統計学基礎の行間埋め　第２章

1. 式(2.5.5)の導出
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式(2.5.3)より \begin{eqnarray} V[X] &=& \displaystyle\sum_i(x_i-\mu)^2f(x_i) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_i(x_i^2f(x_i)-2x_i\mu f(x_i)-\mu^2f(x_i)) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_ix_i^2f(x_i)-\displaystyle\sum_i2x_i\mu f(x_i)-\displaystyle\sum_i\mu^2f(x_i) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_ix_i^2f(x_i)-2\mu\displaystyle\sum_ix_if(x_i)-\mu^2\displaystyle\sum_if(x_i) \\ \\ &=& E[X^2]-2\mu E[X]-\mu^2cdot 1&...&\text{式(2.5.1)}^{\prime}\text{、式(2.4.2)より} \\ \\ &=& E[X^2]-2\mu \mu-\mu^2&...&\text{式(2.5.1)より} \\ \\ &=& E[X^2]-\mu^2 \end{eqnarray} と導出できる。
式(2.5.4)より \begin{eqnarray} V[X] &=& \int_{-\infty}^{\infty}(x_i-\mu)^2f(x_i)dx \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(x_i^2f(x_i)-2x_i\mu f(x_i)-\mu^2f(x_i))dx \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}x_i^2f(x_i)dx-\int_{-\infty}^{\infty}2x_i\mu f(x_i)-\int_{-\infty}^{\infty}\mu^2f(x_i)dx \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}x_i^2f(x_i)dx-2\mu\int_{-\infty}^{\infty}x_if(x_i)dx-\mu^2\int_{-\infty}^{\infty}f(x_i)dx \\ \\ &=& E[X^2]-2\mu E[X]-\mu^2cdot 1&...&\text{式(2.5.2)}^{\prime}\text{、p.65下部より} \\ \\ &=& E[X^2]-2\mu \mu-\mu^2&...&\text{式(2.5.2)より} \\ \\ &=& E[X^2]-\mu^2 \end{eqnarray} と導出できる。

1. p.75下部：ポアソン分布が再生性を持つこと
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確率変数の和の確率変数を求める方法は、統計学実践ワークブックの母関数を用いる方法や離散変数の変数変換を用いた方法で示すことができる。
実際のやり方は こちらの解説などを参考


2. 式(2.7.12)の導出
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\begin{eqnarray} &&E[X] &=& \displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}xf(x)&...&\text{式}(2.5.1^{\prime})\text{より} \\ \\ &&&=& \displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}xp(1-p)^{x-1} \\ \\ &&&=& 1p+2p(1-p)+3p(1-p)^2+\ldots \\ \\ &&(1-p)E[X] &=& 1p(1-p)+2p(1-p)^2+3p(1-p)^3+\ldots \\ \\ &\therefore& E[X]-(1-p)E[X]&=&\{1p+2p(1-p)+3p(1-p)^2+\ldots\}-\{1p(1-p)+2p(1-p)^2+3p(1-p)^3+\ldots\} \\ \\ &\Leftrightarrow& pE[X]&=&p+p(1-p)+p(1-p)^2+p(1-p)^3+\ldots \\ \\ &&&=&p\{1+(1-p)+(1-p)^2+\ldots\} \\ \\ &&&=&p\cdot\frac{1}{1-(1-p)}&...&|1-p|\lt 1\text{より無限等比級数和を適用} \\ \\ &\Leftrightarrow& E[X]&=&\frac{1}{p}\cdot p\frac{1}{1-(1-p)} \\ \\ &&&=& \frac{1}{p} \end{eqnarray} と導出できる。また、同様にして \begin{eqnarray} &&E[X(X-1)] &=& \displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}x(x-1)f(x)&...&\text{式}(2.5.1^{\prime})\text{より} \\ \\ &&&=& \displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}x(x-1)p(1-p)^{x-1}& \\ \\ &&&=& 1\cdot 0 p+2\cdot1p(1-p)+3\cdot 2p(1-p)^2+4\cdot 3p(1-p)^3+\ldots& \\ \\ &&(1-p)E[X(X-1)] &=& 1\cdot 0 p(1-p)+2\cdot1p(1-p)^2+3\cdot 2p(1-p)^3+4\cdot 3p(1-p)^4+\ldots& \\ \\ &\therefore& E[X(X-1)]-(1-p)E[X(X-1)] &=& \{1\cdot 0 p+2\cdot1p(1-p)+3\cdot 2p(1-p)^2+4\cdot 3p(1-p)^3+\ldots\}-\{1\cdot 0 p(1-p)+2\cdot1p(1-p)^2+3\cdot 2p(1-p)^3+4\cdot 3p(1-p)^4+\ldots\} \\ \\ &&&=& 2\cdot1p(1-p)+(3\cdot 2-2\cdot 1)p(1-p)^2+(4\cdot 3-3\cdot 2)p(1-p)^3+\ldots\\ \\ &&&=& 2\cdot1p(1-p)+2\cdot 2p(1-p)^2+2\cdot 3p(1-p)^3+\ldots&...&(k+1)k-k(k-1)=2k\text{を利用}\\ \\ &&&=& 2\displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}xp(1-p)^{x}\\ \\ &&&=& 2(1-p)\displaystyle\sum_{x=1}^{\infty}xp(1-p)^{x-1}&...&(1-p)\text{は定数であるため}\\ \\ &&&=& 2(1-p)E[X]\\ \\ &&&=& 2(1-p)\frac{1}{p}\\ \\ &\Leftrightarrow& E[X(X-1)]&=&2(1-p)\frac{1}{p^2}\\ \\ \\ &&V[X]&=&E[X^2]-(E[X])^2&...&\text{式(2.5.5)より} \\ \\ &&&=& E[X^2-X+X]-\frac{1}{p^2} \\ \\ &&&=& E[X(X-1)]+E[X]-\frac{1}{p^2} \\ \\ &&&=& 2(1-p)\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2} \\ \\ &&&=& \frac{1-p}{p^2} \end{eqnarray} と導出できる。他にも様々なやり方がある。

