統計学実践ワークブックの行間埋め　第4章

\(X,Y\)の累積分布関数をそれぞれ\(F_X (x),F_Y (y)\)、確率密度関数をそれぞれ\(f_X (x), f_Y (y)\)とする。変数変換後の累積分布関数を考えると \begin{eqnarray} F_Y (y) &=& P(Y\lt y) \\ \\ &=& P(g(X)\lt y)\\ \\ &=& P(X\lt g^{-1}(y)) \\ \\ &=& F_X (g^{-1}(y)) \\ \end{eqnarray} ここで両辺を\(y\)で微分すると \begin{eqnarray} f_Y (y) &=& f_X (g^{-1}(y))\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \\ \end{eqnarray} ここで、\(y=g(g^{-1}(y))\)の両辺を\(y\)で微分すると \begin{eqnarray} 1&=&g'(g^{-1}(y))\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \\ \Leftrightarrow \frac{d}{dy}g^{-1}(y) &=& \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \\ \end{eqnarray} これを利用して
\begin{eqnarray} f_Y (y) &=& f_X (g^{-1}(y))\frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \\\ \end{eqnarray}

が得られる。参考はこちら。