現代の量子力学の行間埋め　第３章

式(3.327)の二行目より \begin{eqnarray} S_x&=&S_{1x}+S_{2x} \\ \\ S_y&=&S_{1y}+S_{2y} \\ \\ \end{eqnarray} となるため、 \begin{eqnarray} [S_x,S_y] &=& [S_{1x}+S_{2x},S_{1y}+S_{2y}] \\ \\ &=& [S_{1x},S_{1y}+S_{2y}]+[S_{2x},S_{1y}+S_{2y}] \\ \\ &=& [S_{1x},S_{1y}]+[S_{1x},S_{2y}]+[S_{2x},S_{1y}]+[S_{2x},S_{2y}] \\ \\ &=& i\hbar S_{1z}+0+0+i\hbar S_{2z}&...&\text{式(3.329)(3.330)より} \\ \\ &=& i\hbar (S_{1z}+ S_{2z}) \\ \\ &=& i\hbar S_z \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(1.91)より、スピンは半整数\(\frac12,-\frac12\)を用いて、\(\ket{\pm}=\ket{\pm\frac12}\)と書くことができる。これと式(3.192)を用いて導出する。 \begin{eqnarray} &&S_-\ket{s=1,m=1}&=&(S_{1-}+S_{2-})\ket{++} \\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\sqrt{(1+1)(1-1+1)}\ket{s=1,m=0}}_{\text{式(3.192)}}&=&S_{1-}\ket{++}+S_{2-}\ket{++} \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{2}\ket{s=1,m=0}&=&\underbrace{\sqrt{(\frac12+\frac12)(\frac12-\frac12+1)}\ket{-+}}_{(1)}+\underbrace{\sqrt{(\frac12+\frac12)(\frac12-\frac12+1)}\ket{+-}}_{(1)}&...&\text{(1)式(3.192)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{2}\ket{s=1,m=0}&=&\ket{-+}+\ket{+-}&\\ \\ &\Leftrightarrow& \ket{s=1,m=0}&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{-+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+-}&...&\text{式(3.335b)}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。同様にして \begin{eqnarray} &&S_-\ket{s=1,m=0}&=&(S_{1-}+S_{2-})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{-+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+-}\right)& \\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\sqrt{(1+0)(1-0+1)}\ket{s=1,m=-1}}_{\text{式(3.192)}}&=&S_{1-}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{-+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+-}\right)+S_{2-}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{-+}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+-}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{2}\ket{s=1,m=0}&=&\frac{1}{\sqrt{2}}S_{1-}\ket{-+}+\frac{1}{\sqrt{2}}S_{1-}\ket{+-}+\frac{1}{\sqrt{2}}S_{2-}\ket{-+}+\frac{1}{\sqrt{2}}S_{2-}\ket{+-} \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{2}\ket{s=1,m=0}&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\frac12+\frac12)(\frac12-\frac12+1)}\ket{--}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\frac12+\frac12)(\frac12-\frac12+1)}\ket{--}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0&...&\text{式(3.175)より}S_-\ket{-}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{2}\ket{s=1,m=0}&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{--}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{--}\\ \\ &\Leftrightarrow& \ket{s=1,m=0}&=&\ket{--}&...&\text{式(3.335c)} \end{eqnarray} と導出できる。最後に\(\ket{s=0,m=0}=a\ket{++}+b\ket{+-}+c\ket{-+}+d\ket{--}\)とすると、 \begin{eqnarray} &&\braket{s=1,m=1|s=0,m=0}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& a\bra{++|++}+b\bra{++|+-}+c\bra{++|-+}+d\bra{++|--}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& a\bra{++|++}&=&0&...&\text{ブラケットの直交性より} \\ \\ &\Leftrightarrow& a\cdot 1&=&0&...&\text{正規性より} \\ \\ \\ &&\braket{s=1,m=-1|s=0,m=0}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& b\bra{--|+-}+c\bra{--|-+}+d\bra{-|--}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& d\bra{--|--}&=&0&...&\text{ブラケットの直交性より} \\ \\ &\Leftrightarrow& d\cdot 1&=&0&...&\text{正規性より} \\ \\ \\ &&\braket{s=1,m=0|s=0,m=0}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{+-}+\frac{1}{\sqrt{2}}\bra{-+}\right)\left(b\ket{+-}+c\ket{-+}\right)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{b}{\sqrt{2}}\braket{+-|+-}+\frac{c}{\sqrt{2}}\braket{-+|-+}&...&\text{直交性より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{b}{\sqrt{2}}\cdot 1+\frac{c}{\sqrt{2}}\cdot 1&...&\text{正規性より} \\ \\ &\Leftrightarrow& b=-c \\ \\ \\ &&\braket{s=0,m=0|s=0,m=0}&=&1&...