現代の量子力学の行間埋め　第３章

式(3.403)(式(3.402b))を用いる。 \begin{eqnarray} [J_z,J_{\pm}] &=& [\frac{\hbar}{2}(N_+-N_-),\hbar a_{\pm}^{\dagger}a_{\mp}] \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}[(N_+-N_-),a_{\pm}^{\dagger}a_{\mp}] \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}[N_+,a_{\pm}^{\dagger}a_{\mp}]-\frac{\hbar^2}{2}[N_-,a_{\pm}^{\dagger}a_{\mp}] \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}([N_+,a_{\pm}^{\dagger}]a_{\mp}+a_{\pm}^{\dagger}[N_+,a_{\mp}])-\frac{\hbar^2}{2}([N_-,a_{\pm}^{\dagger}]a_{\mp}+a_{\pm}^{\dagger}[N_-,a_{\mp}])&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& \begin{cases} \frac{\hbar^2}{2}([N_+,a_{+}^{\dagger}]a_{-}+a_{+}^{\dagger}[N_+,a_{-}])-\frac{\hbar^2}{2}([N_-,a_{+}^{\dagger}]a_{-}+a_{+}^{\dagger}[N_-,a_{-}])& \\ \frac{\hbar^2}{2}([N_+,a_{-}^{\dagger}]a_{+}+a_{-}^{\dagger}[N_+,a_{+}])-\frac{\hbar^2}{2}([N_-,a_{-}^{\dagger}]a_{+}+a_{-}^{\dagger}[N_-,a_{+}])& \\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} \frac{\hbar^2}{2}(a_+^{\dagger}a_{-}+a_{+}^{\dagger}\cdot 0)-\frac{\hbar^2}{2}(0\cdot a_{-}+a_{+}^{\dagger}(-a_-))& \\ \frac{\hbar^2}{2}(0\cdot a_{+}+a_{-}^{\dagger}(-a_+))-\frac{\hbar^2}{2}(a_-^{\dagger}a_{+}+a_{-}^{\dagger}\cdot 0)& \\ \end{cases}&...&\text{式(3.395b)(3.395c)(1)より} \\ \\ &=& \begin{cases} \frac{\hbar^2}{2}(a_+^{\dagger}a_{-}+a_{+}^{\dagger}a_-)& \\ -\frac{\hbar^2}{2}(a_{-}^{\dagger}a_++a_-^{\dagger}a_{+}) \end{cases}& \\ \\ &=& \begin{cases} \hbar\hbar a_+^{\dagger}a_{-}& \\ -\hbar\hbar a_{-}^{\dagger}a_+ \end{cases}& \\ \\ &=& \begin{cases} \hbar J_+& \\ -\hbar J_- \end{cases}&...&\text{式(3.401a)} \\ \\ &=& \pm \hbar J_{\pm} \end{eqnarray} と導出できる。

1. \([N_{\pm},a_{\mp}]=0,[N_{\pm},a_{\mp}^{\dagger}]=0\)を利用
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式(3.394)より \begin{eqnarray} N_{\pm}=a_{\pm}^{\dagger}a_{\pm} \end{eqnarray} であることを用いると、式(3.396)より異なる型の振動子の演算子の組み合わせは常に交換するため \begin{eqnarray} [N_{\pm},a_{\mp}] &=& [a_{\pm}^{\dagger}a_{\pm},a_{\mp}] \\ \\ &=& 0 \\ \\ \\ [N_{\pm},a_{\mp}^{\dagger}] &=& [a_{\pm}^{\dagger}a_{\pm},a_{\mp}^{\dagger}] \\ \\ &=& 0 \\ \\ \\ \end{eqnarray} が成り立つ。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{J}^2 &=& J_z^2+\frac12(J_+J_-+J_-J_+) \\ \\ &=& \underbrace{\left(\frac{\hbar}{2}(a_+^{\dagger}a_+-a_-^{\dagger}a_-)\right)^2}_{\text{式(3.401b)}}+\frac12(\underbrace{\hbar a_+^{\dagger}a_-\hbar a_-^{\dagger}a_++\hbar a_-^{\dagger}a_+\hbar a_+^{\dagger}a_-}_{\text{式(3.401a)}}) \\ \\ &=& \underbrace{\left(\frac{\hbar}{2}(N_+-N_-)\right)^2}_{\text{式(3.401b)}}+\frac{\hbar^2}{2}(\underbrace{ a_+^{\dagger}a_+a_-a_-^{\dagger}+a_+a_+^{\dagger}a_-^{\dagger}a_-}_{\text{式(3.396)より交換できる}}) \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left(N_+-N_-\right)^2+\frac{\hbar^2}{2}((\underbrace{a_+^{\dagger}a_+}_{(1)})(\underbrace{a_-a_-^{\dagger}}_{(2)})+(\underbrace{a_+a_+^{\dagger}}_{(3)})(\underbrace{a_-^{\dagger}a_-}_{(4)})) \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left(N_+-N_-\right)^2+\frac{\hbar^2}{2}((\underbrace{N_+}_{(1)})(\underbrace{a_-^{\dagger}a_-+1}_{(2)})+(\underbrace{a_+^{\dagger}a_++1}_{(3)})(\underbrace{N_-}_{(4)}))&...&\text{(1)(4)は式(3.394)、(2)(3)は式(3.395a)を用いた} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left(N_+-N_-\right)^2+\frac{\hbar^2}{2}(N_+(\underbrace{N_-+1}_{(2)})+(\underbrace{N_++1}_{(3)})N_-)&...&\text{(2)(3)は式(3.394)を用いた} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left(N_+^2+N_-^2-N_+N_--N_-N_++2N_+N_-+2N_+N_-\underbrace{+2N_++2N_-}_{(5)}\right)\\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left(N_+^2+N_-^2+N_+N_-+N_-N_++\underbrace{2N}_{(5)\text{式(3.404)}}\right)\\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left((N_++N_-)^2+2N\right)\\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left(N^2+2N\right)&...&\text{式(3.404)}\\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{\color{red}2}N\left(\frac{N}{2}+1\right)\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} J_+\ket{n_-,n_+} &=& \hbar a_+^{\dagger}a_-\ket{n_-,n_+}&...&\text{式(3.401a)より} \\ \\ &=& \hbar a_+^{\dagger}\sqrt{n_-}\ket{n_--1,n_+}&...&\text{式(3.398b)より} \\ \\ &=& \hbar \sqrt{n_++1}\sqrt{n_-}\ket{n_--1,n_++1}&...&\text{式(3.398b)より} \\ \\ &=& \hbar\sqrt{n_-(n_++1)}\ket{n_--1,n_++1}& \\ \\ \\ J_-\ket{n_-,n_+} &=& \hbar a_-^{\dagger}a_+\ket{n_-,n_+}&...&\text{式(3.401a)より} \\ \\ &=& \hbar a_-^{\dagger}\sqrt{n_+}\ket{n_-,n_+-1}&...&\text{式(3.398b)より} \\ \\ &=& \hbar \sqrt{n_-+1}\sqrt{n_+}\ket{n_-+1,n_+-1}&...&\text{式(3.398a)より} \\ \\ &=& \hbar\sqrt{n_+(n_-+1)}\ket{n_-+1,n_+-1}& \\ \\ \\ J_z\ket{n_-,n_+} &=& \frac{\hbar}{2}(N_+-N_-)\ket{n_-,n_+}&...&\text{式(3.401b)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}(n_+-n_-)\ket{n_-,n_+}&...&\text{式(3.397)より} \\ \\ &=& \frac{1}{2}(n_+-n_-)\hbar\ket{n_-,n_+}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

