現代の量子力学の行間埋め　第５章

かびごん 作成
演算子のスペクトル分解(1.71)(第二版：(1.3.17))を用いてハミルトニアン\(H\)を基底ケット\(\ket{1^{(0)}},\ket{2^{(0)}}\)で展開する．\(V\)は \begin{align*} H_0 &= \braket{1^{(0)}|H_0|1^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{1^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|H_0|1^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \notag \\ \\ &= E_1^{(0)}\braket{1^{(0)}|1^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)}\braket{1^{(0)}|2^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + E_1^{(0)}\braket{2^{(0)}|1^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)} \braket{2^{(0)}|2^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \notag \\ \\ &= E_1^{(0)} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)}\ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \end{align*} \(V\)も同様で \begin{align*} V &= \braket{1^{(0)}|V|1^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{1^{(0)}|V|2^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|V|1^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|V|2^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \notag \\ \\ &= V_{11} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + V_{12} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + V_{21} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + V_{22} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \end{align*} と書ける．ここで式(5.43)(第二版：(5.1.43))で後述するが \begin{align*} V_{nk} \equiv \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \end{align*} である．さらに\(V_{11}=V_{22}=0\)の場合を考えるので，全体のハミルトニアン\(H\)は \begin{align*} H &= H_0 + \lambda V \notag \\ \\ &= E_1^{(0)} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)}\ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \lambda V_{12} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \lambda V_{21} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} \end{align*} と書ける．

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演算子の行列表現(1.73)(第二版：(1.3.19))を用いてハミルトニアンを行列で表す． \begin{align*} X &= \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|H_0|1^{(0)}} & \braket{1^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|H_0|1^{(0)}} & \braket{2^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \end{pmatrix} \notag \\ \\ &= \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & \lambda V_{12} \\ \lambda V_{21} & E_2^{(0)} \end{pmatrix} \end{align*}

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ハミルトニアンはエルミート行列なので \begin{align*} H^\dagger = H \end{align*} でなければならない．\(H^\dagger\)は(5.6)(第二版：(5.1.6))より \begin{align*} H = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & \lambda V_{12} \\ \lambda V_{21} & E_2^{(0)} \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & \lambda V_{21} \\ \lambda V_{12} & E_2^{(0)} \end{pmatrix} \end{align*} と計算できる．これと(5.6)(第二版：(5.1.6))のハミルトニアン\(H\)を見比べると \begin{align*} V_{12}=V_{21} \end{align*}

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\(\det(H-EI)=0\)より \begin{align*} \det(H-EI) &= \begin{vmatrix} a_0 + a_3 - E & a_1 \\ a_1 & a_0-a_3-E \end{vmatrix} \notag \\ \\ &= (a_0 + a_3 - E)(a_0 - a_3 - E) - a_1^2 \notag \\ \\ &= E^2 - 2a_0 E + a_0^2 - a_1^2 - a_3^2 \notag \\ \\ &= 0 \end{align*} したがって \begin{align*} E = a_0 \pm \sqrt{a_1^2 +a_3^2} \tag{5.10(第二版:5.1.10)} \end{align*}

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(5.6)(第二版：(5.1.6))と(5.9)(第二版：(5.1.9))を見比べると \begin{align*} a_0+a_3=E_1^{(0)} \, , \, a_0-a_3=E_2^{(0)} \, , \, a_1 = \lambda V_{12} \end{align*} とおけばよいことがわかる．これより\(a_1=\frac{1}{2} (E_1^{(0)}+E_2^{(0)}),a_3=\frac{1}{2} (E_1^{(0)}-E_2^{(0)})\)と分かるので，(5.10)(第二版：(5.1.10))に代入すると \begin{align*} \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \end{pmatrix} &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \sqrt{|\lambda V_{12}|^2 + \left\{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \right\}^2 } \notag \\ \\ &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \sqrt{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2}{4} + \lambda^2 |V_{12}|^2 } \tag{5.11(第二版:5.1.11)} \end{align*} となる．

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(5.12)(第二版：(5.1.12))より \begin{align*} \frac{ \lambda |V_{12|}}{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|} \ll 1 \end{align*} だから(5.11)(第二版：(5.1.11))は次のように近似できる． \begin{align*} \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \end{pmatrix} &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \sqrt{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2}{4} + \lambda^2 |V_{12}|^2 } \tag{(5.11)(第二版:5.1.11)} \\ \\ &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \sqrt{ 1 + \frac{4\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2} } \\ \\ &\simeq \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \left\{ 1 + \frac{2\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2} - \cdots \right\} \end{align*} 複合同順で計算すると， \begin{align*} E_1 &= E_1^{(0)} + \frac{\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})} - \cdots \\ \\ E_2 &= E_2^{(0)} - \frac{\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})} + \cdots = E_2^{(0)} + \frac{\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_2^{(0)}-E_1^{(0)})} + \cdots \end{align*}

