+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\sin\omega_0t\cdot\cos\omega_0t-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\sin\omega_0t-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\cos\omega_0t\right)dt \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}\left((v_y(0)\cos\omega_0t-v_x(0)\sin\omega_0t)+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{1+\cos 2\omega_0t}{2}+v_y^2(0)\frac{1-\cos 2\omega_0t}{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{\sin 2\omega_0t}2-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\sin\omega_0t-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\cos\omega_0t\right)dt \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)\sin\omega_0t-v_x(0)(-\cos\omega_0t))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{t+\frac{\sin 2\omega_0t}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{t-\frac{\sin 2\omega_0t}{2\omega_0}}{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-\cos 2\omega_0t}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-\cos\omega_0t)-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}\sin\omega_0t\right]_0^{2\pi/\omega_0} \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)\sin\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}-v_x(0)(-\cos\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0}+\frac{\sin 2\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0}-\frac{\sin 2\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}}{2\omega_0}}{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-\cos 2\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-\cos\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0})-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}\sin\omega_0\frac{2\pi}{\omega_0}\right] \\ &-& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)\sin\omega_00-v_x(0)(-\cos\omega_00))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{0+\frac{\sin 2\omega_00}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{0-\frac{\sin 2\omega_00}{2\omega_0}}{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-\cos 2\omega_00}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-\cos\omega_00)-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}\sin\omega_00\right] \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)\sin 2\pi-v_x(0)(-\cos 2\pi))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0}+\frac{\sin 4\pi}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0}-\frac{\sin 4\pi}{2\omega_0} }{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-\cos 4\pi}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-\cos 2\pi)-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}\sin 2\pi\right] \\ &-& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)\sin 0-v_x(0)(-\cos 0))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{0+\frac{\sin 0}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{0-\frac{\sin 0}{2\omega_0} }{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-\cos 0}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-\cos 0)-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}\sin 0\right] \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)0-v_x(0)(-1))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0}+\frac{0}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0}-\frac{0}{2\omega_0} }{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-1}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-1)-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}0\right] \\ &-& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{1}{\omega_0}(v_y(0)0-v_x(0)(-1))+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{0+\frac{0}{2\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{0-\frac{0}{2\omega_0} }{2})+\frac{2v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\cdot\omega_0'\frac{-1}{2\cdot 2\omega_0}-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}(-1)-\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\frac{1}{\omega_0}0\right] \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left[\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0} }{2}+v_y^2(0)\frac{\frac{2\pi}{\omega_0} }{2})\right] \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)\left[\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(v_x^2(0)\frac{1}{2}+v_y^2(0)\frac{1}{2})\right] \\ \\ &=& \frac{\omega_0'}{2\omega_0^2}(v_x^2(0)+v_y^2(0)) \\ \\ &=& \frac{v_x^2(0)+v_y^2(0)}{2\omega_0^2}\cdot\omega_0' \\ \\ \end{eqnarray} と式(1.25)の真ん中の式が導かれる。