&\text{正規性より} \\ \\ &\Leftrightarrow& (b\bra{+-}-b\bra{-+})(b\ket{+-}-b\ket{-+})&=&1& \\ \\ &\Leftrightarrow& b^2\braket{+-|+-}+(-b)^2\braket{-+|-+}&=&1& \\ \\ &\Leftrightarrow& 2b^2&=&1& \\ \\ &\Leftrightarrow& b&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(b\gt 0\)をとることで \begin{eqnarray} \ket{s=0,m=0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{+-}-\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{-+}&...&\text{式(3.335d)} \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{S}^2 &=& (\boldsymbol{S}_1+\boldsymbol{S}_2)^2&...&\text{式(3.327)} \\ \\ &=& \boldsymbol{S}_1^2+\boldsymbol{S}_2^2+\boldsymbol{S}_1\boldsymbol{S}_2+\boldsymbol{S}_2\boldsymbol{S}_1 \\ \\ &=& \boldsymbol{S}_1^2+\boldsymbol{S}_2^2+\boldsymbol{S}_1\boldsymbol{S}_2+\underbrace{\boldsymbol{S}_1\boldsymbol{S}_2}_{\text{式(3.329)より交換可能}} \\ \\ &=& \boldsymbol{S}_1^2+\boldsymbol{S}_2^2+2\boldsymbol{S}_1\boldsymbol{S}_2 \\ \\ &=& \boldsymbol{S}_1^2+\boldsymbol{S}_2^2+2\left(\underbrace{S_{1x}S_{2x}+S_{1y}S_{2y}}_{(1)}+S_{1z}S_{2z}\right) \\ \\ (1) &=& S_{1x}S_{2x}+S_{1y}S_{2y} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(2S_{1x}S_{2x}+2S_{1y}S_{2y}\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(2S_{1x}S_{2x}+2S_{1y}S_{2y}+iS_{1y}S_{2x}-iS_{1y}S_{2x}+iS_{1x}S_{2y}-iS_{1x}S_{2y}\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left([S_{1x}S_{2x}+S_{1y}S_{2y}-iS_{1x}S_{2y}+iS_{1y}S_{2x}]+[S_{1x}S_{2x}+S_{1y}S_{2y}-iS_{1y}S_{2x}+iS_{1x}S_{2y}]\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left([S_{1x}(\underbrace{S_{2x}-iS_{2y}}_{(2)})+S_{1y}i(\underbrace{S_{2x}-iS_{2y}}_{(2)})]+[S_{2x}(\underbrace{S_{1x}-iS_{1y}}_{(2)})+iS_{2y}(\underbrace{S_{1x}-iS_{1y}}_{(2)})]\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left([S_{1x}\underbrace{S_{2-}}_{(2)}+S_{1y}i\underbrace{S_{2-}}_{(2)}]+[S_{2x}\underbrace{S_{1-}}_{(2)}+iS_{2y}\underbrace{S_{1-}}_{(2)}]\right)&...&\text{(2)は式(3.157)を利用。} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(S_{2-}[S_{1x}+iS_{1y}]+S_{1-}[S_{2x}+iS_{2y}]\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(S_{2-}S_{1+}+S_{1-}S_{2+}\right)&...&\text{式(3.157)を利用。} \\ \\ \therefore \boldsymbol{S}^2 &=& \boldsymbol{S}_1^2+\boldsymbol{S}_2^2+2\left(\underbrace{\frac{1}{2}\left(S_{2-}S_{1+}+S_{1-}S_{2+}\right)}_{(1)}+S_{1z}S_{2z}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{S}_1^2+\boldsymbol{S}_2^2+S_{2-}S_{1+}+S_{1-}S_{2+}+2S_{1z}S_{2z} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\delta\phi\)の指数が\(2\)以上の項は十分小さいとして無視すると \begin{eqnarray} &&\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}_1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}\right)\otimes\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}_2\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}\right) \\ \\ &=& 1-\frac{i\boldsymbol{J}_1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}\otimes 1-1\oint\frac{i\boldsymbol{J}_2\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}+\frac{i\boldsymbol{J}_1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}\otimes\frac{i\boldsymbol{J}_2\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar} \\ \\ &=& 1-\frac{i\boldsymbol{J}_1\otimes 1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}-\frac{i1\oint\boldsymbol{J}_2\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}+\frac{i\boldsymbol{J}_1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\otimes\frac{i\boldsymbol{J}_2\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\delta\phi^2 \\ \\ &\sim& 1-\frac{i\boldsymbol{J}_1\otimes 1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar}-\frac{i1\oint\boldsymbol{J}_2\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar} \\ \\ &=& 1-\frac{i(\boldsymbol{J}_1\otimes 1+1\oint\boldsymbol{J}_2)\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\delta\phi}{\hbar} \end{eqnarray} が得られる。

