統計学の行間埋め 第２章
\(\S\)2.1 離散型の確率分布
- p.31：離散一様分布の平均・分散の導出
- p.31：ベルヌーイ分布の平均・分散・確率母関数の導出
- p.32：二項分布の確率母関数
- p.32：二項分布の再生性
- 式(2.1.4)の導出
- p.33ポアソン分布の期待値と分散の導出
- p.33ポアソン分布の再生性
- 式(2.1.5)の導出
- p.34：超幾何分布の期待値の導出
- p.34：超幾何分布の分散の導出
- p.34：幾何分布の確率母関数の導出
- p.34：幾何分布の平均・分散の導出
- p.35：負の二項分布の確率母関数の導出
- 式(2.1.10)の導出
- p.35：負の二項分布の再生性の導出
- 式(2.1.12)の導出
- p.36下：多項分布の期待値、分散、共分散の導出
平均は
\begin{eqnarray}
E[X]
&=&
\displaystyle \sum_{x=1}^n x\frac{1}{n} \\
\\
&=&
\frac{n(n+1)}{2}\frac{1}{n} \\
\\
&=&
\frac{n+1}{2} \\
\end{eqnarray}
と導出できる。分散は
\begin{eqnarray}
E[X^2]
&=&
\displaystyle \sum_{x=1}^n x^2\frac{1}{n} \\
\\
&=&
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\frac{1}{n} \\
\\
&=&
\frac{(n+1)(2n+1)}{6} \\
\\
V[X]
&=&
E[X^2]-(E[X])^2 \\ \\
&=&
\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-(\frac{n+1}{2})^2 \\ \\
&=&
\frac{n^2 -1}{12}
\end{eqnarray}
と導出できる。
平均は
\begin{eqnarray}
E[X]
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^1xP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^1xp^x(1-p)^{1-x} \\ \\
&=&
0\cdot (1-p)+1\cdot p \\ \\
&=&
p
\end{eqnarray}
と得られる。分散は
\begin{eqnarray}
E[X^2]
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^1x^2P(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^1x^2p^x(1-p)^{1-x} \\ \\
&=&
0^2\cdot (1-p)+1^2\cdot p \\ \\
&=&
p \\ \\ \\
\therefore
V[X]
&=&
E[X^2]-(E[X])^2 \\ \\
&=&
p-p^2 \\ \\
&=&
p(1-p) \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。確率母関数はp.16より
\begin{eqnarray}
G(s;p)
&=&
E[s^X] \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^1s^xP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^1s^xp^x(1-p)^{1-x} \\ \\
&=&
s^0\cdot (1-p)+s^1\cdot p \\ \\
&=&
ps+1-p
\end{eqnarray}
と導出できる。
確率母関数はp.16より
\begin{eqnarray}
G(s;n,p)
&=&
E[s^X] \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^ns^xP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^ns^x{}_n\text{C}_xp^x(1-p)^{1-x} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^n{}_n\text{C}_x(sp)^x(1-p)^{1-x}&...&(1) \\ \\
&=&
(sp+(1-p))^n&...&\text{(1)はこの式を展開したときの各項に相当するため} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
統計学実践ワークブックのp.27や
こちらの解説など参考。
\(X_1,X_2\)が独立であることから、確率母関数を求めると \begin{eqnarray} E[s^{X_1+X_2}] &=& E[s^{X_1}]E[s^{X_2}] \\ \\ &=& (ps+1-p)^{n_1}(ps+1-p)^{n_2} \\ \\ &=& (ps+1-p)^{n_1+n_2} \\ \\ \end{eqnarray} となる。これはB(n_1+n_2,p)の確率母関数と一致するため、再生性がある。
\(X_1,X_2\)が独立であることから、確率母関数を求めると \begin{eqnarray} E[s^{X_1+X_2}] &=& E[s^{X_1}]E[s^{X_2}] \\ \\ &=& (ps+1-p)^{n_1}(ps+1-p)^{n_2} \\ \\ &=& (ps+1-p)^{n_1+n_2} \\ \\ \end{eqnarray} となる。これはB(n_1+n_2,p)の確率母関数と一致するため、再生性がある。
確率母関数はp.16より
\begin{eqnarray}
G(s;\lambda)
&=&
E[s^X] \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}s^xP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}s^x\exp(-\lambda)\frac{\lambda^x}{x!} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\exp(-\lambda)\frac{(s\lambda)^x}{x!} \\ \\
&=&
\exp(-\lambda)\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(s\lambda)^x}{x!} \\ \\
&=&
\exp(-\lambda)\exp(s\lambda)&...&e^x\text{のマクローリン展開より} \\ \\
&=&
\exp(\lambda(s-1))\\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
式(2.1.4)を用いる。
\begin{eqnarray}
E[X]
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}G(s;\lambda)\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}\exp(\lambda(s-1))\right|_{s=1}&...&\text{式(2.1.4)より} \\ \\
&=&
\left.\lambda\exp(\lambda(s-1))\right|_{s=1}\\ \\
&=&
\lambda \\ \\ \\
E[X(X-1)]
&=&
\left.\frac{\partial^2}{\partial s^2}G(s;\lambda)\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial^2}{\partial s^2}\exp(\lambda(s-1))\right|_{s=1}&...&\text{式(2.1.4)より} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}\lambda\exp(\lambda(s-1))\right|_{s=1}& \\ \\
&=&
