統計学実践ワークブックの行間埋め　第1章

図(1.1)を参考にすると、集合\(\text{B}\)には、集合\(\text{A}\)に含まれる部分と含まれない部分(集合\(\text{A}^c\)に含まれる部分)がある
条件付確率\(P(\text{B}|\text{A})\)と\(P(\text{B}|\text{A}^c)\)は独立であるため、
\begin{eqnarray} P(\text{B}) &=& P(\text{B}\cap\text{A})+P(\text{B}\cap\text{A}^c)\\ \\ &=& P(\text{B}|\text{A})P(\text{A})+P(\text{B}|\text{A}^c)P(\text{A}^c) \end{eqnarray} が成り立つ。
p.2の下部の議論を用いると、 \begin{eqnarray} \Omega&=&\text{A}\cup\text{A}^c \\ \\ \text{A}&\cap&\text{A}^c=\emptyset \end{eqnarray} であることからこれらの式変形ができる。

条件付確率の式から \begin{eqnarray} P(\text{A}_i|\text{B}) &=& \frac{P(\text{B}|\text{A}_i)P(\text{A}_i)}{P(\text{B})} \end{eqnarray} が得られる。ここで、 \begin{eqnarray} \Omega&=&\text{A}_1\cup\text{A}_2\cup\ldots\cup\text{A}_k \\ \\ \text{A}_i&\cap&\text{A}_j=\emptyset (i\neq j) \end{eqnarray} であることから、 \begin{eqnarray} P(\text{B}) &=& \displaystyle\sum_{j=1}^kP(\text{B}\cap\text{A}_j)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j=1}^kP(\text{B}|\text{A}_j)P(\text{A}_j)\\ \\ \end{eqnarray} が成り立つため、 \begin{eqnarray} P(\text{A}_i|\text{B}) &=& \frac{P(\text{B}|\text{A}_i)P(\text{A}_i)}{\sum_{j=1}^kP(\text{B}|\text{A}_j)P(\text{A}_j)} \end{eqnarray} となる。