式(3.16)と同様に導出できる。\(\mathscr{D}_1(R)\)だけ導出すると \begin{eqnarray} \mathscr{D}_1(R) &=& \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{i\boldsymbol{J}_1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\frac{\phi}{n}\right)^n \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}_1\cdot\hat{\boldsymbol{n}}}{\hbar}\right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} [J_i,J_j] &=& [J_{1i}+J_{2i},J_{1j}+J_{2j}] \\ \\ &=& [J_{1i},J_{1j}]+[J_{1i},J_{2j}]+[J_{2i},J_{1j}]+[J_{2i},J_{2j}] \\ \\ &=& \underbrace{i\hbar\varepsilon_{ijk}J_{1k}}_{\text{式(3.340a)}}+\underbrace{0+0}_{\text{式(3.341)}}+\underbrace{i\hbar\varepsilon_{ijk}J_{2k}}_{\text{式(3.340b)}} \\ \\ &=& i\hbar\varepsilon_{ijk}J_{1k}+i\hbar\varepsilon_{ijk}J_{2k} \\ \\ &=& i\hbar\varepsilon_{ijk}J_{k} \end{eqnarray} が得られる。

はじめに式(3.349)を導出する。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{J}^2 &=& (\boldsymbol{J}_1+\boldsymbol{J}_2)^2&...&\text{式(3.344)} \\ \\ &=& \boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+\boldsymbol{J}_1\boldsymbol{J}_2+\boldsymbol{J}_2\boldsymbol{J}_1 \\ \\ &=& \boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+\boldsymbol{J}_1\boldsymbol{J}_2+\underbrace{\boldsymbol{J}_1\boldsymbol{J}_2}_{\text{式(3.341)より交換可能}} \\ \\ &=& \boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+2\boldsymbol{J}_1\boldsymbol{J}_2 \\ \\ &=& \boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+2\left(\underbrace{J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y}}_{(1)}+J_{1z}J_{2z}\right) \\ \\ (1) &=& J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(2J_{1x}J_{2x}+2J_{1y}J_{2y}\right)\\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(2J_{1x}J_{2x}+2J_{1y}J_{2y}+iJ_{1y}J_{2x}-iJ_{1y}J_{2x}+iJ_{1x}J_{2y}-iJ_{1x}J_{2y}\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left([J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y}-iJ_{1x}J_{2y}+iJ_{1y}J_{2x}]+[J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y}-iJ_{1y}J_{2x}+iJ_{1x}J_{2y}]\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left([J_{1x}(\underbrace{J_{2x}-iJ_{2y}}_{(2)})+J_{1y}i(\underbrace{J_{2x}-iJ_{2y}}_{(2)})]+[J_{2x}(\underbrace{J_{1x}-iJ_{1y}}_{(2)})+iJ_{2y}(\underbrace{J_{1x}-iJ_{1y}}_{(2)})]\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left([J_{1x}\underbrace{J_{2-}}_{(2)}+J_{1y}i\underbrace{J_{2-}}_{(2)}]+[J_{2x}\underbrace{J_{1-}}_{(2)}+iJ_{2y}\underbrace{J_{1-}}_{(2)}]\right)&...&\text{(2)は式(3.157)を利用。} \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(J_{2-}[J_{1x}+iJ_{1y}]+J_{1-}[J_{2x}+iJ_{2y}]\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\left(J_{2-}J_{1+}+J_{1-}J_{2+}\right)&...&\text{式(3.157)を利用。} \\ \\ \therefore \boldsymbol{J}^2 &=& \boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+2\left(\underbrace{\frac{1}{2}\left(J_{2-}J_{1+}+J_{1-}J_{2+}\right)}_{(1)}+J_{1z}J_{2z}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+J_{2-}J_{1+}+J_{1-}J_{2+}+2J_{1z}J_{2z} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
これを用いて、 \begin{eqnarray} [\boldsymbol{J}^2,\boldsymbol{J}_1^2] &=& [\boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+2J_{1z}J_{2z}+J_{1+}J_{2-}+J_{1-}J_{2+},\boldsymbol{J}_1^2] \\ \\ &=& [\boldsymbol{J}_1^2,\boldsymbol{J}_1^2]+\underbrace{[\boldsymbol{J}_2^2,\boldsymbol{J}_1^2]}_{\text{式(3.341)より交換する}}+[2J_{1z}J_{2z},\boldsymbol{J}_1^2]+[J_{1+}J_{2-},\boldsymbol{J}_1^2]+[J_{1-}J_{2+},\boldsymbol{J}_1^2] \\ \\ &=& 0+0+[2J_{1z}J_{2z},J_{1x}^2+J_{1y}^2+J_{1z}^2]+\underbrace{J_{2-}[J_{1+},\boldsymbol{J}_1^2]+J_{2+}[J_{1-},\boldsymbol{J}_1^2]}_{\text{交換可能なため定数として扱う}} \\ \\ &=& [2J_{1z}J_{2z},J_{1x}^2]+[2J_{1z}J_{2z},J_{1y}^2]+[2J_{1z}J_{2z},J_{1z}^2]+\underbrace{J_{2-}\cdot 0+J_{2+}\cdot 0}_{\text{式(3.159)より}} \\ \\ &=& 2J_{2z}[J_{1z},J_{1x}^2]+2J_{2z}[J_{1z},J_{1y}^2]+0 \\ \\ &=& 2J_{2z}\left([J_{1z},J_{1x}]J_{1x}+J_{1x}[J_{1z},J_{1x}]\right)+2J_{2z}\left([J_{1z},J_{1y}]J_{1y}+J_{1y}[J_{1z},J_{1y}]\right)&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& 2J_{2z}\left(i\hbar J_{1y}J_{1x}+J_{1x}i\hbar J_{1y}\right)+2J_{2z}\left(-i\hbar J_{1x}J_{1y}-J_{1y}i\hbar J_{1x}\right)&...&\text{式(3.340)より} \\ \\ &=& 2i\hbar J_{2z}\left( J_{1y}J_{1x}+J_{1x} J_{1y}-J_{1x}J_{1y}-J_{1y}J_{1x}\right)&\\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} と導出できる。