1. p.77上：正規分布が\(x=\mu\)で最大値をとり、\(x\lt\mu-\sigma,x\gt\mu+\sigma\)で上に凸、\(x=\mu\pm\sigma\)で変曲点となること
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関数は\(\exp\)の中身に変数がある。\(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\leq 0\)であり、指数関数は単調増加関数であるため、この部分が最大値\(0\)のときに関数として最大値をとる。従って、\(x=\mu\)のときに最大値をとる。
この関数の編曲について考えるため、関数を二階微分すると \begin{eqnarray} f^{\prime}(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\left(-\frac{x-\mu}{\sigma^2}\right)\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} \\ \\ &=& -\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{x-\mu}{\sigma^2}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} \\ \\ \\ f^{\prime\prime}(x) &=& -\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{1}{\sigma^2}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}+\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma^2}\right)^2\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} \\ \\ &=& -\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\frac{1}{\sigma^2}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}\left(1-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)\\ \\ \end{eqnarray} となる。二階微分係数が\(0\)のときに変曲点となるため、 \begin{eqnarray} &&1-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& x&=&\mu\pm\sigma \end{eqnarray} のときに変曲点となる。また、 \begin{eqnarray} x\gt\mu+\sigma \\ \\ x\lt\mu-\sigma \end{eqnarray} のとき、 \begin{eqnarray} 1-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\lt0 \end{eqnarray} となることから、\(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\)となる。二階微分係数が正のとき、関数は下に凸である。


2. p.77(1)：\(aX+b\colon N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)になること
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統計学実践ワークブックの第四章などに変数変換があるため、これを用いると示すことができる。
参考より、 \(X\colon N(\mu,\sigma^2)\)とし、\(Y=g(X)=aX+b\)の変換をすることを考えると、 \begin{eqnarray} f_Y(y) &=& f_X(\frac{y-b}{a})|\frac{d}{dy}(\frac{Y-b}{a})|&...&Y=aX+b\Leftrightarrow X(y)=\frac{Y-b}{a} \\ \\ &=& f_X(\frac{y-b}{a})(\frac{1}{a}) \\ \\ &=& \frac{1}{a\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(\frac{y-b}{a}-\mu)}{2\sigma^2}\right\} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi{\color{red}a^2\sigma^2}}}\exp\left\{-\frac{(y-b-a\mu)}{2a^2\sigma^2}\right\} \\ \\ \end{eqnarray} が得られることから、\(aX+b\colon N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)になることが示される。


