現代の量子力学の行間埋め　第５章

かびごん 作成
演算子のスペクトル分解(1.71)(第二版：(1.3.17))を用いてハミルトニアン\(H\)を基底ケット\(\ket{1^{(0)}},\ket{2^{(0)}}\)で展開する．\(V\)は \begin{align*} H_0 &= \braket{1^{(0)}|H_0|1^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{1^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|H_0|1^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \notag \\ \\ &= E_1^{(0)}\braket{1^{(0)}|1^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)}\braket{1^{(0)}|2^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + E_1^{(0)}\braket{2^{(0)}|1^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)} \braket{2^{(0)}|2^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \notag \\ \\ &= E_1^{(0)} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)}\ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \end{align*} \(V\)も同様で \begin{align*} V &= \braket{1^{(0)}|V|1^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{1^{(0)}|V|2^{(0)}} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|V|1^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + \braket{2^{(0)}|V|2^{(0)}} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \notag \\ \\ &= V_{11} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + V_{12} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + V_{21} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + V_{22} \ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} \end{align*} と書ける．ここで式(5.43)(第二版：(5.1.43))で後述するが \begin{align*} V_{nk} \equiv \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \end{align*} である．さらに\(V_{11}=V_{22}=0\)の場合を考えるので，全体のハミルトニアン\(H\)は \begin{align*} H &= H_0 + \lambda V \notag \\ \\ &= E_1^{(0)} \ket{1^{(0)}}\bra{1^{(0)}} + E_2^{(0)}\ket{2^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \lambda V_{12} \ket{1^{(0)}}\bra{2^{(0)}} + \lambda V_{21} \ket{2^{(0)}}\bra{1^{(0)}} \end{align*} と書ける．

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演算子の行列表現(1.73)(第二版：(1.3.19))を用いてハミルトニアンを行列で表す． \begin{align*} X &= \begin{pmatrix} \braket{1^{(0)}|H_0|1^{(0)}} & \braket{1^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \\ \braket{2^{(0)}|H_0|1^{(0)}} & \braket{2^{(0)}|H_0|2^{(0)}} \end{pmatrix} \notag \\ \\ &= \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & \lambda V_{12} \\ \lambda V_{21} & E_2^{(0)} \end{pmatrix} \end{align*}

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Kaiya追記

ハミルトニアンはエルミート行列なので \begin{align*} H^\dagger = H \end{align*} でなければならない．\(H^\dagger\)は(5.6)(第二版：(5.1.6))より \begin{align*} H = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & \lambda V_{12} \\ \lambda V_{21} & E_2^{(0)} \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} E_1^{(0)\ast} & (\lambda V_{21})^{\ast} \\ (\lambda V_{12})^{\ast} & E_2^{(0)\ast} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} E_1^{(0)\ast} & \lambda V_{21} \\ \lambda V_{12} & E_2^{(0)\ast} \end{pmatrix}}_{\text{式(5.7)および}\lambda\text{が実数であることより}} \end{align*} と計算できる．これと(5.6)(第二版：(5.1.6))のハミルトニアン\(H\)を見比べると \begin{align*} V_{12}=V_{21} \end{align*}

\begin{eqnarray} H&=&a_0+\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a} \\ \\ &=& a_0+\sigma_1a_1+\sigma_2a_2+\sigma_3a_3 \\ \\ &=& a_0+\sigma_1a_1+\sigma_3a_3&...&\boldsymbol{a}=(a_1,0,a_3)\text{であるため} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}a_0 + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}a_1 + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}a_3&...&\text{式(3.50)} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} a_0+a_3 & a_1 \\ a_1 & a_0-a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray} と導出できる。

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\(\det(H-EI)=0\)より \begin{align*} \det(H-EI) &= \begin{vmatrix} a_0 + a_3 - E & a_1 \\ a_1 & a_0-a_3-E \end{vmatrix} \notag \\ \\ &= (a_0 + a_3 - E)(a_0 - a_3 - E) - a_1^2 \notag \\ \\ &= E^2 - 2a_0 E + a_0^2 - a_1^2 - a_3^2 \notag \\ \\ &= 0 \end{align*} したがって \begin{align*} E = a_0 \pm \sqrt{a_1^2 +a_3^2} \tag{5.10(第二版:5.1.10)} \end{align*}

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(5.6)(第二版：(5.1.6))と(5.9)(第二版：(5.1.9))を見比べると \begin{align*} a_0+a_3=E_1^{(0)} \, , \, a_0-a_3=E_2^{(0)} \, , \, a_1 = \lambda V_{12} \end{align*} とおけばよいことがわかる．これより\(a_1=\frac{1}{2} (E_1^{(0)}+E_2^{(0)}),a_3=\frac{1}{2} (E_1^{(0)}-E_2^{(0)})\)と分かるので，(5.10)(第二版：(5.1.10))に代入すると \begin{align*} \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \end{pmatrix} &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \sqrt{|\lambda V_{12}|^2 + \left\{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \right\}^2 } \notag \\ \\ &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \sqrt{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2}{4} + \lambda^2 |V_{12}|^2 } \tag{5.11(第二版:5.1.11)} \end{align*} となる．