\left.\lambda^2\exp(\lambda(s-1))\right|_{s=1}\\ \\
&=&
\lambda^2 \\ \\ \\
V[X]
&=&
E[X(X-1)]+E[X]-(E[X])^2 \\ \\
&=&
\lambda^2+\lambda-(\lambda)^2 \\ \\
&=&
\lambda
\end{eqnarray}
と導出できる。
\(X_1\sim \text{Po}(\lambda_1),X_2\sim \text{Po}(\lambda_2)\)は独立なので、確率母関数を求めると
\begin{eqnarray}
E[s^{X_1+X_2}]
&=&
E[s^{X_1}]E[s^{X_2}] \\ \\
&=&
\exp\{\lambda_1(s-1)\}\exp\{\lambda_2(s-1)\}&...&\text{式(2.1.4)より} \\ \\
&=&
\exp\{(\lambda_1+\lambda_2)(s-1)\} \\ \\
&=&
G(s;\lambda_1+\lambda_2)
\end{eqnarray}
となることから再生性がある。
p.33の下部にあるように、赤玉の数\(x\)に対して全体で\(n\)個の玉をとる場合の数は
\begin{eqnarray}
{}_M\text{C}_x\times{}_{N-M}\text{C}_{n-x}
\end{eqnarray}
である。赤玉の取り方は、\(M,n\)の小さいほう(\(min(M,n)\))に対して、\(0\)個から\(min(M,n)\)まで取るパターンがあり、全体で\(n\)この玉を取るときは、この総和であるので
\begin{eqnarray}
{}_N\text{C}_n
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{min(n,M)}{}_M\text{C}_x\times{}_{N-M}\text{C}_{n-x} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{n}{}_M\tilde{\text{C}}_x\times{}_{N-M}\tilde{\text{C}}_{n-x}&...&n\leq N\text{であるため} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
\begin{eqnarray}
E[X]
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^nxP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^nx\frac{ {}_M\tilde{\text{C}}_x\times{}_{N-M}\tilde{\text{C}}_{n-x}}{ {}_N\text{C}_n} \\ \\
&=&
\frac{1}{ {}_N\text{C}_n}\displaystyle\sum_{x=0}^n(x {}_M\tilde{\text{C}}_x)\times{}_{N-M}\tilde{\text{C}}_{n-x} \\ \\
&=&
\frac{1}{ {}_N\text{C}_n}\displaystyle\sum_{x=0}^n(M {}_{M-1}\tilde{\text{C}}_{x-1})\times{}_{N-M}\tilde{\text{C}}_{n-x}&...&\text{p.34上、1式目より} \\ \\
&=&
\frac{1}{ {}_N\text{C}_n}\displaystyle\sum_{x^{\prime}=0}^nM {}_{M-1}\tilde{\text{C}}_{x^{\prime}}\times{}_{N-M}\tilde{\text{C}}_{(n-1)-x^{\prime}}&...&x-1=x^{\prime} \\ \\
&=&
\frac{M}{ {}_N\text{C}_n}\displaystyle\sum_{x^{\prime}=0}^n {}_{M-1}\tilde{\text{C}}_{x^{\prime}}\times{}_{\color{red}(N-1)-(M-1)}\tilde{\text{C}}_{(n-1)-x^{\prime}} \\ \\
&=&
\frac{M}{ {}_N\text{C}_n}{}_{N-1}\text{C}_{n-1}&...&\text{式(2.1.5)より} \\ \\
&=&
\frac{M}{\frac{N}{n} {}_{N-1}\text{C}_{n-1}}{}_{N-1}\text{C}_{n-1}&...&\text{p.34上、3式目より} \\ \\
&=&
\frac{M}{N}n\\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
問題2.1に導出がある。
確率母関数はp.16より
\begin{eqnarray}
G(s;p)
&=&
E[s^X] \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}s^xP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}s^xp(1-p)^x \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}p\{s(1-p)\}^x \\ \\
&=&
\frac{p}{1-s(1-p)}&...&\text{無限等比級数より}
\end{eqnarray}
と導出できる。
平均は
\begin{eqnarray}
E[X]
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}G(s;p)\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}\frac{p}{1-(1-p)s}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.(1-p)\frac{p}{(1-(1-p)s)^2}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
(1-p)\frac{p}{p^2}\\ \\
&=&
\frac{1-p}{p}\\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。また、分散は
\begin{eqnarray}
E[X(X-1)]
&=&
\left.\frac{\partial^2}{\partial s^2}G(s;p)\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial^2}{\partial s^2}\frac{p}{1-(1-p)s}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}(1-p)\frac{p}{(1-(1-p)s)^2}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.2(1-p)^2\frac{p}{(1-(1-p)s)^3}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
2(1-p)^2\frac{p}{p^3} \\ \\
&=&
\frac{2(1-p)^2}{p^2} \\ \\ \\
V[X]
&=&
E[X(X-1)]+E[X]-(E[X])^2 \\ \\
&=&
\frac{2(1-p)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}-\left(\frac{1-p}{p}\right)^2 \\ \\
&=&
\frac{2(1-p)^2}{p^2}+\frac{(1-p)p}{p^2}-\frac{(1-p)^2}{p^2} \\ \\
&=&
\frac{1-p}{p^2} \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
確率母関数はp.16より
\begin{eqnarray}
G(s;p)
&=&
