- 式(5.75)の導出
- 式(5.76)の導出
- 式(1)の導出
- 式(2)の導出
- 式(5.77)の導出
- 式(1)の導出
- 式(2)の導出
- 式(5.78)の導出(要議論)
- 式(5.79)の導出
- 式(5.82)(5.83)の導出
- 式(5.85)の導出
- 式(5.86)の導出(要：議論)
- 式(5.87)の導出
- p.410下段：\(\lambda\braket{l^{(0)}|V|l}=\Delta_l\)の導出
- p.410下段：\(\Delta_{l_i}^{(2)}\)の導出
- 式(5.88)の導出
- p.412：『摂動(5.90)が非零の行列要素を持つのは，パリティの異なる状態間においてのみ』であること
- 式(5.92)(5.93)(5.94)の導出
-
p.407下部より\(P_0+P_1=1\)になることを用いる。
\begin{eqnarray}
(E-H_0-\lambda V)\ket{l}
&=&
(E-H_0-\lambda V)P_0\ket{l}+(E-H_0-\lambda V)P_1\ket{l}
\end{eqnarray}
が得られる。ここで、\(P_0\)が\(\{\ket{m^{(0)}}\}\)で定義される空間への射影演算子であるため、p.22の射影演算子の議論より
\begin{eqnarray}
P_0=\displaystyle\sum_{m\in D}\ketbra{m^{(0)}}{m^{(0)}}
\end{eqnarray}
であることから、
\begin{eqnarray}
H_0P_0
&=&
\displaystyle\sum_{m\in D}H_0\ketbra{m^{(0)}}{m^{(0)}} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{m\in D}E_D^{(0)}\ketbra{m^{(0)}}{m^{(0)}}&...&\text{p.407中段より} \\ \\
&=&
E_D^{(0)}P_0 \\ \\
\end{eqnarray}
となるため、
\begin{eqnarray}
(E-H_0-\lambda V)\ket{l}
&=&
(E-H_0-\lambda V)P_0\ket{l}+(E-H_0-\lambda V)P_1\ket{l} \\ \\
&=&
(E-{\color{red}E_D^{(0)}}-\lambda V)P_0\ket{l}+(E-H_0-\lambda V)P_1\ket{l} \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
また、式(5.4)より、摂動を表す式なので \begin{eqnarray} (H_0+\lambda V)\ket{l}&=& E\ket{l} \\ \\ \Leftrightarrow(E-H_0-\lambda V)\ket{l}&=&0 \end{eqnarray} となる。
-
式(5.76)に左から\(P_0\)を作用させると
\begin{eqnarray}
&&P_0(E-E_D^{(0)}-\lambda V)P_0\ket{l}+P_0(E-H_0-\lambda V)P_1\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(P_0EP_0-P_0E_D^{(0)}P_0-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(P_0EP_1-P_0H_0P_1-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(E\underbrace{P_0P_0}_{(1)}-E_D^{(0)}\underbrace{P_0P_0}_{(1)}-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(E\underbrace{P_0P_1}_{(2)}-P_0H_0P_1-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(E\underbrace{P_0}_{(1)}-E_D^{(0)}\underbrace{P_0}_{(1)}-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(E\underbrace{0}_{(2)}-P_0H_0^{\color{red}\dagger}P_1-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0&...&\text{ハミルトニアンはエルミート的であるため} \\ \\
&\Leftrightarrow&
(EP_0-E_D^{(0)}P_0-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(-(P_0E_m^{\ast(0)})P_1-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0&...&\text{p.407より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
(EP_0-E_D^{(0)}P_0-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(-E_m^{\ast(0)}\underbrace{P_0P_1}_{(2)}-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(EP_0-E_D^{(0)}P_0-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(E-E_D^{(0)}-\lambda P_0V)P_0\ket{l}-\lambda P_0VP_1\ket{l}&=&0 \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
\begin{eqnarray}
P_0P_0
&=&