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(5.12)(第二版：(5.1.12))より \begin{align*} \frac{ \lambda |V_{12|}}{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|} \ll 1 \end{align*} だから(5.11)(第二版：(5.1.11))は次のように近似できる． \begin{align*} \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \end{pmatrix} &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \sqrt{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2}{4} + \lambda^2 |V_{12}|^2 } \tag{(5.11)(第二版:5.1.11)} \\ \\ &= \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \sqrt{ 1 + \frac{4\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2} } \\ \\ &\simeq \frac{(E_1^{(0)}+E_2^{(0)})}{2} \pm \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \left\{ 1 + \frac{2\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})^2} - \cdots \right\} \end{align*} 複合同順で計算すると， \begin{align*} E_1 &= E_1^{(0)} + \frac{\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})} - \cdots \\ \\ E_2 &= E_2^{(0)} - \frac{\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})} + \cdots = E_2^{(0)} + \frac{\lambda^2 |V_{12}|^2}{(E_2^{(0)}-E_1^{(0)})} + \cdots \end{align*}

上巻の(B.2.2)のような井戸型ポテンシャルを考える。式(B.15)より \begin{eqnarray} k&=&\sqrt{\frac{2m(-|E|+\lambda V_0)}{\hbar^2}}&...&(1) \\ \\ \kappa&=&\sqrt{\frac{2m|E|}{\hbar^2}}&...&(2) \end{eqnarray} である。ここで(1)は実数であるため\(-|E|+\lambda V_0\geq0 \Leftrightarrow\lambda V_0\geq |E|\)である。ここで、\(-|E|+\lambda V_0\ll |E|\)であり、十分小さいため、\(k\)が十分小さな値になるとする。このとき、式(B.16)より、最小のエネルギー固有値は偶パリティであるから、 \begin{eqnarray} \kappa a&=&ka\tan ka \\ \\ &\sim&ka ka&...&\tan x\sim x\text{の近似を用いた} \\ \\ \Leftrightarrow \kappa a&=&(ka)^2 \end{eqnarray} が得られる。これを式(B.17)に代入すると \begin{eqnarray} \frac{2m\lambda V_0 a^2}{\hbar^2}&=&(k^2+\kappa^2)a^2= (k^2a^2+\kappa^2 a^2)\sim k^2a^2+((ka)^2)^2 \\ \\ &\sim&k^2a^2&...&k\text{が十分小さいため、}(ka)^2\gg(ka)^4\text{より}(ka)^4\sim 0\text{とした。} \\ \\ &\sim&\kappa a \\ \\ \Leftrightarrow \kappa&=&\frac{2m\lambda V_0 a}{\hbar^2} \end{eqnarray} が導ける。(2)に代入すると \begin{eqnarray} &&\kappa&=&\sqrt{\frac{2m|E|}{\hbar^2}} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{2m\lambda V_0 a}{\hbar^2}&=&\sqrt{\frac{2m|E|}{\hbar^2}} \\ \\ &\Leftrightarrow& |E|&=&\frac{2m a^2}{\hbar^2}(\lambda V_0)^2 \\ \\ &\Rightarrow& E&=&-\frac{2m a^2}{\hbar^2}|\lambda V_0|^2&...&(\ast) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。\((\ast)\)では、\(E\lt 0\)であることと、\(m,a,\hbar\)がそれぞれ正の数であることを用いた。

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(5.16)(第二版：(5.1.16))より、複素関数の絶対値の比較を行う。 \begin{align*} |\lambda |V_{12}|| &\lt \sqrt{ 0^2 + \left\{ \frac{(E_1^{(0)}-E_2^{(0)})}{2} \right\}^2 } = \frac{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|}{2} \\ \\ \lambda |V_{12}| &\lt \frac{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|}{2} \end{align*} 摂動のパラメータが最も高い\( \lambda = 1\)のときを考えると\( 0 \le \lambda \lt 1 \)のときの収束条件も満たす．だから任意の\(\lambda\)に対する収束条件は \begin{align*} |V_{12}| \lt \frac{|E_1^{(0)}-E_2^{(0)}|}{2} \end{align*} となる．

