理論電磁気学の行間埋め　第１章

三次元極座標の運動方程式のうち、\(r\)方向(動径方向)のものは \begin{eqnarray} m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2-r\dot{\phi}^2\sin^2 \theta)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}r \end{eqnarray} と書きあらわせる。ここでは、動径方向にのみ運動がおこると考え、\(\theta\)方向(天頂角方向)と\(\phi\)方向(偏角方向)に速度は生じないと考える。 そうすると運動方程式は \begin{eqnarray} m(\ddot{r}-r0^2-r0^2\sin^2 \theta)&=&-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}r \\ \\ \Leftrightarrow m\ddot{r}&=&-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}r \\ \\ \end{eqnarray}

角周波数を\(\omega\)とする。そうすると微分方程式\(r(t)\)の解は定数\(A,B\)を用いて \begin{eqnarray} r(t)=A\sin \omega t+B\cos\omega t \end{eqnarray} と書くことができる。\(\omega\)の値を求めると、 \begin{eqnarray} \frac{d^2}{dt^2}r(t)&=&-\omega^2(A\sin \omega t+B\cos\omega t) \\ \\ &=&-\omega^2r(t) \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} &&m\ddot{r(t)}&=&-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}r(t) \\ \\ &\Leftrightarrow&-m\omega^2r(t)&=&-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}r(t) \\ \\ &\Leftrightarrow&\omega^2&=&\frac{e^2}{4m\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3} \\ \\ &\Rightarrow&\omega&=&\sqrt{\frac{e^2}{4m\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}}&...\omega\gt 0より \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、角周波数\(\omega\)と振動数\(\nu\)の関係から、 \begin{eqnarray} \omega&=&2\pi\nu \\ \\ \nu&=&\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{e^2}{4m\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}} \end{eqnarray} となる。

極座標形式の運動方程式(二次元)
極座標形式での運動方程式を参考にする。 接戦方向の運動方程式は、 \begin{eqnarray} &&m\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})&=&F_{\theta} \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{d}{dt}(mr\dot{\theta})&=&-eE(r,t) \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{d}{dt}(mv)&=&-eE(r,t) &...v=r\dot{\theta}とした。\\ \\ \end{eqnarray} となる。
法線方向の運動方程式は \begin{eqnarray} & &m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)&=&F_r \\ \\ &\Leftrightarrow& m(0-r\dot{\theta}^2)&=&-evB(r,t) &...rは定数なので\ddot{r}=0になる \\ \\ &\Leftrightarrow& mr\dot{\theta}^2&=&evB(r,t)\\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{m(r\dot{\theta})^2}{r}&=&evB(r,t)\\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{mv^2}r&=&evB(r,t)&...v=r\dot{\theta}とした。\\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} \frac{dmv}{dt}&=&-eE(r,t) \tag{1}\\ \\ \frac{mv^2}{r}&=&evB(r,t) \tag{2}\\ \\ 2\pi rE(r,t)&=&-\frac{dN(r,t)}{dt}\tag{3} \end{eqnarray} の三つの方程式について式変形する。(2)より、 \begin{eqnarray} &&\frac{mv^2}{r}&=&evB(r,t) \\ \\ &\Leftrightarrow&mv&=&erB(r,t) \end{eqnarray} が得られる。これを(1)に代入する。 \begin{eqnarray} &&\frac{dmv}{dt}&=&-eE(r,t) \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{derB(r,t)}{dt}&=&-eE(r,t) \\ \\ &\Leftrightarrow&er\frac{dB(r,t)}{dt}&=&-eE(r,t) &rは一定\\ \\ &\Leftrightarrow&r\frac{dB(r,t)}{dt}&=&-E(r,t)\\ \\ &\Leftrightarrow&E(r,t)&=&-r\frac{dB(r,t)}{dt}\\ \\ \end{eqnarray} これを(3)に代入すると、 \begin{eqnarray} &&2\pi rE(r,t)&=&-\frac{dN(r,t)}{dt} \\ \\ &\Leftrightarrow&2\pi r\left(-r\frac{dB(r,t)}{dt}\right)&=&-\frac{dN(r,t)}{dt} \\ \\ &\Leftrightarrow&2\pi r^2\left(\frac{dB(r,t)}{dt}\right)&=&\frac{dN(r,t)}{dt} \\ \\ &\Leftrightarrow&\frac{dB(r,t)}{dt}&=&\frac{1}{2\pi r^2}\frac{dN(r,t)}{dt} \\ \\ \end{eqnarray} となる。

p.448の(A.57)に記載。

微小体積\(dV\)が持つ電荷の総和を考える。電荷分布を\(\rho_0(\boldsymbol{x'})\)とすると、微小な電荷\(de\)は \begin{eqnarray} de=\rho_0(\boldsymbol{x'})dV \end{eqnarray} と書ける。この電荷が座標\(\boldsymbol{x}\)に作る電場は、式(3.2)を用いて \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e}{R^2}\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_Q}{R} &...(3.2)\\ \\ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}) &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{de}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|^2}\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'} }{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|} \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho_0(\boldsymbol{x'})dV}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|^3}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}) \\ \\ &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'})\rho_0(\boldsymbol{x'})dV}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|^3} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これを、電荷の範囲で積分すると電場が得られる。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}) &=& \int_V\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'})\rho_0(\boldsymbol{x'})dV}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|^3} \\ \\ &=& \int_V\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'})\rho_0(\boldsymbol{x'})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|^3}dV \\ \\ &=& \int_V\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'})\rho_0(\boldsymbol{x'})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x'}|^3}d^3x' \\ \\ \end{eqnarray}