現代の量子力学の行間埋め　第３章

式(3.210)より\(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{p}\)であるため、\(k\)成分に着目する。式(1.228)の交換関係を用いると \begin{eqnarray} [\boldsymbol{L}_k,\boldsymbol{\text{p}}^2] &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_i^2+p_j^2+p_k^2] \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_i^2+p_j^2]+[\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_k^2] \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_i^2+p_j^2]&...&p_k\text{と交換関係にある項がないため} \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,p_i^2+p_j^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_i^2+p_j^2]&\\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,p_i^2]+[\varepsilon_{ijk}x_ip_j,p_j^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_i^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_j^2]&\\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,p_i^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,p_j^2]&...&\text{交換関係がない項を}0\text{とした}\\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_ip_jp_i^2-\varepsilon_{ijk}p_i^2x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_ip_j^2-\varepsilon_{jik}p_j^2x_jp_i \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_ip_ip_ip_j-\varepsilon_{ijk}p_ip_ix_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_jp_jp_i-\varepsilon_{jik}p_jp_jx_jp_i \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}(x_ip_i)p_ip_j-\varepsilon_{ijk}p_i(p_ix_i)p_j+\varepsilon_{jik}(x_jp_j)p_jp_i-\varepsilon_{jik}p_j(p_jx_j)p_i \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}(p_ix_i+i\hbar)p_ip_j-\varepsilon_{ijk}p_i(x_ip_i-i\hbar)p_j+\varepsilon_{jik}(p_jx_j+i\hbar)p_jp_i-\varepsilon_{jik}p_j(x_jp_j-i\hbar)p_i&...&\text{式(1.228)より} \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}p_ix_ip_ip_j+\varepsilon_{ijk}i\hbar p_ip_j-\varepsilon_{ijk}p_ix_ip_ip_j+\varepsilon_{ijk}i\hbar p_i p_j+\varepsilon_{jik}p_jx_jp_jp_i+\varepsilon_{jik}i\hbar p_jp_i-\varepsilon_{jik}p_jx_jp_jp_i+\varepsilon_{jik}i\hbar p_jp_i& \\ \\ &=& p_ix_ip_ip_j(\varepsilon_{ijk}-\varepsilon_{ijk})+p_jx_jp_jp_i(\varepsilon_{jik}-\varepsilon_{jik})+i\hbar (\varepsilon_{ijk}p_ip_j+\varepsilon_{ijk}p_ip_j+\varepsilon_{jik}p_jp_i+\varepsilon_{jik}p_jp_i) \\ \\ &=& 2i\hbar (\varepsilon_{ijk}p_ip_j+\varepsilon_{jik}p_jp_i) \\ \\ &=& 2i\hbar (\varepsilon_{ijk}p_ip_j+\varepsilon_{jik}{\color{red}p_ip_j}) \\ \\ &=& 2i\hbar (\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{jik})p_ip_j \\ \\ &=& 0&...&\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{jik}=0\text{より}\\ \\ \end{eqnarray} と導出でき、\([\boldsymbol{L},\boldsymbol{\text{p}}^2]=0\)が示される。同様にして \begin{eqnarray} [\boldsymbol{L}_k,\boldsymbol{\text{x}}^2] &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_i^2+x_j^2+x_k^2] \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_i^2+x_j^2]+[\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_k^2] \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_i^2+x_j^2]&...&p_k\text{と交換関係にある項がないため} \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,x_i^2+x_j^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_i^2+x_j^2]&\\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,x_i^2]+[\varepsilon_{ijk}x_ip_j,x_j^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_i^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_j^2]&\\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,x_j^2]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,x_i^2]&...&\text{交換関係がない項を}0\text{とした}\\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i[p_j,x_j^2]+\varepsilon_{jik}x_j[p_i,x_i^2]&...&\text{交換関係がないため}\\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i([p_j,x_j]x_j+x_j[p_j,x_j])+\varepsilon_{jik}x_j([p_i,x_i]x_i+x_i[p_i,x_i])&...&\text{式(1.232e)より}\\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i(-i\hbar x_j+x_j(-i\hbar))+\varepsilon_{jik}x_j(-i\hbar x_i+x_i(-i\hbar))&...&\text{式(1.228)より}\\ \\ &=& -2i\hbar\varepsilon_{ijk}x_ix_j-2i\hbar\varepsilon_{jik}x_jx_i&\\ \\ &=& -2i\hbar\varepsilon_{ijk}x_ix_j-2i\hbar\varepsilon_{jik}{\color{red} x_ix_j}&\\ \\ &=& -2i\hbar(\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{jik})x_ix_j&\\ \\ &=& 0&...&\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{jik}=0\text{であるため}\\ \\ \end{eqnarray} が得られ\([\boldsymbol{L},\boldsymbol{\text{x}}^2]=0\)が示された。

