統計学実践ワークブックの行間埋め　第11章

\(\overline{X}_A\sim N(\mu_A,\frac{1}{n_A}\sigma_A^2),\;\;\overline{X}_B\sim N(\mu_B,\frac{1}{n_B}\sigma_B^2)\)であるので、\(\overline{X}_A-\overline{X}_B\)のモーメント母関数を求めると、 \begin{eqnarray} M(t) &=& E[e^{t(\overline{X}_A-\overline{X}_B)}] \\ \\ &=& E[e^{t\overline{X}_A}]E[e^{-t\overline{X}_B}] \\ \\ &=& \exp(\mu_A t+\frac{1}{2}t^2\frac{\sigma_A^2}{n_A})\exp(\mu_B (-t)+\frac{1}{2}(-t)^2\frac{\sigma_B^2}{n_B})\\ \\ &=& \exp((\mu_A-\mu_B) t+\frac{1}{2}t^2(\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B})) \end{eqnarray} よって、\(\overline{X}_A-\overline{X}_B\sim N(\mu_A-\mu_B,\;\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B})\)になることから、平均が\(\mu_A-\mu_B\)、分散が\(\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B}\)となる。

こちらなど参考に。

\( X_{Ai}\sim N(\mu_A,\sigma^2),\;X_{Bi}\sim N(\mu_B,\sigma^2) \)とする。 \begin{eqnarray} E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} (X_{Ai}-\overline{X}_A)^2+\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} (X_{Bi}-\overline{X}_B)\right] &=& E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} (X_{Ai}-\overline{X}_A)^2\right]+E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} (X_{Bi}-\overline{X}_B)\right] \\ \\ &=& E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} ((X_{Ai}-\mu _A)-(\overline{X}_A-\mu _A))^2\right]+E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} ((X_{Bi}-\mu _B)-(\overline{X}_B-\mu _B))^2\right] \\ \\ &=& E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} ((X_{Ai}-\mu _A)^2-2(X_{Ai}-\mu _A)(\overline{X}_A-\mu _A)+(\overline{X}_A-\mu _A)^2)\right]+E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} ((X_{Bi}-\mu _B)^2-2(X_{Bi}-\mu _B)(\overline{X}_B-\mu _B)+(\overline{X}_B-\mu _B)^2)\right] \\ \\ &=& E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} ((X_{Ai}-\mu _A)^2-2(\overline{X}_A-\mu _A)(\overline{X}_A-\mu _A)+(\overline{X}_A-\mu _A)^2)\right]+E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} ((X_{Bi}-\mu _B)^2-2(\overline{X}_B-\mu _B)(\overline{X}_B-\mu _B)+(\overline{X}_B-\mu _B)^2)\right] \\ \\ &=& E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} ((X_{Ai}-\mu _A)^2-(\overline{X}_A-\mu _A)^2)\right]+E\left[\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} ((X_{Bi}-\mu _B)^2-(\overline{X}_B-\mu _B)^2)\right] \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} E\left[((X_{Ai}-\mu _A)^2\right]-\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A}\left[(\overline{X}_A-\mu _A)^2)\right]+\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} E\left[((X_{Bi}-\mu _B)^2\right]-\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B}\left[(\overline{X}_B-\mu _B)^2)\right] \\ \\ &=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n_A} \sigma^2-\displaystyle \sum_{i=1}^{n_A}\frac{\sigma^2}{n_A} +\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B} \sigma^2-\displaystyle \sum_{i=1}^{n_B}\frac{\sigma^2}{n_B}\\ \\ &=& \sigma^2\left(n_A-1 \right)+\sigma^2\left(n_B-1 \right) \\ \\ &=& \sigma^2\left(n_A+n_B-2 \right) \\ \\ \end{eqnarray} よって、分散の不偏推定量\(s^2\)は平均二乗和を\(n_A+n_B-2\)で割った値になる。