3. p.78(3)正規分布が再生性を持つこと
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確率変数の和の確率変数を求める方法は、統計学実践ワークブックの母関数を用いる方法や変数変換を用いた方法で示すことができる。
実際のやり方は こちらの解説などを参考


4. p.79：\(S_n,\overline{X},L\)の導出
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\(S_n\)について
p.78(3)の再生性を用いると\(X_1\colon N(\mu_1,\sigma^2_1),X_2\colon N(\mu_2,\sigma^2_2)\)を合わせて\(X_1+X_2\colon N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)となり、それにさらに\(X_3\colon N(\mu_3,\sigma^2_3)\)を足すことで\(X_1+X_2+X_3\colon N(\mu_1+\mu_2+\mu_3,\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma^2_3)\)となることから導出できる。

\(\overline{X}\)について
\(S_n\)の導出において、\(\frac{1}{n}X_1,\frac{1}{n}X_2,\ldots\)を足すことを考える。p.77(1)より、\(\frac{1}{n}X_i\)は\(N(\frac{\mu_i}{n},\frac{\sigma_i^2}{n^2})\)に従うため、これらを足し合わせると\(\overline{X}\colon N(\displaystyle_{i=1}^n\mu_i/n,\sum_{i=1}^n\sigma_i^2/n)\)となる。

\(L\)について
\(a_iX_i\)はp.78(3)から、\(a_iX_i\colon N(a_i\mu_i,a_i^2\sigma^2_i)\)となる。これを利用し、\(S_n\)中の\(\mu_i\to a_i\mu_i,\sigma_i^2\to a_i^2\sigma_i^2\)と置き換えることで得られる。


5. 式(2.8.8)の導出
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一定の時間内に生起する回数が従う分布がポアソン分布であり、ポアソン分布は再生性を持つことを利用する。単位時間あたりにポアソン分布\((\lambda)\)に従う分布は、\(t\)倍の時間では生起階数がポアソン分布\((t\lambda)\)に従うことが考えられる。
このポアソン分布で一度も生起しない確率は \begin{eqnarray} f(x=0) &=& e^{-t\lambda}\frac{(t\lambda)^x}{x!}|_{x=0} \\ \\ &=& e^{-t\lambda}\frac{(t\lambda)^0}{0!} \\ \\ &=& e^{-t\lambda} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できることを用いると、これが\(P([0,t]\text{の生起回数}=0)\)に当たり、式(2.8.8)が導ける。


6. 式(2.8.10)の導出
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\begin{eqnarray} E[W] &=& \int_0^{\infty}wf(w)dw \\ \\ &=& \int_0^{\infty}w\lambda e^{-w\lambda}dw \\ \\ &=& \lambda\int_0^{\infty}w e^{-w\lambda}dw \\ \\ &=& \lambda\left[w\frac{-1}{\lambda}e^{-w\lambda}\right]_0^{\infty}-\lambda\int_0^{\infty} \frac{-1}{\lambda}e^{-w\lambda}dw&...&\text{部分積分} \\ \\ &=& 0+\frac{1}{\lambda}\int_0^{\infty} \lambda e^{-w\lambda}dw \\ \\ &=& \frac{1}{\lambda}&...&f(w)\text{が確率密度関数であるため}\int_0^{\infty} \lambda e^{-w\lambda}dw=1 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。 \begin{eqnarray} E[W^2] &=& \int_0^{\infty}w^2f(w)dw \\ \\ &=& \int_0^{\infty}w^2\lambda e^{-w\lambda}dw \\ \\ &=& \lambda\int_0^{\infty}w^2 e^{-w\lambda}dw \\ \\ &=& \lambda\left[w^2\frac{-1}{\lambda}e^{-w\lambda}\right]_0^{\infty}-\lambda\int_0^{\infty}2w \frac{-1}{\lambda}e^{-w\lambda}dw&...&\text{部分積分} \\ \\ &=& 0+\frac{2}{\lambda}\int_0^{\infty}w \lambda e^{-w\lambda}dw \\ \\ &=& \frac{2}{\lambda}E[W] \\ \\ &=& \frac{2}{\lambda}\frac{1}{\lambda} \\ \\ &=& \frac{2}{\lambda^2} \\ \\ \\ \therefore V[W] &=& E[W^2]-(E[W])^2&...&\text{式(2.5.5)より} \\ \\ &=& \frac{2}{\lambda^2}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \\ \\ &=& \frac{1}{\lambda^2} \end{eqnarray} と導出できる。