はじめに \begin{eqnarray} N\ket{n_-,n_+} &=& (\underbrace{n_-+n_+}_{(1)})\ket{n_-,n_+} \end{eqnarray} であることを用い、 式(3.406a)(3.406b)(3.406c)にそれぞれ式(3.404)を作用させて確認する。 \begin{eqnarray} NJ_+\ket{n_-,n_+} &=& N\hbar\sqrt{n_-(n_++1)}\ket{n_--1,n_++1}&...&\text{式(3.406a)} \\ \\ &=& (n_--1+n_++1)\hbar\sqrt{n_-(n_++1)}\ket{n_--1,n_++1}& \\ \\ &=& \underbrace{(n_-+n_+)}_{(2)}\hbar\sqrt{n_-(n_++1)}\ket{n_--1,n_++1}& \\ \\ \\ NJ_-\ket{n_-,n_+} &=& N\hbar\sqrt{n_+(n_-+1)}\ket{n_-+1,n_+-1}&...&\text{式(3.406b)} \\ \\ &=& (n_-+1+n_+-1)\hbar\sqrt{n_+(n_-+1)}\ket{n_-+1,n_+-1}& \\ \\ &=& (\underbrace{n_-+n_+}_{(3)})\hbar\sqrt{n_+(n_-+1)}\ket{n_-+1,n_+-1}& \\ \\ \\ NJ_z\ket{n_-,n_+} &=& N\frac{1}{2}(n_+-n_-)\hbar\ket{n_-,n_+}&...&\text{式(3.406c)} \\ \\ &=& (\underbrace{n_++n_-}_{(4)})\frac{1}{2}(n_+-n_-)\hbar\ket{n_-,n_+}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出でき、(2)(3)(4)は全て(1)と等しいことから、不変であると言える。

式(3.407)を式(3.409)の左辺に代入すると \begin{eqnarray} \frac{\hbar^2}{2}(n_++n_-)\left[\frac{n_++n_-}{2}+1\right] &=& \frac{\hbar^2}{2}(j+m+j-m)\left[\frac{j+m+j-m}{2}+1\right]&...&\text{式(3.407)} \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}2j\left[\frac{2j}{2}+1\right]&\\ \\ &=& \hbar^2j(j+1)&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} &&[\mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1}]^{j+m} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}\underbrace{\mathscr{D}(R)^{-1}\mathscr{D}(R)}_{(1)}a_+^{\dagger}\underbrace{\mathscr{D}(R)^{-1}\mathscr{D}(R)}_{(1)}\ldots\underbrace{\mathscr{D}(R)^{-1}\mathscr{D}(R)}_{(1)} a_+^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}a_+^{\dagger}\ldots a_+^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1}&...&\text{(1)は}1\text{になる} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)(a_+^{\dagger})^{j+m}\mathscr{D}(R)^{-1}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。同様にして \begin{eqnarray} &&[\mathscr{D}(R)a_-^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1}]^{j-m} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)(a_-^{\dagger})^{j-m}\mathscr{D}(R)^{-1}& \\ \\ \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} \frac{[\mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1}]^{j+m}[\mathscr{D}(R)a_-^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1}]^{j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}\mathscr{D}(R)\ket{0} &=& \frac{\mathscr{D}(R)a_+^{\dagger j+m}\mathscr{D}(R)^{-1}\mathscr{D}(R)a_-^{\dagger j-m}\mathscr{D}(R)^{-1}\mathscr{D}(R)}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}\ket{0} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)\frac{a_+^{\dagger j+m}\cdot 1\cdot a_-^{\dagger j-m}\cdot 1}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}\ket{0} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)\frac{a_+^{\dagger j+m} a_-^{\dagger j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}\ket{0} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)\ket{j,m}&...&\text{式(3.411)より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.157)より \begin{eqnarray} J_{\pm}=J_x\pm iJ_y \end{eqnarray} であることを用いると \begin{eqnarray} J_y &=& \frac{1}{2i}(J_+-J_-) \\ \\ &=& \frac{1}{2i}(\hbar a_+^{\dagger}a_--\hbar a_-^{\dagger}a_+)&...&\text{式(3.401a)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}a_--a_-^{\dagger}a_+) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これを真空ケットに作用させると \begin{eqnarray} \mathscr{D}(R)\ket{0} &=& \exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\ket{0}&...&\text{式(3.413)} \\ \\ &=& \left[1+\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}+\frac{1}{2!}\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)^2+\ldots\right]\ket{0} \\ \\ &=& \left[1+\frac{-i\beta}{\hbar}\frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}\underbrace{a_-}_{(1)}-a_-^{\dagger}\underbrace{a_+}_{(1)})+\frac{1}{2!}\left(\frac{-i\beta}{\hbar}\frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}\underbrace{a_-}_{(1)}-a_-^{\dagger}\underbrace{a_+}_{(1)})\right)^2+\ldots\right]\ket{0} \\ \\ &=& \left[1+\frac{-i\beta}{\hbar}\frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}0-a_-^{\dagger}0)+\frac{1}{2!}\left(\frac{-i\beta}{\hbar}\frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}0-a_-^{\dagger}0)\right)^2+\ldots\right]\ket{0} \\ \\ &=& 1\ket{0} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、(1)では式(3.399)より演算が\(0\)になることを用いた。

