現代の量子力学の行間埋め　第４章

\begin{eqnarray} [p,[p,\ldots,[p,V(x)\underbrace{]\ldots]]}_{n\text{個}}=(-i\hbar)^n\frac{\partial^n V(x)}{\partial x^n} \end{eqnarray} であることを示す。式(2.97b)より、\(p\)との交換関係一つにつき、\(-i\hbar\)倍して\(x\)で微分していることから、この式は成立する。
そのため、式(2.168)における\(n\)項目は \begin{eqnarray} \frac{1}{n!}\frac{i^n}{\hbar^n}[p,[p,\ldots,[p,V(x)\underbrace{]\ldots]]}_{n\text{個}} &=& \frac{1}{n!}\frac{i^n}{\hbar^n}(-i\hbar)^n\frac{\partial^n V(x)}{\partial x^n} \\ \\ &=& (-1)^ni^{2n}\frac{1}{n!}\frac{\partial^n V(x)}{\partial x^n} \\ \\ &=& (-1)^n(-1)^{n}\frac{1}{n!}\frac{\partial^n V(x)}{\partial x^n} \\ \\ &=& \frac{1}{n!}\frac{\partial^n V(x)}{\partial x^n} \\ \\ \end{eqnarray}

はじめに \begin{eqnarray} \Theta e^{-iS_z\alpha/\hbar}\Theta^{-1} &=& \Theta \left[1+\frac{-i\alpha}{\hbar}\frac{S_z}{1!}+\left(\frac{-i\alpha}{\hbar}\right)^2\frac{S_z^2}{2!}+\left(\frac{-i\alpha}{\hbar}\right)^3\frac{S_z^3}{3!}+\ldots\right]\Theta^{-1}&...&e^x\text{のマクローリン展開を用いた} \\ \\ &=& \Theta \Theta^{-1}+\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\frac{\Theta S_z\Theta^{-1}}{1!}+\left(\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\right)^2\frac{\Theta S_z^2\Theta^{-1}}{2!}+\left(\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\right)^3\frac{\Theta S_z^3\Theta^{-1}}{3!}+\ldots&...&\Theta\text{により}i\to -(-i) \\ \\ &=& 1+\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\frac{\Theta S_z\Theta^{-1}}{1!}+\left(\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\right)^2\frac{\Theta S_z\Theta^{-1}\Theta S_z\Theta^{-1}}{2!}+\left(\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\right)^3\frac{\Theta S_z\Theta^{-1}\Theta S_z\Theta^{-1}\Theta S_z\Theta^{-1}}{3!}+\ldots \\ \\ &=& 1+\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\frac{\Theta S_z\Theta^{-1}}{1!}+\left(\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\right)^2\frac{(\Theta S_z\Theta^{-1})^2}{2!}+\left(\frac{-(-i)\alpha}{\hbar}\right)^3\frac{(\Theta S_z\Theta^{-1})^3}{3!}+\ldots \\ \\ &=& e^{-(-i)(\Theta S_z\Theta^{-1})\alpha/\hbar} \end{eqnarray} となることを用いる。ここで、式(3.322)より、\(\boldsymbol{L}=0\)であるため\(\boldsymbol{J}=\boldsymbol{S}\)となることを用いて、式(4.156)を適用する。 \begin{eqnarray} \Theta e^{-iS_z\alpha/\hbar}e^{-iS_y\beta/\hbar}\ket{+} &=& \Theta e^{-iS_z\alpha/\hbar}\Theta^{-1}\Theta e^{-iS_y\beta/\hbar}\Theta^{-1}\Theta\ket{+} \\ \\ &=& e^{-(-i)\Theta S_z\Theta^{-1}\alpha/\hbar} e^{-(-i)\Theta S_y\Theta^{-1}\beta/\hbar}\Theta \ket{+} \\ \\ &=& e^{(-i)(- S_z)\alpha/\hbar}e^{(-i)(- S_y)\beta/\hbar}\Theta\ket{+}&...&\text{式(4.156)より} \\ \\ &=& e^{-iS_z\alpha/\hbar}e^{-iS_y\beta/\hbar}\Theta\ket{+} \end{eqnarray} が得られる。

はじめに \begin{eqnarray} S_z\Theta\ket{+} &=& -(-S_z)\Theta\ket{+} \\ \\ &=& -(\Theta S_z\Theta^{-1})\Theta\ket{+}&...&\text{式(3.322)と式(4.156)より} \\ \\ &=& -\Theta S_z\ket{+}& \\ \\ &=& -\Theta \frac{\hbar}{2}\ket{+}&...&\text{式(1.91)より} \\ \\ &=& -\frac{\hbar}{2}\Theta \ket{+} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。はじめの式と比較して、\(\Theta\ket{+}\)の\(S_z\)に関する固有値が\(-\frac{\hbar}{2}\)であることから、\(|\eta|=1\)を持たす複素数を用いて\(\Theta\ket{+}=\eta\ket{-}\)となる。