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式(5.19)(第二版：(5.1.19))と式(5.20)(第二版：(5.1.20))より \begin{align*} (H_0 + \lambda V)\ket{n} &= E_n \ket{n} \\ \\ &= (\Delta_n + E_n^{(0)}) \ket{n} \\ \\ (E_n^{(0)}-H_0) \ket{n} &= (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \tag{1} \end{align*} (1)に対して左から\(\bra{n^{(0)}}\)を作用させると \begin{align*} \braket{n^{(0)}|(\lambda V - \Delta_n)|n} &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-H_0)|n} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-H_0^{\dagger})|n}&...&H_0\text{はエルミート的であるため} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-E_n^{(0)\ast})|n}&...&\text{式(5.2)の双対、式(1.56)より} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|(E_n^{(0)}-E_n^{(0)})|n}&...&\text{エネルギーは実数であるため} \\ \\ &= 0 \end{align*}

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(5.22)(第二版：(5.1.22))，(5.23)(第二版：(5.1.23))より \begin{align*} \phi_n (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} &= (1-\ket{n^{(0)}}\bra{n^{(0)}}) (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \\ \\ &= (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} - \braket{n^{(0)}|(\lambda V - \Delta_n)|n} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \\ \\ (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} &= \phi_n (\lambda V - \Delta_n) \ket{n} \tag{5.25(第二版:5.1.25)} \end{align*}

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\begin{align*} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \phi_n &= \sum_{k \ne n} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}}&...&\text{式(5.24)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \\ \\ \\ \phi_n \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \left(\frac{1}{E_n^{(0)}-H_0}\right)^{\dagger}&...&H_0\text{がエルミート的であり、}E_n^{(0)}\text{は実数であるため、全体としてエルミート的になる} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \left(\frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}\right)^{\ast}&...&\text{式(5.24)の計算の双対、式(1.56)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}&...&\text{実数であるため} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \\ \\ \\ \phi_n \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \phi_n &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-H_0} \ket{k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k'\ne n} \ket{k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \ket{k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}}&...&\text{式(5.24)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|k'^{(0)}} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{k' \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \delta_{k,k'} \bra{k'^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \bra{k^{(0)}} \end{align*} だから(5.33)(第二版：(5.1.33))が成り立つ．

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式(5.22)より \begin{align*} \braket{n^{(0)}|(\lambda V - \Delta_n)|n} &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} - \braket{n^{(0)}|\Delta_n|n} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} - \Delta_n \braket{n^{(0)}|n} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} - \Delta_n&...&\text{式(5.31)より} \\ \\ &= 0 \end{align*} ゆえに \begin{align*} \Delta_n = \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} \end{align*}

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(5.35)(第二版：(5.1.35))に(5.36)(第二版：(5.1.36))を代入すると，左辺は \begin{align*} \Delta_n = \lambda \Delta_n^{(1)} + \lambda^2 \Delta_n^{(2)} + \lambda^3 \Delta_n^{(3)} + \cdots \end{align*} 右辺は \begin{align*} \lambda \braket{n^{(0)}|V|n} &= \lambda \bra{n^{(0)}}|V|\{ \ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots \} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} + \lambda^3 \braket{n^{(0)}|V|n^{(2)}} + \cdots \end{align*} パラメータ\(\lambda \)の冪の係数を比較すると \begin{align*} \Delta_n^{(0)} &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ \Delta_n^{(1)} &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \\ &\vdots \\ \Delta_n^{(N)} &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(N-1)}} \\ &\vdots \end{align*} となる．

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左辺は(5.36)(第二版：(5.1.36))より \begin{align*} \ket{n} = \ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots \end{align*} 右辺も \begin{align*} &\ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} (\lambda V-\Delta_n)\ket{n} \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} (\lambda V - \lambda \Delta_n^{(1)} - \lambda^2 \Delta_n^{(2)} - \lambda^3 \Delta_n^{(3)} - \cdots ) \times (\ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots) \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda ( V \ket{n^{(0)}} - \Delta_n^{(1)} \ket{n^{(0)}} ) + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda^2 ( V \ket{n^{(1)}} - \Delta_n^{(1)} \ket{n^{(1)}} - \Delta_n^{(2)} \ket{n^{(0)}} ) + \cdots \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda V \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda^2 ( V - \Delta_n^{(1)} )\ket{n^{(1)}} + \cdots \end{align*} ここで \begin{align*} \phi_n \Delta_n^{(1)} \ket{n^{(0)}} &= \left( 1 - \ket{n^{(0)}} \bra{n^{(0)}} \right) \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \braket{n^{(0)}|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= 0 \end{align*} \begin{align*} \phi_n \Delta_n^{(2)} \ket{n^{(0)}} &= \left( 1 - \ket{n^{(0)}} \bra{n^{(0)}} \right) \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \braket{n^{(0)}|n^{(0)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} - \braket{n^{(0)}|V|n^{(1)}} \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= 0 \end{align*} を利用した．\(\lambda\)の１次の項を比較すると \begin{align*} \ket{n^{(1)}} = \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \end{align*} となる．