式(3.264)より \begin{eqnarray} [\boldsymbol{L}_k,H] &=& [\boldsymbol{L}_k,\frac{\boldsymbol{\text{p}}^2}{2m}+V(r)] \\ \\ &=& \frac{1}{2m}[\boldsymbol{L}_k,\text{p}^2]+[\boldsymbol{L}_k,V(r)] \\ \\ &=& \underbrace{\frac{1}{2m}\cdot 0}_{\text{式(3.264)より}}+[\varepsilon_{ijk}x_ip_j+\varepsilon_{jik}x_jp_i,V(r)] \\ \\ &=& [\varepsilon_{ijk}x_ip_j,V(r)]+[\varepsilon_{jik}x_jp_i,V(r)] \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i[p_j,V(r)]+\varepsilon_{jik}x_j[p_i,V(r)] \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j}V(r))+\varepsilon_{jik}x_j(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}V(r))&...&\text{式(2.97b)より} \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j})+\varepsilon_{jik}x_j(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i})& \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_j}\sqrt{x_i^2+x_j^2+x_k^2})+\varepsilon_{jik}x_j(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_i^2+x_j^2+x_k^2})& \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{x_j}{\sqrt{x_i^2+x_j^2+x_k^2}})+\varepsilon_{jik}x_j(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{x_i}{\sqrt{x_i^2+x_j^2+x_k^2}})& \\ \\ &=& \varepsilon_{ijk}x_i(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{x_j}{r})+\varepsilon_{jik}x_j(-i\hbar\frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{x_i}{r})& \\ \\ &=& -i\hbar \frac{\partial V(r)}{\partial r}\frac{x_ix_j}{r}(\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{jik})& \\ \\ &=& 0&...&\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{jik}=0\text{より} \\ \\ \end{eqnarray} となることから、\([\boldsymbol{L},H]=0\)が示される。また、 \begin{eqnarray} [\boldsymbol{L}^2,H] &=& [L_x^2+L_y^2+L_z^2,H] \\ \\ &=& [L_x^2,H]+[L_y^2,H]+[L_z^2,H] \\ \\ &=& [L_x,H]L_x+L_x[L_x,H]+[L_y,H]L_y+L_y[L_y,H]+[L_z,H]L_z+L_z[L_z,H]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& 0&...&\text{上の}[\boldsymbol{L}_k,H]=0\text{より} \\ \\ \end{eqnarray} と示すことができる。

式(3.230)より \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2m}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{\text{p}}^2|\alpha} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-\frac{1}{\hbar^2r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha}\right) \\ \\ &\Leftrightarrow&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\frac{\boldsymbol{\text{p}}^2}{2m}|\alpha}+\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|V(r)|\alpha} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\left[r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+2r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]-\frac{1}{\hbar^2r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha}\right)+\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|V(r)|\alpha}&...&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|V(r)|\alpha}\text{を両辺に足した}\\ \\ &\Leftrightarrow&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\frac{\boldsymbol{\text{p}}^2}{2m}+V(r)|\alpha} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^2\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]-\frac{1}{\hbar^2r^2}\underbrace{\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\hbar^2 l(l+1)|\alpha}}_{\text{式(3.236)より}}\right)+V(r)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&\\ \\ &\Leftrightarrow&\underbrace{\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|H|\alpha}}_{\text{式(3.263)より}} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^2\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right)+V(r)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&\\ \\ &\Leftrightarrow&E\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} &=& \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^2\frac{\partial}{\partial r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&\\ \\ &\Leftrightarrow&ER_{EL}Y_{l}^m &=& \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^2\frac{\partial}{\partial r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right]R_{EL}Y_{l}^m&...&\text{式(3.231)より}\\ \\ &\Leftrightarrow&ER_{EL} &=& \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^2\frac{\partial}{\partial r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right]R_{EL}&...&\text{(1)}\\ \\ \end{eqnarray} となる。
(1)では、式中に\(Y_{l}^m\)を微分する項はなく、定数と同様に扱えるため両辺から割った。

式(3.269)に式(3.270)を代入する。 \begin{eqnarray} \text{式(3.269)左辺} &=& \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left[r^2\frac{d}{d r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right]R_{El} \\ \\ &=& \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left[r^2\frac{d}{d r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right]\frac{u_{El}}{r}&...&\text{式(3.270)より} \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left[r^2\frac{d}{d r}\frac{u_{El}}{r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\frac{u_{El}}{r}\right)+V(r)\frac{u_{El}}{r}& \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left[-r^2\frac{u_{El}}{r^2}+r^2\frac{du_{El}}{d r}\frac{1}{r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^3}u_{El}\right)+V(r)\frac{u_{El}}{r}& \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left[-u_{El}+r\frac{du_{El}}{d r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^3}u_{El}\right)+V(r)\frac{u_{El}}{r}& \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\left[-\frac{du_{El}}{d r}+\frac{du_{El}}{d r}+r\frac{d^2u_{El}}{d r^2}\right]-\frac{l(l+1)}{r^3}u_{El}\right)+V(r)\frac{u_{El}}{r}& \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r}\frac{d^2u_{El}}{d r^2}+\left(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\right)\frac{u_{El}}{r}& \\ \\ \end{eqnarray} となる。これを用いて、式(3.269)より \begin{eqnarray} && \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{d r}\left[r^2\frac{d}{d r}\right]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)+V(r)\right]R_{El} &=& ER_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r}\frac{d^2u_{El}}{d r^2}+\left(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\right)\frac{u_{El}}{r} &=& E\frac{r_{El}}{r} \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u_{El}}{d r^2}+\left(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\right)u_{El} &=& Er_{El} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.231)と式(3.266)を用いると \begin{eqnarray} \braket{E,l,m|E,l,m}=1 \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} 1&=&\int_0^{\infty}dr \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta r^2\sin\theta\braket{E,l,m|\boldsymbol{\text{x}}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}|E,l,m} \\ \\ &=& \int_0^{\infty}dr \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta r^2\sin\theta(R_{El}(r)Y_l^m(\theta\phi))^{\ast}(R_{El}(r)Y_l^m(\theta\phi)) \\ \\ &=& \int_0^{\infty}dr \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta r^2\sin\theta R_{El}^{\ast}(r)Y_l^{m\ast}(\theta\phi)R_{El}(r)Y_l^m(\theta\phi) \\ \\ &=& \int_0^{\infty}drr^2R_{El}^{\ast}(r)R_{El}(r) \underbrace{\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta Y_l^{m\ast}(\theta\phi)Y_l^m(\theta\phi)}_{\text{式(3.239)の導出と同じ}} \\ \\ &=& \int_0^{\infty}drr^2R_{El}^{\ast}(r)R_{El}(r)\cdot 1 \\ \\ \end{eqnarray} が得られるため、 \begin{eqnarray} &&\int_0^{\infty}drr^2R_{El}^{\ast}(r)R_{El}(r) &=& 1 \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_0^{\infty}drr^2\frac{r_{El}^{\ast}(r)}{r}\frac{r_{El}(r)}{r}\\ \\ && =\int_0^{\infty}dr r_{El}^{\ast}(r)r_{El}(r) &=& 1 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