7. 式(2.8.11)の導出
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式(2.2.1)を用い、\(P(W\gt s+t)\cap P(W\gt s)=P(W\gt s+t)\)となることを用いると導出できる。

1. 式(2.9.11)の導出
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\(V[X]=\sigma_x^2,V[Y]=\sigma_y^2\)と置き換えると、式(2.9.8)より \begin{eqnarray} V[X+Y] &=& V[X]+V[Y]+2E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)] \\ \\ &=& \sigma_x^2+\sigma_y^2+2\underbrace{\text{Cov}[X,Y]}_{\text{式(2.9.9)より}} \\ \\ &=& \sigma_x^2+\sigma_y^2+2\frac{\text{Cov}[X,Y]}{\sigma_x\sigma_y}\sigma_x\sigma_y \\ \\ &=& \sigma_x^2+\sigma_y^2+2\frac{\text{Cov}[X,Y]}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}}\sigma_x\sigma_y \\ \\ &=& \sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y&...&\text{式(2.9.10)より} \\ \\ \end{eqnarray}


2. 式(2.9.14)の導出
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\begin{eqnarray} E[S] &=& E[X_1+X_2+\ldots+X_n] \\ \\ &=& E[X_1]+E[X_2]+\ldots+E[X_n] \\ \\ &=& \mu+\mu+\ldots+\mu \\ \\ &=& n\mu \\ \\ \\ V[S] &=& V[X_1+X_2+\ldots+X_n] \\ \\ &=& V[X_1]+V[X_2]+\ldots+V[X_n]+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=i+1}^n\text{Cov}[X_i,X_j] \\ \\ &=& V[X_1]+V[X_2]+\ldots+V[X_n]+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=i+1}^n 0&...&\text{独立であるため} \\ \\ &=& \sigma^2+\sigma^2+\ldots+\sigma^2\\ \\ &=& n\sigma^2\\ \\ \end{eqnarray}


3. 式(2.9.15)の導出
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\begin{eqnarray} E[\overline{X}] &=& E[\frac{1}{n}(X_1+X_2+\ldots+X_n)] \\ \\ &=& \frac{1}{n}E[(X_1+X_2+\ldots+X_n)] \\ \\ &=& \frac{1}{n}E[S]\\ \\ &=& \frac{1}{n}n\mu &...&\text{式(2.9.14)}\\ \\ &=& \mu \\ \\ \\ V[\overline{X}] &=& V[\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n}] \\ \\ &=& \frac{1}{n^2}V[X_1+X_2+\ldots+X_n]&...&\text{式(2.5.7)より} \\ \\ &=& \frac{1}{n^2}V[S]& \\ \\ &=& \frac{1}{n^2}n\sigma^2&...&\text{式(2.9.14)} \\ \\ &=& \frac{\sigma^2}{n}& \\ \\ \end{eqnarray}


4. 式(2.9.18)の導出
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\begin{eqnarray} E[Y|X=x] &=& \int_{-\infty}^{\infty}yf_y(y|x)dy \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}y\frac{f(x,y)}{f_x(x)}dy \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}y\frac{\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) +\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right) \right)}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2} \right)}dy&...&(1) \\ \\ &=& \frac{\sqrt{2\pi}\sigma_x}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty}y\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) +\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2-(1-\rho^2)\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x^2}\right)^2\right) \right)dy \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty}y\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \rho^2\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) +\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right) \right)dy \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty}y\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left( \frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right)-\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right) \right)^2\right)dy \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty}y\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)\sigma_y^2}\left( y-\mu_y-\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\left(x-\mu_x\right) \right)^2\right)dy&...&(\ast) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\sqrt{2\pi(1-\rho^2)\sigma_y^2}\left(\mu_y+\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\left(x-\mu_x\right)\right) \\ \\ &=& \mu_y+\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\left(x-\mu_x\right) \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。\((\ast)\)は「式(2.9.19)の導出」で用いる。