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(5.39)(第二版：(5.1.39))の途中式 \begin{align*} &\ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} (\lambda V-\Delta_n)\ket{n} \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda V \ket{n^{(0)}} + \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \lambda^2 ( V - \Delta_n^{(1)} )\ket{n^{(1)}} + \cdots \end{align*} と(5.36)(第二版：(5.1.36))との比較により \begin{align*} \ket{n^{(2)}} = \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} ( V - \Delta_n^{(1)} )\ket{n^{(1)}} \end{align*} だとわかる．ここに(5.39)(第二版：(5.1.39))を代入すると \begin{align*} \ket{n^{(2)}} &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} ( V - \Delta_n^{(1)} ) \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} - \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \Delta_n^{(1)} \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \\ \\ &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} - \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \tag{5.41(5.1.41)} \end{align*}

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(5.36)(第二版：(5.1.36))に対して(5.37)(第二版：(5.1.37))の\(\Delta_n^{(1)}\)と(5.40)(第二版：(5.1.40))を代入すると \begin{align*} \Delta_n &= \lambda \Delta_n^{(1)} + \lambda^2 \Delta_n^{(2)} + \cdots \tag{5.36(5.1.36)} \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \braket{n^{(0)}|V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V|n^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \braket{n^{(0)}|V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V|n^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}} + \cdots \end{align*} これに対し，記法(5.43)(第二版：(5.1.43)) \begin{align*} V_{nk} \equiv \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \ne \braket{n|V|k} \tag{5.43(5.1.43)} \end{align*} と行列\(V\)のエルミート性(5.7)(第二版：(5.1.7))を用いると \begin{align*} \Delta_n &= \lambda \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} \braket{n^{(0)}|V|k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \lambda V_{nn} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} V_{nk} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kn} + \cdots \\ \\ &= \lambda V_{nn} + \lambda^2 \sum_{k \ne n} \frac{|V_{nk}|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} + \cdots \tag{5.42(5.1.42)} \end{align*} となる．

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記法(5.43)(第二版：(5.1.43))を用いると(5.39)と(5.41)(第二版：(5.1.39)(5.1.41))は次のように変形できる． \begin{align*} \ket{n^{(1)}} &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \tag{5.39(5.1.39)} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{V_{kn}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \end{align*} \begin{align*} \ket{n^{(2)}} &= \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} - \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \ket{n^{(0)}} \tag{5.41(5.1.41)} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|V|l^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} \braket{l^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ &\quad - \braket{n^{(0)}|V|n^{(0)}} \sum_{i \ne n} \sum_{j \ne n} \ket{i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} \braket{i^{(0)}|j^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_j^{(0)}} \braket{j^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kl} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} V_{ln} \\ &\quad - V_{nn} \sum_{i \ne n} \sum_{j \ne n} \ket{i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} \delta_{i^{(0)},j^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_j^{(0)}} V_{jn} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kl} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} V_{ln} \\ &\quad - V_{nn} \sum_{i \ne n} \ket{i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_i^{(0)}} V_{in} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{kl}V_{ln}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_l^{(0)})} - \sum_{k \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{nn}V_{kn}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \end{align*} これらの結果を(5.36)(第二版：(5.1.36))に代入すると \begin{align*} \ket{n} &= \ket{n^{(0)}} + \lambda \ket{n^{(1)}} + \lambda^2 \ket{n^{(2)}} + \cdots \\ \\ &= \ket{n^{(0)}} + \lambda \sum_{k \ne n} \ket{k^{(0)}} \frac{V_{kn}}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} + \lambda^2 \left( \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{kl}V_{ln}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_l^{(0)})} - \sum_{k \ne n} \frac{\ket{k^{(0)}}V_{nn}V_{kn}}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \right) + \cdots \tag{5.44(5.1.44)} \end{align*}

かびごん 作成
式(5.39)(第二版：(5.1.39))を用いると \begin{align*} \braket{n^{(1)}|n^{(1)}} &= \braket{n^{(0)}| \left( \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \right)^\dagger \left( \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \right) | n^{(0)}} \\ \\ &= \braket{n^{(0)}| \left( V^\dagger \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} \right) \left( \frac{\phi_n}{E_n^{(0)}-H_0} V \right) | n^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \braket{n^{(0)}|V^\dagger|k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \braket{k^{(0)}|l^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} \braket{l^{(0)}|V|n^{(0)}}&...&\text{式(5.24)より}k,l\text{を用いた} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \sum_{l \ne n} \underbrace{(\braket{k^{(0)}|V|n^{(0)}})^{\ast}}_{\text{式(1.53)より}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \delta_{k^{(0)},l^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} \braket{l^{(0)}|V|n^{(0)}} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} V_{kn}^{\ast} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \delta_{k^{(0)},l^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}} V_{ln}&...&\text{式(5.43)より} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} V_{kn}^{\ast} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \frac{1}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} V_{kn} \\ \\ &= \sum_{k \ne n} \frac{|V_{kn}|^2}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \end{align*} と計算できる．だから(5.48a)(第二版：(5.1.48a))は \begin{align*} Z_n^{-1} &= 1+\lambda^2 \braket{n^{(1)}|n^{(1)}} + O(\lambda^3) \\ \\ &\simeq 1+\lambda^2 \sum_{k \ne n} \frac{|V_{kn}|^2}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \end{align*} さらに\(x \ll 1\)のときに成り立つ近似式 \begin{align*} (1+x)^n \simeq 1 + nx \end{align*} を用いると\(Z_n\)は\(0\le \lambda^2 \le 1\)より \begin{align*} Z_n &= \left( 1+\lambda^2 \sum_{k \ne n} \frac{|V_{kn}|^2}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \right)^{-1} \\ \\ &\simeq 1-\lambda^2 \sum_{k \ne n} \frac{|V_{kn}|^2}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \tag{5.1.48b} \end{align*} と計算できる．