p.245中段の条件を用いる。式(3.271)の微分方程式は \begin{eqnarray} &&-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u_{El}}{dr^2}+\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)\right]u_{EL}&=&Eu_{EL} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d^2u_{El}}{dr^2}&=&-\frac{2m}{\hbar^2}\left[E-\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)\right]u_{EL} \\ \\ && &=& -\frac{2m}{\hbar^2r^2}\left[r^2E-\frac{l(l+1)\hbar^2}{2m}+r^2V(r)\right]u_{EL} \\ \\ \end{eqnarray} ここで、\(r\)が小さい時を考えると右辺は \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{r\to 0}-\frac{2m}{\hbar^2r^2}\left[r^2E-\frac{l(l+1)\hbar^2}{2m}+\underbrace{r^2V(r)}_{\text{p.245中段より}0}\right]u_{EL} &=& -\frac{2m}{\hbar^2r^2}\left[0-\frac{l(l+1)\hbar^2}{2m}+0\right]u_{EL} \\ \\ &=& \frac{l(l+1)}{r^2}u_{EL} \\ \\ \end{eqnarray} となるため、微分方程式は左辺と合わせて \begin{eqnarray} \frac{d^2u_{El}}{dr^2}=\frac{l(l+1)}{r^2}u_{EL} \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \text{式(3.274)左辺} &=& \frac{d^2u_{El}}{dr^2} \\ \\ &=& \frac{d^2}{dr^2}(Ar^{l+1}+\frac{B}{r^l}) \\ \\ &=& \frac{d}{dr}((l+1)Ar^{l}-l\frac{B}{r^{l+1}}) \\ \\ &=& l(l+1)Ar^{l}+l(l+1)\frac{B}{r^{l+2}} \\ \\ \\ \text{式(3.274)右辺} &=& \frac{l(l+1)}{r^2}u_{EL} \\ \\ &=& \frac{l(l+1)}{r^2}(Ar^{l+1}+\frac{B}{r^l}) \\ \\ &=& l(l+1)Ar^{l-1}+l(l+1)\frac{B}{r^{l+2}} \\ \\ \end{eqnarray} となり、両辺が等しいことから、式(3.275)が式(3.274)の解になっていることがわかる。

\begin{eqnarray} R_{El}(r) &=& \frac{R_{El}(r)}{r}&...&\text{式(3.270)より} \\ \\ &=& (Ar^{l+1}+\frac{B}{r^l})\frac{1}{r}&...&\text{式(3.275)より} \\ \\ &=& Ar^{l}+\frac{B}{r^{l+1}}\\ \\ \end{eqnarray} となることから \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{r\to 0}Ar^{l}+\frac{B}{r^{l+1}} &=& \displaystyle\lim_{r\to 0}(Ar+B)\frac{1}{r^{l+1}} \\ \\ &=& \frac{B}{r^{l+1}}\\ \\ &\propto& \frac{1}{r^{l+1}}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
\(l\geq1\)であり、\(r^2V(r)=0\)と見なせる距離を\(r=a\)とするとき、規格化定数を\(C\)とする。全体の規格化条件(式(3.272))を用いると \begin{eqnarray} &&\int_0^{a}r^2\left|R_{El}(r)\right|^2dr&=&1&...&\text{式(3.272)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_0^{a}r^2\left|\frac{C}{r^{l+1}}\right|^2dr&=&1 \end{eqnarray} となるが、 \begin{eqnarray} \int_0^{a}|C|^2r^2\left|\frac{1}{r^{l+1}}\right|^2dr &=& \int_0^{a}\frac{|C|^2}{r^{2l}}dr \\ \\ &=& |C|^2\left[-\frac{1}{(2l-1)r^{2l-1}}\right]_0^{a} \\ \\ \end{eqnarray} を計算する際に\(l\geq1\)では \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{r\to 0}\frac{1}{r^{2l-1}}\to\infty \end{eqnarray} となってしまい、規格化することができない。

