- 空間格子の基本型
- p.11それぞれの立方格子における単位基本格子の体積の導出
- p.11それぞれの立方格子における単位体積あたりの格子点数
- p.11それぞれの立方格子における最隣接の格子点までの距離と数
- p.11それぞれの立方格子における第2隣接の格子点数
- p.11それぞれの立方格子における充填率
固体物理学入門の行間埋め 第１章
p.12に体心立方格子(図10)、面心立方格子(図11)の基本単位格子が記載されている。これらを利用し、p.6式(3)に従って体積を求める。体心立方格子については
\begin{eqnarray}
V_{\text{体心}}
&=&
|\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)| \\ \\
&=&
\left|
\frac{a}{2}\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}
\right)
\cdot\left[
\frac{a}{2}\left(
\begin{array}{cccc}
-1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)
\times
\frac{a}{2}\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
-1 \\
1
\end{array}
\right)
\right]
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{8}\left|
\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
1\cdot 1-(-1)\cdot 1 \\
1\cdot 1-(-1)\cdot 1 \\
(-1)(-1)-1\cdot 1
\end{array}
\right)
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{8}\left|
\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
2 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{8}\left|
2\cdot 1+2\cdot 1+(-1)\cdot 0
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{2}
\end{eqnarray}
が得られる。また、
\begin{eqnarray}
V_{\text{面心}}
&=&
|\boldsymbol{a}_1\cdot(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3)| \\ \\
&=&
\left|
\frac{a}{2}\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
0
\end{array}
\right)
\cdot\left[
\frac{a}{2}\left(
\begin{array}{cccc}
0 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)
\times
\frac{a}{2}\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
0 \\
1
\end{array}
\right)
\right]
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{8}\left|
\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
0
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
1\cdot 1-0\cdot 1 \\
1\cdot 1-1\cdot 0 \\
0\cdot 0-1\cdot 1
\end{array}
\right)
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{8}\left|
\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
0
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}
\right)
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{8}\left|
1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot (-1)
\right| \\ \\
&=&
\frac{a^3}{4}
\end{eqnarray}
p.10の図8を参考に考える。
単純立方格子では隅に\(1/8\)の大きさの格子があるため、格子点の数としては\(\frac18\times8=1\)個あり、単位体積当たりは\(1/a^3\)になる。
体心立方格子では隅に\(1/8\)の大きさの格子があり、中央に1個格子があるため、格子点の数としては\(\frac18\times8+1=2\)個あり、単位体積当たりは\(2/a^3\)になる。
面心立方格子では隅に\(1/8\)の大きさの格子があり、面の中央に\(1/2\)の大きさの格子があるため、格子点の数としては\(\frac18\times8+\frac12\times6=4\)個あり、単位体積当たりは\(4/a^3\)になる。
単純立方格子では隅に\(1/8\)の大きさの格子があるため、格子点の数としては\(\frac18\times8=1\)個あり、単位体積当たりは\(1/a^3\)になる。
体心立方格子では隅に\(1/8\)の大きさの格子があり、中央に1個格子があるため、格子点の数としては\(\frac18\times8+1=2\)個あり、単位体積当たりは\(2/a^3\)になる。
面心立方格子では隅に\(1/8\)の大きさの格子があり、面の中央に\(1/2\)の大きさの格子があるため、格子点の数としては\(\frac18\times8+\frac12\times6=4\)個あり、単位体積当たりは\(4/a^3\)になる。
p.10の図8を参考に考える。
単純立方格子では最隣接の格子との距離は、隣り合う頂点までの距離として\(a\)である。図より最隣接格子の数は\(6\)。これはある格子点の上下左右前後になる。
体心立方格子では最隣接の格子との距離は、中心から頂点までの距離を考え、立方体の対角線\(a\sqrt{3}\)の半分で\(a\frac{\sqrt{3}}{2}\)である。図より最隣接格子の数は\(8\)。図8の中心の格子を基準に数えた。
面心立方格子では最隣接の格子との距離は、面の中心から頂点までの距離および、隣り合う面の中心までの距離として\(a\frac{\sqrt{2}}{2}\)である。図より最隣接格子の数は\(12\)。ある面の中心にある格子を考え、その格子が含まれる面の四隅、その面と隣り合い垂直に交わる面の中心にある格子が8面ある。