式(5.42)より \begin{eqnarray} E_n=E_n^{(0)}+\lambda V_{nn}+\lambda^2\displaystyle\sum_{k\neq n}\frac{|V_{nk}|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} \end{eqnarray} である。ここで\(\lambda^2\)までの項を取った。これを\(E_n^{(0)}\)で微分すると \begin{eqnarray} \frac{\partial E_n}{\partial E_n^{(0)}} &=& 1+0+\lambda^2\displaystyle\sum_{k\neq n}\frac{|V_{nk}|^2}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \\ \\ &=& 1+\lambda^2\displaystyle\sum_{k\neq n}\frac{|V_{nk}|^2}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} \\ \\ &\sim& Z_n&...&\text{式(5.48b)} \end{eqnarray} と導出できる。

演習問題5.8(第三版)に同様の計算がある。

かびごん 作成
式(5.53)(第二版：(5.1.53a))に対して\(V_{10}=0\)と式(5.54)(第二版：(5.1.54))を代入すると \begin{align*} \Delta_0 &= V_{00} + \sum_{k \ne 0} \frac{|V_{k0}|^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= V_{00} + \frac{|V_{10}|^2}{E_0^{(0)}-E_1^{(0)}} + \frac{|V_{20}|^2}{E_0^{(0)}-E_2^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= \frac{\varepsilon \hbar \omega}{4} + \frac{|\frac{\varepsilon\hbar\omega}{2\sqrt{2}}|^2}{-2\hbar\omega} + \cdots \\ \\ &= \hbar\omega \left\lbrack \frac{\varepsilon}{4} - \frac{\varepsilon^2}{16} + O(\varepsilon^3) \right\rbrack \end{align*}

かびごん 作成
\(V\)が無い，つまり摂動の無い１次元調和振動子ポテンシャルの波動関数は(2.232)(第二版：(2.5.28))より \begin{align*} u_n(x) &= c_n H_n \left( x\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} \tag{2.232,第二版2.5.28} \\ \\ &= c_n H_n \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \end{align*} とわかっている．求めたい波動関数は基底のものなので，\(u_0(x)\)を求めればよい．定数\(c_n\)に関しては(2.233)(第二版：(2.5.29)) \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x) H_m(x) e^{-x^2} dx &= \pi^{\frac{1}{2}} 2^n n! \delta_{nm} \tag{2.233,第二版2.5.29} \end{align*} を用いれば波動関数の規格直交性より \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, u_n^*(x) u_m(x) &= \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, \left( c^*_n H^*_n \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \right) \left( c_m H_m \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \right) \\ \\ &= c_n^* c_m \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, H_n \left( \frac{x}{x_0} \right) H_m \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \\ \\ &= c_n^* c_m x_0 \int_{-\infty}^{+\infty} dx' \, H_n \left( x' \right) H_m \left( x' \right) e^{-x'^2} \\ \\ &= c_n^* c_m x_0 \pi^{\frac{1}{2}} 2^n n! \delta_{nm} \end{align*} と計算できる．\(m=n\)で積分は１にならなければならないので規格化定数\(c_n\)は \begin{align*} |c_n|^2 x_0 \pi^{\frac{1}{2}} 2^n n! &= 1 \\ \\ c_n &= \frac{1}{\sqrt{x_0 \pi^{\frac{1}{2}}2^nn!}} \\ \\ &= (2^n n!)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} \end{align*} と求まる．ゆえに波動関数\(u_n(x)\)は \begin{align*} u_n(x) &= (2^n n!)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} H_n \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \end{align*} \(n=0\)のときの波動関数\(u_0(x) = \braket{x|0^{(0)}}\)は\(H_0(\frac{x}{x_0})=1\)より \begin{align*} \braket{x|0^{(0)}} &= u_0(x) \\ \\ &= (2^0 0!)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} H_0 \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \\ \\ &= \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \tag{5.1.57} \end{align*}

