統計学実践ワークブックの行間埋め　第25章

\begin{eqnarray} V[x_{ij}] &=& V[a_jf_i+d_ju_{ij}] \\ \\ &=& V[a_jf_i]+V[d_ju_{ij}] \\ \\ &=& V[a_jf_i]+V[d_ju_{ij}] \\ \\ &=& a_j^2V[f_i]+d_j^2V[u_{ij}] \\ \\ &=& a_j^2+d_j^2 \end{eqnarray} ここで、p.223より\(x_{ij}\sim N(0,1)\)に調整されているため、\(a_j^2+d_j^2=1\)

\(X_1,X_2,X_3\)とp.228の条件に従って計算する。 \begin{eqnarray} &X_2&=&aX_1+u \\ \\ \Rightarrow & X_2X_1&=&aX_1^2+uX_1& \\ \\ \Rightarrow &E[X_2X_1]&=&E[aX_1^2+uX_1]& \\ \\ \Leftrightarrow &E[X_2X_1]-0&=&E[aX_1^2]-0+E[uX_1]& \\ \\ \Leftrightarrow &E[X_2X_1]-E[X_2]E[X_1]&=&a(E[X_1^2]-E[X_1]^2)+0&\;\;\;...X_1,X_2\sim N(0,1),\;uはX_1と無相関。 \\ \\ \Leftrightarrow &Cov[X_2,X_1]&=&aV[X_1]& \\ \\ \Leftrightarrow &\rho_{12}&=&a& \\ \\ \end{eqnarray} 同様のことが\(b=\rho_{23}\)でも計算できる。