式(3.157)より \begin{eqnarray} J_{\pm}=J_x\pm iJ_y \end{eqnarray} であることを用いると \begin{eqnarray} J_y &=& \frac{1}{2i}(J_+-J_-) \\ \\ &=& \frac{1}{2i}(\hbar a_+^{\dagger}a_--\hbar a_-^{\dagger}a_+)&...&\text{式(3.401a)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}a_--a_-^{\dagger}a_+) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これを用いると \begin{eqnarray} [\frac{-J_y}{\hbar},a_+^{\dagger}] &=& [\frac{-1}{\hbar}\frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}a_--a_-^{\dagger}a_+),a_+^{\dagger}] \\ \\ &=& \frac{i}{2}[a_+^{\dagger}a_--a_-^{\dagger}a_+,a_+^{\dagger}] \\ \\ &=& \frac{i}{2}([a_+^{\dagger}a_-,a_+^{\dagger}]-[a_-^{\dagger}a_+,a_+^{\dagger}]) \\ \\ &=& \frac{i}{2}(a_-[a_+^{\dagger},a_+^{\dagger}]-a_-^{\dagger}[a_+,a_+^{\dagger}])&...&\text{式(3.396)より異なる型の振動子の演算子の組み合わせは常に交換することより} \\ \\ &=& \frac{i}{2}(0-a_-^{\dagger}\cdot 1)&...&\text{式(3.395a)より} \\ \\ &=& \frac{-i}{2}a_-^{\dagger}\\ \\ &=& \frac{a_-^{\dagger}}{2i}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。また、 \begin{eqnarray} [\frac{-J_y}{\hbar},[\frac{-J_y}{\hbar},a_+^{\dagger}]] &=& [\frac{-J_y}{\hbar},\frac{a_-^{\dagger}}{2i}]\\ \\ &=& [\frac{-1}{\hbar}\frac{\hbar}{2i}(a_+^{\dagger}a_--a_-^{\dagger}a_+),\frac{a_-^{\dagger}}{2i}]\\ \\ &=& \frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}[(a_+^{\dagger}a_--a_-^{\dagger}a_+),a_-^{\dagger}]\\ \\ &=& \frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}([a_+^{\dagger}a_-,a_-^{\dagger}]+[a_-^{\dagger}a_+,a_-^{\dagger}])\\ \\ &=& \frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}(a_+^{\dagger}[a_-,a_-^{\dagger}]+a_+[a_-^{\dagger},a_-^{\dagger}])&...&\text{式(3.396)より異なる型の振動子の演算子の組み合わせは常に交換することより} \\ \\ &=& \frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}(a_+^{\dagger}\cdot 1+a_+0)&...&\text{式(3.395a)より} \\ \\ &=& \frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}a_+^{\dagger}& \\ \\ &=& \frac{1}{4}a_+^{\dagger}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.417)より \begin{eqnarray} &&[\frac{-J_y}{\hbar},a_+^{\dagger}] &=& \frac{1}{2i}a_-^{\dagger} \\ \\ &\Leftrightarrow& [G,a_+^{\dagger}] &=& \frac{1}{2i}a_-^{\dagger}&...&\text{式(3.416)より} \\ \\ \\ &&[\frac{-J_y}{\hbar},\frac{a_-^{\dagger}}{2i}]&=&\frac{1}{4}a_+^{\dagger} \\ \\ &\Leftrightarrow& [\frac{-J_y}{\hbar},a_-^{\dagger}]&=&-\frac{1}{2i}a_+^{\dagger} \\ \\ &\Leftrightarrow& [G,a_-^{\dagger}]&=&-\frac{1}{2i}a_+^{\dagger}&...&\text{式(3.416)より} \\ \\ \\ \end{eqnarray} であることがわかる。これを用いると \begin{eqnarray} \mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1} &=& \exp\left(\frac{-iJ_y}{\hbar}\right)a_+^{\dagger}\exp\left(\frac{iJ_y}{\hbar}\right)&...&\text{式(3.413)より} \\ \\ &=& \exp\left(iG\lambda\right)a_+^{\dagger}\exp\left(-iG\lambda\right)&...&\text{式(3.416)より} \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+i\lambda[G,a_+^{\dagger}]+\frac{i^2\lambda^2}{2!}[G,[G,a_+^{\dagger}]]+\frac{i^3\lambda^3}{3!}[G,[G,[G,a_+^{\dagger}]]]+\ldots&...&\text{式(2.168)より} \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+i\lambda \frac{1}{2i}a_-^{\dagger}+\frac{i^2\lambda^2}{2!}[G,\frac{1}{2i}a_-^{\dagger}]+\frac{i^3\lambda^3}{3!}[G,[G,\frac{1}{2i}a_-^{\dagger}]]+\ldots& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+ \frac{\lambda}{2}a_-^{\dagger}+\frac{i^2\lambda^2}{2!}\frac{1}{2i}[G,a_-^{\dagger}]+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{1}{2i}[G,[G,a_-^{\dagger}]]+\ldots& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+ \frac{\lambda}{2}a_-^{\dagger}+\frac{i^2\lambda^2}{2!}\frac{1}{2i}\frac{-1}{2i}a_-^{\dagger}+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{1}{2i}[G,\frac{-1}{2i}a_-^{\dagger}]+\ldots& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+ \frac{\lambda}{2}a_-^{\dagger}-\frac{\lambda^2}{2^2\cdot 2!}a_-^{\dagger}+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{1}{2i}\frac{-1}{2i}[G,a_-^{\dagger}]+\ldots& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+ \frac{\lambda}{2}a_-^{\dagger}-\frac{\lambda^2}{2^2\cdot 2!}a_-^{\dagger}+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{1}{2i}\frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}a_+^{\dagger}+\ldots& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}+ \frac{\lambda}{2}a_-^{\dagger}-\frac{\lambda^2}{2^2\cdot 2!}a_-^{\dagger}-\frac{\lambda^3}{2^3\cdot 3!}a_+^{\dagger}+\ldots& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}\left(1-\frac{1}{2!}\frac{\lambda^2}{2^2}+\ldots\right)+ a_-^{\dagger}\left(\frac{\lambda}{2}-\frac{1}{3!}\frac{\lambda^3}{2^3}+\ldots\right)& \\ \\ &=& a_+^{\dagger}\cos\frac{\lambda}{2}+ a_-^{\dagger}\sin\frac{\lambda}{2}&...&\sin x,\cos x\text{のマクローリン展開より} \\ \\ &=& a_+^{\dagger}\cos\frac{\beta}{2}+ a_-^{\dagger}\sin\frac{\beta}{2}&...&\text{式(3.416)より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。また、同様にして \begin{eqnarray} \mathscr{D}(R)a_-^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1} &=& \exp\left(\frac{-iJ_y}{\hbar}\right)a_-^{\dagger}\exp\left(\frac{iJ_y}{\hbar}\right)&...&\text{式(3.413)より} \\ \\ &=& \exp\left(iG\lambda\right)a_-^{\dagger}\exp\left(-iG\lambda\right)&...&\text{式(3.416)より} \\ \\ &=& a_-^{\dagger}+i\lambda[G,a_-^{\dagger}]+\frac{i^2\lambda^2}{2!}[G,[G,a_-^{\dagger}]]+\frac{i^3\lambda^3}{3!}[G,[G,[G,a_-^{\dagger}]]]+\ldots&...&\text{式(2.168)より} \\ \\ &=& a_-^{\dagger}+i\lambda \frac{-1}{2i}a_+^{\dagger}+\frac{i^2\lambda^2}{2!}[G,\frac{-1}{2i}a_+^{\dagger}]+\frac{i^3\lambda^3}{3!}[G,[G,\frac{-1}{2i}a_+^{\dagger}]]+\ldots& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}- \frac{\lambda}{2}a_+^{\dagger}+\frac{i^2\lambda^2}{2!}\frac{-1}{2i}[G,a_+^{\dagger}]+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{-1}{2i}[G,[G,a_+^{\dagger}]]+\ldots& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}- \frac{\lambda}{2}a_+^{\dagger}+\frac{i^2\lambda^2}{2!}\frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}a_-^{\dagger}+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{-1}{2i}[G,\frac{1}{2i}a_+^{\dagger}]+\ldots& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}- \frac{\lambda}{2}a_+^{\dagger}-\frac{\lambda^2}{2^2\cdot 2!}a_-^{\dagger}+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}[G,a_+^{\dagger}]+\ldots& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}- \frac{\lambda}{2}a_+^{\dagger}-\frac{\lambda^2}{2^2\cdot 2!}a_-^{\dagger}+\frac{i^3\lambda^3}{3!}\frac{-1}{2i}\frac{1}{2i}\frac{-1}{2i}a_-^{\dagger}+\ldots& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}- \frac{\lambda}{2}a_+^{\dagger}-\frac{\lambda^2}{2^2\cdot 2!}a_-^{\dagger}+\frac{\lambda^3}{2^3\cdot 3!}a_-^{\dagger}+\ldots& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}\left(1-\frac{1}{2!}\frac{\lambda^2}{2^2}+\ldots\right)- a_+^{\dagger}\left(\frac{\lambda}{2}-\frac{1}{3!}\frac{\lambda^3}{2^3}+\ldots\right)& \\ \\ &=& a_-^{\dagger}\cos\frac{\lambda}{2}- a_+^{\dagger}\sin\frac{\lambda}{2}&...&\sin x,\cos x\text{のマクローリン展開より} \\ \\ &=& a_-^{\dagger}\cos\frac{\beta}{2}- a_+^{\dagger}\sin\frac{\beta}{2}&...&\text{式(3.416)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\(a_+^{\dagger}\ket{0}\)の\(y\)-軸周りでの回転は、式(3.414)において\(j=\frac12,m=\frac12\)を代入したものに等しいことから、 \begin{eqnarray} \mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}\ket{0} &=& \mathscr{D}(R)a_+^{\dagger}\mathscr{D}(R)^{-1}\mathscr{D}(R)\ket{0} \\ \\ &=& \left(\cos\frac{\beta}{2}a_+^{\dagger}+\sin\frac{\beta}{2}a_-^{\dagger}\right)\mathscr{D}(R)\ket{0}&...&\text{式(3.418)より} \\ \\ &=& \left(\cos\frac{\beta}{2}a_+^{\dagger}+\sin\frac{\beta}{2}a_-^{\dagger}\right)\cdot 1\ket{0}&...&\text{(1)} \\ \\ &=& \cos\frac{\beta}{2}a_+^{\dagger}\ket{0}+\sin\frac{\beta}{2}a_-^{\dagger}\ket{0}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。(1)では「p.276上部：\(\mathscr{D}(R)\)を\(\ket{0}\)に作用させると\(\ket{0}\)が再出現すること」を用いた。