ここで、式(1.19)と\(\omega_0,\omega_0'\)を代入して、 \begin{eqnarray} \overline{v_y} &=& \frac{v_x^2(0)+v_y^2(0)}{2\omega_0^2}\cdot\omega_0' \\ \\ &=& \frac{v^2(0)}{2(\frac emB(0))^2}\cdot\frac emB'(0) \\ \\ &=& \frac{mv^2(0)}{2eB(0)}\cdot B'(0) \\ \\ &=& \frac{mv^2(0)}{2eB(0)}\cdot \frac{dB(x)}{dx}|_{x=0}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.18)より、\(v_x(s)=v_y(0)\sin s+v_x(0)\cos s\)であるから、\(s\)を代入して、 \begin{eqnarray} v_x(s)&\cong&v_y(0)\sin \left(\frac emB(0)t+\frac emB'(0)\int_0^tx(t)dt\right)+v_x(0)\cos \left(\frac emB(0)t+\frac emB'(0)\int_0^tx(t)dt\right) \\ \\ &=& v_y(0)\sin \left(\omega_0t+\omega_0'\int_0^tx(t)dt\right)+v_x(0)\cos \left(\omega_0t+\omega_0'\int_0^tx(t)dt\right) \\ \\ &\cong& v_y(0)\left(\sin \left(\omega_0t\right)+\omega_0'\int_0^tx(t)dt\cdot\cos \left(\omega_0t\right)\right)+v_x(0)\left(\cos \left(\omega_0t\right)-\omega_0'\int_0^tx(t)dt\cdot\sin \left(\omega_0t\right)\right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この時の積分部分の\(x(t)\)は、p.34の\(v_y(t)\)の時の議論と同様に、一様磁場の時の解を用いる。そうして得られた式(1.22)を代入すると、 \begin{eqnarray} v_x(t) &\cong& (v_y(0)\sin\omega_0t+v_x(0)\cos\omega_0t)+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}v_x(0)v_y(0)(-\cos^2\omega_0t+\sin^2\omega_0t)\\ &+&\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(-v_y^2(0)+v_x^2(0))\sin\omega_0t\cos\omega_0t \\ &+&\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\sin\omega_0t-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\cos\omega_0t \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この円運動の一周期当たりの平均値を求める。この際に、三角関数の一周期分の積分をすることで、三角関数の次数が1の関数は0になることを利用して、 \begin{eqnarray} \overline{v_x}&=&\left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}v_x(t)dt \\ \\ &\cong& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}\left( (v_y(0)\sin\omega_0t+v_x(0)\cos\omega_0t)+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}v_x(0)v_y(0)(-\cos^2\omega_0t+\sin^2\omega_0t) +\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(-v_y^2(0)+v_x^2(0))\sin\omega_0t\cos\omega_0t+\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\sin\omega_0t-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'\cos\omega_0t\right)dt \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}\left( (v_y(0)0+v_x(0)0)+\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}v_x(0)v_y(0)(-\frac{1+\cos 2\omega_0t}2+\frac{1-\cos 2\omega_0t}2) +\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(-v_y^2(0)+v_x^2(0))\frac{\sin 2\omega_0t}{2}+\frac{v_x^2(0)}{\omega_0^2}\omega_0'0-\frac{v_x(0)v_y(0)}{\omega_0^2}\omega_0'0\right)dt \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}\left( \frac{\omega_0'}{\omega_0^2}v_x(0)v_y(0)(-\cos 2\omega_0t) +\frac{\omega_0'}{\omega_0^2}(-v_y^2(0)+v_x^2(0))\frac{0}{2}\right)dt \\ \\ &=& \left(\frac{2\pi}{\omega_0}\right)^{-1}\int_0^{2\pi/\omega_0}\left( \frac{\omega_0'}{\omega_0^2}v_x(0)v_y(0)(-0)\right)dt \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} が得られる。

元の座標系における任意の座標を\((x,y,z)^{\text{T}}\)とし、この座標をz軸周りで回転させてできる新しい座標系における座標を\((x',y',z')\)とする。 z軸周りの回転は行列を用いて、 \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} \cos\theta&\sin\theta&0\\ -\sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) \end{eqnarray} と表せる。参考
従って変換後の座標は \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} x'\\ y'\\ z' \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\theta&\sin\theta&0\\ -\sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} x\\ y\\ z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\theta x+\sin\theta y\\ -\sin\theta x+\cos\theta y\\ z \end{array} \right) \end{eqnarray} となる。

ここでは、\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=(E_x(\boldsymbol{x},t),E_y(\boldsymbol{x},t),E_z(\boldsymbol{x},t))\)とする。\(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t),\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t),\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\)も同様とする。
<1式目> \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}=0 \end{eqnarray} の左辺一項目\(x\)成分、\(\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)_x\)に着目する。 \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)_x &=& \frac{\partial E_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}-\frac{\partial E_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial z}\\ \\ &=& -\frac{\partial E_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial (-y)}+\frac{\partial E_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial (-z)}\\ \\ &=& -\frac{\partial E_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial y'}+\frac{\partial E_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial z'}\\ \\ &=& -\frac{\partial (-E_z'(\boldsymbol{x}',t))}{\partial y'}+\frac{\partial (-E_y'(\boldsymbol{x}',t))}{\partial z'}\\ \\ &=& \frac{\partial E_z'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial y'}-\frac{\partial E_y'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial z'}\\ \\ \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t) &=& \text{rot}'\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{x}',t) \end{eqnarray} となる。加えて、 \begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& \frac{\partial \boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t} \\ \\ \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} &\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&0 \\ \\ \Leftrightarrow& \text{rot}'\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{x}',t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t}&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
