統計学実践ワークブックの行間埋め　第７章

示し方が正しいのかよくわからない。
現代数理統計学の基礎のp. 95を参考にして、チェビシェフの不等式で示す。
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} E[(X_n-Y)^2]=0\)であるから、\(\sigma_n=E[(X_n-Y)^2]\)として、\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sigma_n=0\)が成り立つ。
チェビシェフの不等式を使うと次のように書ける。 \begin{eqnarray} P(|X_n-Y|\geq k)&\leq&\frac{\sigma_n^2}{k^2}\\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(n \to \infty\)で右辺は0になる。この時、\(k\to 0\)に対して\(P(|X_n-Y|\geq k)\leq 0\)が成立するため、平均二乗収束する確率変数列は確率収束する。

二項分布のモーメント母関数は\(E[S^X]=(sp+1-p)^n\)であり、ポアソン分布のモーメント母関数は\(E[X^s]=e^{\lambda(s-1)}\)である。
二項分布のモーメント母関数において、\(np=\lambda,\;\;n\to\infty\)とすると、 \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{n\to\infty} (sp+1-p)^n \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} (1+p(s-1))^n \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} (1+\frac{\lambda}{n}(s-1))^n \\ \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left((1+\frac{\lambda}{n}(s-1))^\frac{n}{\lambda(s-1)}\right)^{\lambda(s-1)} \\ \\ &=& e^{\lambda(s-1)} \\ \\ \end{eqnarray} 最後の式はポアソン分布のモーメント母関数と等しいので、二項分布はポアソン分布に分布収束するといえる。