単純立方格子では最隣接の格子との距離は、隣り合う頂点までの距離として\(a\)である。図より最隣接格子の数は\(6\)。これはある格子点の上下左右前後になる。
体心立方格子では最隣接の格子との距離は、中心から頂点までの距離を考え、立方体の対角線\(a\sqrt{3}\)の半分で\(a\frac{\sqrt{3}}{2}\)である。図より最隣接格子の数は\(8\)。図8の中心の格子を基準に数えた。
面心立方格子では最隣接の格子との距離は、面の中心から頂点までの距離および、隣り合う面の中心までの距離として\(a\frac{\sqrt{2}}{2}\)である。図より最隣接格子の数は\(12\)。ある面の中心にある格子を考え、その格子が含まれる面の四隅、その面と隣り合い垂直に交わる面の中心にある格子が8面ある。
p.10の図8を参考に考える。
単純立方格子では二番目に隣接した格子との距離は、対角線を考えて\(\sqrt{2}a\)である。
体心立方格子では二番目に隣接した格子との距離は、頂点同士の距離\(a\)である。
面心立方格子では二番目に隣接した格子との距離は、頂点同士の距離\(a\)である。
単純立方格子では二番目に隣接した格子との距離は、対角線を考えて\(\sqrt{2}a\)である。
体心立方格子では二番目に隣接した格子との距離は、頂点同士の距離\(a\)である。
面心立方格子では二番目に隣接した格子との距離は、頂点同士の距離\(a\)である。
それぞれの立方体の体積は\(a^3\)である。
単純格子が占める単位体積中の体積を求める。格子を球であると考える。最隣接した一辺の中に半球が二つ入っていると考えると球の半径\(r_{sc}\)は \begin{eqnarray} a=2r_{sc}\Leftrightarrow r_{sc}=\frac{1}{2}a \end{eqnarray} なので、これと単位体積当たりの格子点数を考えると \begin{eqnarray} \frac{\frac{4\pi}{3}r_{sc}^3}{a^3} &=& \frac{4\pi}{3}\frac{a^3}{2^3}\frac{1}{a^3} \\ \\ &=& \frac{\pi}{6} \end{eqnarray} となる。
体心格子が占める単位体積中の体積を求める。最隣接した、立方体の対角線一辺の中に球が1つと半球が二つ入っていると考えると球の半径\(r_{bcc}\)は \begin{eqnarray} \sqrt{3}a=\underbrace{2r_{bcc}}_{\text{球が一つ}}+\underbrace{2r_{bcc}}_{\text{半球が二つ}}\Leftrightarrow r_{bcc}=\frac{\sqrt{3}}{4}a \end{eqnarray} なので、これと単位体積当たりの格子点数を考えると \begin{eqnarray} \frac{\frac{4\pi}{3}r_{bcc}^3\times2}{a^3} &=& \frac{4\pi}{3}\frac{\sqrt{3}^3a^3}{4^3}\cdot 2\cdot\frac{1}{a^3} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \end{eqnarray} となる。
面心格子が占める単位体積中の体積を求める。最隣接した、面の対角線一辺の中に球が1つと半球が二つ入っていると考えると球の半径\(r_{fcc}\)は \begin{eqnarray} \sqrt{2}a=\underbrace{2r_{fcc}}_{\text{球が一つ}}+\underbrace{2r_{fcc}}_{\text{半球が二つ}}\Leftrightarrow r_{fcc}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \end{eqnarray} なので、これと単位体積当たりの格子点数を考えると \begin{eqnarray} \frac{\frac{4\pi}{3}r_{bcc}^3\times4}{a^3} &=& \frac{4\pi}{3}\frac{\sqrt{2}^3a^3}{4^3}\cdot 4\cdot\frac{1}{a^3} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \end{eqnarray} となる。
単純格子が占める単位体積中の体積を求める。格子を球であると考える。最隣接した一辺の中に半球が二つ入っていると考えると球の半径\(r_{sc}\)は \begin{eqnarray} a=2r_{sc}\Leftrightarrow r_{sc}=\frac{1}{2}a \end{eqnarray} なので、これと単位体積当たりの格子点数を考えると \begin{eqnarray} \frac{\frac{4\pi}{3}r_{sc}^3}{a^3} &=& \frac{4\pi}{3}\frac{a^3}{2^3}\frac{1}{a^3} \\ \\ &=& \frac{\pi}{6} \end{eqnarray} となる。
体心格子が占める単位体積中の体積を求める。最隣接した、立方体の対角線一辺の中に球が1つと半球が二つ入っていると考えると球の半径\(r_{bcc}\)は \begin{eqnarray} \sqrt{3}a=\underbrace{2r_{bcc}}_{\text{球が一つ}}+\underbrace{2r_{bcc}}_{\text{半球が二つ}}\Leftrightarrow r_{bcc}=\frac{\sqrt{3}}{4}a \end{eqnarray} なので、これと単位体積当たりの格子点数を考えると \begin{eqnarray} \frac{\frac{4\pi}{3}r_{bcc}^3\times2}{a^3} &=& \frac{4\pi}{3}\frac{\sqrt{3}^3a^3}{4^3}\cdot 2\cdot\frac{1}{a^3} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \end{eqnarray} となる。
面心格子が占める単位体積中の体積を求める。最隣接した、面の対角線一辺の中に球が1つと半球が二つ入っていると考えると球の半径\(r_{fcc}\)は \begin{eqnarray} \sqrt{2}a=\underbrace{2r_{fcc}}_{\text{球が一つ}}+\underbrace{2r_{fcc}}_{\text{半球が二つ}}\Leftrightarrow r_{fcc}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \end{eqnarray} なので、これと単位体積当たりの格子点数を考えると \begin{eqnarray} \frac{\frac{4\pi}{3}r_{bcc}^3\times4}{a^3} &=& \frac{4\pi}{3}\frac{\sqrt{2}^3a^3}{4^3}\cdot 4\cdot\frac{1}{a^3} \\ \\ &=& \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \end{eqnarray} となる。