\displaystyle\sum_{m\in D}\ket{m^{(0)}}\bra{m^{(0)}}\sum_{m^{\prime}\in D}\ket{m^{\prime(0)}}\bra{m^{\prime(0)}} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D}\ket{m^{(0)}}\braket{m^{(0)}|m^{\prime(0)}}\bra{m^{\prime(0)}} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D}\ket{m^{(0)}}\delta_{m^{(0)},m^{\prime(0)}}\bra{m^{\prime(0)}}&...&\text{式(1.60)より} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{m\in D}\ket{m^{(0)}}\bra{m^{(0)}}&...&\text{クロネッカーのデルタより}m^{\prime(0)}=m^{(0)}\text{とした} \\ \\
&=&
P_0 \\ \\
\end{eqnarray}
となる。
\begin{eqnarray}
P_0P_1
&=&
P_0(1-P_0) \\ \\
&=&
P_0-P_0P_0 \\ \\
&=&
P_0-P_0&...&\text{式(1)より} \\ \\
&=&
0
\end{eqnarray}
となる。
-
式(5.76)に左から\(P_1\)を作用させると
\begin{eqnarray}
&&P_1(E-E_D^{(0)}-\lambda V)P_0\ket{l}+P_1(E-H_0-\lambda V)P_1\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(P_1EP_0-P_1E_D^{(0)}P_0-\lambda P_1VP_0)\ket{l}+(P_1EP_1-P_1H_0P_1-\lambda P_1VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(E\underbrace{P_1P_0}_{(1)}-E_D^{(0)}\underbrace{P_1P_0}_{(1)}-\lambda P_1VP_0)\ket{l}+(E\underbrace{P_1P_1}_{(2)}-P_1H_0P_1-\lambda P_0VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
(E\underbrace{0}_{(1)}-E_D^{(0)}\underbrace{0}_{(1)}-\lambda P_0VP_0)\ket{l}+(E\underbrace{P_1}_{(2)}-P_1H_0P_1-\lambda P_1VP_1)\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\lambda P_1VP_0\ket{l}+(EP_1-(1-P_0)HP_1-\lambda P_1VP_1)\ket{l}&=&0&...&\text{p.407より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\lambda P_1VP_0\ket{l}+(EP_1-HP_1+(P_0H^{\color{red}\dagger})P_1-\lambda P_1VP_1)\ket{l}&=&0&...&\text{ハミルトニアンはエルミート的であるため} \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\lambda P_1VP_0\ket{l}+(EP_1-HP_1+(P_0E_m^{\ast(0)})P_1-\lambda P_1VP_1)\ket{l}&=&0&...&\text{p.407より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\lambda P_1VP_0\ket{l}+(EP_1-HP_1+(E_m^{\ast(0)})\underbrace{P_0P_1}_{(1)}-\lambda P_1VP_1)\ket{l}&=&0\\ \\
&\Leftrightarrow&
-\lambda P_1VP_0\ket{l}+(E-H-\lambda P_1V)P_1\ket{l}&=&0\\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
\begin{eqnarray}
P_1P_0
&=&
(1-P_0)P_0 \\ \\
&=&
P_0-P_0P_0 \\ \\
&=&
P_0-P_0&...&(\ast) \\ \\
&=&
0
\end{eqnarray}
となる。\((\ast)\)は「式(5.76)の導出」より。
\begin{eqnarray}
P_1P_1
&=&
(1-P_0)(1-P_0)&...&\text{p.407下より} \\ \\
&=&
1-2P_0+P_0P_0\\ \\
&=&
1-2P_0+P_0&...&(\ast)\\ \\
&=&
1-P_0 \\ \\
&=&
P_1
\end{eqnarray}
となる。\((\ast)\)は「式(5.76)の導出」より。
-
式(5.77)の第二項目に着目する。
\begin{eqnarray}
(E-H_0-\lambda P_1V)P_1\ket{l}
&=&
(EP_1-H_0P_1-\lambda P_1VP_1)\ket{l} \\ \\
&=&
(EP_1-H_0P_1-\lambda P_1VP_1{\color{red}P_1})\ket{l}&...&(1) \\ \\
&=&
(E-H_0-\lambda P_1VP_1)P_1\ket{l}&...&(\ast) \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。(1)では「式(5.77)の導出」から、\(P_1P_1=P_1\)を用いた。
