統計学実践ワークブックの行間埋め　第2章

p.2の条件付確率に着目し、ある時刻\(x\)まで発生しなかったイベントが、\(x+\Delta x\)までに、単位時間あたりに発生する確率を求める。 \begin{eqnarray} h(x) &=& \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x\lt X \lt x+\Delta x|X\gt x)}{\Delta x} \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x} \frac{P(x\lt X \lt x+\Delta x)}{P(X\gt x)} \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{1-F(x)} \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\frac{1}{1-F(x)} \\ \\&=& \frac{f(x)}{1-F(x)} \\ \\&=& \frac{f(x)}{S(x)} = -\frac{S'(x)}{S(x)} = -(\log S(x))' \end{eqnarray}