片方のみ示す。 \begin{eqnarray} [\boldsymbol{J}^2,J_{1z}] &=& [\boldsymbol{J}_1^2+\boldsymbol{J}_2^2+2J_{1z}J_{2z}+J_{1+}J_{2-}+J_{1-}J_{2+},J_{1z}] \\ \\ &=& \underbrace{[\boldsymbol{J}_1^2,J_{1z}]}_{\text{(1)}}+\underbrace{[\boldsymbol{J}_2^2,J_{1z}]}_{\text{式(3.341)より交換する}}+[2J_{1z}J_{2z},J_{1z}]+[J_{1+}J_{2-},J_{1z}]+[J_{1-}J_{2+},J_{1z}] \\ \\ &=& \underbrace{0}_{\text{(1)式(3.154)より}}+0+2J_{2z}[J_{1z},J_{1z}]+\underbrace{J_{2-}[J_{1+},J_{1z}]+J_{2+}[J_{1-},J_{1z}]}_{\text{交換可能なため定数として扱う}} \\ \\ &=& 0-J_{2-}[J_{1z},J_{1+}]-J_{2+}[J_{1z},J_{1-}]\\ \\ &=& -J_{2-}\hbar J_{1+}-J_{2+}(-\hbar J_{1-})&...&\text{式(3.158b)より}\\ \\ &=& -J_{2-}\hbar J_{1+}+\hbar J_{2+}J_{1-} &\neq& 0 \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.332)より \begin{eqnarray} &&J_z&=&J_{1z}+J_{2z} \\ \\ &\Leftrightarrow& J_z-J_{1z}-J_{2z}&=&0 \end{eqnarray} これをケット\(\ket{j_1j_2;jm}\)に作用させると \begin{eqnarray} (J_z-J_{1z}-J_{2z})\ket{j_1j_2;jm} \end{eqnarray} が得られる。

p.190下より、\(J_z\)はエルミート的であることを用いる。 \begin{eqnarray} \bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_z-J_{1z}-J_{2z})\ket{j_1j_2;jm} &=& \bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_z)\ket{j_1j_2;jm}-\bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_{1z}+J_{2z})\ket{j_1j_2;jm} \\ \\ &=& \bra{j_1j_2;m_1m_2}[\underbrace{m\hbar\ket{j_1j_2;jm}}_{\text{式(3.350d)}}]-[\bra{j_1j_2;m_1m_2}(\underbrace{J_{1z}^{\dagger}+J_{2z}^{\dagger}}_{エルミート的であるため})]\ket{j_1j_2;jm} \\ \\ &=& m\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}-[\bra{j_1j_2;m_1m_2}(\underbrace{m_1\hbar+m_2\hbar}_{\text{式(3.347b)(3.347d)}})]\ket{j_1j_2;jm} \\ \\ &=& m\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}-(m_1\hbar+m_2\hbar)\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm} \\ \\ &=& \hbar\left[(m-m_1-m_2)\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\right] \\ \\ &=& 0&...&\text{式(3.356)より} \\ \\ \Leftrightarrow (m-m_1-m_2)\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm} &=& 0 \end{eqnarray} が得られる。

直交条件より \begin{eqnarray} \braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2}=\delta_{m_1m_1^{\prime}}\delta_{m_2m_2^{\prime}} \end{eqnarray} となる。ここに式(1.132)の完備性を用いると \begin{eqnarray} \braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2} &=& \displaystyle\sum_{j}\sum_m\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2}&...&\text{完備性より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j}\sum_m\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}^{\color{red}\ast}&...&\text{式(1.26)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{j}\sum_m\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}&...&\text{p.262下：実数であるため} \\ \\ \therefore \displaystyle\sum_{j}\sum_m\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} &=& \delta_{m_1m_1^{\prime}}\delta_{m_2m_2^{\prime}} \end{eqnarray} が得られる。

直交条件より \begin{eqnarray} \braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}=\delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}} \end{eqnarray} となる。ここに式(1.132)の完備性を用いると \begin{eqnarray} \braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}} &=& \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;m_1m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}&...&\text{完備性より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}^{\color{red}\ast}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}&...&\text{式(1.26)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}&...&\text{p.262下：実数であるため} \\ \\ \therefore \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}} &=& \braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}=\delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}} \end{eqnarray} が得られる。

直交条件より \begin{eqnarray} \braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}=\delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}} \end{eqnarray} となる。ここに式(1.132)の完備性を用いると \begin{eqnarray} \braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}} &=& \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;m_1m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}&...&\text{完備性より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}^{\color{red}\ast}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}}&...&\text{式(1.26)より} \\ \\ \therefore \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}^{\ast}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}} &=& \delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}} \end{eqnarray} が得られる。ここで\(j^{\prime}=j,m^{\prime}=m=m_1+m_2\)とすると \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}^{\ast}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j^{\prime}m^{\prime}} &=& \delta_{jj^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}} \\ \\ \Rightarrow \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{\color{red}m_2=m-m_1}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}^{\ast}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm} &=& 1 \\ \\ \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2=m-m_1}|\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}|^2 &=& 1 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