式(3.203)を用いて \begin{eqnarray} \mathscr{D}(\alpha=0,\beta,\gamma=0)\ket{j,m} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}\ket{j,m^{\prime}}\braket{j,m^{\prime}|\mathscr{D}(\alpha=0,\beta,\gamma=0)|j,m} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}\ket{j,m^{\prime}}d^{(j)}_{m^{\prime}m}(\beta)&...&\text{式(3.203)} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d^{(j)}_{m^{\prime}m}(\beta)\frac{(a_+^{\dagger})^{j+m^{\prime}}(a_-^{\dagger})^{j-m^{\prime}}}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}}\ket{0}&...&\text{式(3.411)} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.422)における\(a_+^{\dagger}\)の次数は\(k,l\)に対して\((j+m-k)+(j-m-l)=2j-k-l\)になる。
一方、式(3.423)における\(a_+^{\dagger}\)の次数は\(j+m^{\prime}\)であるため、この２つの次数が同じ値になるときは \begin{eqnarray} &&2j-k-l&=&j+m^{\prime} \\ \\ &\Leftrightarrow& l=j-k-m^{\prime} \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.422)における\(\cos\frac{\beta}{2}\)の次数は\(k,l\)に対して\(j+m-k+l\)になる。
同様に考え、\(\sin\frac{\beta}{2}\)の次数は\(k+j-m-l\)になり、\(-1\)の次数は\(j-m-l\)となっている。この３つから、式(3.424)を用いて\(l\)を消去すると \begin{eqnarray} \begin{cases} j+m-k+l&=&j+m-k+j-k-m^{\prime}&=&2j-2k+m-m^{\prime} &...&\text{式(3.425a)} \\ k+j-m-l&=&k+j-m-(j-k-m^{\prime})&=&2k-m+m^{\prime} &...&\text{式(3.425b)} \\ j-m-l&=&j-m-(j-k-m^{\prime})&=&k-m+m^{\prime} &...&\text{式(3.425c)} \\ \end{cases} \end{eqnarray} と導ける。

式(3.422)と式(3.423)を比較し、\(d_{m^{\prime}m}^{(j)}\)を決定する。 \begin{eqnarray} &&\text{式(3.422)}&=&\text{式(3.423)} \\ \\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\sum_k\sum_l\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m-k)!k!(j-m-l)!l!}\frac{[a_+^{\dagger}\cos\frac{\beta}{2}]^{j+m-k}[a_-^{\dagger}\sin\frac{\beta}{2}]^{k}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}[-a_+^{\dagger}\sin\frac{\beta}{2}]^{j-m-l}[a_-^{\dagger}\cos\frac{\beta}{2}]^{l}\ket{0} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{(a_+^{\dagger})^{j+m^{\prime}}(a_-^{\dagger})^{j-m^{\prime}}}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}}\ket{0} \\ \\ \end{eqnarray} ここで、「ケットが共通」「\(a_-^{\dagger},a_+^{\dagger}\)のべきが同じ」という点に着目することで \begin{eqnarray} && \displaystyle\sum_k\sum_l\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m-k)!k!(j-m-l)!l!}\frac{[a_+^{\dagger}\cos\frac{\beta}{2}]^{j+m-k}[a_-^{\dagger}\sin\frac{\beta}{2}]^{k}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}[-a_+^{\dagger}\sin\frac{\beta}{2}]^{j-m-l}[a_-^{\dagger}\cos\frac{\beta}{2}]^{l}\ket{0} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{(a_+^{\dagger})^{j+m^{\prime}}(a_-^{\dagger})^{j-m^{\prime}}}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}}\ket{0} \\ \\ &\Rightarrow& \displaystyle\sum_k\sum_l\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m-k)!k!(j-m-l)!l!}\frac{[\cos\frac{\beta}{2}]^{j+m-k}[\sin\frac{\beta}{2}]^{k}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}[-\sin\frac{\beta}{2}]^{j-m-l}[\cos\frac{\beta}{2}]^{l} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{1}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}} \\ \\ &\Rightarrow& \displaystyle\sum_k\sum_l\frac{\color{red}(j+m)!(j-m)!}{(j+m-k)!k!(j-m-l)!l!}\frac{[\cos\frac{\beta}{2}]^{j+m-k+l}[\sin\frac{\beta}{2}]^{k+j-m-l}}{\color{red}\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}(-1)^{j-m-l} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{1}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}} \\ \\ &\Rightarrow& \displaystyle\sum_k\sum_l\frac{\color{red}\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}{(j+m-k)!k!(j-m-l)!l!}[\cos\frac{\beta}{2}]^{j+m-k+l}[\sin\frac{\beta}{2}]^{k+j-m-l}(-1)^{j-m-l} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{1}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(m^{\prime}\)を固定し、\(l\)を式(3.424)を用いて決定する。この時に式(3.425a)(3.425b)(3.425c)がそれぞれ\(\cos\frac{\beta}{2},\sin\frac{\beta}{2},-1\)の次数なので \begin{eqnarray} && \displaystyle\sum_k\sum_l\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}{(j+m-k)!k!(j-m-l)!l!}[\cos\frac{\beta}{2}]^{j+m-k+l}[\sin\frac{\beta}{2}]^{k+j-m-l}(-1)^{j-m-l} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{1}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}} \\ \\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\sum_k\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}{(j+m-k)!k!(j-m-(j-k-m^{\prime}))!(j-k-m^{\prime})!}[\cos\frac{\beta}{2}]^{2j-2k+m-m^{\prime}}[\sin\frac{\beta}{2}]^{2k-m+m^{\prime}}(-1)^{k-m+m^{\prime}} &=& d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{1}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}} \\ \\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\sum_k\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}{(j+m-k)!k!(k-m+m^{\prime})!(j-k-m^{\prime})!}[\cos\frac{\beta}{2}]^{2j-2k+m-m^{\prime}}[\sin\frac{\beta}{2}]^{2k-m+m^{\prime}}(-1)^{k-m+m^{\prime}} &=& d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta)\frac{1}{\sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}} \\ \\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\sum_k\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}\cdot \sqrt{(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}}{(j+m-k)!k!(k-m+m^{\prime})!(j-k-m^{\prime})!}[\cos\frac{\beta}{2}]^{2j-2k+m-m^{\prime}}[\sin\frac{\beta}{2}]^{2k-m+m^{\prime}}(-1)^{k-m+m^{\prime}} &=& d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta) \\ \\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\sum_k\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j+m^{\prime})!(j-m^{\prime})!}}{(j+m-k)!k!(k-m+m^{\prime})!(j-k-m^{\prime})!}[\cos\frac{\beta}{2}]^{2j-2k+m-m^{\prime}}[\sin\frac{\beta}{2}]^{2k-m+m^{\prime}}(-1)^{k-m+m^{\prime}} &=& d_{m^{\prime}m}^{(j)}(\beta) \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.70)の導出と比較する。図(3.12)において、\(\braket{\boldsymbol{S}_2}\)の方向から見た角度は\(\pi-\theta_{ab}\)となっているため、正の値をとる確率は式(3.70)の上の成分の二乗であるため \begin{eqnarray} \left(\cos\frac{\pi-\theta_{ab}}{2}\right)^2 &=& \left(\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_{ab}}{2})\right)^2 \\ \\ &=& \left(\sin\frac{\theta_{ab}}{2}\right)^2 \\ \\ &=& \sin^2\frac{\theta_{ab}}{2} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.438)二式(3.239)を代入すると \begin{eqnarray} &&\sin^2\frac{2\theta}{2}&\leq& \sin^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)^2&\leq&2\sin^2\frac{\theta}{2} \\ \\ &\Leftrightarrow& 4\sin^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2}-2\sin^2\frac{\theta}{2}&\leq&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& 4\underbrace{\sin^2\frac{\theta}{2}}_{(1)}\left(\underbrace{\cos^2\frac{\theta}{2}-\frac{1}{2}}_{(2)}\right)&\leq&0 \\ \\ \end{eqnarray} と式変形できる。この式は恒等式として導出されており、(1)は常に\(0\)以上であることから、(2)は常に\(0\)以下である必要がある。しかし、 \begin{eqnarray} \cos^2\frac{\theta}{2}\gt\frac12 \end{eqnarray} のときはこの式は不成立になってしまう。不成立のときの\(\theta\)の範囲は代表的には \begin{eqnarray} 0\leq \frac{\theta}{2}\lt \frac{\pi}{4} \\ \\ \Leftrightarrow 0\leq \theta \lt \frac{\pi}{2} \end{eqnarray} となる(他の範囲でも成立しないことがある)。ただし、\(\theta=0\)のときは(1)の部分が\(0\)となり式は成立するため、 \begin{eqnarray} 0\lt \theta \lt \frac{\pi}{2} \end{eqnarray} では不成立になると言える。

