- 離散対称性, パリティすなわち空間反転
- 式(4.44)の導出
- 式(4.48)の確認
- 式(4.49)の確認
- 式(4.50)の導出
- 式(4.51)の導出
- 式(4.56)の導出
- p.355上部：\(\pi\ket{\alpha}=\pm\ket{\alpha}\)の導出
- p.355上部：\(H\ket{\alpha}=E_n\ket{\alpha}\)の導出
- p.355上部：調和振動子の基底状態\(\ket{0}\)が偶パリティを持つこと
- 式(4.75)がパリティ固有ケットではないこと
- 式(4.76)の確認
- 式(4.77a)(4.77b)がパリティ固有状態ではなく、空間反転によって入れ替わること
- 式(4.78)の導出
現代の量子力学の行間埋め 第４章
-
\(\pi\)がユニタリ的であるため、式(1.159)を用いて
\begin{eqnarray}
&&\pi^{\dagger}\boldsymbol{x}\pi&=&-\boldsymbol{x} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\pi^{\dagger}\boldsymbol{x}\pi&=&-\pi\boldsymbol{x} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\boldsymbol{x}\pi&=&-\pi\boldsymbol{x} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
位置ケット\(\ket{\boldsymbol{x}}\)を用いると
\begin{eqnarray}
\text{式(4.48)左辺}
&=&
\pi\mathscr{F}(d\boldsymbol{x}^{\prime})\ket{\boldsymbol{x}} \\ \\
&=&
\pi\ket{\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x}^{\prime}}&...&\text{式(1.194)より} \\ \\
&=&
\ket{-\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{x}^{\prime}}&...&\text{式(4.45)より}e^{i\delta}=1\text{とした} \\ \\ \\
\text{式(4.48)右辺}
&=&
\mathscr{F}(-d\boldsymbol{x}^{\prime})\pi\ket{\boldsymbol{x}} \\ \\
&=&
\mathscr{F}(-d\boldsymbol{x}^{\prime})\ket{-\boldsymbol{x}}&...&\text{式(4.45)より}e^{i\delta}=1\text{とした} \\ \\
&=&
\ket{-\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{x}^{\prime}}&...&\text{式(1.194)より}
\end{eqnarray}
以上より、式(4.48)が示された。
-
式(4.48)と式(1.214)を用いると
\begin{eqnarray}
&&\pi\mathscr{F}(d\boldsymbol{x}^{\prime})
&=&
\mathscr{F}(-d\boldsymbol{x}^{\prime})\pi \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\right)
&=&
\left(1+\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\right)\pi \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\right)\pi^{\dagger}
&=&
\left(1+\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\right)\pi\pi^{\dagger} \\ \\
&&
&=&
\left(1+\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\right)&...&\pi\text{のユニタリ性より} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
式(4.49)より
\begin{eqnarray}
&&
\pi\left(1-\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\right)\pi^{\dagger}&=&1+\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\underbrace{\pi\pi^{\dagger}}_{(1)}-\pi\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}\pi^{\dagger}&=&1+\frac{i\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}}{\hbar}&...&\text{ユニタリ性と式(1.159)より}\pi\pi^{\dagger}=1 \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\pi\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}\pi^{\dagger}&=&\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}& \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\pi(p_xdx^{\prime}+p_ydy^{\prime}+p_zdz^{\prime})\pi^{\dagger}&=&\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}& \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\pi(p_x\pi^{\dagger}dx^{\prime}+p_y\pi^{\dagger}dy^{\prime}+p_z\pi^{\dagger}dz^{\prime})&=&\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}&...&dx^{\prime},dy^{\prime},dz^{\prime}\text{は定数であるため交換できる} \\ \\
&\Leftrightarrow&
-\pi(\boldsymbol{p}\pi^{\dagger})\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}&=&\boldsymbol{p}\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\left(\pi\boldsymbol{p}\pi^{\dagger}+\boldsymbol{p}\right)\cdot d\boldsymbol{x}^{\prime}&=&0& \\ \\