ここに式(1.132)の完備性と式(3.336)を用いると \begin{eqnarray} J_{\pm}\ket{j_1j_2;jm} &=& (J_{1\pm}+J_{2\pm})\ket{j_1j_2;jm} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m_1}\sum_{m_2}(J_{1\pm}+J_{2\pm})\ket{j_1j_2;m_1m_2}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.191)(3.192)を用いると \begin{eqnarray} J_{\pm}\ket{j_1j_2;jm} &=& \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\hbar\ket{j_1j_2;jm\pm 1}&...&\text{式(3.191)(3.192)より} \\ \\ \\ \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}(J_{1\pm}+J_{2\pm})\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}(J_{1\pm}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2}+J_{2\pm}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2})\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}(\sqrt{(j\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\hbar\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1\pm 1,m^{\prime}_2}+\sqrt{(j\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\hbar\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1,m^{\prime}_2\pm 2})\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}&...&\text{式(3.191)(3.192)より} \\ \\ \\ \therefore \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}{\color{red}\hbar}\ket{j_1j_2;jm\pm 1} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}\left(\sqrt{(j\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}{\color{red}\hbar}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1\pm 1,m^{\prime}_2}+\sqrt{(j\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}{\color{red}\hbar}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1,m^{\prime}_2\pm 2}\right)\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} \\ \\ \Leftrightarrow \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\ket{j_1j_2;jm\pm 1} &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}\left(\sqrt{(j\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1\pm 1,m^{\prime}_2}+\sqrt{(j\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1,m^{\prime}_2\pm 2}\right)\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.366)にブラ\(\bra{j_1j_2;m_1m_2}\)を作用させる。 \begin{eqnarray} \text{左辺}&=& \bra{j_1j_2;m_1m_2}\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\ket{j_1j_2;jm\pm 1} \\ \\ &=& \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm\pm 1} \\ \\ \text{右辺} &=& \bra{j_1j_2;m_1m_2}\displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}\left(\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1\pm 1,m^{\prime}_2}+\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\ket{j_1j_2;m^{\prime}_1,m^{\prime}_2\pm 2}\right)\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}\left(\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;m^{\prime}_1\pm 1,m^{\prime}_2}+\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;m^{\prime}_1,m^{\prime}_2\pm 2}\right)\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}\left(\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\delta_{m_1,m^{\prime}_1\pm 1}\delta_{m_2,m^{\prime}_2}+\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\delta_{m_1,m^{\prime}_1}\delta_{m_2,m^{\prime}_2\pm 2}\right)\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}&...&\text{式(1.60)} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\sum_{m^{\prime}_2}\left(\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\delta_{m_1,m^{\prime}_1\pm 1}\underbrace{\delta_{m_2,m^{\prime}_2}}_{(1)}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}+\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\underbrace{\delta_{m_1,m^{\prime}_1}}_{(2)}\delta_{m_2,m^{\prime}_2\pm 2}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}\right)& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}_1}\underbrace{\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_1)(j\pm m^{\prime}_1+1)}\delta_{m_1,m^{\prime}_1\pm 1}\braket{j_1j_2;m^{\prime}_1m_2|j_1j_2;jm}}_{(1)\Rightarrow m^{\prime}_2=m_2}+\sum_{m^{\prime}_2}\underbrace{\sqrt{(j_1\mp m^{\prime}_2)(j\pm m^{\prime}_2+1)}\delta_{m_2,m^{\prime}_2\pm 2}\braket{(2)\Rightarrow j_1j_2;m_1m^{\prime}_2|j_1j_2;jm}}_{m^{\prime}_1=m_1}&...&\text{クロネッカーのデルタの性質より} \\ \\ &=& \underbrace{\sqrt{(j_1\mp (m_1\mp 1))(j\pm (m_1\mp 1)+1)}\braket{j_1j_2;m_1\mp 1,m_2|j_1j_2;jm}}_{m^{\prime}_1\pm 1=m_1\Leftrightarrow m^{\prime}_1=m_1\mp 1...\text{式(3.367)}}+\underbrace{\sqrt{(j_2\mp (m_2\mp 1))(j\pm (m_2\mp 1)+1)}\braket{j_1j_2;m_1,(m_2\mp 1)|j_1j_2;jm}}_{m^{\prime}_2\pm 1=m_2\Leftrightarrow m^{\prime}_2=m_2\mp 1...\text{式(3.368)}}&...&\text{クロネッカーのデルタの性質より} \\ \\ &=& \sqrt{(j_1\mp m_1+ 1)(j_1\pm m_1- 1+1)}\braket{j_1j_2;m_1\mp 1,m_2|j_1j_2;jm}+\sqrt{(j_2\mp m_2+ 1)(j_2\pm m_2-1+1)}\braket{j_1j_2;m_1,(m_2\mp 1)|j_1j_2;jm}&...&\text{複号同順のため} \\ \\ &=& \sqrt{(j_1\mp m_1+ 1)(j_1\pm m_1)}\braket{j_1j_2;m_1\mp 1,m_2|j_1j_2;jm}+\sqrt{(j_2\mp m_2+ 1)(j_2\pm m_2)}\braket{j_1j_2;m_1,(m_2\mp 1)|j_1j_2;jm}& \\ \\ \\ &&\therefore \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm\pm 1} \\ \\ &=& \sqrt{(j_1\mp m_1+ 1)(j_1\pm m_1)}\braket{j_1j_2;m_1\mp 1,m_2|j_1j_2;jm}+\sqrt{(j_2\mp m_2+ 1)(j_2\pm m_2)}\braket{j_1j_2;m_1,(m_2\mp 1)|j_1j_2;jm}& \\ \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

p.190下より、\(J_z\)はエルミート的であることを用いる。 \begin{eqnarray} \bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_z-J_{1z}-J_{2z})L_{\pm}\ket{j_1j_2;j,m} &\propto& \bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_z-J_{1z}-J_{2z})\ket{j_1j_2;j,m\pm 1} \\ \\ &=& \bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_z)\ket{j_1j_2;j,m\pm 1}-\bra{j_1j_2;m_1m_2}(J_{1z}+J_{2z})\ket{j_1j_2;j,m\pm 1} \\ \\ &=& \bra{j_1j_2;m_1m_2}[\underbrace{(m\pm 1)\hbar\ket{j_1j_2;j,m\pm 1}}_{\text{式(3.350d)}}]-[\bra{j_1j_2;m_1m_2}(\underbrace{J_{1z}^{\dagger}+J_{2z}^{\dagger}}_{エルミート的であるため})]\ket{j_1j_2;j,m\pm 1} \\ \\ &=& (m\pm 1)\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,m\pm 1}-[\bra{j_1j_2;m_1m_2}(\underbrace{m_1\hbar+m_2\hbar}_{\text{式(3.347b)(3.347d)}})]\ket{j_1j_2;j,m\pm 1} \\ \\ &=& (m\pm 1)\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,m\pm 1}-(m_1\hbar+m_2\hbar)\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,m\pm 1} \\ \\ &=& \hbar\left[((m\pm 1)-m_1-m_2)\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,m\pm 1}\right] \\ \\ &=& 0&...&\text{式(3.356)より} \\ \\ \Leftrightarrow ((m\pm 1)-m_1-m_2)\hbar\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm} &=& 0 \\ \\ \Leftrightarrow m_1+m_2&=&m\pm 1 \end{eqnarray} が得られる。