<2式目> \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}=\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \end{eqnarray} について、はじめに一項目のx成分に着目する。 \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)_x &=& \frac{\partial H_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}-\frac{\partial H_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial z}\\ \\ &=& -\frac{\partial H_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial (-y)}+\frac{\partial H_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial (-z)}\\ \\ &=& -\frac{\partial H_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial y'}+\frac{\partial H_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial z'}\\ \\ &=& -\frac{\partial \frac{1}{\mu_0}B_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial y'}+\frac{\partial \frac{1}{\mu_0}B_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial z'}\\ \\ &=& -\frac{\partial \frac{1}{\mu_0}B_z'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial y'}+\frac{\partial \frac{1}{\mu_0}B_y'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial z'}\\ \\ &=& -\frac{\partial H_z'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial y'}+\frac{\partial H_y'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial z'}\\ \\ \end{eqnarray} であることから、 \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)= -\text{rot}'\boldsymbol{H}'(\boldsymbol{x}',t) \end{eqnarray} となる。二項目は \begin{eqnarray} \frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& \frac{\partial \varepsilon_0\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \\ \\ &=& \frac{\partial (-\varepsilon_0\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{x}',t))}{\partial t} \\ \\ &=& -\frac{\partial \boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。\(\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)\)について、空間を反転させた際、電流の進行方向は逆になるため、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) &=& -\boldsymbol{i}'(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ \end{eqnarray} となると考えられる。従って、 \begin{eqnarray} &\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ \Leftrightarrow&-\text{rot}'\boldsymbol{H}'(\boldsymbol{x}',t)+\frac{\partial \boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t}&=&-\boldsymbol{i}'(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ \Leftrightarrow&\text{rot}'\boldsymbol{H}'(\boldsymbol{x}',t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial t}&=&\boldsymbol{i}'(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
<3式目>
\(\rho(\boldsymbol{x},t)\)はスカラー量であるため空間を反転しても正負に変化はないと考えられるため、 \begin{eqnarray} \rho(\boldsymbol{x},t) &=& \rho '(\boldsymbol{x}',t) \\ \\ \end{eqnarray} となる。\(\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\)を計算すると \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{\partial D_x(\boldsymbol{x},t)}{\partial x}+\frac{\partial D_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}+\frac{\partial D_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial z} \\ \\ &=& \frac{\partial (-D_x(\boldsymbol{x},t))}{\partial (-x)}+\frac{(-\partial D_y(\boldsymbol{x},t))}{\partial (-y)}+\frac{\partial (-D_z(\boldsymbol{x},t))}{\partial (-z)} \\ \\ &=& \frac{\partial (-D_x(\boldsymbol{x},t))}{\partial x'}+\frac{(-\partial D_y(\boldsymbol{x},t))}{\partial y'}+\frac{\partial (-D_z(\boldsymbol{x},t))}{\partial z'} \\ \\ &=& \frac{\partial (-\varepsilon_0E_x(\boldsymbol{x},t))}{\partial x'}+\frac{(-\partial \varepsilon_0E_y(\boldsymbol{x},t))}{\partial y'}+\frac{\partial (-\varepsilon_0E_z(\boldsymbol{x},t))}{\partial z'} \\ \\ &=& \frac{\partial \varepsilon_0E_x'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial x'}+\frac{\partial \varepsilon_0E_y'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial y'}+\frac{\partial \varepsilon_0E_z'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial z'} \\ \\ &=& \frac{\partial D_x'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial x'}+\frac{\partial D_y'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial y'}+\frac{\partial D_z'(\boldsymbol{x}',t)}{\partial z'} \\ \\ &=& \text{div}'\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}',t) \end{eqnarray} であるため、 \begin{eqnarray} &\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)&=&\rho(\boldsymbol{x},t) \\ \\ \Leftrightarrow&\text{div}'\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x}',t)&=&\rho '(\boldsymbol{x}',t) \end{eqnarray} となる。
<4式目>
\(\text{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\)を計算すると \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) &=& \frac{\partial B_x(\boldsymbol{x},t)}{\partial x}+\frac{\partial B_y(\boldsymbol{x},t)}{\partial y}+\frac{\partial B_z(\boldsymbol{x},t)}{\partial z} \\ \\ &=& \frac{\partial (-B_x(\boldsymbol{x},t))}{\partial (-x)}+\frac{(-\partial B_y(\boldsymbol{x},t))}{\partial (-y)}+\frac{\partial (-B_z(\boldsymbol{x},t))}{\partial (-z)} \\ \\ &=& \frac{\partial (-B_x(\boldsymbol{x},t))}{\partial x'}+\frac{(-\partial B_y(\boldsymbol{x},t))}{\partial y'}+\frac{\partial (-B_z(\boldsymbol{x},t))}{\partial z'} \\ \\ &=& \frac{\partial (-B_x'(\boldsymbol{x}',t))}{\partial x'}+\frac{\partial (-B_y'(\boldsymbol{x}',t))}{\partial y'}+\frac{\partial (-B_z'(\boldsymbol{x}',t))}{\partial z'} \\ \\ &=& -\text{div}'\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x}',t) \end{eqnarray} となるため、 \begin{eqnarray} &\text{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)&=&0 \\ \\ \Leftrightarrow&-\text{div}'\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x}',t)&=&0 \\ \\ \Leftrightarrow&\text{div}'\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x}',t)&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} となる。

こちらも参考に。
<1式目>