かびごん 作成
\begin{align*} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{x_0}} (1+\varepsilon)^{\frac{1}{8}} \exp[-\left( \frac{x^2}{2x_0^2} \right) (1+\varepsilon)^{\frac{1}{2}}] &\simeq \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{x_0}} \left( 1+\frac{1}{8}\varepsilon \right) \exp[-\left( \frac{x^2}{2x_0^2} \right) \left( 1+\frac{1}{2}\varepsilon \right)] \\ \\ &= \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{x_0}} \left( 1+\frac{1}{8}\varepsilon \right) \exp[- \frac{x^2}{2x_0^2} ] \exp[-\frac{1}{4} \frac{x^2}{x_0^2} \varepsilon] \\ \\ &\simeq \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{x_0}} \left( 1+\frac{1}{8}\varepsilon \right) \exp[- \frac{x^2}{2x_0^2} ] \left( 1 -\frac{1}{4} \frac{x^2}{x_0^2} \varepsilon \right) \\ \\ &\simeq \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{x_0}} \exp[- \frac{x^2}{2x_0^2} ] + \frac{\varepsilon}{\pi^{\frac{1}{4}}\sqrt{x_0}} \exp[- \frac{x^2}{2x_0^2}] \left( \frac{1}{8} -\frac{1}{4} \frac{x^2}{x_0^2} \right) \tag{5.1.60} \end{align*}

かびごん 作成
Kaiya追記
式(5.57)(第二版：(5.1.57))の導出で求めた，摂動が無い調和振動子の波動関数\(u_n(x)\)の表式(式B.27より) \begin{align*} u_n(x) &= (2^n n!)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} H_n \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \end{align*} と\(H_2(x)=4x^2-2\)より \begin{align*} \braket{x|2^{(0)}} &= u_2(x) \\ \\ &= (2^2 2!)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} H_2 \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \\ \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1} {\sqrt{x_0}} \left[ 4\left( \frac{x}{x_0} \right)^2 -2 \right] e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \tag{5.1.61} \end{align*}
なお、途中の計算では \begin{align*} u_2(x) &= (2^2 2!)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} H_2 \left( \frac{x}{x_0} \right) e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}} \\ \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} {\color{red}1} e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}H_2 \left( \frac{x}{x_0} \right) \\ \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \left[\frac{1}{\pi^{\frac{1}{4}}} \frac{1}{\sqrt{x_0}} {\color{red}H_0\left( \frac{x}{x_0} \right)} e^{-\frac{x^2}{2x_0^2}}\right]H_2 \left( \frac{x}{x_0} \right) \\ \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} u_0(x)H_2 \left( \frac{x}{x_0} \right) \\ \\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \braket{x|0^{(0)}}H_2 \left( \frac{x}{x_0} \right) \\ \\ \end{align*} が用いられている。

かびごん 作成
式(5.43)(第二版：(5.1.43))に倣い \begin{align*} z_{kj} = \braket{k^{(0)}|z|j^{(0)}} \end{align*} を用いれば，エネルギーの補正は(5.42)(第二版：(5.1.42))より \begin{align*} \Delta_k &= V_{kk} + \sum_{j \ne k} \frac{|V_{kj}|^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}} + \cdots \tag{5.1.42} \\ \\ &= -e|\boldsymbol{E}|z_{kk} + \sum_{j \ne k} \frac{(-e|\boldsymbol{E}|z_{kj})^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}} + \cdots \\ \\ &= -e|\boldsymbol{E}|z_{kk} + e^2|\boldsymbol{E}|^2 \sum_{j \ne k} \frac{|z_{kj}|^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}} + \cdots \end{align*}

\(z_{kk}=\braket{k^{(0)}|z|k^{(0)}}\)であるから、式(4.84)より式が成り立つ。

式(3.459)より\(T_0^{(1)}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}V_z\)であるから、\(z\)を階数1のテンソルであるとすると 式(3.482)より、\(\braket{n^{\prime},l^{\prime},m^{\prime}|z|n,l,m}\)に対して \begin{eqnarray} m-m^{\prime}&=&0,\pm1 \\ \\ j-j^{\prime}&=&0,\pm1&...&j=l+m,j^{\prime}=l^{\prime}+m^{\prime} \end{eqnarray} となることが\(\braket{n^{\prime},l^{\prime},m^{\prime}|z|n,l,m}\neq 0\)の条件となる。
ここで、式(4.70)より\(l,l^{\prime}\)が偶数のときに\(\ket{n,l,m},\ket{n^{\prime},l^{\prime},m^{\prime}}\)は偶パリティ、奇数のときに奇パリティになる。 式(4.81)より、それぞれの偶奇が異なるときのみ、\(\braket{n^{\prime},l^{\prime},m^{\prime}|z|n,l,m}\neq 0\)になる。
加えてこのとき、\(j,m,l\)の関係を考えると、 \begin{eqnarray} j-j^{\prime}&=&\pm 1 \\ \\ \Leftrightarrow l+m-(l^{\prime}+m^{\prime})&=& \pm 1 \\ \\ \Leftrightarrow l-l^{\prime}+m-m^{\prime}&=&\pm1 \\ \\ \Leftrightarrow \pm 1+m-m^{\prime}&=&\pm1&...&l,l^{\prime}\text{の偶奇が異なるためその差は1になる} \\ \\ \end{eqnarray} このとき、\(\braket{n^{\prime},l^{\prime},m^{\prime}|z|n,l,m}\neq 0\)を満たせる\(m-m^{\prime}\)は\(m-m^{\prime}=0\)のときのみである。以上をまとめると式(5.65)が得られる。