式(3.446)より \begin{eqnarray} \mathscr{D}^{\dagger}(R)V_i\mathscr{D}(R) &=& \left(1-\frac{(-i)\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right)V_i\left(1-\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right)&...&\text{式(3.447)より} \\ \\ &=& \left(1+\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right)V_i\left(1-\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right)&\\ \\ &=& \left(1+\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right)V_i1-\left(1+\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right)V_i\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}&\\ \\ &=& V_i+\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}V_i-V_i\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}-\underbrace{\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}V_i\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}}_{\varepsilon^2\text{は十分小さい}}&\\ \\ &\simeq& V_i+\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}V_i-V_i\frac{i\varepsilon\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}&\\ \\ &=& V_i+\frac{i\varepsilon}{\hbar}(\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}V_i-V_i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})&\\ \\ &=& V_i+\frac{i\varepsilon}{\hbar}[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},V_i]&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.4)より、\(\varepsilon^2\to 0\)とすることで得られる。

式(3.448)の右辺について式(3.449)を用いると \begin{eqnarray} R(\hat{\boldsymbol{z}};\varepsilon)\boldsymbol{V} &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&-\varepsilon&0 \\ \varepsilon&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} V_x \\ V_y \\ V_z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} V_x-\varepsilon V_y \\ V_y+\varepsilon V_x \\ V_z \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\(\hat{\boldsymbol{n}}\)が\(x\)軸方向を向いているとき、式(3.5a)において\(\varepsilon^2\to 0\)にして用いる。 式(3.448)の右辺についてこれを用いると \begin{eqnarray} R(\hat{\boldsymbol{x}};\varepsilon)\boldsymbol{V} &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} V_x \\ V_y \\ V_z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} V_x \\ V_y-\varepsilon V_z \\ V_z+\varepsilon V_y \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} となることから、式(3.448)の両辺を比較すると \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} V_x+\frac{\varepsilon}{i\hbar}[V_x,J_x] \\ V_y+\frac{\varepsilon}{i\hbar}[V_y,J_x] \\ V_z+\frac{\varepsilon}{i\hbar}[V_z,J_x] \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} V_x \\ V_y-\varepsilon V_z \\ V_z+\varepsilon V_y \end{array} \right) \\ \\ \Leftrightarrow [V_i,J_x]&=&i\varepsilon_{ixk}\hbar V_k&...&\text{(1)} \end{eqnarray} が得られる。同様にして\(\hat{\boldsymbol{n}}\)が\(y\)軸方向を向いているとき、式(3.5b)において\(\varepsilon^2\to 0\)にして用いる。 式(3.448)の右辺についてこれを用いると \begin{eqnarray} R(\hat{\boldsymbol{y}};\varepsilon)\boldsymbol{V} &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&\varepsilon \\ 0&1&0 \\ -\varepsilon&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} V_x \\ V_y \\ V_z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} V_x-\varepsilon V_z \\ V_y \\ V_z+\varepsilon V_x \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} となることから、式(3.448)の両辺を比較すると \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} V_x+\frac{\varepsilon}{i\hbar}[V_x,J_y] \\ V_y+\frac{\varepsilon}{i\hbar}[V_y,J_y] \\ V_z+\frac{\varepsilon}{i\hbar}[V_z,J_y] \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} V_x-\varepsilon V_z \\ V_y \\ V_z+\varepsilon V_x \end{array} \right) \\ \\ \Leftrightarrow [V_i,J_y]&=&i\varepsilon_{iyk}\hbar V_k&...&\text{(2)} \end{eqnarray} が得られる。(1)(2)と\(z\)軸のときの結果を用いると \begin{eqnarray} [V_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}\hbar V_k \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} [y,L_z] &=& [y,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& [y,xp_y]-\underbrace{[y,yp_x]}_{\text{交換可能}} \\ \\ &=& x[y,p_y] \\ \\ &=& xi\hbar&...&\text{式(1.215)} \\ \\ \\ [x,L_z] &=& [x,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& \underbrace{[x,xp_y]}_{\text{交換可能}}-[x,yp_x] \\ \\ &=& -y[x,p_x] \\ \\ &=& -yi\hbar&...&\text{式(1.215)} \\ \\ \\ [p_x,L_z] &=& [p_x,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& [p_x,xp_y]-\underbrace{[p_x,yp_x]}_{\text{交換可能}} \\ \\ &=& p_y[p_x,x] \\ \\ &=& p_y(-i\hbar)&...&\text{式(1.215)} \\ \\ &=& -ip_y\hbar \\ \\ \\ [p_y,L_z] &=& [p_y,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& \underbrace{[p_y,xp_y]}_{\text{交換可能}}-[p_y,yp_x] \\ \\ &=& -p_x[p_y,y] \\ \\ &=& -p_x(-i\hbar)&...&\text{式(1.215)} \\ \\ &=& ip_x\hbar \\ \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.318)の導出でも同様に、式(3.185)やp.238中段より、角運動量\(l\)のそれぞれの値に対して \begin{eqnarray} l=0&\to& m=0 \\ \\ l=1&\to&m=-1,0,1 \\ \\ l=2&\to&m=-2,-1,0,1,2 \end{eqnarray} だけ縮退している。

