統計学の行間埋め　第１章

\(\S\)1.2 確率分布と母関数

1. p.15：式(1.2.14)の導出
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\begin{eqnarray} E(X(X-1)) &=& \displaystyle\sum_{x=0}^nx(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{x=0}^nx(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{x={\color{red}2}}^n\frac{n(n-1)(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^2p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ \\ &=& n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{x=2}^n\frac{(n-2)!}{(x-2)!((n-2)-(x-2))!}p^{x-2}(1-p)^{(n-2)-(x-2)} \\ \\ &=& n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{\color{red}x^{\prime}=0}^{n-2}\frac{(n-2)!}{x^{\prime}!((n-2)-x^{\prime})!}p^{x^{\prime}}(1-p)^{(n-2)-x^{\prime}}&...&x+2=x^{\prime}\text{とした} \\ \\ &=& n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{x^{\prime}=0}^{n-2}{}_{n-2}\text{C}_{x^{\prime}}p^{x^{\prime}}(1-p)^{(n-2)-x^{\prime}} \\ \\ &=& n(n-1)p^2 \end{eqnarray} と導出できる。


2. p.15：式(1.2.16)の導出
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\begin{eqnarray} E(X^2) &=& \int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(\sigma y+\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}(\sigma dy)&...&y=\frac{x-\mu}{\sigma},dx=\sigma dy\text{と置換した} \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(\sigma^2 y^2+\underbrace{2\sigma\mu y}_{(1)}+\mu^2)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}dy& \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}(\sigma^2 y^2+\underbrace{0}_{(1)}+\mu^2)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}dy&...&\text{(1)は奇関数の対称的な区間の積分になるため} \\ \\ &=& \sigma^2\int_{-\infty}^{\infty} y^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}dy+\mu^2\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}dy}_{(2)}& \\ \\ &=& \sigma^2\left[y\frac{-1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}\right]_{-\infty}^{\infty}+\sigma^2\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2}\right\}dy}_{(2)^{\prime}}+\mu^2\cdot\underbrace{1}_{(2)}&...&\text{(2)確率密度関数の全区間での積分になるため} \\ \\ &=& \sigma^2\cdot [0-0]+\sigma^2\underbrace{1}_{(2)^{\prime}}+\mu^2&...&\text{(2)'は(2)と同様} \\ \\ &=& \sigma^2+\mu^2 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。


3. p.18上：正規分布の歪度が0であること
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\(E[(X-E[X])^3]\)を求めると、 \begin{eqnarray} E[(X-E[X])^3]=E[(X-\mu)^3] &=& \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^3\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2})dx \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}y^3\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{y^2}{2\sigma ^2})dy \\ \\ &=& 0&...&y^3\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{y^2}{2\sigma ^2})\text{が奇関数であり、対称的な積分区間の積分であるため} \end{eqnarray} と導出できる。


4. p.18上：正規分布の尖度が3であること
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\(E[(X-E[X])^4]\)を求めると、 \begin{eqnarray} E[(X-E[X])^4]=E[(X-\mu)^4] &=& \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^4\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2})dx \\ \\ &=& [-(x-\mu)^3\sigma ^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2})]_{-\infty}^{\infty}+\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty}3(x-\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}) dx\\ \\ &=& 3\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma ^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2})dx \\ \\ &=& 3\sigma^2 E[(X-\mu)^2]=3\sigma ^4 \\ \\ \\ \therefore \frac{E[\{X-E[X]\}^4]}{\{V[X]\}^2} &=& \frac{3\sigma ^4}{\sigma^4} \\ \\ &=& 3 \end{eqnarray} となる。

\(\S\)1.3 分布の特性値

1. p.19中段：偏相関係数の導出
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こちらの解説など参考