式(5.62)より\(V=-e|\textbf{E}|z\)であることを用いる。
式(3.210)を用いると \begin{eqnarray} [V,L_z] &=& [-e|\textbf{E}|z,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& -e|\textbf{E}|[z,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& 0 &...&z\text{に対する交換関係がないため}\\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(5.63)と比較する。分極によるエネルギーが、摂動項に現れるとすると \begin{eqnarray} \varDelta &=& -e|\textbf{E}|z_{kk}+e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{j\neq k}\frac{|z_{kj}|^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}}+\ldots \\ \\ &\simeq& -e|\textbf{E}|z_{kk}+e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{j\neq k}\frac{|z_{kj}|^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}}&...&\text{p.404上段より高次の項を無視した} \\ \\ &=& e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{j\neq k}\frac{|z_{kj}|^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}}&...&\text{式(5.64)より} \\ \\ &=& -\frac{1}{2}|\textbf{E}|^2\underbrace{\left\{-2e^2\displaystyle\sum_{j\neq k}\frac{|z_{kj}|^2}{E_k^{(0)}-E_j^{(0)}}\right\}}_{=\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(5.63)と比較する。分極によるエネルギーが、摂動項に現れるとすると \begin{eqnarray} \varDelta &=& -e|\textbf{E}|z_{00}+e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{k\neq 0}\frac{|z_{0k}|^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}+\ldots \\ \\ &\simeq& -e|\textbf{E}|z_{kk}+e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{k\neq 0}\frac{|z_{0k}|^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}&...&\text{p.404上段より高次の項を無視した} \\ \\ &=& e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{k\neq 0}\frac{|z_{0k}|^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}&...&\text{式(5.64)より} \\ \\ &=& e^2|\textbf{E}|^2\displaystyle\sum_{k\neq 0}\frac{|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}&...&\text{式(5.43)}V\to z\text{より} \\ \\ &=& -\frac{1}{2}|\textbf{E}|^2\underbrace{\left\{-2e^2\displaystyle\sum_{k\neq 0}\frac{|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}\right\}}_{=\alpha}& \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

p.405上部より\(\ket{0^{(0)}}=\ket{1,0,0}\)なので \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{k\neq 0}|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2 &=& |\underbrace{\braket{0^{(0)}|z|0^{(0)}}}_{(1)}|^2+\displaystyle\sum_{k\neq 0}|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2&...&\text{式(5.64)より}(1)=0 \\ \\ &=& |\braket{0^{(0)}|z|1,0,0}|^2+\displaystyle\sum_{k\neq 0}|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2&...&\text{p.405上部より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k{\color{red}=} 0}|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k= 0}\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}^{\ast}\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k= 0}\braket{1,0,0|z|k^{(0)}}\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}&...&z\text{はエルミート的なので式(1.54)より} \\ \\ &=& \braket{1,0,0|zz|1,0,0}&...&\ket{k^{(0)}}\text{の完備性より式(1.65)を用いた。(1)} \\ \\ &=& \braket{1,0,0|z^2|1,0,0} \end{eqnarray} と得られる。
(1)では式(5.68)を構成するうえで抜けていたケットを加えたため完全性完備式になった。

基底状態の球面調和関数は式(B・36)の\(Y_0^0\)より定数になっていることがわかる。そのため方向による偏りがないため、\(\braket{x^2},\braket{y^2},\braket{z^2}\)に差がないと言える。
従って、幾何学的に\(r^2=x^2+y^2+z^2\)であることから、式(5.70)が言える。