「p.245下：\(B\neq 0\)と仮定すると\(r\to 0\)で\(R_{El}(r)\to 1/r^{l+1}\)となり\(l\geq1\)の場合には規格化できないこと」のつづきで、\(l=0\)のとき \begin{eqnarray} &&\int_0^{a}r^2\left|R_{El}(r)\right|^2dr&=&1&...&\text{式(3.272)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_0^{a}r^2\left|\frac{C}{r}\right|^2dr&=&1 \\ \\ \end{eqnarray} となるため \begin{eqnarray} \int_0^{a}|C|^2r^2\frac{1}{r^2}dr &=& \int_0^{a}|C|^2dr \\ \\ &=& |C|^2a \\ \\ \end{eqnarray} となり、規格化できることがわかる。

原子の大きさを\(a_0\)、核の大きさを\(R\)とする。電子が原子内で見出す確率は式(1.236)より \begin{eqnarray} |R_{El}(a_0)|^2 \underbrace{a_0}_{dx\text{に相当}}&=&a_0^{2l+1} \end{eqnarray} となる。原子核内で発見される確率は同様にして \begin{eqnarray} |R_{El}(R)|^2 R&=&R^{2l+1} \end{eqnarray} となる。原子内電子が原子核内で見つかる確率\(P\)として条件付確率を用いると \begin{eqnarray} P=\frac{R^{2l+1}}{a_0^{2l+1}} \end{eqnarray} となるため、考えている確率は違うものになるのではないか？「確率密度\(P_D\)」としてであれば変数を\(r\to\frac{R}{a_0}\)と置き換えることで、 \begin{eqnarray} P_D=\frac{R^{2l}}{a_0^{2l}}=\left(\frac{R}{a_0}\right)^{2l} \end{eqnarray} と得ることができる。 要議論。

式(3.271)より \begin{eqnarray} &&-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u_{El}}{dr^2}+\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)\right]u_{El}&=&Eu_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d^2u_{El}}{dr^2}&=&\frac{2m}{\hbar^2}\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)-E\right]u_{El} \\ \\ \end{eqnarray} の微分方程式が得られる。
式(3.277)上にある条件を用いると \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{r\to\infty}V(r)=0 \end{eqnarray} となる。これを用いると、 \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{r\to\infty}\frac{2m}{\hbar^2}\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)-E\right]u_{El} &=& \frac{2m}{\hbar^2}\left[0+0-E\right]u_{El} \\ \\ &=& -\frac{2mE}{\hbar^2}u_{El} \\ \\ &=& \kappa^2u_{El}&...&\text{式(3.277)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

解を\(u_E=A e^{-\kappa r}+Be^{\kappa r}\)とすると \begin{eqnarray} \text{式(3.277)左辺} &=& \frac{d^2u_{E}}{dr^2} \\ \\ &=& \frac{d^2}{dr^2}(A e^{-\kappa r}+Be^{\kappa r}) \\ \\ &=& (-\kappa)^2A e^{-\kappa r}+\kappa^2 Be^{\kappa r} \\ \\ &=& \kappa^2(A e^{-\kappa r}+ Be^{\kappa r}) \\ \\ &=& \text{式(3.277)右辺} \end{eqnarray} となる。ただし、物理的に\(r\to\infty\)で波動関数が発散してしまうことは描像として不適合であるため、解は\(u_E=A e^{-\kappa r}\)となる。