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(5.16)(第二版：(5.1.16))より、複素関数の絶対値の比較を行う。 \begin{align*} |\lambda |V_{12}|| &\lt \sqrt{ 0^2 + \left\{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \right\}^2 } = \frac{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|}{2} \\ \\ \lambda |V_{12}| &\lt \frac{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|}{2} \end{align*} 摂動のパラメータが最も高い\( \lambda = 1\)のときを考えると\( 0 \le \lambda \lt 1 \)のときの収束条件も満たす．だから任意の\(\lambda\)に対する収束条件は \begin{align*} |V_{12}| \lt \frac{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|}{2} \end{align*} となる．

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式(5.19)(第二版：(5.1.19))と式(5.20)(第二版：(5.1.20))より \begin{align*} (H_0 + \lambda V)\ket{n} &= E_n \ket{n} \\ \\ &= (\Delta_n + E_n^{(0)}) \ket{n} \\ \\ (E_n^{(0)}-H_0) \ket{n} &= (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \tag{1} \end{align*} (1)に対して左から\(\bra{n^{(0)}}\)を作用させると \begin{align*} \braket{n^{(0)}|(\lambda V - \Delta_n)|n} &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-H_0)|n} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-H_0^{\dagger})|n}&...&H_0\text{はエルミート的であるため} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-E_n^{(0)\ast})|n}&...&\text{式(5.2)の双対、式(1.56)より} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-E_n^{(0)})|n}&...&\text{エネルギーは実数であるため} \\ \\ &= 0 \end{align*}

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(5.22)(第二版：(5.1.22))，(5.23)(第二版：(5.1.23))より \begin{align*} \phi_n (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} &= (1-\ket{n^{(0)}}\bra{n^{(0)}}) (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \\ \\ &= (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} - \braket{n^{(0)}|(\lambda V - \Delta_n)|n} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \\ \\ (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} &= \phi_n (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \tag{5.25(第二版:5.1.25)} \end{align*}

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\begin{align*} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \phi_n &= \sum_{k \ne n} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}}&...&\text{式(5.24)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \\ \\ \\ \phi_n \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \left(\frac{1}{E_n^{(0)}-H_0}\right)^{\dagger}&...&H_0\text{がエルミート的であり、}E_n^{(0)}\text{は実数であるため、全体としてエルミート的になる} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \left(\frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\right)^{\ast}&...&\text{式(5.24)の計算の双対、式(1.56)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}&...&\text{実数であるため} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \\ \\ \\ \phi_n \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \phi_n &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \ket{k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k'\ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \ket{k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}}&...&\text{式(5.24)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \delta_{k,k'} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \end{align*} だから(5.33)(第二版：(5.1.33))が成り立つ．

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式(5.22)より \begin{align*} \braket{n^{(0)}|(\lambda V - \Delta_n)|n} &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} - \braket{n^{(0)}|\Delta_n|n} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} - \Delta_n \braket{n^{(0)}|n} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} - \Delta_n&...&\text{式(5.31)より} \\ \\ &= 0 \end{align*} ゆえに \begin{align*} \Delta_n = \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} \end{align*}

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(5.35)(第二版：(5.1.35))に(5.36)(第二版：(5.1.36))を代入すると，左辺は \begin{align*} \Delta_n = \lambda \Delta_n^{(1)} + \lambda^2 \Delta_n^{(2)} + \lambda^3 \Delta_n^{(3)} + \cdots \end{align*} 右辺は \begin{align*} \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} &= \lambda \bra{n^{(0)}}|V|\{ \ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots \} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} + \lambda^3 \braket{n^{(0)}|V|n^{(2)}} + \cdots \end{align*} パラメータ\(\lambda \)の冪の係数を比較すると \begin{align*} \Delta_n^{(0)} &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ \Delta_n^{(1)} &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \\ &\vdots \\ \Delta_n^{(N)} &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(N-1)}} \\ &\vdots \end{align*} となる．