式(3.358)を用いると \begin{eqnarray} &&|j_1-j_2|\leq j\leq j_1+j_2 \\ \\ &\Leftrightarrow&\begin{cases} l-\frac{1}{2}\leq &j& \leq l+\frac{1}{2} & ( l \gt 0 ) \\ |-\frac{1}{2}|\leq &j&\leq \frac{1}{2}&(l=0) \end{cases}&...&\text{式(3.372)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} &j&= l\pm\frac{1}{2} & ( l \gt 0 )\\ &j&= \frac{1}{2}&(l=0) \end{cases} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.369)において、\(J_{-}\)を採択したほう(正負の下の方)を用いる。 \begin{eqnarray} &&\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm\pm 1} \\ \\ &=& \sqrt{(j_1\mp m_1+ 1)(j_1\pm m_1)}\braket{j_1j_2;m_1\mp 1,m_2|j_1j_2;jm}+\sqrt{(j_2\mp m_2+ 1)(j_2\pm m_2)}\braket{j_1j_2;m_1,(m_2\mp 1)|j_1j_2;jm}& \\ \\ &\Rightarrow& \sqrt{(j+ m)(j- m+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,m- 1} \\ \\ &=& \sqrt{(j_1+ m_1+ 1)(j_1- m_1)}\braket{j_1j_2;m_1+ 1,m_2|j_1j_2;jm}+\sqrt{(j_2+ m_2+ 1)(j_2- m_2)}\braket{j_1j_2;m_1,\underbrace{(m_2+ 1)}_{(1)}|j_1j_2;jm}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、式(3.375)より\(m_2=\frac12\)であり、(1)の部分では\(m_2\to\frac32\)は取れないため\(0\)になる。従って、 \begin{eqnarray} \sqrt{(j+ m)(j- m+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,m- 1} &=& \sqrt{(j_1+ m_1+ 1)(j_1- m_1)}\braket{j_1j_2;m_1+ 1,m_2|j_1j_2;jm} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(m\to m+1\)とすると \begin{eqnarray} \sqrt{(j+(m+1))(j- (m+1)+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,\underbrace{(m+1)}_{(2)}- 1} &=& \sqrt{(j_1+ m_1+ 1)(j_1- m_1)}\braket{j_1j_2;m_1+ 1,m_2|j_1j_2;j,(m+1)} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この際、式(3.375)より \begin{eqnarray} m_1+m_2=m...\text{(3)} \end{eqnarray} が得られる。ここで、(2)と(3)比較すると、 \begin{eqnarray} m_1+m_2=(m+1)-1 \end{eqnarray} となり、式(3.370)を満たしていることから、値を持つことがわかる。式(3.375)、p.266下の\(j_1=l,j=l+\frac12\)を代入し、 \begin{eqnarray} && \sqrt{(j+(m+1))(j- (m+1)+1)}\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;j,(m+1)- 1} &=& \sqrt{(j_1+ m_1+ 1)(j_1- m_1)}\braket{j_1j_2;m_1+ 1,m_2|j_1j_2;j,(m+1)} \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{((l+\frac12)+(m+1))((l+\frac12)- m)}\braket{j_1j_2;m-\frac12,\frac12|j_1j_2;l+\frac12,m} &=& \sqrt{(l+ m-\frac12+ 1)(l- (m-\frac12))}\braket{j_1j_2;m-\frac12+ 1,m_2|j_1j_2;l+\frac12,m+1} \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{(l+\frac12+m+1)(l+\frac12- m)}\braket{j_1j_2;m-\frac12,\frac12|j_1j_2;l+\frac12,m} &=& \sqrt{(l+ m+\frac12)(l- m+\frac12)}\braket{j_1j_2;m-\frac12+ 1,m_2|j_1j_2;l+\frac12,m+1} \\ \\ \end{eqnarray} が導かれ、\(j_1j_2\)を省略することで式(3.374)が得られる。