1. (1)周辺確率\(f_x(x)\)の導出
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式(2.9.2)を連続型確率分布に適用すると \begin{eqnarray} f_x(x)=\int f(x,y)dy \end{eqnarray} であることを用いる。 \begin{eqnarray} f_{x}(x) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) +\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right) \right)dy &...&\text{式(2.9.16)(2.9.17)より}\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)X +X^2\right) \right)(\sigma _2 dX)\;\;\;\;\left(X=\frac{y-\mu}{\sigma_y},\;dy=\sigma_y dXを利用\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left( X-\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right) \right)^2+\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-\left(\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\right)^2\right) \right)dX \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left( X-\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right) \right)^2\right)\exp\left(-\frac{(1-\rho^2)}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2\right) \right)dX \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}}\cdot \sqrt{2\pi(1-\rho^2)}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2\right) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2} \right) \end{eqnarray}


5. 式(2.9.19)の導出
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\begin{eqnarray} V[y|X=x] &=& E[(y-E[y|X=x])^2|X=x] \\ \\ &=& E[(y-\mu_0)^2|X=x]&...&\mu_0=\mu_y+\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)\text{とした(式(2.9.18))。} \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(y-\mu_0)^2f_y(y|x)dy \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(y-\mu_0)^2\frac{f(x,y)}{f_x(x)}dy \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(y-\mu_0)^2\frac{\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) +\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right) \right)}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_x^2} \right)}dy &...&\text{(1)}\\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty}(y-\mu_0)^2\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)\sigma_y^2}\left( y-\mu_0 \right)^2\right)dy &...&(\ast)\\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\left(\left[(y-\mu_y)(-(1-\rho^2)\sigma_y^2)\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)\sigma_y^2}\left( y-\mu_0 \right)^2\right) \right]^{\infty}_{-\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}((1-\rho^2)\sigma_y^2)\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)\sigma_y^2}\left( y-\mu_0 \right)^2\right)dy\right) &...&\text{部分積分}\\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\left(0+((1-\rho^2)\sigma_y^2)\sqrt{2\pi(1-\rho^2)\sigma_y^2}\right) \\ \\ \\ \\ &=& (1-\rho^2)\sigma_y^2 \end{eqnarray} と導出できる。\((\ast)\)では「式(2.9.18)の導出」において積分の\(\exp\)の外の\(y\)に対して\(y\to y-\mu_0\)に置換した。

1. (1)周辺確率\(f_x(x)\)の導出
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式(2.9.2)を連続型確率分布に適用すると \begin{eqnarray} f_x(x)=\int f(x,y)dy \end{eqnarray} であることを用いる。 \begin{eqnarray} f_{x}(x) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) +\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2\right) \right)dy &...&\text{式(2.9.16)(2.9.17)より}\\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)X +X^2\right) \right)(\sigma _2 dX)\;\;\;\;\left(X=\frac{y-\mu}{\sigma_y},\;dy=\sigma_y dXを利用\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left( X-\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right) \right)^2+\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2-\left(\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\right)^2\right) \right)dX \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left( \left( X-\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right) \right)^2\right)\exp\left(-\frac{(1-\rho^2)}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2\right) \right)dX \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}}\cdot \sqrt{2\pi(1-\rho^2)}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right)^2\right) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2} \right) \end{eqnarray}


6. p.87：\(\chi^2\)分布の平均と分散の導出
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確率密度関数を用いて計算して導出する。
こちらの解説などを参考。


7. p.87：\(\chi^2\)分布の再生性の導出
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簡易的な説明としては、\(\S 2.7.2\)の二項分布の再生性の導出と同様に考える。自由度\(k\)の\(\chi^2\)分布を\(W_k\)、\(m_1+m_2=n\)として、式(2.10.1)を分割すると \begin{eqnarray} W_n &=& Z_1^2+Z_2^2+\ldots+Z_n^2 \\ \\ &=& (Z_1^2+\ldots+Z_{m_1}^2)+(Z_{m_1+1}^2+\ldots Z_{m_1+m_2}^2) \\ \\ &=& W_{m_1}+W_{m_2} \end{eqnarray} と表せることから再生性があることを示すことができる。
別の方法では統計学実践ワークブックの第２章にある母関数モーメントを用いて示せる。



8. p.87式(2.10.2)が自由度\(n\)の\(\chi^2\)分布になること
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p.88に記載がある。


9. p.89：\(t\)分布の期待値と分散の導出
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こちらの解説や 統計学の該当ページなど参照。