式(3.246)より \begin{eqnarray} Y_1^0&=&\frac{(-1)^1}{2^11!}\sqrt{\frac{(2\cdot 1+1)}{4\pi}\frac{(1+0)!}{(1-0)!}}e^{i0\phi}\frac{1}{\sin^0\theta}\frac{d^{1-0}}{d(\cos\theta)^{1-0}}(\sin\theta)^{2\cdot 1} \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{d}{d(\cos\theta)}(1-\cos^2\theta) \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{4\pi}}(-2\cos\theta) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta \\ \\ &=& \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{z}{r}&...&\text{三次元極座標の変換より} \\ \\ \\ Y_1^1&=&\frac{(-1)^1}{2^11!}\sqrt{\frac{(2\cdot 1+1)}{4\pi}\frac{(1+1)!}{(1-1)!}}e^{i1\phi}\frac{1}{\sin^1\theta}\frac{d^{1-1}}{d(\cos\theta)^{1-1}}(\sin\theta)^{2\cdot 1} \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{4\pi}2!}e^{i\phi}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d^{0}}{d(\cos\theta)^{0}}\sin^2\theta \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\underbrace{e^{i\phi}}_{(1)}\frac{1}{\sin\theta}\sin^2\theta \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}(\underbrace{\cos\phi+i\sin\phi}_{(1)})\sin\theta&...&\text{(1)でオイラーの公式を用いた} \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}&...&\text{三次元極座標の変換を用いた} \\ \\ &=& \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}(\frac{x}{r}+i\frac{y}{r})\\ \\ &=& -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x+iy}{\sqrt{2}r}\\ \\ Y_1^{-1}&=&(-1)^1[Y_1^1]^{\ast} \\ \\ &=& (-1)\left[-\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x+iy}{\sqrt{2}r}\right]^{\ast}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x-iy}{\sqrt{2}r}\\ \\ \\ Y_2^2 &=& \frac{(-1)^2}{2^22!}\sqrt{\frac{(2\cdot 2+1)}{4\pi}\frac{(2+2)!}{(2-2)!}}e^{i2\phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^{2-2}}{d(\cos\theta)^{2-2}}(\sin\theta)^{2\cdot 2} \\ \\ &=& \frac{1}{8}\sqrt{\frac{5}{4\pi}4!}(e^{i\phi})^2\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^{0}}{d(\cos\theta)^{0}}(\sin\theta)^{4} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{64}}\sqrt{\frac{5\cdot 24}{4\pi}}(e^{i\phi})^2\sin^2\theta \\ \\ &=& \sqrt{\frac{15}{32\pi}}(\cos\phi+i\sin\phi)^2\sin^2\theta&...&\text{オイラーの公式より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{15}{32\pi}}(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})^2(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r})^2&...&\text{三次元極座標の変換より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{15}{32\pi}}(\frac{x}{r}+i\frac{y}{r})^2& \\ \\ Y_2^{-2} &=& (-1)^2[Y_2^2]^{\ast} \\ \\ &=& \left[\sqrt{\frac{15}{32\pi}}(\frac{x}{r}+i\frac{y}{r})^2\right]^{\ast} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{15}{32\pi}}(\frac{x}{r}-i\frac{y}{r})^2 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \mathscr{D}(R^{-1})\ket{l,m} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}\ket{l,m^{\prime}}\bra{l,m^{\prime}}\mathscr{D}(R^{-1})\ket{l,m} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}\ket{l,m^{\prime}}\mathscr{D}^{(l)}_{m^{\prime},m}(R^{-1})&...&\text{式(3.194)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.462)より \begin{eqnarray} &&\mathscr{D}(R^{-1})\ket{l,m}&=&\displaystyle\sum_{m^{\prime}}\ket{l,m^{\prime}}\mathscr{D}^{(l)}_{m^{\prime},m}(R^{-1}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\mathscr{D}(R)^{\dagger}}_{(1)}\ket{l,m}&=&\displaystyle\sum_{m^{\prime}}\ket{l,m^{\prime}}\mathscr{D}^{(l)}_{m^{\prime},m}(R^{-1})&\\ \\ &\Leftrightarrow& (\bra{\hat{\boldsymbol{n}}}\mathscr{D}(R)^{\dagger})\ket{l,m}&=&\displaystyle\sum_{m^{\prime}}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m^{\prime}}\mathscr{D}^{(l)}_{m^{\prime},m}(R^{-1})&\\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\bra{\hat{\boldsymbol{n}}^{\prime}}}_{\text{式(3.461)より}}\ket{l,m}&=&\displaystyle\sum_{m^{\prime}}\underbrace{Y_l^{m^{\prime}}}_{\text{式(3.232)}}\mathscr{D}^{(l)}_{m^{\prime},m}(R^{-1})&\\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{Y_l^{m^{\prime}}(\hat{\boldsymbol{n}}^{\prime})}_{\text{式(3.232)}}&=&\displaystyle\sum_{m^{\prime}}Y_l^{m^{\prime}}\mathscr{D}^{(l)}_{m^{\prime},m}(R^{-1})&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。
(1)では式(3.75)\(R^{-1}\)が逆回転に当たるため\(\mathscr{D}(R^{-1})\)が逆行列に相当することと、回転演算子がユニタリ的である(p.190上部、p.292上部)ことを用いた。

式(3.446)において、 \begin{eqnarray} V_i&\to& Y_l^m(\boldsymbol{V}) \\ \\ R_{ij}&\to&\mathscr{D}_{mm^{\prime}}^{(l)\ast}(R) \end{eqnarray} と置き換えることができると期待される。二行目では回転時の変換の係数としての置き換えをしている。