&\Rightarrow&
\pi\boldsymbol{p}\pi^{\dagger}&=&-\boldsymbol{p}& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\boldsymbol{p}\pi^{\dagger}\pi&=&-\boldsymbol{p}\pi& \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\boldsymbol{p}+\boldsymbol{p}\pi&=&0&...&\text{ユニタリ性より} \\ \\
&\Leftrightarrow&
\{\pi,\boldsymbol{p}\}&=&0\\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
\begin{eqnarray}
[\pi,L_{i}]
&=&
[\pi,\varepsilon_{ijk}x_jp_k+\varepsilon_{ikj}x_kp_j] \\ \\
&=&
\pi\varepsilon_{ijk}x_jp_k+\pi\varepsilon_{ikj}x_kp_j-\varepsilon_{ijk}x_jp_k\pi+\varepsilon_{ikj}x_kp_j\pi \\ \\
&=&
\varepsilon_{ijk}\pi x_jp_k+\varepsilon_{ikj}\pi x_kp_j-\varepsilon_{ijk}\underbrace{\pi\pi^{\dagger}}_{(1)}x_j\underbrace{\pi\pi^{\dagger}}_{(1)}p_k\pi+\varepsilon_{ikj}\underbrace{\pi\pi^{\dagger}}_{(1)}x_k\underbrace{\pi\pi^{\dagger}}_{(1)}p_j\pi&...&\text{(1)ユニタリ性より}\pi\pi^{\dagger}=1 \\ \\
&=&
\varepsilon_{ijk}\pi x_jp_k+\varepsilon_{ikj}\pi x_kp_j-\varepsilon_{ijk}\pi(-x_j)(-p_k)+\varepsilon_{ikj}\pi(-x_k)(-p_j)&...&\text{式(4.43)(4.50)より} \\ \\
&=&
\varepsilon_{ijk}\pi x_jp_k+\varepsilon_{ikj}\pi x_kp_j-\varepsilon_{ijk}\pi x_jp_k+\varepsilon_{ikj}\pi x_kp_j \\ \\
&=&
0
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
式(4.55)より
\begin{eqnarray}
&&\pi\mathscr{D}(R)&=&\mathscr{D}\pi \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)&=&\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)\pi \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi^{\dagger}\pi\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)&=&\pi^{\dagger}\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)\pi \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi^{\dagger}\pi\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)&=&\pi^{\dagger}\pi-\pi^{\dagger}\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\pi \\ \\
&\Leftrightarrow&
1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}&=&1-\pi^{\dagger}\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\pi&...&\text{ユニタリ性より}\pi^{\dagger}\pi=1 \\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi^{\dagger}\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\pi-\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}&=&0&\\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi^{\dagger}\boldsymbol{J}\pi\cdot\hat{\boldsymbol{n}}-\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}&=&0&...&\hat{\boldsymbol{n}}\text{は向きを表す定数であるため交換可能}\\ \\
&\Leftrightarrow&
(\pi^{\dagger}\boldsymbol{J}\pi-\boldsymbol{J})\cdot\hat{\boldsymbol{n}}&=&0\\ \\
&\Rightarrow&
\pi^{\dagger}\boldsymbol{J}\pi-\boldsymbol{J}&=&0\\ \\
&\Leftrightarrow&
\pi\pi^{\dagger}\boldsymbol{J}\pi-\pi\boldsymbol{J}&=&0\\ \\
&\Leftrightarrow&
\boldsymbol{J}\pi-\pi\boldsymbol{J}&=&0&...&\text{ユニタリ性より}\\ \\
&\Leftrightarrow&
-[\pi,\boldsymbol{J}]&=&0\\ \\
&\Leftrightarrow&
[\pi,\boldsymbol{J}]&=&0\\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
\begin{eqnarray}
\pi\ket{\alpha}
&=&
\pi\frac{1}{2}(1\pm\pi)\ket{n} \\ \\
&=&
\frac{1}{2}(\pi\pm\pi^2)\ket{n} \\ \\
&=&
\frac{1}{2}(\pi\pm 1)\ket{n}&...&\pi^2=1\text{より} \\ \\
&=&