ここで、p.407上部より\(V\)が非対角行列要素を持たないように基底ケットを選んでいるため、 \begin{eqnarray} \braket{m^{\prime(0)}|V|m^{(0)}}=V_{m,m^{\prime}}\delta_{m,m^{\prime}} \end{eqnarray} となることを用いると \begin{eqnarray} P_1VP_1 &=& \displaystyle\sum_{m\notin D}\sum_{m^{\prime}\notin D}\ket{m^{(0)}}\braket{m^{\prime(0)}|V|m^{(0)}}\bra{m^{\prime(0)}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m\notin D}\sum_{m^{\prime}\notin D}\ket{m^{(0)}}V_{m,m^{\prime}}\delta_{m,m^{\prime}}\bra{m^{\prime(0)}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m\notin D}\ket{m^{(0)}}V_{m,m}\bra{m^{(0)}}&...&\text{デルタ関数より}m^{\prime}=m\text{の項のみ残る} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
ここで、\(k\notin D\)を用いると \begin{eqnarray} P_1VP_1\ket{k^{(0)}} &=& \displaystyle\sum_{m\notin D}\ket{m^{(0)}}V_{m,m}\braket{m^{(0)}|k^{(0)}} \\ \\ &=& \ket{k^{(0)}}V_{k,k}\braket{k^{(0)}|k^{(0)}}&...&\text{直交性より}m=k\text{のみ残る} \\ \\ &=& V_{k,k}\ket{k^{(0)}} \\ \\ \end{eqnarray} より、\(\ket{k^{(0)}}\)が\(P_1VP_1\)の固有ケットとなっている。\(\ket{k^{(0)}}\)は\(H_0\)の固有ケットでもあるため、式(5.24)のように演算子を定義できる(この式を利用できる条件はこれなのか要議論)。
これを用いると、式(5.77)と\((\ast)\)より \begin{eqnarray} && -\lambda P_1VP_0\ket{l}+(E-H_0-\lambda P_1V)P_1\ket{l}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& P_1\ket{l}&=&\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1VP_0\ket{l} \\ \\ &\Leftrightarrow& P_1\ket{l}&=&\left[\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1\right]VP_0\ket{l} \\ \\ &\Leftrightarrow& P_1\ket{l}&=&\left[{\color{red}P_1}\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1\right]VP_0\ket{l}&...&\text{式(5.33)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& P_1\ket{l}&=&P_1\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1VP_0\ket{l} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
-
式(5.78)に\(\ket{l}\)の展開を代入すると
\begin{eqnarray}
&&
P_1\ket{l}&=&P_1\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1VP_0\ket{l} \\ \\
&\Leftrightarrow&
P_1(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots)&=&P_1\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1VP_0(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots)&...&(\ast) \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。ここで、\(\lambda\)が小さいとき、
\begin{eqnarray}
&&P_1\frac{\lambda}{E-H_0-\lambda P_1VP_1}P_1VP_0(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots) \\ \\
&=&
P_1\left[\frac{\lambda}{E-H_0\left(1-\lambda \frac{P_1VP_1}{E-H_0}\right)}\right]P_1VP_0(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots) \\ \\
&=&
\frac{P_1 \lambda}{E-H_0}\left[\frac{1}{1-\lambda \frac{P_1VP_1}{E-H_0}}\right]P_1VP_0(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots) \\ \\
&=&
\frac{P_1 \lambda}{E-H_0}\left[1+\left(\lambda \frac{P_1VP_1}{E-H_0}\right)+\left(\lambda \frac{P_1VP_1}{E-H_0}\right)^2+\ldots\right]P_1VP_0(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots)&...&\text{無限等比級数の式を用いた} \\ \\
&\approx&
\frac{P_1 \lambda}{E-H_0}P_1VP_0(\ket{l^{(0)}}+\lambda\ket{l^{(1)}}+\ldots) \\ \\
\end{eqnarray}
