統計学実践ワークブックの行間埋め　第19章

確率密度関数\(f(x)\)は\(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)なので \begin{eqnarray} S(t) &=& 1-\int_{0}^t f(x)dx \\ \\ &=& 1-\int_{0}^t \lambda e^{-\lambda x}dx \\ \\ &=& 1-\left[-e^{-\lambda x} \right]_0^t \\ \\ &=& 1+e^{-\lambda t}-1 &=& e^{-\lambda t} \end{eqnarray}

問19.2に記載がある。

\begin{eqnarray} S(t) &=& 1-\int_{0}^t f(x)dx \\ \\ &=& 1-\int_{0}^t \lambda p(\lambda x)^{p-1}\exp(-(\lambda x)^p) dx \\ \\ &=& 1-\left[-\exp(-(\lambda x)^p) \right]_0^t \\ \\ &=& \exp(-(\lambda t)^p) \\ \\ \end{eqnarray}

ハザード関数は\(h(t)=-(\log{S(t)})'\)で表せるので、 \begin{eqnarray} h(t) &=& -(\log{S(t)})'\\ \\ &=& -(\log \exp(-(\lambda t)^p))' \\ \\ &=& -(-(\lambda t)^p)' \\ \\ &=& \lambda p (\lambda t)^{p-1} \\ \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} S(t) &=& 1-\int_{-\infty}^t f(x)dx \\ \\ &=& 1-\int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x}\exp \left(-\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx \\ \\ &=& 1-\int_{-\infty}^{\log t} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}\exp \left(-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dz \;\;\;...\log x=z, \frac{dx}{x}=dz\\ \\ &=& 1-\Phi(\frac{\log t-\mu}{\sigma})\\ \\ \end{eqnarray}

問19.3に記載がある。