\begin{eqnarray} m_i\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=e_i\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}(t),(t))+e_i\dot{\boldsymbol{r}}_i(t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}(t),t) \end{eqnarray} に対して位置の二階微分を考える。式(2.25)から、 \begin{eqnarray} \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}&=&-\frac{d\boldsymbol{r}'}{dt'} \\ \\ \frac{d\boldsymbol{r}^2}{dt^2}&=&-\frac{d}{dt}\frac{d\boldsymbol{r}'}{dt'} \\ \\ &=& \frac{d}{d(-t')}\frac{d\boldsymbol{r}'}{dt'} \\ \\ &=& \frac{d^2\boldsymbol{r}'}{dt'^2} \\ \\ &=& \frac{d^2\boldsymbol{r}'}{dt^2} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。右辺は \begin{eqnarray} &&e_i\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}(t),(t))+e_i\dot{\boldsymbol{r}}_i(t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}(t),t)\\ \\ &=& e_i\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{r}(t),(t))+e_i(-\dot{\boldsymbol{r}}'_i(t))\times(-\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{r}(t),t))\\ \\ &=& e_i\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{r}(t),(t))+e_i\dot{\boldsymbol{r}}'_i(t)\times\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{r}(t),t)\\ \\ \end{eqnarray} であることから、 \begin{eqnarray} m_i\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}&=&e_i\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}(t),(t))+e_i\dot{\boldsymbol{r}}_i(t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}(t),t) \\ \\ &\Rightarrow& m_i\frac{d^2\boldsymbol{r}'}{dt^2}&=&e_i\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{r}'(t),(t))+e_i\dot{\boldsymbol{r}}'_i(t)\times\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{r}'(t),t) \\ \\ \end{eqnarray} となる。
<2式目> \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}=0 \end{eqnarray} の左辺二項目に着目する。 \begin{eqnarray} \frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& \frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},-t')}{\partial (-t')} &=& -\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},-t')}{\partial t'} &=& -\frac{\partial(-\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x},t'))}{\partial t'} &=& \frac{\partial\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x},t')}{\partial t'} \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} &&\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{E}'(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
<3式目> \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}=\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i\dot{\boldsymbol{r}}_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}(-\boldsymbol{H}'(\boldsymbol{x},t))-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},-t')}{\partial (-t')}=\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i(-\dot{\boldsymbol{r}}_i')\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& -\text{rot}\boldsymbol{H}'(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x},t')}{\partial t'}=-\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i\dot{\boldsymbol{r}}_i'\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{H}'(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x},t')}{\partial t'}=\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i\dot{\boldsymbol{r}}_i'\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t)) \\ \\ \end{eqnarray} となる。
<4式目>
\(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\)も\(\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t))\)も、時間反転に対して変化しないため、 \begin{eqnarray} && \text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t)) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{div}\boldsymbol{D}'(\boldsymbol{x},t)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^Ne_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i'(t)) \\ \\ \end{eqnarray} となる。
<5式目>
\begin{eqnarray} &&\text{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow&-\text{div}\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x},t)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow&\text{div}\boldsymbol{B}'(\boldsymbol{x},t)&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.3)の発散をとると \begin{eqnarray} &&\text{div}\left(\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \right)&=&\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{div}\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\text{div}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=&\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& 0-\frac{\partial}{\partial t}\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=&\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=&\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、p.20の式(6.1)の電荷保存則\(\frac{\partial\rho(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)=0\)を用いると、 \begin{eqnarray} &&\frac{\partial}{\partial t}\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=&\text{div}\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t) &=&-\frac{\partial\rho(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial\rho(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\left(\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\rho(\boldsymbol{x},t)\right)&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.1)に式(3.7)を代入する。 \begin{eqnarray} \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &=& \text{rot}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t)\right) +\frac{\partial}{\partial t}\left(\text{rot}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\right) \\ \\ &=& \text{rot}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right)-\text{rot}\left(\text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t)\right) +\text{rot}\frac{\partial\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} \\ \\ &=& -\text{rot}\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-0 +\text{rot}\frac{\partial\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} &...p447 (A\cdot 55)より\text{rot}\text{grad}\phi=0\\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} が得られる。