と近似できる。これを用いて式\((\ast)\)の\(\lambda^1\)の項を比較すると
\begin{eqnarray}
P_1\ket{l^{(1)}}&=&\frac{P_1}{E-H_0}P_1VP_0\ket{l^{(0)}} \\ \\
&=&
\frac{ 1}{E-H_0}P_1P_1VP_0\ket{l^{(0)}}&...&\text{式(5.32)より} \\ \\
&=&\frac{ 1}{E-H_0}P_1VP_0\ket{l^{(0)}}&...&(1) \\ \\
&=&\frac{ 1}{E-H_0}P_1V\ket{l^{(0)}}&...&\text{p.407下の式より}\ket{l^{(0)}}=P_0\ket{l^{(0)}}\text{であるため} \\ \\
&=&\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{ 1}{E-H_0}\ket{k^{(0)}}\bra{k^{(0)}}V\ket{l^{(0)}}& \\ \\
&=&\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{ 1}{E-H_0}\ket{k^{(0)}}V_{kl}&...&\text{異なるエネルギー準位間なので}V_{kl}=0\text{の条件はない} \\ \\
&=&\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{ 1}{E-E_k^{(0)}}\ket{k^{(0)}}V_{kl}&...&H_0\ket{k^{(0)}}=E_k^{(0)}\ket{k^{(0)}}\text{より} \\ \\
&\approx&\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{ 1}{E_D^{(0)}-E_k^{(0)}}\ket{k^{(0)}}V_{kl}&...&(2) \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。
(1)では「式(5.77)の導出」から、\(P_1P_1=P_1\)を用いた。
(2)ではp.407より\(E\)は\(E_D^{(0)}\)の縮退が解ける際に得られるもので\(E_D^{(0)}\)に近い値であることを用いた。
-
式(5.83)を導出する。式(5.81)より
\begin{eqnarray}
&&
\left(E-E_D^{(0)}-\lambda P_0VP_0\right)(P_0\ket{l^{(0)}})&=& 0 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\left(\Delta_l-\lambda P_0VP_0\right)(P_0\ket{l^{(0)}})&=& 0&...&(1)\text{式(5.20)より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\left(\lambda\Delta_l^{(1)}-\lambda P_0VP_0\right)(P_0\ket{l^{(0)}})&=& 0&...&\text{式(5.36)より}\lambda\text{の一次の項のみ残した} \\ \\
&\Leftrightarrow&
P_0VP_0(P_0\ket{l^{(0)}})&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D} \ket{m^{(0)}}\bra{m^{(0)}}V\ket{m^{\prime(0)}}\bra{m^{\prime(0)}}(P_0\ket{l^{(0)}})&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D} \ket{m^{(0)}}V_{m,m^{\prime}}\bra{m^{\prime(0)}}(P_0\ket{l^{(0)}})&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D}\sum_{m^{\prime\prime}\in D} \ket{m^{(0)}}V_{m,m^{\prime}}\bra{m^{\prime(0)}}\ket{m^{\prime\prime(0)}}\bra{m^{\prime\prime(0)}}\ket{l^{(0)}}&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D}\sum_{m^{\prime\prime}\in D} \ket{m^{(0)}}V_{m,m^{\prime}}\braket{m^{\prime(0)}|m^{\prime\prime(0)}}\braket{m^{\prime\prime(0)}|l^{(0)}}&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D}\sum_{m^{\prime\prime}\in D} \ket{m^{(0)}}V_{m,m^{\prime}}\delta_{m^{\prime(0)},m^{\prime\prime(0)}}\braket{m^{\prime\prime(0)}|l^{(0)}}&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}}) \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D} \ket{m^{(0)}}V_{m,m^{\prime}}\braket{m^{\prime(0)}|l^{(0)}}&=& \Delta_l^{(1)}(P_0\ket{l^{(0)}})&...&\text{クロネッカーのデルタより}m^{\prime\prime}=m^{\prime} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\displaystyle\sum_{m\in D}\sum_{m^{\prime}\in D} V_{m,m^{\prime}}\braket{m^{\prime(0)}|l^{(0)}}\ket{m^{(0)}}&=& \displaystyle\sum_{m\in D}\Delta_l^{(1)}\braket{m^{0}|l^{(0)}}\ket{m^{(0)}}& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