式(3.464)において、式(3.458)と式(3.185)による\(m(=q)\)の値の制限を適用することで \begin{eqnarray} \underbrace{\mathscr{D}^{\dagger}(R)T_q^{(k)}\mathscr{D}(R)}{(1)}&=&\displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^k\mathscr{D}_{qq^{\prime}}^{(k)\ast}(R)T_{q^{\prime}}^{(k)} \end{eqnarray} が得られる。
これに対して\(R\to R^{-1}\)と逆回転を考えても成立するので \begin{eqnarray} (1) &=& \mathscr{D}^{\dagger}(R^{-1})T_q^{(k)}\mathscr{D}(R^{-1}) \\ \\ &=& \mathscr{D}((R^{-1})^{-1})T_q^{(k)}\mathscr{D}(R)^{\dagger}&...&\text{回転演算子のユニタリ性より} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)T_q^{(k)}\mathscr{D}(R)^{\dagger}& \\ \\ \\ (2) &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^k\mathscr{D}_{qq^{\prime}}^{(k)\ast}(R^{-1})T_{q^{\prime}}^{(k)} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^k(\mathscr{D}_{qq^{\prime}}^{(k)\ast}(R))^{\ast}T_{q^{\prime}}^{(k)}&...&\text{式(3.199)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^k\mathscr{D}_{qq^{\prime}}^{(k)}(R)T_{q^{\prime}}^{(k)}& \\ \\ \therefore \mathscr{D}(R)T_q^{(k)}\mathscr{D}(R)^{\dagger}&=&\displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^k\mathscr{D}_{qq^{\prime}}^{(k)}(R)T_{q^{\prime}}^{(k)}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.466)を変形する。 \begin{eqnarray} \underbrace{\left(1+\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)T_q^{(k)}\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)}_{(1)} &=& \underbrace{\displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\braket{kq^{\prime}|\left(1+\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)|kq}}_{(2)} \\ \\ (1) &=& \left(1+\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)T_q^{(k)}-\left(1+\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}\right)T_q^{(k)}\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar} \\ \\ &=& 1\cdot T_q^{(k)}+\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}T_q^{(k)}-1\cdot T_q^{(k)}\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}-\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}T_q^{(k)}\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar} \\ \\ &=& T_q^{(k)}+\frac{i\varepsilon}{\hbar}[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},T_q^{(k)}]-\varepsilon^2\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}T_q^{(k)}\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar} \\ \\ &\simeq& T_q^{(k)}+\frac{i\varepsilon}{\hbar}[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},T_q^{(k)}]&...&\varepsilon^2\to 0\text{とした} \\ \\ (2) &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\left[\underbrace{\braket{kq^{\prime}|1|kq}}_{(3)}+\braket{kq^{\prime}|\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}|kq}\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\left[\underbrace{\delta_{kk}\delta_{q^{\prime}q}}_{(3)\text{式(1.131)より}}+\braket{kq^{\prime}|\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\varepsilon}{\hbar}|kq}\right] \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^k\left[T_{q^{\prime}}^{(k)}\delta_{q^{\prime}q}+T_{q^{\prime}}^{(k)}\frac{i\varepsilon}{\hbar}\braket{kq^{\prime}|\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}|kq}\right] \\ \\ &=& \underbrace{T_{\color{red}q}^{(k)}}_{(3)}+\displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\frac{i\varepsilon}{\hbar}\braket{kq^{\prime}|\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}|kq}&...&\text{(3)クロネッカーのデルタより}q^{\prime}=q\text{の項のみ残る}\\ \\ \therefore (1)&=&(2) \\ \\ \Leftrightarrow T_q^{(k)}+\frac{i\varepsilon}{\hbar}[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},T_q^{(k)}] &=& T_{q}^{(k)}+\displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\frac{i\varepsilon}{\hbar}\braket{kq^{\prime}|\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}|kq}\\ \\ \Leftrightarrow [\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},T_q^{(k)}] &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\braket{kq^{\prime}|\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}|kq}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} [J_z,T_q^{(k)}] &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\braket{kq^{\prime}|J_z|kq}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}q\hbar\delta_{kk}\delta_{q^{\prime}q}&...&\text{式(3.187b)およびp.291上部より}m\to q\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}q\hbar\delta_{q^{\prime}q}&\\ \\ &=& T_{q}^{(k)}q\hbar&...&\text{クロネッカーのデルタより}q^{\prime}=q\text{が残る}\\ \\ \\ [J_{\pm},T_q^{(k)}] &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\braket{kq^{\prime}|J_{\pm}|kq}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\hbar\delta_{kk}\delta_{q^{\prime},q\pm 1}&...&\text{式(3.193)およびp.291上部より}m\to q\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{q^{\prime}=-k}^kT_{q^{\prime}}^{(k)}\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\hbar\delta_{q^{\prime},q\pm 1}&\\ \\ &=& T_{q\pm 1}^{(k)}\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\hbar&...&\text{クロネッカーのデルタより}q^{\prime}=q\pm 1\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