式(3.2)に代入すると \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t) &=& \text{div}\text{rot}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& 0&...p.448(A\cdot 57)より、\text{div}\text{rot}\boldsymbol{A}=0 \end{eqnarray} が得られる。

式(3.3)の両辺に\(\mu_0\)をかける。 \begin{eqnarray} &&\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \mu_0\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\mu_0\frac{\partial\varepsilon_0\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&\mu_0\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&\mu_0\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\frac 1{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}&=&\mu_0\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) &...\mu_0\varepsilon_0=\frac 1{c^2}とした。\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.4)より、 \begin{eqnarray} &&\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)&=&\rho(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{div}\boldsymbol{\varepsilon_0E}(\boldsymbol{x},t)&=&\rho(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)&=&\frac{\rho(\boldsymbol{x},t)}{\varepsilon_0} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。左辺を式変形すると、 \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)&=&\text{div}\left(-\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}-\text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t)\right) \\ \\ &=& -\text{div}\left(\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}+\text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t)\right) \\ \\ &=& -\text{div}\left(\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right)-\text{div}\left(\text{grad}\phi(\boldsymbol{x},t)\right) \\ \\ &=& -\text{div}\left(\frac{\partial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right)-\Delta\phi(\boldsymbol{x},t)&...p.446(A\cdot 47)より \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} &&\text{grad}\left(\text{div}\boldsymbol{A}'(\boldsymbol{x},t)+\frac 1{c^2}\frac{\partial\phi '}{\partial t}\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)\boldsymbol{A}'(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \text{grad}\left(\text{div}(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)+\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t))+\frac 1{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(\phi-\frac{\partial}{\partial t}u(\boldsymbol{x},t))\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)+\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& \text{grad}\left(\text{div}(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t))+\frac 1{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\phi\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t))+\text{grad}\left(\text{div}(\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t))+\frac 1{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(-\frac{\partial}{\partial t}u(\boldsymbol{x},t))\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)(\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& \mu_0\boldsymbol{i}+\text{grad}\left(\text{div}(\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t))+\frac 1{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(-\frac{\partial}{\partial t}u(\boldsymbol{x},t))\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)(\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& \mu_0\boldsymbol{i}+\text{grad}\left(\Delta u(\boldsymbol{x},t)-\frac 1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(\boldsymbol{x},t)\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)(\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& \mu_0\boldsymbol{i}+\left(\text{grad}\Delta u(\boldsymbol{x},t)-\Delta\text{grad}u(\boldsymbol{x},t)\right)+\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)-\text{grad}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \ u(\boldsymbol{x},t)\right) \\ \\ \end{eqnarray} となる。ここで、\(\text{grad}\Delta u(\boldsymbol{x},t)-\Delta\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)\)の\(x\)成分に注目すると、 \begin{eqnarray} &&\text{grad}\Delta u(\boldsymbol{x},t)-\Delta\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)|_x \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial x}(\Delta u(\boldsymbol{x},t))-\Delta(\frac{\partial}{\partial x}u(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& \frac{\partial}{\partial x}((\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}) u(\boldsymbol{x},t))-(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2})(\frac{\partial}{\partial x}u(\boldsymbol{x},t)) \\ \\ &=& ((\frac{\partial^3 }{\partial x^3}+\frac{\partial^3 }{\partial y^2\partial x}+\frac{\partial^3 }{\partial z^2\partial x}) u(\boldsymbol{x},t))-(\frac{\partial^3 }{\partial x^3}+\frac{\partial^3 }{\partial y^2\partial x}+\frac{\partial^3 }{\partial z^2\partial x})u(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& 0 \\ \\ &\therefore& \text{grad}\Delta u(\boldsymbol{x},t)-\Delta\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)=0 \end{eqnarray} となる。