V_{11}&V_{12}&\ldots \\
V_{21}&V_{22}&\ldots \\
\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\
\braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\
\vdots
\end{pmatrix}
&=& \Delta_l^{(1)}
\begin{pmatrix}
\braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\
\braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\
\vdots
\end{pmatrix}& \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
次に(5.82)について、\(\lambda=1\)の時を考えると(1)より \begin{eqnarray} \left(\Delta_l- P_0VP_0\right)(P_0\ket{l^{(0)}})&=& 0 \end{eqnarray} が得られ、上記と同様にして \begin{eqnarray} \begin{pmatrix} V_{11}&V_{12}&\ldots \\ V_{21}&V_{22}&\ldots \\ \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\ \vdots \end{pmatrix} &=& \Delta_l \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\ \vdots \end{pmatrix}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。式変形すると \begin{eqnarray} && \begin{pmatrix} V_{11}-\Delta_l&V_{12}&\ldots \\ V_{21}&V_{22}-\Delta_l&\ldots \\ \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\ \vdots \end{pmatrix} &=& 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{pmatrix} V_{11}-(E-E_D^{(0)})&V_{12}&\ldots \\ V_{21}&V_{22}-(E-E_D^{(0)})&\ldots \\ \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\ \vdots \end{pmatrix} &=& 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& (V-\boldsymbol{1}(E-E_D^{(0)})) \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|l^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|l^{(0)}} \\ \vdots \end{pmatrix} &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} となり、この式を満たす固有値を求めるためには行列式が\(0\)になることが必要になる。したがって、 \begin{eqnarray} \text{det}[V-(E-E_D^{(0)})]=0 \end{eqnarray} が得られる。
-
\begin{eqnarray}
\frac{1}{E-H_0-\lambda V}
&=&
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left.\frac{\partial^n}{\partial \lambda^n}\frac{1}{E-H_0-\lambda V}\right|_{\lambda=0}\frac{\lambda^n}{n!} \\ \\
&=&
\frac{1}{E-H_0}+\ldots \\ \\
\end{eqnarray}
であるから、
式(5.80)より
\begin{eqnarray}
&&\left(E-E_D^{(0)}-\lambda P_0VP_0 -\lambda^2P_0VP_1\frac{1}{E-H_0-\lambda V}P_1VP_0\right)P_0\ket{l}&=&0 \\ \\
&\Rightarrow&
\left(E-E_D^{(0)}-\lambda P_0VP_0 -\lambda^2P_0VP_1\frac{1}{E-H_0}P_1VP_0\right)P_0\ket{l}&=&0 \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
\(\ket{l}\to\ket{l_i}\)として式(5.85)を変形すると
\begin{eqnarray}
&&
\left(\lambda P_0VP_0+\lambda^2 P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0\right)P_0\ket{l_i}&=&\left(E-E_D^{(0)}\right)P_0\ket{l_i}
\end{eqnarray}
が得られる。
ここで、式(5.36)の下式、p.410上の記載より、
\begin{eqnarray}
&&\left(\lambda P_0VP_0+\lambda^2 P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0\right)P_0\ket{l_i}
&=&
\left(E-E_D^{(0)}\right)P_0\ket{l_i} \\ \\
&&&=&