\begin{eqnarray} \mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} &=& \pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)\chi_- \\ \\ &=& \pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi) \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \end{array} \right)+\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi) \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \end{array} \right)&...&\text{式(3.44)より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi) \\ \sqrt{l\mp m+\frac12}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi) \end{array} \right) \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.232)より \begin{eqnarray} \mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi) \\ \sqrt{l\mp m+\frac12}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi) \end{array} \right) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12} \\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} となることを用いる。
\(\boldsymbol{J}^2\)について \begin{eqnarray} \boldsymbol{J}^2\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\boldsymbol{J}^2\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12} \\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\boldsymbol{J}^2\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\hbar^2j(j+1)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\hbar^2j(j+1)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)&...&\text{式(3.186a)より} \\ \\ &=&\hbar^2j(j+1) \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)&\\ \\ &=&\hbar^2j(j+1)\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m}\\ \\ \end{eqnarray} となり、固有関数になっていることがわかる。
\(J_z\)について \begin{eqnarray} J_z\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} &=& (L_z+S_z)\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m}&...&\text{式(3.322)} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}L_z\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12} \\ \sqrt{l\mp m+\frac12}L_z\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)+S_z\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\hbar(m-\frac12)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\hbar(m+\frac12)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)}_{\text{式(3.186b)より}}+ S_z \left(\pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)\chi_-\right) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\hbar m\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\hbar m\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)+ \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\frac{-\hbar}{2}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\frac{\hbar}{2}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)+ \left(\pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)S_z\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)S_z\chi_-\right) \\ \\ &=&\hbar m \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)+\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \mp\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)+\underbrace{\left(\pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\frac{\hbar}{2}\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)(-\frac{\hbar}{2})\chi_-\right)}_{\text{式(1.91)より}} \\ \\ &=& \hbar m\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m}+\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \mp\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)+\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ -\sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right) \\ \\ &=& \hbar m\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m}\\ \\ \end{eqnarray} となり、固有関数になっていることがわかる。
\(\boldsymbol{L}^2\)について \begin{eqnarray} \boldsymbol{L}^2\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\boldsymbol{L}^2\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12} \\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\boldsymbol{L}^2\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\hbar^2l(l+1)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\hbar^2l(l+1)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)&...&\text{式(3.236)より} \\ \\ &=&\hbar^2l(l+1) \sqrt{\frac{1}{2l+1}} \left( \begin{array}{cccc} \pm\sqrt{l\pm m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-\frac12}\\ \sqrt{l\mp m+\frac12}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m+\frac12} \end{array} \right)&\\ \\ &=&\hbar^2l(l+1)\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m}\\ \\ \end{eqnarray} となり、固有関数になっていることがわかる。
\(\boldsymbol{S}^2\)について \begin{eqnarray} \boldsymbol{S}^2\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m} &=& \boldsymbol{S}^2\left(\pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)\chi_-\right) \\ \\ &=& \pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\boldsymbol{S}^2\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)\boldsymbol{S}^2\chi_- \\ \\ &=& \pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\frac{3\hbar^2}{4}\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)\frac{3\hbar^2}{4}\chi_-&...&\text{式(1.117)より} \\ \\ &=& \frac{3\hbar^2}{4}\left(\pm\sqrt{\frac{l\pm m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m-1/2}(\theta,\phi)\chi_++\sqrt{\frac{l\mp m+\frac12}{2l+1}}Y_l^{m+1/2}(\theta,\phi)\chi_-\right)\\ \\ &=& \frac{3\hbar^2}{4}\mathscr{y}_l^{j=l\pm1/2,m}\\ \\ \end{eqnarray} となり、固有関数になっていることがわかる。

式(3.322)より \begin{eqnarray} &&\boldsymbol{J}&=&\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S} \\ \\ &\Rightarrow& \boldsymbol{J}^2&=&(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S})^2 \\ \\ && &=&\boldsymbol{L}^2+\boldsymbol{S}^2+\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{S}+\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{L} \\ \\ &&&=& \boldsymbol{L}^2+\boldsymbol{S}^2+2\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{S}&...&\text{式(3.329)(3.339)(3.341)などから、交換可能なため} \\ \\ &\Leftrightarrow& \boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{S}&=&\frac12(\boldsymbol{J}^2-\boldsymbol{L}^2-\boldsymbol{S}^2) \end{eqnarray} と導出できる。

「式(3.384)が\(\boldsymbol{L}^2,\boldsymbol{S}^2,\boldsymbol{J}^2,J_z\)の同時固有関数になること」で確認した固有値を用いると \begin{eqnarray} \frac12(\boldsymbol{J}^2-\boldsymbol{L}^2-\boldsymbol{S}^2) &=& \frac12(\hbar^2 j(j+1)-\hbar^2l(l+1)-\frac{3\hbar^2}{4}) \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}2(j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}) \\ \\ &=& \begin{cases} \frac{\hbar^2}2((l+\frac12)(l+\frac12+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}) & ( j=l+\frac12 ) \\ \frac{\hbar^2}2((l-\frac12)(l-\frac12+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}) & ( j=l-\frac12 ) \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} \frac{l\hbar^2}2 & ( j=l+\frac12 ) \\ \frac{(-l-1)\hbar^2}2 & ( j=l-\frac12 ) \end{cases} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \bra{j_1j_2;m_1m_2}\mathscr{D}(R)\ket{j_1j_2;m_1^{\prime}m_2^{\prime}} &=& \bra{j_1;m_1}\otimes\bra{j_2;m_2}\mathscr{D}(R)\ket{j_1;m_1^{\prime}}\otimes\ket{j_2;m_2^{\prime}}&...&\text{式(3.321)より} \\ \\ &=& \bra{j_1;m_1}\otimes\bra{j_2;m_2}\mathscr{D}_{1}(R)\otimes\mathscr{D}_{2}(R)\ket{j_1;m_1^{\prime}}\otimes\ket{j_2;m_2^{\prime}}&...&\text{式(3.324)(3.345)より} \\ \\ &=& \bra{j_1;m_1}\otimes\bra{j_2;m_2}\left(\mathscr{D}_{1}(R)\ket{j_1;m_1^{\prime}}\otimes\mathscr{D}_{2}(R)\ket{j_2;m_2^{\prime}}\right)&...&\text{それぞれ対応するケットに作用} \\ \\ &=& \bra{j_1;m_1}\mathscr{D}_{1}(R)\ket{j_1;m_1^{\prime}}\bra{j_2;m_2}\mathscr{D}_{2}(R)\ket{j_2;m_2^{\prime}}&...&\text{それぞれ対応するケットに作用(1)} \\ \\ &=& \mathscr{D}_{m_1,m_1^{\prime}}^{(j_1)}(R)\mathscr{D}_{m_2,m_2^{\prime}}^{(j_2)}(R)&...&\text{式(3.194)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。(1)では\(\S 1.3.3\)の議論より２つの項はケットではなくなるため、\(\otimes\)を用いなかった。