Clebsch-Gordan係数はこちらを参考にした。 式(3.470)を用いる。右辺はすべて階数が\(1\)の球面テンソルで表現されているため、式(3.470)における\(k_1,k_2\)はすべて\(1\)になる。また、\(q=q_1+q_2\)を満たし、\(q_1,q_2=-1,0,1\)を満たす組み合わせを探すと
\(q=2\)のとき \begin{eqnarray} T_{+2}^{(2)} &=& \braket{1,1;1,1|1,1;2,2}U_{+1}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ &=& U_{+1}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ T_1^{(2)} &=& \braket{1,1;1,0|1,1;2,1}U_{+1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\braket{1,1;0,1|1,1;2,1}U_{0}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}U_{+1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{0}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ T_0^{(2)} &=& \braket{1,1;-1,1|1,1;2,0}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\braket{1,1;1,-1|1,1;2,0}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)}+\braket{1,1;0,0|1,1;2,0}U_{0}^{(1)}V_{0}^{(1)} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{6}}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{6}}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}U_{0}^{(1)}V_{0}^{(1)} \\ \\ T_{-1}^{(2)} &=& \braket{1,1;-1,0|1,1;2,1}U_{-1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\braket{1,1;0,-1|1,1;2,-1}U_{0}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}U_{-1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{0}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ T_{-2}^{(2)} &=& \braket{1,1;-1,-1|1,1;2,-2}U_{-2}^{(1)}V_{-2}^{(1)} \\ \\ &=& U_{-2}^{(1)}V_{-2}^{(1)} \\ \\ \\ \therefore T_{\pm 2}^{(2)}&=&U_{\pm1}V_{\pm1} \\ \\ T_{\pm 1}^{(2)}&=&\frac{U_{\pm 1}V_{0}+U_{0}V_{\pm 1}}{\sqrt{2}} \\ \\ T_0^{(2)}&=&\frac{U_{-1}V_{+1}+U_{+1}V_{-1}+2U_0V_0}{\sqrt{6}} \end{eqnarray} \(q=1\)のとき(要：検証) \begin{eqnarray} T_{+1}^{(1)} &=& \braket{1,1;1,0|1,1;1,1}U_{+1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\braket{1,1;0,1|1,1;1,1}U_{0}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}U_{+1}^{(1)}V_{0}^{(1)}-\frac{1}{\sqrt{2}}U_{0}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ T_0^{(1)} &=& \braket{1,1;-1,1|1,1;1,0}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\braket{1,1;1,-1|1,1;1,0}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)}+\braket{1,1;0,0|1,1;1,0}U_{0}^{(1)}V_{0}^{(1)} \\ \\ &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)}+0U_{0}^{(1)}V_{0}^{(1)} \\ \\ &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ T_{-1}^{(1)} &=& \braket{1,1;-1,0|1,1;1,-1}U_{-1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\braket{1,1;0,-1|1,1;1,-1}U_{0}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}U_{-1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{0}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ \\ \end{eqnarray} が得られるが、このとき、p.293中段のように \begin{eqnarray} T_0^{(1)}&=&T_z \\ \\ T_{\pm 1}^{(1)}&=&\mp \frac{T_x^{(1)}\pm iT_y^{(1)}}{\sqrt{2}} \\ \\ \end{eqnarray} とし、同様にして\(U_0,U_{\pm1},V_0,V_{\pm1}\)を書き換えると \begin{eqnarray} &&T_{+1}^{(1)} &=& \frac{1}{\sqrt{2}}U_{+1}^{(1)}V_{0}^{(1)}-\frac{1}{\sqrt{2}}U_{0}^{(1)}V_{+1}^{(1)} \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{T_x^{(1)}+iT_y^{(1)}}{\sqrt{2}} &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-\frac{U_x^{(1)}+iU_y^{(1)}}{\sqrt{2}})V_{z}^{(1)}-\frac{1}{\sqrt{2}}U_{z}^{(1)}(-\frac{V_x^{(1)}+iV_y^{(1)}}{\sqrt{2}}) \\ \\ &\Leftrightarrow& T_x^{(1)}+iT_y^{(1)} &=& \frac{U_x^{(1)}V_{z}^{(1)}-U_z^{(1)}V_{x}^{(1)}+i(U_y^{(1)}V_{z}^{(1)}-U_z^{(1)}V_{y}^{(1)})}{\sqrt{2}}&...&(1) \\ \\ \\ && T_0^{(1)} &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ &\Leftrightarrow& T_z^{(1)} &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{U_x^{(1)}-iU_y^{(1)}}{\sqrt{2}})(-\frac{V_x^{(1)}+iV_y^{(1)}}{\sqrt{2}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(-\frac{U_x^{(1)}+iU_y^{(1)}}{\sqrt{2}})(\frac{V_x^{(1)}-iV_y^{(1)}}{\sqrt{2}}) \\ \\ &&&=& \frac{i(-U_y^{(1)}V_x^{(1)}+U_x^{(1)}V_y^{(1)}+U_x^{(1)}V_y^{(1)}-U_y^{(1)}V_x^{(1)})}{2\sqrt{2}} \\ \\ &&&=& \frac{i(U_x^{(1)}V_y^{(1)}-U_y^{(1)}V_x^{(1)})}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ &&T_{-1}^{(1)} &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}U_{-1}^{(1)}V_{0}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{0}^{(1)}V_{-1}^{(1)} \\ \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{T_{x}^{(1)}-iT_{y}^{(1)}}{\sqrt{2}} &=& -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{U_{x}^{(1)}-iU_y^{(1)}}{\sqrt{2}})V_{z}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{2}}U_{z}^{(1)}(\frac{V_{x}^{(1)}-iV_y^{(1)}}{\sqrt{2}}) \\ \\ &\Leftrightarrow& T_{x}^{(1)}-iT_{y}^{(1)} &=& \frac{-U_{x}^{(1)}V_{z}^{(1)}+U_{z}^{(1)}V_{x}^{(1)}+i(U_y^{(1)}V_{z}^{(1)}-U_z^{(1)}V_{y}^{(1)})}{\sqrt{2}} &...&(2)\\ \\ &&T_x^{(1)}&=&\frac{(1)+(2)}{2} \\ \\ &&&=& \frac{i(U_y^{(1)}V_{z}^{(1)}-U_z^{(1)}V_{y}^{(1)})}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ &&T_y^{(1)}&=&\frac{(1)-(2)}{2i} \\ \\ &&&=& \frac{U_{x}^{(1)}V_{z}^{(1)}-U_{z}^{(1)}V_{x}^{(1)}}{i\sqrt{2}} \\ \\ \\ &\therefore& T_q^{(1)}&=&\frac{i(\boldsymbol{U}\times\boldsymbol{V})_q}{\sqrt{2}} \end{eqnarray} と導出できるが、正負が逆なのでどこか間違えているかもしれない。
\(q=0\)のとき(要：検証) \begin{eqnarray} T_0^{(0)} &=& \braket{1,1;-1,1|1,1;0,0}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\braket{1,1;1,-1|1,1;0,0}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)}+\braket{1,1;0,0|1,1;0,0}U_{0}^{(1)}V_{0}^{(1)} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{3}}U_{-1}^{(1)}V_{+1}^{(1)}+\frac{1}{\sqrt{3}}U_{+1}^{(1)}V_{-1}^{(1)}-\frac{1}{\sqrt{3}}U_{0}^{(1)}V_{0}^{(1)} \\ \\ \end{eqnarray} と得られるが係数が\(\sqrt{3}\)倍ずれている。

式(3.476)の左辺を変形すると \begin{eqnarray} \braket{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}|[J_{\pm},T_q^{(k)}]|\alpha,jm} &=& \braket{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}|(J_{\pm}T_q^{(k)}-T_q^{(k)}J_{\pm})|\alpha,jm} \\ \\ &=& (\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}}J_{\color{red}\mp}^{\dagger})T_q^{(k)}\ket{\alpha,jm}-\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}}T_q^{(k)}(J_{\pm}\ket{\alpha,jm})&...&\text{(1)} \\ \\ &=& \bra{\alpha^{\prime},j^{\prime},m^{\prime}\mp 1}\hbar\sqrt{(j^{\prime}\pm m^{\prime})(j^{\prime}\mp m^{\prime}+1)}T_q^{(k)}\ket{\alpha,jm}-\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}}T_q^{(k)}\hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\ket{\alpha,j,m\pm 1}&...&\text{式(3.191)(3.192)より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られるため、式(3.476)の右辺と比較すると \begin{eqnarray} &&\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime},m^{\prime}\mp 1}\hbar\sqrt{(j^{\prime}\pm m^{\prime})(j^{\prime}\mp m^{\prime}+1)}T_q^{(k)}\ket{\alpha,jm}-\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}}T_q^{(k)}\hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\ket{\alpha,j,m\pm 1} &=& \hbar\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\braket{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}|T_{q\pm 1}^{(k)}|\alpha,jm}& \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\braket{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}|T_{q\pm 1}^{(k)}|\alpha,jm}+\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime}m^{\prime}}T_q^{(k)}\ket{\alpha,j,m\pm 1} &=& \sqrt{(j^{\prime}\pm m^{\prime})(j^{\prime}\mp m^{\prime}+1)}\bra{\alpha^{\prime},j^{\prime},m^{\prime}\mp 1}T_q^{(k)}\ket{\alpha,jm}& \\ \\ \end{eqnarray} が導出できる。

1. (1)ブラに作用させる際の演算子の変換
▼ 詳細を開く…2025/ 1/ 2作成
式(3.157)およびp.190下より\(J_k\)がエルミート的であることから、 \begin{eqnarray} J_{\pm}^{\dagger} &=& (J_x\pm iJ_y)^{\dagger} \\ \\ &=& J_x\mp iJ_y \\ \\ &=& J_{\mp} \end{eqnarray} となる。また、式(1.39)の関係よりブラに作用する際にはエルミート共役を作用させることで同様の計算が行えることを用いて \begin{eqnarray} \bra{\alpha,jm}J_{\pm}=\bra{\alpha,jm}J_{\mp}^{\dagger} \end{eqnarray} とした。