\left(E_D^{(0)}+\lambda \nu_i+\lambda^2\nu^{(1)}+\ldots-E_D^{(0)}\right)P_0\ket{l_i}&...&\text{(1)} \\ \\
&&&=&
\left(\lambda \nu_i+\lambda^2\nu_i^{(1)}+\ldots\right)P_0\ket{l_i} \\ \\
&&&=&
\lambda\left( \nu_i+\lambda\nu_i^{(1)}+\ldots\right)P_0\ket{l_i} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\lambda\left( P_0VP_0+\lambda P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0\right)P_0\ket{l_i}
&=&
\lambda\left( \nu_i+\lambda\nu_i^{(1)}+\ldots\right)P_0\ket{l_i} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\left( P_0VP_0+\lambda P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0\right)P_0\ket{l_i}
&=&
\left( \nu_i+\lambda\nu_i^{(1)}+\ldots\right)P_0\ket{l_i} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\left( P_0VP_0+\lambda P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0\right)P_0\ket{l_i}
&=&
\left( \nu_i+\Delta_i\right)P_0\ket{l_i}&...&\text{(2)式(5.36)に倣った} \\ \\
\end{eqnarray}
が得られる。(1)では式(5.36)とp.410上より一次のエネルギー固有値を用い、二次エネルギー固有値を\(\nu_i^{(1)}\)とした。
ここで、\(P_0VP_0\)の固有値が\(\nu_i\)、固有ベクトルが\(P_0\ket{l_i^{(0)}}\)となっていることを鑑みると、(2)は \begin{eqnarray} \left(\nu_i- P_0VP_0\right)P_0\ket{l_i} &=& \left(\lambda P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0 -\Delta_i\right)P_0\ket{l_i}& \\ \\ \end{eqnarray} と変形でき、これは式(5.21)と同様の形をしている。そのため、式(5.39)に代入して \begin{eqnarray} P_0\ket{l_i^{(1)}} &=& \frac{\phi_n}{\nu_i-P_0VP_0}P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0P_0\ket{l_i^{(0)}} \\ \\ &=& \frac{1}{\nu_i-P_0VP_0}\displaystyle\sum_{j\neq i}(P_0\ket{l_j^{(0)}}\bra{l_j^{(0)}}P_0^{\dagger}) P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0P_0\ket{l_i^{(0)}} \\ \\ &=& \frac{1}{\nu_i-P_0VP_0}\displaystyle\sum_{j\neq i}(P_0\ket{l_j^{(0)}}\bra{l_j^{(0)}}P_0) P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0P_0\ket{l_i^{(0)}}&...&(3)P_0^{\dagger}=P_0 \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{1}{\nu_i-\nu_j}P_0\ket{l_j^{(0)}}\bra{l_j^{(0)}}P_0 P_0VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0P_0\ket{l_i^{(0)}}&...&\text{式(5.24)とp.410上の固有エネルギーより} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_i-\nu_j}\bra{l_j^{(0)}}P_0 VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1VP_0\ket{l_i^{(0)}}&...&P_0P_0=P_0\text{より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_i-\nu_j}(\bra{l_j^{(0)}}P_0^{\dagger}) VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1V(P_0\ket{l_i^{(0)}})&...&(3)P_0=P_0^{\dagger}\text{より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_i-\nu_j}\braket{l_j^{(0)}| VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1V|l_i^{(0)}}&...&(4)\text{p.407より}P_0\text{は射影演算子であるため}P_0\ket{l_i^{(0)}}=\ket{l_i^{(0)}} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。ただし、\(\nu_j-\nu_i\to\nu_i-\nu_j\)と分母の正負が逆になっているためどこかで間違えている可能性がある。