式(3.278)を式(3.271)に代入することで得られる。初めに二階微分を計算する。 \begin{eqnarray} \frac{d^2u_{El}(r)}{dr^2} &=& \frac{d}{dr}\frac{d}{dr}u_{El}(\rho) \\ \\ &=& \left(\frac{d\rho}{dr}\frac{d}{d\rho}\right)\left(\frac{d\rho}{dr}\frac{d}{d\rho}\right)u_{El}(\rho) \\ \\ &=& \left(\kappa\frac{d}{d\rho}\right)\left(\kappa\frac{d}{d\rho}\right)u_{El}(\rho)&...&\rho=\kappa r\text{より}\frac{d\rho}{dr}=\kappa \\ \\ &=& \kappa^2\frac{d^2}{d\rho^2}u_{El}(\rho) \\ \\ &=& \kappa^2\frac{d^2}{d\rho^2}(\rho^{l+1}e^{-\rho}w(\rho)) \\ \\ &=& \kappa^2\frac{d}{d\rho}\left((l+1)\rho^{l}e^{-\rho}w(\rho)+\rho^{l+1}(-1)e^{-\rho}w(\rho)+\rho^{l+1}e^{-\rho}\frac{dw(\rho)}{d\rho}\right) \\ \\ &=& \kappa^2\left(l(l+1)\rho^{l-1}e^{-\rho}w(\rho)+(l+1)\rho^{l}(-1)e^{-\rho}w(\rho)+(l+1)\rho^{l}e^{-\rho}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+(l+1)\rho^{l}(-1)e^{-\rho}w(\rho)+\rho^{l+1}(-1)^2e^{-\rho}w(\rho)+\rho^{l+1}(-1)e^{-\rho}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+(l+1)\rho^{l}e^{-\rho}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}(-1)e^{-\rho}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}e^{-\rho}\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) \\ \\ &=& \kappa^2e^{-\rho}\left(l(l+1)\rho^{l-1}w(\rho)-(l+1)\rho^{l}w(\rho)+(l+1)\rho^{l}\frac{dw(\rho)}{d\rho}-(l+1)\rho^{l}w(\rho)+\rho^{l+1}w(\rho)-\rho^{l+1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+(l+1)\rho^{l}\frac{dw(\rho)}{d\rho}-\rho^{l+1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) \\ \\ &=& \kappa^2e^{-\rho}\left(l(l+1)\rho^{l-1}w(\rho)-2(l+1)\rho^{l}w(\rho)+2(l+1)\rho^{l}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}w(\rho)-2\rho^{l+1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) \\ \\ &=& \kappa^2e^{-\rho}\left(l(l+1)\rho^{l-1}w(\rho)-2(l+1)\rho^{l}w(\rho)+2(l+1)\rho^{l}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}w(\rho)-2\rho^{l+1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) \\ \\ \end{eqnarray} となる。これを式(3.271)に代入する。 \begin{eqnarray} &&-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u_{El}}{dr^2}+\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)\right]u_{El}&=&Eu_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d^2u_{El}}{dr^2}&=&\frac{2m}{\hbar^2}\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)-E\right]u_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& \kappa^2{\color{red}e^{-\rho}}\left(l(l+1)\rho^{l-1}w(\rho)-2(l+1)\rho^{l}w(\rho)+2(l+1)\rho^{l}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}w(\rho)-2\rho^{l+1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) &=& \frac{2m}{\hbar^2}\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)-E\right]\rho^{l+1}{\color{red}e^{-\rho}}w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& \kappa^2{\color{red}\rho^{l+1}}\left(l(l+1)\rho^{-2}w(\rho)-2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+w(\rho)-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) &=& \frac{2m}{\hbar^2}\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)-E\right]{\color{red}\rho^{l+1}}w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& \kappa^2\left(l(l+1)\rho^{-2}w(\rho)-2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+w(\rho)-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) &=& \frac{2m}{\hbar^2}\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2m{\color{red}(\frac{\rho}{\kappa})^2}}+V(\rho)-E\right]w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& {\color{red}\kappa^2l(l+1)\rho^{-2}w(\rho)}+\kappa^2\left(-2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+w(\rho)-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) &=& {\color{red}\kappa^2l(l+1)\rho^{-2}w(\rho)}+\frac{2m}{\hbar^2}\left[V(\rho)-E\right]w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& \kappa^2\left(-2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+w(\rho)-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) &=& {\color{red}\frac{2mE}{\hbar^2}}\left[\frac{V(\rho)}{E}-1\right]w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& {\color{red}\kappa^2}\left(-2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+w(\rho)-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}\right) &=& -\underbrace{\color{red}\kappa^2}_{\text{式(3.277)より}}\left[\frac{V(\rho)}{E}-1\right]w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& -2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+w(\rho)-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2} &=& -\frac{V(\rho)}{E}w(\rho)+w(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& -2(l+1)\rho^{-1}w(\rho)+2(l+1)\rho^{-1}\frac{dw(\rho)}{d\rho}+{\color{red}w(\rho)}-2\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2} &=& -\frac{V(\rho)}{E}w(\rho)+{\color{red}w(\rho)} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+2\left(\frac{l+1}{\rho}-1 \right)\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\left(\frac{V(\rho)}{E}-\frac{2(l+1)}{\rho}\right)w(\rho) &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

自由粒子の問題を扱うため、ポテンシャルエネルギーは\(V(\rho)=0\)として扱う。これと式(3.280)を用いて式(3.269)を式変形する。 \begin{eqnarray} \frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right) &=& \frac{d\rho}{dr}\frac{d}{d\rho}\left(\frac{\rho^2}{k^2}\frac{d\rho}{dr}\frac{d}{d\rho}\right) \\ \\ &=& k\frac{d}{d\rho}\left(\frac{\rho^2}{k^2}k\frac{d}{d\rho}\right)&...&\text{式(3.280)より}\rho=kr \\ \\ &=& \frac{d}{d\rho}\left(\rho^2\frac{d}{d\rho}\right)& \end{eqnarray} が得られるため、これを用いると \begin{eqnarray} &&\left[-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+V(r)\right]R_{El}(r)&=&ER_{El}(r) \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\hbar^2}{2m\frac{\rho^2}{k^2}}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}R_{El}(r)\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2m\frac{r^2}{k^2}}R_{El}(r)&=&\frac{\hbar^2k^2}{2m}R_{El}(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\hbar^2k^2}{2m\rho^2}\frac{d}{d\rho}\left(\rho^2\frac{d}{d\rho}R_{El}(\rho)\right)+\frac{l(l+1)\hbar^2k^2}{2m\rho^2}R_{El}(r)&=&\frac{\hbar^2k^2}{2m}R_{El}(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{\rho^2}\left(2\rho\frac{d}{d\rho}R_{El}(\rho)+\rho^2\frac{d^2}{d\rho^2}R_{El}(\rho)\right)+\frac{l(l+1)}{\rho^2}R_{El}(r)&=&R_{El}(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{2}{\rho}\frac{d}{d\rho}R_{El}(\rho)-\frac{d^2}{d\rho^2}R_{El}(\rho)+\frac{l(l+1)}{\rho^2}R_{El}(r)&=&R_{El}(\rho) \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d^2}{d\rho^2}R_{El}(\rho)+\frac{2}{\rho}\frac{d}{d\rho}R_{El}(\rho)+\left(1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)R_{El}(r)&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