次に\(\frac{\partial^2}{\partial t^2}\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)-\text{grad}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \ u(\boldsymbol{x},t)\)の\(x\)成分に着目すると、 \begin{eqnarray} &&\frac{\partial^2}{\partial t^2}\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)-\text{grad}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \ u(\boldsymbol{x},t)|_x \\ \\ &=& \frac{\partial^2}{\partial t^2} (\frac{\partial}{\partial x}u(\boldsymbol{x},t))-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \ u(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& 0 \\ \\ &\therefore& \frac{\partial^2}{\partial t^2}\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)-\text{grad}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \ u(\boldsymbol{x},t)=0 \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} &&\text{grad}\left(\text{div}\boldsymbol{A}'(\boldsymbol{x},t)+\frac 1{c^2}\frac{\partial\phi '}{\partial t}\right)+\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta\right)\boldsymbol{A}'(\boldsymbol{x},t) \\ \\ &=& \mu_0\boldsymbol{i}+\left(\text{grad}\Delta u(\boldsymbol{x},t)-\Delta\text{grad}u(\boldsymbol{x},t)\right)+\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}\text{grad} \ u(\boldsymbol{x},t)-\text{grad}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \ u(\boldsymbol{x},t)\right) \\ \\ &=& \mu_0\boldsymbol{i} \end{eqnarray} となる。

p.48の上段の式より、 \begin{eqnarray} &&-\frac{\partial \boldsymbol{A}'}{\partial t}-\text{grad}\phi'=\boldsymbol{E} \end{eqnarray} である。両辺の発散をとると、 \begin{eqnarray} &&-\frac{\partial \boldsymbol{A}'}{\partial t}-\text{grad}\phi'&=&\boldsymbol{E} \\ \\ &\Rightarrow& -\text{div}\left(\frac{\partial \boldsymbol{A}'}{\partial t}+\text{grad}\phi'\right)&=&\text{div}\boldsymbol{E} \\ \\ &\Rightarrow& -\text{div}\left(\frac{\partial \boldsymbol{A}'}{\partial t}\right)-\Delta\phi'&=&\frac{\rho}{\varepsilon_0} &...式(3.4)より\\ \\ \end{eqnarray} となる。

<式(3.15)>

電荷密度としてデルタ関数を用いた式(1.5)の真ん中の式を、式(1.6)に代入する。

p.439 (A・16)を考える。 \(\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{B}\)とすると、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{v}_i\cdot [\boldsymbol{v}_i\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)]=\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) \end{eqnarray} と考えればよい。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) &=& A_x(A_yB_z-A_zB_y)+A_y(A_zB_x-A_xB_z)+A_z(A_xB_y-A_yB_x) \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} であることから、\(\boldsymbol{v}_i\cdot [\boldsymbol{v}_i\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)]=0\)になる。

式(4.2)の上の式に、式(4.2)を代入すると \begin{eqnarray} &&\frac{d}{dt}\left[ \displaystyle\sum_{i=1}^N\frac 12m_iv_i^2(t)+\frac 12 \int_Vd^3x(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}+\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H}) \right]&=&-\int_V\text{div}(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})d^3x \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{d}{dt}\left[ \displaystyle\sum_{i=1}^N\frac 12m_iv_i^2(t)+\int_Vd^3xw(\boldsymbol{x},t) \right]&=&\int_V\text{div}\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)d^3x \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{d}{dt}\left( \displaystyle\sum_{i=1}^N\frac 12m_iv_i^2(t)+W(t) \right)&=&\int_V\text{div}\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)d^3x \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、p.445(A・42)で示されているGaussの定理を用いて、 \begin{eqnarray} -\frac{d}{dt}\left( \displaystyle\sum_{i=1}^N\frac 12m_iv_i^2(t)+W(t) \right)&=&\int_V\text{div}\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)d^3x \\ \\ &=&\oint_S\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)\cdot \boldsymbol{n}(x)dS \\ \\ \end{eqnarray}になる。

\(\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})\)と\(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})\)が静場であることを用いる。 式(3.1)より、 \begin{eqnarray} &&\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})+\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})}{\partial t}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})+0&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。次に式(3.3)より、 \begin{eqnarray} &&\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x})}{\partial t}&=&\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})-\frac{\partial \varepsilon_0\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})}{\partial t}&=&\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})-0&=&\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})&=&\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})&=&0&...真空中では\boldsymbol{i}=0であるから \\ \\ \end{eqnarray}になる。 従って、\(\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})=\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})=0\)が得られる。