E[s^X] \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}s^xP(X=x) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}s^x{}_{x+r-1}\text{C}_{x}p^r(1-p)^x \\ \\
&=&
p^r\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+r-1)!}{x!(r-1)!}(s(1-p))^x \\ \\
&=&
p^r\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(x+r-1)(x+r-2)\ldots r}{x!}(s(1-p))^x \\ \\
&=&
p^r\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\frac{r\cdot(r+1)\ldots(r+x-1)}{x!}(s(1-p))^x \\ \\
&=&
p^r\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(r)_x}{x!}(s(1-p))^x&...&\text{式(2.1.9)より} \\ \\
&=&
p^r(1-s(1-p))^{-r} \\ \\
&=&
\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^r \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
平均は
\begin{eqnarray}
E[X]
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}G(s;r,p)\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^r\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.r(1-p)\frac{p}{(1-s(1-p))^2}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r-1}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
r(1-p)\frac{p}{p^2}\left(\frac{p}{p}\right)^{r-1} \\ \\
&=&
r\frac{1-p}{p} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。また、分散は
\begin{eqnarray}
E[X(X-1)]
&=&
\left.\frac{\partial^2}{\partial s^2}G(s;r,p)\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial^2}{\partial s^2}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^r\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}r(1-p)\frac{p}{(1-s(1-p))^2}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r-1}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}r\frac{1-p}{p}\frac{p^2}{(1-s(1-p))^2}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r-1}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.\frac{\partial}{\partial s}r\frac{1-p}{p}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r+1}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
\left.r(r+1)\frac{1-p}{p}(1-p)\frac{p}{(1-s(1-p))^2}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r}\right|_{s=1} \\ \\
&=&
r(r+1)\frac{1-p}{p}(1-p)\frac{p}{(p)^2}\left(\frac{p}{p}\right)^{r} \\ \\
&=&
r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2} \\ \\ \\
V[X]
&=&
E[X(X-1)]+E[X]-(E[X])^2 \\ \\
&=&
r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2}+r\frac{1-p}{p}-\left(r\frac{1-p}{p}\right)^2 \\ \\
&=&
r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2}+r\frac{(1-p)p}{p^2}-r^2\frac{(1-p)^2}{p^2} \\ \\
&=&
r\frac{1-p}{p^2} \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
\(X_1\sim NB(r_1,p),X_2\sim NB(r_2,p)\)が独立であるとき、確率母関数は
\begin{eqnarray}
E[s^{X_1+X_2}]
&=&
E[s^{X_1}]E[s^{X_2}]&...&\text{独立であるため} \\ \\
&=&
\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r_1}\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r_2} \\ \\
&=&
\left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{r_1+r_2} \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。これは\(NB(r_1+r_2,p)\)の確率母関数と等しいため、再生性があると言える。
p.36上より\(x_1+x_2+x_3=n\)であることを用いる。
\begin{eqnarray}
E[s_1^{X_1}s_2^{X_2}]
&=&
\displaystyle\sum_{x_1=0}^{n}\sum_{x_2=0}^{n-x_1}s_1^{x_1}s_2^{x_2}f(x_1,x_2,x_3) \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x_1=0}^{n}\sum_{x_2=0}^{n-x_1}s_1^{x_1}s_2^{x_2}\frac{n!}{x_1!x_2!x_3!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x_1=0}^{n}\sum_{x_2=0}^{n-x_1}s_1^{x_1}s_2^{x_2}\frac{n!}{x_1!x_2!(n-x_1-x_2)!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{n-x_1-x_2}&...&x_1+x_2+x_3=n\text{を用いた} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{x_1=0}^{n}\sum_{x_2=0}^{n-x_1}\frac{n!}{x_1!x_2!(n-x_1-x_2)!}(s_1p_1)^{x_1}(s_2p_2)^{x_2}p_3^{n-x_1-x_2}&...&(1) \\ \\
&=&
(s_1p_1+s_2p_2+p_3)^n&...&(2)
\end{eqnarray}
(1)は(2)の計算を各項ずつ表している。