(3)について、\(P_0=\displaystyle\sum_{m\in D}\ket{m^{(0)}}\bra{m^{(0)}}\)であるため、式(1.50)より \begin{eqnarray} P_0^{\dagger} &=& \left(\displaystyle\sum_{m\in D}\ket{m^{(0)}}\bra{m^{(0)}}\right)^{\dagger} \\ \\ &=& \left(\displaystyle\sum_{m\in D}\ket{m^{(0)}}\bra{m^{(0)}}\right) \\ \\ &=& P_0 \end{eqnarray} となる。
(4)については常に成立するわけではなく、射影時の条件が必要。
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式(5.86)より(「式(5.86)の導出(要：議論)」での疑義については参考書に準拠)
\begin{eqnarray}
P_0\ket{l_i^{(1)}}
&=&
\displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_j-\nu_i}\braket{l_j^{(0)}| VP_1\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}P_1V|l_i^{(0)}} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_j-\nu_i}\sum_{k\notin D}\sum_{h\notin D}\bra{l_j^{(0)}} V\ket{k^{(0)}}\bra{k^{(0)}}\frac{1}{E_D^{(0)}-H_0}\ket{h^{(0)}}\bra{h^{(0)}}V\ket{l_i^{(0)}} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_j-\nu_i}\sum_{k\notin D}\sum_{h\notin D}\bra{l_j^{(0)}} V\ket{k^{(0)}}\bra{k^{(0)}}\frac{1}{E_D^{(0)}-E_h^{(0)}}\ket{h^{(0)}}\bra{h^{(0)}}V\ket{l_i^{(0)}}&...&H_0\ket{h^{(0)}}=E_h^{(0)}\ket{h^{(0)}}\text{とし、式(5.24)を用いた} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_j-\nu_i}\sum_{k\notin D}\sum_{h\notin D}\bra{l_j^{(0)}} V\ket{k^{(0)}}\frac{1}{E_D^{(0)}-E_h^{(0)}}\braket{k^{(0)}|h^{(0)}}\bra{h^{(0)}}V\ket{l_i^{(0)}}&...&\frac{1}{E_D^{(0)}-E_h^{(0)}}\text{は定数であるため交換可能} \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_j-\nu_i}\sum_{k\notin D}\sum_{h\notin D}\bra{l_j^{(0)}} V\ket{k^{(0)}}\frac{1}{E_D^{(0)}-E_h^{(0)}}\delta_{k,h}\bra{h^{(0)}}V\ket{l_i^{(0)}}& \\ \\
&=&
\displaystyle\sum_{j\neq i}\frac{P_0\ket{l_j^{(0)}}}{\nu_j-\nu_i}\sum_{k\notin D}\bra{l_j^{(0)}} V\ket{k^{(0)}}\frac{1}{E_D^{(0)}-E_k^{(0)}}\bra{k^{(0)}}V\ket{l_i^{(0)}}&...&\text{クロネッカーのデルタより}h=k \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。参考書では\(\ket{k}\)と記載があるが\(\ket{k^{(0)}}\)のほうが正確だと思われる。
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式(5.76)より
\begin{align*}
&(E-E_D^{(0)}-\lambda P_0V)P_0\ket{l}-\lambda P_0VP_1\ket{l}&=0 \\ \\
\Rightarrow
&\bra{l^{(0)}}(E-E_D^{(0)}-\lambda P_0V)P_0\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_0VP_1\ket{l}&=0 \\ \\
\Leftrightarrow
&\bra{l^{(0)}}(\Delta_l-\lambda P_0V)P_0\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_0VP_1\ket{l}&=0&...\text{式(5.20)より} \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\braket{l^{(0)}|P_0|l}-\lambda\braket{l^{(0)}|P_0VP_0|l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_0VP_1\ket{l}&=0 \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\braket{l^{(0)}|P_0|l}-\lambda\braket{l^{(0)}|P_0V(P_0+P_1)|l}&=0& \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\braket{l^{(0)}|P_0|l}-\lambda\braket{l^{(0)}|P_0V|l}&=0&...(1)\text{p.407下より}P_0+P_1=1 \\ \\
\end{align*}
が得られる。同様に式(5.77)より
\begin{align*}