こちらの解説などを参考

<\(j_l(\rho)について\)>
\(\sin\rho\)のマクローリン展開を用いて\(\frac{\sin\rho}{\rho}\)を展開すると \begin{eqnarray} \frac{\sin\rho}{\rho}&\sim&\frac{1}{\rho}\left(\rho-\frac{1}{3!}\rho^3+\frac{1}{5!}\rho^5-\frac{1}{7!}\rho^7+\ldots\right) \\ \\ &=& 1-\frac{1}{3!}\rho^2+\frac{1}{5!}\rho^4-\frac{1}{7!}\rho^6+\ldots \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\rho^{2k}&...&\text{(I)} \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(\rho\)の偶数乗(定数項を含む)の項だけ持つ多項式 \begin{eqnarray} f(\rho) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k}\rho^{2k} \end{eqnarray} を考える。これを\(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\)に作用させると \begin{eqnarray} \left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]f(\rho) &=& \left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k}\rho^{2k} \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]\left( a_0\rho^{0}+a_2\rho^{2}+a_4\rho^{4}+a_6\rho^{6}+\ldots\right) \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\rho}\right]\left( 0+2a_2\rho^{1}+4a_4\rho^{3}+6a_6\rho^{5}+\ldots\right) \\ \\ &=& \left( 2a_2\rho^{0}+4a_4\rho^{2}+6a_6\rho^{4}+\ldots\right) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(2k+2)a_{2k+2}\rho^{2k} \end{eqnarray} となり、\(f(\rho)\)と同様に、定数を含んで\(\rho\)の偶数乗の項しか持たない多項式が得られる。\(\frac{\sin\rho}{\rho}\)は(I)より\(\rho\)の偶数乗の項しか持たず、最低次の項が定数項であるため、\(\rho\to 0\)で定数項のみ残る。従って、式(3.282a)より \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{\rho\to 0}(-\rho)^l\left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]\frac{\sin\rho}{\rho} &\propto& (-\rho)^{l} \\ \\ &\propto& \rho^l \end{eqnarray} となる。

<\(n_l(\rho)について\)>
\(\cos\rho\)のマクローリン展開を用いて\(\frac{\cos\rho}{\rho}\)を展開すると \begin{eqnarray} \frac{\cos\rho}{\rho}&\sim&\frac{1}{\rho}\left(1-\frac{1}{2!}\rho^2+\frac{1}{4!}\rho^4-\frac{1}{6!}\rho^6+\ldots\right) \\ \\ &=& \frac{1}{\rho}-\frac{1}{2!}\rho+\frac{1}{4!}\rho^3-\frac{1}{6!}\rho^5+\ldots \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\rho^{2k-1}&...&\text{(II)} \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(\rho\)の奇数乗(負の数を含む)の項だけ持つ多項式を考え、その中でも特に \begin{eqnarray} g(\rho) = a_1\rho+a_{-(2k+1)}\rho^{-(2k+1)}...k\text{は正の整数} \end{eqnarray} を考える。これを\(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\)に作用させると \begin{eqnarray} \left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]g(\rho) &=& \left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]a_1\rho+a_{-(2k+1)}\rho^{-(2k+1)} \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\rho}\right]\left( a_1-(2k+1)a_{-(2k+1)}\rho^{-(2k+2)}\right) \\ \\ &=& a_1\frac{1}{\rho}-(2k+1)a_{-(2k+1)}\rho^{-(2k+3)} \end{eqnarray} となり、\(g(\rho)\)と同様に、負の数を含んで\(\rho\)の奇数乗の項しか持たない多項式が得られる。\(\frac{\cos\rho}{\rho}\)は(II)より\(\rho\)の奇数乗の項しか持たず、その最低次の数は\(-1\)である。また、一回の\(\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\)の作用によって次数が\(2\)下がることを用いると、\(l\)回の作用によって次数が\(2l\)下がることがわかる。 式(3.282b)より、最低次の項に着目し、 \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{\rho\to 0}-(-\rho)^l\left[\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\right]\frac{\cos\rho}{\rho} &\propto& (-\rho)^{l}\cdot \rho^{-1-2l} \\ \\ &\propto& \rho^{-l-1} \end{eqnarray} となることがわかる。

