統計学基礎の行間埋め 第３章
- 点推定と区間推定
- p.108上：\(s^2=\sum(x_i-\mu)^2/n -(\overline{x}-\mu)^2\)と書き替えられること
\begin{eqnarray}
\frac{1}{n}\sum\left\{(x_i-\overline{x})^2\right\} \\ \\
&=&
\frac{1}{n}\sum\left\{(x_i-\mu-(\overline{x}-\mu))^2\right\} \\ \\
&=&
\frac{1}{n}\sum\left\{(x_i-\mu)^2-2(x_i-\mu)(\overline{x}-\mu)+(\overline{x}-\mu)^2\right\} \\ \\
&=&
\frac{1}{n}\sum\left\{(x_i-\mu)^2-2({\color{red}\overline{x}}-\mu)(\overline{x}-\mu)+(\overline{x}-\mu)^2\right\}&...&(1) \\ \\
&=&
\frac{1}{n}\sum\left\{(x_i-\mu)^2-2(\overline{x}-\mu)^2+(\overline{x}-\mu)^2\right\} \\ \\
&=&
\frac{1}{n}\sum\left\{(x_i-\mu)^2-(\overline{x}-\mu)^2\right\} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。(1)は式(1.3.1)より
\begin{eqnarray}
&&\overline{x}&=&\frac1n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
n\overline{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{i=1}^n\overline{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
- p.108上：\(s\)が\(\sigma\)の一致推定量であること
p.108上の\(s^2\)に関する議論をそのまま用いると
\begin{eqnarray}
s&=&\sqrt{\sum(x_i-\mu)^2/n -(\overline{x}-\mu)^2} \\ \\
&\to&
\sqrt{\sum(x_i-\mu)^2/n -0} \\ \\
&=&
\sqrt{\sum(x_i-\mu)^2/n} \\ \\
&=&
\sqrt{\sigma^2} \\ \\
&=&
\sigma
\end{eqnarray}
と導出できる。
- 1標本問題：1つの母集団の母数に関する推定-
- 式(3.4.2)の導出
式(3.4.2)の上の式より
\begin{eqnarray}
&&\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)\leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}\leq \chi_{\alpha/2}^2(n-1) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{1}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}{\color{red}\geq}\frac{\sigma^2}{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\color{red}\geq}\frac{1}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}\geq\sigma^2\geq\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}\leq\sigma^2\leq\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。