&-\lambda P_1VP_0\ket{l}+(E-H_0-\lambda P_1V)P_1\ket{l}&=0 \\ \\
\Rightarrow
&-\lambda\bra{l^{(0)}}P_1VP_0\ket{l}+\bra{l^{(0)}}(E-H_0-\lambda P_1V)P_1\ket{l}&=0 \\ \\
\Leftrightarrow
&-\lambda\bra{l^{(0)}}P_1VP_0\ket{l}+\bra{l^{(0)}}(E-{\color{red}H_0^{\dagger}})P_1\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_1VP_1\ket{l}&=0&...\text{ハミルトニアンはエルミート的であるため} \\ \\
\Leftrightarrow
&-\lambda\bra{l^{(0)}}P_1VP_0\ket{l}+\bra{l^{(0)}}(E-E_D^{(0)})P_1\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_1VP_1\ket{l}&=0&...H_0\ket{l^{(0)}}=E_D^{(0)}\ket{l^{(0)}}\text{より} \\ \\
\Leftrightarrow
&-\lambda\bra{l^{(0)}}P_1VP_0\ket{l}+\Delta_l\bra{l^{(0)}}P_1\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_1VP_1\ket{l}&=0&...\text{式(5.20)より} \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\bra{l^{(0)}}P_1\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_1V(P_0+P_1)\ket{l}&=0 \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\bra{l^{(0)}}P_1\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_1V\ket{l}&=0&...(2)\text{p.407下より} \\ \\
\end{align*}
が得られる。(1)と(2)を足すと
\begin{align*}
&\Delta_l\braket{l^{(0)}|P_0|l}-\lambda\braket{l^{(0)}|P_0V|l}+\Delta_l\bra{l^{(0)}}P_1\ket{l}-\lambda\bra{l^{(0)}} P_1V\ket{l}&&=0 \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\braket{l^{(0)}|(P_0+P_1)|l}&&=\lambda\braket{l^{(0)}|(P_0+P_1)V|l} \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l\braket{l^{(0)}|l}&&=\lambda\braket{l^{(0)}|V|l} \\ \\
\Leftrightarrow
&\Delta_l&&=\lambda\braket{l^{(0)}|V|l} \\ \\
\end{align*}
と導出できる。
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式(5.37)より
\begin{align*}
\Delta_{l_i}^{(2)}
&=
\braket{l_i^{(0)}|V|l_i^{(1)}} \\ \\
&=
\braket{l_i^{(0)}|V(P_0+P_1)|l_i^{(1)}} \\ \\
&=
\braket{l_i^{(0)}|VP_0|l_i^{(1)}}+\braket{l_i^{(0)}|VP_1|l_i^{(1)}} \\ \\
\end{align*}
と
導出できる。
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p.410脚注より
\begin{align*}
\Delta_{l_i}^{(2)}
&=
\braket{l_i^{(0)}|VP_0|l_i^{(1)}}+\braket{l_i^{(0)}|VP_1|l_i^{(1)}} \\ \\
&=
\bra{l_i^{(0)}}VP_1\ket{l_i^{(1)}} \\ \\
&=
\bra{l_i^{(0)}}V\left[\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{\ket{k^{(0)}}V_{kl}}{E_D^{(0)}-E_k^{(0)}}\right]&&...\text{式(5.79)より} \\ \\
&=
\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{\bra{l_i^{(0)}}V\ket{k^{(0)}}V_{kl}}{E_D^{(0)}-E_k^{(0)}}&&\\ \\
&=
\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{V_{lk}V_{kl}}{E_D^{(0)}-E_k^{(0)}}&&\\ \\
&=
\displaystyle\sum_{k\notin D}\frac{|V_{kl}|^2}{E_D^{(0)}-E_k^{(0)}}&&...V_{lk}=V_{kl}^{\ast}\text{より}\\ \\
\end{align*}
と導出できる。これは縮退している\(i\)について言えるので添え字の\(i\)がなくても成立するといえる。
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摂動項は\(z-\)方向を持つため、式(4.81)で用いられているような奇パリティ演算子であることがわかる。
水素原子について考えているため、水素原子の状態ケットのパリティを考える。状態ケットのパリティは式(4.70)で示された形になっている。これに従い、パリティが異なるのは\(l=0,1\)の間のみとなる。