式(3.283)の右辺より、ルジャンドルの多項式を適用すると(参考) \begin{eqnarray} j_l(x)&=&\frac{1}{2i^{l}}\int_{-1}^1dse^{ixs}P_l(s) \\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\int_{-1}^1dsP_l(s)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(isx)^n}{n!}&...&e^x\text{のマクローリン展開より} \\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_{-1}^1dsP_l(s)\frac{(isx)^n}{n!} &...&\text{(1)}\\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_{-1}^1ds\frac{(isx)^n}{n!}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{ds^{l}}(s^2-1)^l &...&\text{ルジャンドルの多項式より}\\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^n}{2^ll!n!}x^n\int_{-1}^1dss^n\frac{d^l}{ds^{l}}(s^2-1)^l &\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ただし、(1)では積分と無限和の交換が発生するが本当は議論しなくてはいけない。
ここで、\(n\lt l\)のとき \begin{eqnarray} \int_{-1}^1dss^nP_l(s)=0 &\\ \\ \end{eqnarray} になることが知られている(こちらの解説などを参考)。
そのため\(n\geq l\)について考えればよい。そこで\(n\to l+k\)とし、 \begin{eqnarray} j_l(x) &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^n}{2^ll!n!}x^n\int_{-1}^1dss^n\frac{d^l}{ds^{l}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{l+k}}{2^ll!(k+l)!}x^{k+l}\underbrace{\int_{-1}^1dss^{k+l}\frac{d^l}{ds^{l}}(s^2-1)^l}_{(3)} &\\ \\ (3) &=& \int_{-1}^1dss^{k+l}\frac{d^l}{ds^{l}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \left[s^{k+l}\frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}}(s^2-1)^l\right]_{-1}^1 \\ \\ &=& \underbrace{\left[s^{k+l}\frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}}(s^2-1)^l\right]_{-1}^1}_{(4)}-\int_{-1}^1ds(k+l)s^{k+l-1}\frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \underbrace{0}_{(4)}+\int_{-1}^1ds(-1)(k+l)s^{k+l-1}\frac{d^{l-1}}{ds^{l-1}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \underbrace{\left[(-1)(k+l)s^{k+l-1}\frac{d^{l-2}}{ds^{l-2}}(s^2-1)^l\right]_{-1}^1}_{(4)}-\int_{-1}^1ds(-1)(k+l)(k+l-1)s^{k+l-2}\frac{d^{l-2}}{ds^{l-2}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \underbrace{0}_{(4)}+\int_{-1}^1ds(-1)^2(k+l)(k+l-1)s^{k+l-2}\frac{d^{l-2}}{ds^{l-2}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \int_{-1}^1ds(-1)^2(k+l)(k+l-1)s^{k+l-2}\frac{d^{l-2}}{ds^{l-2}}(s^2-1)^l &\\ \\ &&\vdots \\ \\ &=& \int_{-1}^1ds(-1)^l(k+l)(k+l-1)\ldots(k+1)s^{k}\frac{d^{0}}{ds^{0}}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \int_{-1}^1ds(-1)^l\frac{(k+l)!}{k!}s^{k}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& (-1)^l\frac{(k+l)!}{k!}\int_{-1}^1ds\underbrace{s^{k}(s^2-1)^l}_{(5)} &\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(4)はこちらの解説の途中にある計算で示されているように\(0\)になる。
ここで、(5)は\(k\)が奇数の時に奇関数、偶数の時に偶関数になる。積分区間が\(-1\to1\)と対称的であるため、奇関数をこの区間で積分すると\(0\)になる。
そこで、\(k\to 2k\)と置き換えると、 \begin{eqnarray} j_l(x)&=&\frac{1}{2i^{l}}\int_{-1}^1dse^{ixs}P_l(s) \\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{l+k}}{2^ll!(k+l)!}x^{k+l}(-1)^l\frac{(k+l)!}{k!}\int_{-1}^1dss^{k}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \frac{1}{2i^{l}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{l+2k}}{2^ll!(2k+l)!}x^{2k+l}(-1)^l\frac{(2k+l)!}{(2k)!}\int_{-1}^1dss^{2k}(s^2-1)^l &\\ \\ &=& \frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2^ll!(2k+l)!}x^{2k+l}(-1)^l\frac{(2k+l)!}{(2k)!}\underbrace{\int_{-1}^1dss^{2k}(s^2-1)^l}_{(6)} &\\ \\ (6) &=& \int_{-1}^1dss^{2k}(s^2-1)^l \\ \\ &=& \left[s^{2k-1}\frac{1}{2(l+1)}(s^2-1)^{l+1}\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1ds(2k-1)s^{2k-2}\frac{1}{2(l+1)}(s^2-1)^{l+1} \\ \\ &=& 0+(-1)\int_{-1}^1ds\frac{(2k-1)}{2(l+1)}s^{2k-2}(s^2-1)^{l+1} \\ \\ &=& \left[(-1)\frac{(2k-1)}{2(l+1)}s^{2k-3}\frac{1}{2(l+2)}(s^2-1)^{l+2}\right]_{-1}^1-(-1)\int_{-1}^1ds\frac{(2k-1)}{2(l+1)}(2k-3)s^{2k-4}\frac{1}{2(l+2)}(s^2-1)^{l+2} \\ \\ &=& 0+(-1)^2\int_{-1}^1ds\frac{(2k-1)(2k-3)}{2^2(l+1)(l+2)}s^{2k-4}(s^2-1)^{l+2} \\ \\ &&\vdots \\ \\ &=& (-1)^k\int_{-1}^1ds\frac{(2k-1)(2k-3)\ldots 3\cdot 1}{2^k(l+1)(l+2)\ldots(l+k)}s^{2k-2k}(s^2-1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^k}\int_{-1}^1ds\frac{(2k-1)(2k-3)\ldots 3\cdot 1}{1}\frac{1}{(l+1)(l+2)\ldots(l+k)}(s^2-1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^k}\int_{-1}^1ds\frac{{\color{red}2k}(2k-1){\color{red}(2k-2)}(2k-3)\ldots{\color{red}4}\cdot 3\cdot{\color{red}2}\cdot 1}{\color{red}2k\cdot(2k-2)\ldots 4\cdot 2}\frac{\color{red}1\cdot 2\ldots l}{{\color{red}1\cdot 2\ldots l}\cdot(l+1)(l+2)\ldots(l+k)}(s^2-1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^k}\int_{-1}^1ds\frac{(2k)!}{2^{k}k\cdot(k-1) \ldots 2\cdot 1}\frac{l!}{(l+k)!}(s^2-1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^k}\int_{-1}^1ds\frac{(2k)!}{2^{k}k!}\frac{l!}{(l+k)!}(s^2-1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!}{(l+k)!}\int_{-1}^1ds(s^2-1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!}{(l+k)!}\int_{-1}^1ds(s-1)^{l+k}(s+1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^k}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!}{(l+k)!}\int_{-1}^1ds(-1)^{l+k}(1-s)^{l+k}(s+1)^{l+k} \\ \\ &=& \frac{(-1)^{k+{\color{red}l+k}}}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!}{(l+k)!}\underbrace{\int_{-1}^1ds(s+1)^{l+k}(1-s)^{l+k}}_{(7)} \\ \\ &=& \frac{(-1)^{2k}(-1)^l}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!}{(l+k)!}\underbrace{\frac{(l+k)!(l+k)!}{(l+k+l+k+1)!}(1-(-1))^{l+k+l+k+1}}_{(7)} \\ \\ &=& \frac{1\cdot(-1)^l}{2^{2k}}\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!}{}\frac{(l+k)!}{(l+k+l+k+1)!}2^{2l+2k+1} \\ \\ &=& (-1)^l\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!(l+k)!}{(2l+2k+1)!}2^{2l+1} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。(7)ではベータ関数の積分を用いた(参考)。
これを用いると \begin{eqnarray} j_l(x) &=& \frac{1}{2i^{l}}\int_{-1}^1dse^{ixs}P_l(s) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2^ll!(2k+l)!}x^{2k+l}(-1)^l\frac{(2k+l)!}{(2k)!}\underbrace{(-1)^l\frac{(2k)!}{k!}\frac{l!(l+k)!}{(2l+2k+1)!}2^{2l+1}}_{(6)} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(l+k)!}{k!(2l+2k+1)!}\frac{2^{2l+1}}{2\cdot 2^l}(-1)^{2l}\frac{(2k+l)!}{(2k+l)!}\frac{(2k)!}{(2k)!}\frac{l!}{l!}x^{2k+l} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(l+k)!}{k!(2l+2k+1)!}2^{l}x^{2k+l} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この級数表示は球ベッセル関数\(j_l\)をマクローリン展開したときの級数と同じであるため(参考)、式(3.283)が示される。