式(3.389)においてp.270下のように文字を置き換えると \begin{eqnarray} &&\underbrace{\mathscr{D}_{m_10}^{(l_1)}(R)}_{(1)}\underbrace{\mathscr{D}_{m_20}^{(l_2)}(R)}_{(2)} &=& \displaystyle\sum_{l}\sum_{m}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;lm}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l0}\mathscr{D}_{m0}^{(l)}(R) \\ \\ && &=& \displaystyle\sum_{l^{\prime}}\sum_{m^{\prime}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;l^{\prime}m^{\prime}}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l^{\prime}0}\underbrace{\mathscr{D}_{m^{\prime}0}^{(l^{\prime})}(R)}_{(3)}&...&l\to l^{\prime},m\to m^{\prime}\text{とした} \\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\sqrt{\frac{4\pi}{2l_1+1}}Y_{l_1}^{m_1{\color{red}\ast}}(\theta,\phi)}_{(1)}\underbrace{\sqrt{\frac{4\pi}{2l_2+1}}Y_{l_2}^{m_2{\color{red}\ast}}(\theta,\phi)}_{(2)} &=& \displaystyle\sum_{l^{\prime}}\sum_{m^{\prime}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;l^{\prime}m^{\prime}}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l^{\prime}0}\underbrace{\sqrt{\frac{4\pi}{2l^{\prime}+1}}Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}{\color{red}\ast}}(\theta,\phi)}_{(3)}&...&\text{(1)(2)(3)は式(3.260)を利用} \\ \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{\frac{4\pi}{2l_1+1}}Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\phi)\sqrt{\frac{4\pi}{2l_2+1}}Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\phi) &=& \displaystyle\sum_{l^{\prime}}\sum_{m^{\prime}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;l^{\prime}m^{\prime}}^{\color{red}\ast}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l^{\prime}0}^{\color{red}\ast}\sqrt{\frac{4\pi}{2l^{\prime}+1}}Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}}(\theta,\phi)&...&\text{両辺の共役複素数を取った} \\ \\ &\Leftrightarrow& Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\phi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\phi) &=& \frac{\sqrt{(2l_1+1)(2l_2+1)}}{4\pi}\displaystyle\sum_{l^{\prime}}\sum_{m^{\prime}}\underbrace{\color{red}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;l^{\prime}m^{\prime}}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l^{\prime}0}}_{\text{(1)}}\sqrt{\frac{4\pi}{2l^{\prime}+1}}Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}}(\theta,\phi)&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。(1)では、p.262下部より実数であるため、\(\braket{j_1j_2;jm|j_1j_2;m_1m_2}=\braket{j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm}\)であることを用いた。

\begin{eqnarray} \int d\Omega\text{式(3.292)右辺}\cdot Y_l^{m\ast}(\theta,\phi) &=& \int d\Omega\frac{\sqrt{(2l_1+1)(2l_2+1)}}{4\pi}\displaystyle\sum_{l^{\prime}}\sum_{m^{\prime}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;l^{\prime}m^{\prime}}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l^{\prime}0}\sqrt{\frac{4\pi}{2l^{\prime}+1}}\underbrace{Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}}(\theta,\phi)Y_l^{m\ast}(\theta,\phi)}_{(1)} \\ \\ &=& \int d\Omega\frac{\sqrt{(2l_1+1)(2l_2+1)}}{4\pi}\displaystyle\sum_{l^{\prime}}\sum_{m^{\prime}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;l^{\prime}m^{\prime}}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l^{\prime}0}\sqrt{\frac{4\pi}{2l^{\prime}+1}}\underbrace{|Y_l^{m}(\theta,\phi)|^2\delta_{l,l^{\prime}}\delta_{m,m^{\prime}}}_{(1)\text{直交性より}} \\ \\ &=& \int d\Omega\frac{\sqrt{(2l_1+1)(2l_2+1)}}{4\pi}\underbrace{\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;lm}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l0}\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}}_{\text{(1)より}l^{\prime}=l,m^{\prime}=m\text{の項が残る}}|Y_l^{m}(\theta,\phi)|^2 \\ \\ &=& \frac{\sqrt{(2l_1+1)(2l_2+1)}}{4\pi}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;lm}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l0}\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\underbrace{\int d\Omega|Y_l^{m}(\theta,\phi)|^2}_{\text{式(3.239)より}1} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l+1)}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;lm}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l0}\\ \\ \int d\Omega\text{式(3.292)左辺}\cdot Y_l^{m\ast}(\theta,\phi) &=& \int d\Omega Y_l^{m\ast}(\theta,\phi)Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\phi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\phi) \\ \\ \\ \therefore \int d\Omega Y_l^{m\ast}(\theta,\phi)Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\phi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\phi)&=&\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)}{4\pi(2l+1)}}\braket{l_1l_2;m_1m_2|l_1l_2;lm}\braket{l_1l_2;00|l_1l_2;l0}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。