\frac{1}{2}(\pm 1+\pi)\ket{n} \\ \\
&=&
\pm\frac{1}{2}(1\pm\pi)\ket{n} \\ \\
&=&
\pm\ket{\alpha} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
\begin{eqnarray}
H\ket{\alpha}
&=&
H\frac{1}{2}(1\pm\pi)\ket{n} \\ \\
&=&
\frac{1}{2}\left(H\ket{n}\pm H\pi\ket{n}\right) \\ \\
&=&
\frac{1}{2}\left(H\ket{n}\pm {\color{red}\pi H}\ket{n}\right)&...&\text{式(4.71)より}H\pi=\pi H \\ \\
&=&
\frac{1}{2}\left(\underbrace{E_n\ket{n}}_{(1)}\pm \pi \underbrace{E_n\ket{n}}_{(1)}\right)&...&\text{式(4.72)より} \\ \\
&=&
E_n\frac{1}{2}(1\pm\pi)\ket{n} \\ \\
&=&
E_n\ket{\alpha} \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。
-
式(2.151)より
\begin{eqnarray}
\psi(x^{\prime})
&=&
\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\exp\left[-\frac12\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\
&=&
\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\exp\left[-\frac12\left(\frac{\color{red}-x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\
&=&
\psi(-x^{\prime})\\ \\
\end{eqnarray}
となり、式(4.64)より偶パリティを持つことがわかる。
-
式(4.66)(4.69)を用いる。
\(\ket{2s}=\ket{n=2,l=0,m=0}\)は空間反転に対して、式(4.69)より \begin{eqnarray} R_{\alpha}(r)Y_0^0(\pi-\theta,\phi+\pi) &=& R_{\alpha}(r)(-1)^0Y_0^0(\theta,\phi) \\ \\ &=& R_{\alpha}(r)Y_0^0(\theta,\phi) \end{eqnarray} となり、式(4.64)より偶パリティを持つことがわかる。
また、\(\ket{2p}=\ket{n=2,l=1,m}\)は空間反転に対して、式(4.69)より \begin{eqnarray} R_{\alpha}(r)Y_1^m(\pi-\theta,\phi+\pi) &=& R_{\alpha}(r)(-1)^1Y_1^m(\theta,\phi) \\ \\ &=& -R_{\alpha}(r)Y_1^m(\theta,\phi) \end{eqnarray} となり、式(4.64)より奇パリティを持つことがわかる。
これらを用いると\(\ket{\alpha}=c_p\ket{2p}+c_s\ket{2s}\)としたとき \begin{eqnarray} \pi\ket{\alpha} &=& \pi(c_p\ket{2p}+c_s\ket{2s}) \\ \\ &=& -c_p\ket{2p}+c_s\ket{2s}\neq \pm\ket{\alpha} \end{eqnarray} となり、パリティ固有ではないことがわかる。
-
\begin{eqnarray}
\pi\ket{R}
&=&
\pi\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{S}+\ket{A}\right) \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\pi\ket{S}+\pi\ket{A}\right) \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\ket{S}-1\ket{A}\right)&...&\text{p.356より対称状態と反対称状態であるため} \\ \\
&=&
\ket{L}\neq\pm\ket{R} \\ \\ \\
\pi\ket{L}
&=&
\pi\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{S}-\ket{A}\right) \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\pi\ket{S}-\pi\ket{A}\right) \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\ket{S}+1\ket{A}\right)&...&\text{p.356より対称状態と反対称状態であるため} \\ \\
&=&
\ket{R}\neq\pm\ket{L} \\ \\
\end{eqnarray}
であるから、式(4.77a)(4.77b)がパリティ固有状態ではなく、空間反転によって入れ替わる。
-
式(2.38)を用いると
\begin{eqnarray}
\ket{R,t_0=0;t}
&=&
\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\ket{R,t_0=0} \\ \\
&=&
\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{S}+\ket{A}\right)&...&\text{式(4.77a)} \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\ket{S}+\exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)\ket{A}\right) \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\exp\left(\frac{-iE_St}{\hbar}\right)\ket{S}+\exp\left(\frac{-iE_At}{\hbar}\right)\ket{A}\right)&...&\text{p.356の議論より}H\ket{S}=E_S\ket{S},H\ket{A}=E_A\ket{A}\text{を利用} \\ \\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{-iE_St}{\hbar}\right)\left(\ket{S}+\exp\left(\frac{-i(E_A-E_S)t}{\hbar}\right)\ket{A}\right) \\ \\
\end{eqnarray}
と導出できる。