\(\braket{\textbf{x}|1,0,0}\)を用いて計算する。ここで、水素原子周りの電子の波動関数を考えているため、\(Z=1\)を用いる。 \begin{eqnarray} \braket{\textbf{x}|1,0,0}&=&R_{10}(r)\times Y_0^0(\theta,\phi) \\ \\ &=& \frac{1}{(2\cdot 0+1)!}\left(\frac{2Zr}{1a_0}\right)^0e^{-Zr/1a_0}\left[\left(\frac{2Z}{1a_0}\right)^3\frac{(1+0)!}{2\cdot 1(1-0-1)!}\right]^{1/2}F(0+1-1;2\cdot 0+2;\underbrace{\rho}_{p.246より})\times Y_0^0(\theta,\phi)&...&\text{式(B・56)を用いた} \\ \\ &=& e^{-r/a_0}\left[\left(\frac{2}{a_0}\right)^3\frac{1}{2}\right]^{1/2}\times Y_0^0(\theta,\phi)&...&\text{式(3.310)より}F(0,2,\rho)=1 \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これを用いると \begin{eqnarray} \braket{r^2}&=& \int_0^{\infty}dr\int r^2\sin\theta d\theta d\phi (R_{10}(r) Y_0^0(\theta,\phi))^{\ast}r^2R_{10}(r) Y_0^0(\theta,\phi) \\ \\ &=& \int_0^{\infty}r^4|R_{10}(r)|^2 dr\int \sin\theta d\theta d\phi |Y_0^0(\theta,\phi)|^2 \\ \\ &=& \int_0^{\infty}r^4|R_{10}(r)|^2 dr\cdot 1&...&\text{球面調和関数を全方向で積分したため} \\ \\ &=& \int_0^{\infty}r^4\left|e^{-r/a_0}\left[\left(\frac{2}{a_0}\right)^3\frac{1}{2}\right]^{1/2}\right|^2 dr \\ \\ &=& \left[\left(\frac{2}{a_0}\right)^3\frac{1}{2}\right]\int_0^{\infty}r^4e^{-2r/a_0} dr \\ \\ &=& \left[\left(\frac{2}{a_0}\right)^3\frac{1}{2}\right]\left(\left[r^4\left(-\frac{a_0}{2}\right)e^{-2r/a_0}-4r^3\left(-\frac{a_0}{2}\right)^2e^{-2r/a_0}+4\cdot 3r^2\left(-\frac{a_0}{2}\right)^3e^{-2r/a_0}-\ldots+4\cdot3\cdot2\cdot1\left(-\frac{a_0}{2}\right)^5e^{-2r/a_0}\right]_0^{\infty}\right)&...&\text{部分積分をした} \\ \\ &=& \left[\left(\frac{2}{a_0}\right)^3\frac{1}{2}\right]\left(-4\cdot3\cdot2\cdot1\left(-\frac{a_0}{2}\right)^5e^{-2\cdot 0/a_0}\right) \\ \\ &=& 3a_0^2 \end{eqnarray} と導出できる。

式(B.56)を用いると\(j\leq k\)に対し\(E_j\geq E_k\)になるため、\(k\geq 0\)に対して \begin{eqnarray} &&E_k^{(0)}\geq E_{0}^{(0)} \\ \\ &\Leftrightarrow& -E_0^{(0)}+E_k^{(0)}\geq -E_0^{(0)}+E_{0}^{(0)} \\ \\ \end{eqnarray} となる。また、式(B.56)において、水素原子であることから\(Z=1\)を代入することで \begin{eqnarray} -E_0^{(0)}+E_{0}^{(0)}&=&-\left(-\frac{e^2}{2a_0}\frac{1}{(0+1)^2}\right)+\left(-\frac{e^2}{2a_0}\frac{1}{(1+1)^2}\right)&...&\text{基底状態は}n=1\text{であるため} \\ \\ &=& \frac{e^2}{2a_0}\left[1-\frac14\right] \end{eqnarray} が導出できる。

式(5.68)より \begin{eqnarray} \alpha &=& -2e^2\displaystyle\sum_{k\neq 0}^{\infty}\frac{|\braket{k^{(0)}|z|1,0,0}|^2}{[E_0^{(0)}-E_{k}^{(0)}]} \\ \\ &=& -2e^2\frac{\braket{1,0,0|z^2|1,0,0}}{[E_0^{(0)}-E_{k}^{(0)}]}&...&\text{分母が一定であるとし式(5.69)を用いた} \\ \\ &=& -2e^2\frac{\frac{1}{3}\braket{r^2}}{[E_0^{(0)}-E_{k}^{(0)}]}&...&\text{式(5.70)} \\ \\ &=& -2e^2\frac{\frac{1}{3}3a_0^2}{[E_0^{(0)}-E_{k}^{(0)}]}&...&\text{p.405中段より} \\ \\ &=& 2e^2\frac{\frac{1}{3}3a_0^2}{-E_0^{(0)}+E_{k}^{(0)}}&...&\text{p.405中段より} \\ \\ &\leq& 2e^2\frac{a_0^2}{-E_0^{(0)}+E_{1}^{(0)}}&...&\text{式(5.71)より} \\ \\ &=& 2e^2\frac{a_0^2}{\frac{e^2}{2a_0}\left[1-\frac{1}{4}\right]}&...&\text{式(5.72)より} \\ \\ &=& \frac{16a_0^3}{3} \\ \\ \end{eqnarray} が導出できる。