現代の量子力学の行間埋め 第５章
- 時間に依存する摂動論
- 式(5.264)の導出
式(5.261)の両辺を\(t^{\prime}\)を変数として積分する。
\begin{align*}
&&
\int_{t_0}^t i\hbar \frac{d}{dt^{\prime}}U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime}&=\int_{t_0}^t V_I(t^{\prime})U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\int_{t_0}^t \frac{d}{dt^{\prime}}U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime}&=\frac{1}{i\hbar}\int_{t_0}^t V_I(t^{\prime})U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime} \\ \\
&\Leftrightarrow&
[U_I(t^{\prime},t_0)]_{t_0}^t&=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t V_I(t^{\prime})U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime}&&...\text{微分した関数を積分するため、原始関数は}U_I(t^{\prime},t_0)\text{になる} \\ \\
&\Leftrightarrow&
U_I(t,t_0)-1&=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t V_I(t^{\prime})U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime}&&...\text{式(5.263)より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
U_I(t,t_0)&=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t V_I(t^{\prime})U_I(t^{\prime},t_0)dt^{\prime}&\\ \\
\end{align*}
と導出できる。
- 式(5.269)の導出
\begin{align*}
\bra{n}e^{iH_0t/\hbar}
&=
\displaystyle\sum_k\bra{n}e^{iH_0t/\hbar}\ket{k}\bra{k} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_k\bra{n}e^{iE_kt/\hbar}\ket{k}\bra{k} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_ke^{iE_kt/\hbar}\braket{n|k}\bra{k} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_ke^{iE_kt/\hbar}\delta_{nk}\bra{k} \\ \\
&=
e^{iE_nt/\hbar}\bra{n}&&...k=n\text{の項のみ残る} \\ \\
\end{align*}
であるから、
\begin{align*}
\braket{n|U_I(t,t_0)|i}
&=
\left\langle n\left| e^{iH_0t/\hbar}\mathscr{U}(t,t_0)e^{-iH_0t_0/\hbar}\right| i\right\rangle \\ \\
&=
\left\langle n\left| e^{iE_nt/\hbar}\mathscr{U}(t,t_0)e^{-iE_it_0/\hbar}\right| i\right\rangle \\ \\
&=
e^{i(E_nt-E_it_0)/\hbar}\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle&&...\text{演算子ではなく定数であるためブラケットの外に出した} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
- 式(5.270)の導出
式(5.269)より
\begin{align*}
\left|\braket{n|U_I(t,t_0)|i}\right|^2
&=
\left|e^{i(E_nt-E_it_0)/\hbar}\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle\right|^2\\ \\
&=
(e^{i(E_nt-E_it_0)/\hbar}\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle)(e^{i(E_nt-E_it_0)/\hbar}\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle)^{\ast}\\ \\
&=
e^{i(E_nt-E_it_0)/\hbar}e^{-i(E_nt-E_it_0)/\hbar}\cdot(\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle)(\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle)^{\ast}\\ \\
&=
1\cdot\left|\left\langle n\left| \mathscr{U}(t,t_0)\right| i\right\rangle\right|^2\\ \\
\end{align*}
と導出できる。