式(3.60)(3.63)を用いると \begin{eqnarray} \exp\left(\frac{-i S_y\pi}{\hbar}\right) &=& \exp\left(\frac{-i \sigma_2\pi}{2}\right)&...&\text{式(3.60)より}y\text{成分だけ考え}(n_x,n_y,n_z)=(0,1,0)\text{とした} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\pi}{2}&-\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2}&\cos\frac{\pi}{2} \end{array} \right)&...&\text{式(3.63)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-1 \\ 1&0 \end{array} \right)& \\ \\ &=& \frac{1}{i} \left( \begin{array}{cccc} 0&-i \\ i&0 \end{array} \right)& \\ \\ &=& \frac{1}{i}\sigma_2&...&\text{式(3.50)より} \\ \\ &=& \frac{2}{i\hbar}\frac{\hbar}{2}\sigma_2 \\ \\ &=& \frac{2}{i\hbar}S_y&...&\text{式(3.48)より}S_y=\frac{\hbar}{2}\sigma_2 \\ \\ \end{eqnarray} となる。

\begin{eqnarray} \Theta e^{-iJ_y\pi/\hbar}\Theta^{-1} &=& \Theta \left[1+\frac{-i\pi}{\hbar}\frac{J_y}{1!}+\left(\frac{-i\pi}{\hbar}\right)^2\frac{J_y^2}{2!}+\left(\frac{-i\pi}{\hbar}\right)^3\frac{J_y^3}{3!}+\ldots\right]\Theta^{-1}&...&e^x\text{のマクローリン展開を用いた} \\ \\ &=& \Theta \Theta^{-1}+\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\frac{\Theta J_y\Theta^{-1}}{1!}+\left(\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\right)^2\frac{\Theta J_y^2\Theta^{-1}}{2!}+\left(\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\right)^3\frac{\Theta J_y^3\Theta^{-1}}{3!}+\ldots&...&\Theta\text{により}i\to -(-i) \\ \\ &=& 1+\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\frac{\Theta J_y\Theta^{-1}}{1!}+\left(\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\right)^2\frac{\Theta J_y\Theta^{-1}\Theta J_y\Theta^{-1}}{2!}+\left(\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\right)^3\frac{\Theta J_y\Theta^{-1}\Theta J_y\Theta^{-1}\Theta J_y\Theta^{-1}}{3!}+\ldots \\ \\ &=& 1+\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\frac{\Theta J_y\Theta^{-1}}{1!}+\left(\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\right)^2\frac{(\Theta J_y\Theta^{-1})^2}{2!}+\left(\frac{-(-i)\pi}{\hbar}\right)^3\frac{(\Theta J_y\Theta^{-1})^3}{3!}+\ldots \\ \\ &=& e^{-(-i)(\Theta J_y\Theta^{-1})\pi/\hbar} \\ \\ &=& e^{-(-i)(-J_y)\pi/\hbar}&...&\text{式(4.156)} \\ \\ &=& e^{-iJ_y\pi/\hbar}& \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.422)は式(3.426)の導出に用いられている。この時に二項係数を利用しているため、分母の階乗部分は\(0\)を下回らない。
一方で分母には \begin{eqnarray} \frac{m-m_y}{2} \\ \\ \frac{m_y-m}{2} \\ \\ \end{eqnarray} があり、これらが同時に\(0\)を下回らないためには、\(m=m_y\)になることが必要になる。

付録B・5の式を用いる。 \begin{eqnarray} P_k(\cos\pi) &=& \left.\frac{(-1)^k}{2^kk!}\frac{d^k}{dx^k}(1-x^2)^k\right|_{x=-1} \\ \\ &=& \left.\frac{(-1)^k}{2^kk!}\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}k(-2x)(1-x^2)^{k-1}\right|_{x=-1} \\ \\ &=& \left.\frac{(-1)^k}{2^kk!}\frac{d^{k-2}}{dx^{k-2}}\left[k(k-1)(-2x)^2(1-x^2)^{k-2}+k(-2)(1-x^2)^{k-1}\right]\right|_{x=-1} \\ \\ &&\vdots \\ \\ &=& \left.\frac{(-1)^k}{2^kk!}\left[k!(-2x)^k+(1-x^2)f(x)\right]\right|_{x=-1}&...&\text{はじめの項以外には}(1-x^2)\text{がかけられているため。} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^kk!}\left[k!(-2(-1))^k+(1-(-1)^2)f(-1)\right]\\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^kk!}\left[k!2^k+0\right]\\ \\ &=& (-1)^k \end{eqnarray} と導出できる。