統計学実践ワークブックの行間埋め　第10章

\(\mu_1\leq\mu_0\)であるとする。また、\(\mu_1\leqq\mu_2\leqq\mu_0\)となる\(\mu_2\)を考える。
\(\mu_2\)に対して検定統計量\(z\)が帰無仮説における棄却限界値1.96をとるとき、 \begin{eqnarray} 1.96=\frac{\mu_2-\mu_0}{\sqrt{\sigma^2/n}} \end{eqnarray} と書くことができる。同様に、対立仮説における棄却限界値0.84をとっているとき、 \begin{eqnarray} 0.84=\frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\sigma^2/n}} \end{eqnarray} と書くことができる。この両辺を足し合わせることで \begin{eqnarray} 1.96+0.84&=&\frac{\mu_2-\mu_0}{\sqrt{\sigma^2/n}}+\frac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\sigma^2/n}} \\ \\ &=& \frac{\mu_1-\mu_0}{\sqrt{\sigma^2/n}} \end{eqnarray} が得られる。

合格判定個数が\(c\)以下の時は「合格」となってしまうため、個数が\(c+1\)個以上になる確率を求める。 \begin{eqnarray} FP&=&{}_{n}C_{c+1}p_0^{c+1}(1-p_0)^{n-c-1}+{}_{n}C_{c+2}p_0^{c+2}(1-p_0)^{n-c-2}+\ldots+{}_{n}C_{n}p_0^{n}(1-p_0)^{0} \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=c+1}^n{}_{n}C_{k}p_0^{k}(1-p_0)^{n-k} \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=c+1}^n\binom{n}{k}p_0^{k}(1-p_0)^{n-k} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

合格判定個数が\(c+1\)以上の時は「不合格」となってしまうため、個数が\(c\)個以下になる確率を求める。 \begin{eqnarray} FN&=&{}_{n}C_{0}p_1^{0}(1-p_1)^{n}+{}_{n}C_{1}p_1^{1}(1-p_1)^{n-1}+\ldots+{}_{n}C_{c}p_1^{c}(1-p_1)^{n-c} \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=0}^c{}_{n}C_{k}p_1^{k}(1-p_1)^{n-k} \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=0}^c\binom{n}{k}p_1^{k}(1-p_1)^{n-k} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。\(0\)個の時も検査は合格するはずなので、総和は\(0\)からではないだろうか。要確認。