符号付き順位検定
- サンプルサイズが\(n\)の時に順位の総和が\(n(n+1)/4\)程度の値になること
ランダムに順位と正負が与えられるとき、それぞれの正の順位\(k\)は\(\frac 12\)の確率で\(k\)か\(0\)になることを鑑み、それぞれの順位について半分にした数値が得られると考えると、
\begin{eqnarray}
\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac i2\right)&=&\frac{n(n+1)}{2}/2 \\ \\
&=&\frac{n(n+1)}{4}
\end{eqnarray}
が得られる。
- サンプルサイズnに対して分散が\(n(n+1)(2n+1)/24\)となること
各順位\(X_k\)の値の分散を考え、それらの総和を考える。
各順位\(X_k\)の期待値は上記で触れたとおり、\(\frac{k}{2}\)となる。そうすると、各順位\(X_k\)における分散は、
\begin{eqnarray}
V[X_k]&=&E[(X_k-E[X_k])^2] \\ \\
&=&
\frac{1}{2}\left((0-\frac{k}{2}) \right)^2+\frac{1}{2}\left((k-\frac{k}{2}) \right)^2 \\ \\
&=&
\frac{1}{2}\left(\frac{k^2}{4}+\frac{k^2}{4} \right) \\ \\
&=&
\frac{k^2}{4}
\end{eqnarray}
よって、各順位の分散の総和を求めると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^n V[X_k] &=&\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac 14k^2 \\ \\
&=&
\frac 14 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \\
&=&
\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}
\end{eqnarray}