統計学基礎の行間埋め　第５章

こちらの解説など参考

\begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}) &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a\left(\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\right) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a(\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left(\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\right)&...&k\text{にかかわる項は無いため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a(\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left( (\sum_{k=1}^b\overline{y}_{\cdot k\cdot}-b\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\right)& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a(\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left( \sum_{k=1}^b\left[\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a\frac{y_{j ki}}{an}\right]-b\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)&...&\text{p.191より平均をとる前に戻した} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a(\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left( {\color{red}b}\left[\displaystyle\sum_{k=1}^b\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a\frac{y_{j ki}}{a{\color{red}b}n}\right]-b\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a(\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left( b\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}-b\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)& \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となる。

(2)について \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})(\overline{y}_{jk\cdot}-\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot k\cdot}+\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}) &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b\left(\sum_{j=1}^a (\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})(\overline{y}_{jk\cdot}-\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot k\cdot}+\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\right) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left(\sum_{j=1}^a (\overline{y}_{jk\cdot}-\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot k\cdot}+\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\right)&...&j\text{に関する項が含まれていないため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left(\sum_{j=1}^a\overline{y}_{jk\cdot}-\sum_{j=1}^a\overline{y}_{j\cdot\cdot}-a\overline{y}_{\cdot k\cdot}+a\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)&...&k\text{に関する項が含まれていないため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left(\sum_{j=1}^a\sum_{i=1}^n\frac{y_{jki}}{n}-\sum_{j=1}^a\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b\frac{y_{jki}}{bn}-a\overline{y}_{\cdot k\cdot}+a\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)&...&k\text{p.191より平均をとる前に戻した} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left({ \color{red}a }\sum_{j=1}^a\sum_{i=1}^n\frac{y_{jki}}{ { \color{red}a } n }-{ \color{red}a }\sum_{j=1}^a\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b\frac{y_{jki}}{ { \color{red}a }bn}-a\overline{y}_{\cdot k\cdot}+a\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^b(\overline{y}_{\cdot k\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left(a\overline{y}_{\cdot k\cdot}-a\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}-a\overline{y}_{\cdot k\cdot}+a\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}\right)\\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} と導出できる。(3)も(2)と同様の計算で導出される。

(4)について \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})(y_{jki}-\overline{y}_{jk\cdot}) &=& \displaystyle\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left[\sum_{i=1}^n(y_{jki}-\overline{y}_{jk\cdot})\right]&...&i\text{にかかわらない項であるため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left[\sum_{i=1}^ny_{jki}-n\overline{y}_{jk\cdot}\right]&...&i\text{にかかわらない項であるため} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left[\sum_{i=1}^ny_{jki}-n\sum_{i=1}^n\frac{y_{jki}}{n}\right]&...&\text{p.191より平均をとる前に戻した} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^b (\overline{y}_{j\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})\left[\sum_{i=1}^ny_{jki}-\sum_{i=1}^ny_{jki}\right]&\\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} と導出できる。(5)も(6)と同様の計算で導出される。