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左辺は(5.36)(第二版：(5.1.36))より \begin{align*} \ket{n} = \ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots \end{align*} 右辺も \begin{align*} &\ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} (\lambda V-\Delta_n)\ket{n} \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} (\lambda V - \lambda \Delta_n^{(1)} - \lambda^2 \Delta_n^{(2)} - \lambda^3 \Delta_n^{(3)} - \cdots ) \times (\ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots) \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda ( V \ket{n^{(0)}} - \Delta_n^{(1)} \ket{n^{(0)}} ) + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda^2 ( V \ket{n^{(1)}} - \Delta_n^{(1)} \ket{n^{(1)}} - \Delta_n^{(2)} \ket{n^{(0)}} ) + \cdots \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda V \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda^2 ( V - \Delta_n^{(1)} )\ket{n^{(1)}} + \cdots \end{align*} ここで \begin{align*} \phi_n \Delta_n^{(1)} \ket{n^{(0)}} &= \left( 1 - \ket{n^{(0)}} \bra{n^{(0)}} \right) \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \braket{n^{(0)}|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= 0 \end{align*} \begin{align*} \phi_n \Delta_n^{(2)} \ket{n^{(0)}} &= \left( 1 - \ket{n^{(0)}} \bra{n^{(0)}} \right) \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \braket{n^{(0)}|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= 0 \end{align*} を利用した．\(\lambda\)の１次の項を比較すると \begin{align*} \ket{n^{(1)}} = \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \end{align*} となる．

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(5.39)(第二版：(5.1.39))の途中式 \begin{align*} &\ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} (\lambda V-\Delta_n)\ket{n} \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda V \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda^2 ( V - \Delta_n^{(1)} )\ket{n^{(1)}} + \cdots \end{align*} と(5.36)(第二版：(5.1.36))との比較により \begin{align*} \ket{n^{(2)}} = \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} ( V - \Delta_n^{(1)} )\ket{n^{(1)}} \end{align*} だとわかる．ここに(5.39)(第二版：(5.1.39))を代入すると \begin{align*} \ket{n^{(2)}} &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} ( V - \Delta_n^{(1)} ) \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} - \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \Delta_n^{(1)} \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} - \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \tag{5.41(5.1.41)} \end{align*}

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(5.36)(第二版：(5.1.36))に対して(5.37)(第二版：(5.1.37))の\(\Delta_n^{(1)}\)と(5.40)(第二版：(5.1.40))を代入すると \begin{align*} \Delta_n &= \lambda \Delta_n^{(1)} + \lambda^2 \Delta_n^{(2)} + \cdots \tag{5.36(5.1.36)} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \braket{n^{(0)}|V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V|n^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \braket{n^{(0)}|V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V|n^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}} + \cdots \end{align*} これに対し，記法(5.43)(第二版：(5.1.43)) \begin{align*} V_{nk} \equiv \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \ne \braket{n|V|k} \tag{5.43(5.1.43)} \end{align*} と行列\(V\)のエルミート性(5.7)(第二版：(5.1.7))を用いると \begin{align*} \Delta_n &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \lambda V_{nn} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} V_{nk} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kn} + \cdots \\ \\ &= \lambda V_{nn} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} \frac{|V_{nk}|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} + \cdots \tag{5.42(5.1.42)} \end{align*} となる．

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記法(5.43)(第二版：(5.1.43))を用いると(5.39)と(5.41)(第二版：(5.1.39)(5.1.41))は次のように変形できる． \begin{align*} \ket{n^{(1)}} &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \tag{5.39(5.1.39)} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{V_{kn}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \end{align*} \begin{align*} \ket{n^{(2)}} &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} - \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \tag{5.41(5.1.41)} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|l^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} \braket{l^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ &\quad - \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \sum_{i \ne n} \sum_{j \ne n} \ket{i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} \braket{i^{(0)}|j^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_j^{(0)}} \braket{j^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kl} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} V_{ln} \\ &\quad - V_{nn} \sum_{i \ne n} \sum_{j \ne n} \ket{i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} \delta_{i^{(0)},j^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_j^{(0)}} V_{jn} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kl} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} V_{ln} \\ &\quad - V_{nn} \sum_{i \ne n} \ket{i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} V_{in} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{kl}V_{ln}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_l^{(0)})} - \sum_{k \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{nn}V_{kn}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \end{align*} これらの結果を(5.36)(第二版：(5.1.36))に代入すると \begin{align*} \ket{n} &= \ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \lambda \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{V_{kn}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} + \lambda^2 \left( \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{kl}V_{ln}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_l^{(0)})} - \sum_{k \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{nn}V_{kn}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \right) + \cdots \tag{5.44(5.1.44)} \end{align*}