式(1.6)の全点電荷について和をとった式の右辺を変形する。有限和と積分は順序の交換が可能なので（参考）、 \begin{eqnarray} &&\displaystyle\sum_i\int_Vd^3xe_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t))\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\dot{\boldsymbol{r}}_i(t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=&\int_Vd^3x\displaystyle\sum_ie_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t))\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\dot{\boldsymbol{r}}_i(t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\displaystyle\sum_i\{e_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t))\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+e_i\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i(t))\dot{\boldsymbol{r}}_i(t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{(\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t))\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)+\left(\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\left(\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(5.1)より、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\boldsymbol{G}_m(t)&=&\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\left(\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)+\text{rot}\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\}&...\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=-\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A}より \\ \\ \end{eqnarray} が得られるので、 \begin{eqnarray} &&\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})=\frac{\partial\boldsymbol{D} }{\partial t}\times\boldsymbol{B}-\boldsymbol{D}\times\text{rot}\boldsymbol{E} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial\boldsymbol{D} }{\partial t}\times\boldsymbol{B}=\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})+\boldsymbol{D}\times\text{rot}\boldsymbol{E} \\ \\ \end{eqnarray} を代入すると、 \begin{eqnarray} &&\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\times\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\}\\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\left(\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})+\boldsymbol{D}\times\text{rot}\boldsymbol{E}\right)\}\\ \\ &=& -\int_Vd^3x\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})+\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}\\ \\ &=& -\int_Vd^3x\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_0\boldsymbol{E}\times\mu_0\boldsymbol{H})+\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}\\ \\ &=& -\int_Vd^3x\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)+\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}&...\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\\ \\ &=& -\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\int_Vd^3x\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)+\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}&...\frac{1}{c^2}=\mu_0\varepsilon_0\\ \\ \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} &&\frac{d}{dt}\boldsymbol{G}_m(t)&=&-\frac{\partial}{\partial t}\int_Vd^3x\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)+\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}\\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{G}_m(t)+\frac{1}{c^2}\int_Vd^3x\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)\right)&=&\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}\\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d}{dt}\left(\boldsymbol{G}_m(t)+\frac{1}{c^2}\int_V\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x},t)d^3x\right)&=&\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\}\\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(5.9)より、 \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{T}^e&=&\varepsilon_0(\boldsymbol{E}\text{div}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{E}\times\text{rot}\boldsymbol{E})\\ \\ &=& \boldsymbol{E}\text{div}(\varepsilon_0\boldsymbol{E})-\varepsilon_0\boldsymbol{E}\times\text{rot}\boldsymbol{E} \\ \\ &=& (\boldsymbol{E}\text{div}\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}\times\text{rot}\boldsymbol{E}) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。式(5.10)も同様にして、 \begin{eqnarray} \text{div}\boldsymbol{T}^m&=&-\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}\times\text{rot}\boldsymbol{B}\\ \\ &=& -\boldsymbol{B}\times\text{rot}(\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B})\\ \\ &=& -\boldsymbol{B}\times\text{rot}\boldsymbol{H}\\ \\ \end{eqnarray} が得られるので、これらを式(5.3)の右辺に代入して、 \begin{eqnarray} &&\int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)\text{div}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)-\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x},t)\times\text{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)-\text{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x},t)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\text{div}\boldsymbol{T}^e+\text{div}\boldsymbol{T}^m\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\{\text{div}(\boldsymbol{T}^e+\boldsymbol{T}^m)\} \\ \\ &=& \int_Vd^3x\text{div}\boldsymbol{T} &...式(5.7)より、\boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}^e+\boldsymbol{T}^m\\ \\ &=& \int_V\text{div}\boldsymbol{T}d^3x \\ \\ &=& \oint_S\text{div}\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})dS&...Gaussの定理(p.445 A\cdot 42) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。