固体物理学入門の行間埋め　第２章

式(7)は式(5)における\(p=p,-p\)の項だけ取りだし、 \begin{eqnarray} n_p\exp\left(i\frac{2\pi px}{a}\right)+n_{-p}\exp\left(i\frac{2\pi (-p)x}{a}\right) &=& n_p\exp\left(i\frac{2\pi px}{a}\right)+n_{-p}\exp\left(-i\frac{2\pi px}{a}\right) \\ \\ &=& n_p\left(\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)\right)+n_{-p}\left(\cos\left(-\frac{2\pi px}{a}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi px}{a}\right)\right)&...&\text{オイラーの公式より} \\ \\ &=& (n_p+n_{-p})\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)+i(n_p-n_{-p})\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)\\ \\ &=& (n_p+(n_{-p}^{\ast})^{\ast})\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)+i(n_p-(n_{-p}^{\ast})^{\ast})\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)&...&(a^{\ast})^{\ast}=a\text{を用いた}\\ \\ &=& \underbrace{(n_p+n_p^{\ast})}_{(1)}\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)+i\underbrace{(n_p-n_{p}^{\ast})}_{(2)}\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)&...&\text{式(6)より}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。\(n_p=a+bi\)とすると(\(a,b\)は実数) \begin{eqnarray} (1)&=&n_p+n_p^{\ast} \\ \\ &=& a+bi+a-bi \\ \\ &=& 2a \\ \\ &=& 2\text{Re}\{n_p\} \\ \\ \\ (2)&=&n_p-n_p^{\ast} \\ \\ &=& a+bi-(a-bi) \\ \\ &=& 2bi \\ \\ &=& 2i\text{Im}\{n_p\} \end{eqnarray} となるため、 \begin{eqnarray} n_p\exp\left(i\frac{2\pi px}{a}\right)+n_{-p}\exp\left(i\frac{2\pi (-p)x}{a}\right) &=& \underbrace{(n_p+n_p^{\ast})}_{(1)}\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)+i\underbrace{(n_p-n_{p}^{\ast})}_{(2)}\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)&\\ \\ &=& \underbrace{2\text{Re}\{n_p\}}_{(1)}\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)+i\cdot\underbrace{2i\text{Im}\{n_p\}}_{(2)}\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)&\\ \\ &=& 2\text{Re}\{n_p\}\cos\left(\frac{2\pi px}{a}\right)-2\text{Im}\{n_p\}\sin\left(\frac{2\pi px}{a}\right)&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。