統計学実践ワークブックの行間埋め　第21章

\begin{eqnarray} &&V[\overline{x}]&\lt& c \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{N-n}{N-1}\frac{1}{n}\sigma^2&\lt&c \\ \\ &\Leftrightarrow& (N-n)\sigma^2&\lt&c(N-1)n \\ \\ &\Leftrightarrow& N\sigma^2&\lt&c(N-1)n+n\sigma^2 \\ \\ &\Leftrightarrow& N\sigma^2&\lt&n(c(N-1)+\sigma^2) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{N\sigma^2}{c(N-1)+\sigma^2}&\lt&n \\ \\ &\Leftrightarrow& n&\gt&\frac{N\sigma^2}{\sigma^2+c(N-1)} \\ \\ \end{eqnarray}

大きさNの母集団から大きさnの標本を非復元単純無作為抽出することに関する分散について：参考
第h層の変量の母分散を\(\sigma^2_h\)とする。 \begin{eqnarray} V[\overline{x}_{st}] &=& V\left[ \displaystyle \sum_{h=1}^L \frac{N_h}{N} \frac{1}{n_h} \sum_{i=1}^{n_h} x_{h_i}\right] \\ \\ &=& V\left[ \displaystyle \sum_{h=1}^L \frac{N_h}{N} \overline{x}_{h_i}\right] \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{h=1}^L\left(\left(\frac{N_h}{N}\right)^2 V\left[\overline{x}_{h_i}\right]\right) \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{h=1}^L\left(\left(\frac{N_h}{N}\right)^2\frac{N_h-n_h}{N_h-1}\frac{1}{n_h}\sigma^2_h\right) \\ \\ \end{eqnarray}