統計学実践ワークブックの行間埋め　第5章

\begin{eqnarray} E[X] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^K i\frac{1}{K} \\ \\ &=& \frac{K(K+1)}{2}\frac{1}{K} \\ \\ &=& \frac{K+1}{2} \\ \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} E[X^2] &=& \displaystyle \sum_{i=1}^K i^2\frac{1}{K} \\ \\ &=& \frac{K(K+1)(2K+1)}{6}\frac{1}{K} \\ \\ &=& \frac{(K+1)(2K+1)}{6} \\ \\ V[X] &=& E[X^2]-(E[X])^2 \\ \\ &=& \frac{(K+1)(2K+1)}{6}-(\frac{K+1}{2})^2 \\ \\ &=& \frac{K^2 -1}{12} \end{eqnarray}

確率関数の総和が\(1\)になることを確認する。 \begin{align*} \displaystyle\sum_{y=0}^{n}{}_n\text{C}_yp^{y}q^{n-y} &= (p+q)^n&&...\text{この式を展開すると元式になる} \\ \\ &= (p+1-p)^n&&...q=1-p\text{より} \\ \\ &= 1 \end{align*} となることから確率分布関数になる。

こちらの解説などを参考

参考書のヒント(p.28や例題5.3)に従って導出する。全数が\(N\)、あたりの数が\(M\)、抽出数が\(n\)とする。\(Y\sim HG(N,M,n)\)であり、\(Y=\displaystyle \sum_{i=1}^n Y_i \)とする。 \begin{eqnarray} E[Y_i] &=& \frac{M}{N} \\ \\ E[Y_i^2] &=& 1^2*\frac{M}{N}+0^2*(1-\frac{M}{N}) \\ \\ &=& \frac{M}{N} \\ \\ E[Y_i Y_j]\;\; (i\neq j) &=& 0(1-\frac{M}{N})\cdot 0(1-\frac{M}{N-1})+1(\frac{M}{N})\cdot 0(1-\frac{M-1}{N-1})+0(1-\frac{M}{N})\cdot 1(\frac{M}{N-1})+1\frac{M}{N}\cdot 1\frac{M-1}{N-1} \\ \\ &=& \frac{M}{N}\cdot \frac{M-1}{N-1} \\ \\ V[Y] &=& V\left[ \displaystyle \sum_{i=1}^n Y_i \right]\\ \\ &=& \displaystyle \sum_{i=1}^n V\left[Y_i\right]+2\sum_{i\neq j}Cov\left[ Y_i,Y_j \right]\\ \\ &=& n\cdot (E[Y_i^2]-E[Y_i]^2)+2\cdot \frac{n(n-1)}{2} (E[Y_i Y_j]-E[Y_i]E[Y_j])\\ \\ &=& n\cdot \left( \frac{M}{N}-\left(\frac{M}{N}\right)^2\right)+n(n-1) (\frac{M}{N}\cdot \frac{M-1}{N-1}-\frac{M}{N}\frac{M}{N})\\ \\ &=& n\cdot\frac{M}{N} \left( 1-\frac{M}{N}+(n-1) \left( \frac{M-1}{N-1}-\frac{M}{N} \right) \right) \\ \\ &=& n\cdot\frac{M}{N} \left( 1-\frac{M}{N}-\frac{M-1}{N-1}+\frac{M}{N}+ n\left( \frac{-(N-M)}{N(N-1)} \right) \right) \\ \\ &=& n\cdot\frac{M}{N} \left( \frac{N-M}{N-1} +n\left( \frac{-(N-M)}{N(N-1)} \right) \right) \\ \\ &=& n\cdot\frac{M}{N} \left( \frac{N(N-M)-n(N-M)}{N(N-1)}\right) \\ \\ &=& n\cdot\frac{M}{N}\frac{N-n}{N-1}\frac{N-M}{N} \;=\; n\frac{M}{N}\frac{N-n}{N-1}\left(1-\frac{M}{N} \right)\\ \\ \end{eqnarray}

こちらに丁寧な導出が載っている。

こちらや統計検定二級の参考書p.212に丁寧な導出が載っている。

・統計検定二級の参考書のp.74

・いちばんやさしい、医療統計様

・とけたろうブログ様

など

\(Y_1\sim Po(\lambda _1),Y_2\sim Po(\lambda _2)\)のとき、\(Y_1+Y_2\)の確率母関数を求める。 \begin{eqnarray} G[s] &=& E[s^{Y_1+Y_2}] \\ \\ &=& E[s^{Y_1}]E[s^{Y_2}] \\ \\ &=& e^{\lambda _1(s-1)}e^{\lambda _2(s-1)} \\ \\ &=& e^{(\lambda _1+\lambda _2)(s-1)} \\ \end{eqnarray} となる。これは\(Y_1+Y_2\sim Po(\lambda _1+\lambda _2)\)であることを示している。

確率関数の総和が\(1\)になることを確認する。 \begin{align*} \displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}pq^{x} &= p(1+q+q^2+\ldots) \\ \\ &= p\frac{1}{1-q}&&...q\lt 1\text{で、無限等比級数和であるため} \\ \\ &= \frac{p}{1-(1-p)}&&...q=1-p \\ \\ &= 1 \end{align*} となることから確率分布関数になる。

現代数理統計学の基礎や データ解析のための数理統計入門 など参照。