式(3.290)(3.291)を用いて式(3.271)を変形する。式(3.291)より \begin{eqnarray} \frac{d}{dr} &=& \frac{d\rho}{dr}\frac{d}{d\rho} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{d}{d\rho} \\ \\ \\ \frac{d^2}{dr^2} &=& \frac{d}{dr}\frac{d}{dr} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{d}{d\rho}\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{d}{d\rho} \\ \\ &=& \frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2}{d\rho^2} \\ \\ \end{eqnarray} であり、 \begin{eqnarray} V(r)=\frac{1}{2}m\omega^2r^2 \end{eqnarray} であるから、式(3.271)は \begin{eqnarray} &&-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u_{El}}{dr^2}+\left[\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}+\frac{1}{2}m\omega^2r^2\right]u_{El}&=&Eu_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2}{d\rho^2}u_{El}+\left[\frac{l(l+1)\hbar^2m\omega}{2m\rho^2\hbar}+\frac{1}{2}m\omega^2\frac{\hbar}{m\omega}\rho^2\right]u_{El}&=&\frac{1}{2}\hbar\omega\lambda u_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{d^2}{d\rho^2}u_{El}+\left[\frac{l(l+1)}{\rho^2}+\rho^2\right]u_{El}&=&\lambda u_{El} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{d^2}{d\rho^2}u_{El}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}u_{El}+(\lambda-\rho^2)u_{El}&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} && \frac{d^2}{d\rho^2}u_{El}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}u_{El}+(\lambda-\rho^2)u_{El}&=&0 \\ \\ &\Rightarrow& \frac{d^2}{d\rho^2}\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(\lambda-\rho^2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho) \\ \\ &=& \frac{d}{d\rho}\left((l+1)\rho^{l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+\rho^{l+1}(-\rho)e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho}\right)-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(\lambda-\rho^2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho) \\ \\ &=& \frac{d}{d\rho}\left((l+1)\rho^{l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)-\rho^{\color{red}l+2}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho}\right)-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(\lambda-\rho^2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho) \\ \\ &=& (l+1)l\rho^{l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(l+1)\rho^{l}(-\rho)e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(l+1)\rho^{l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho} \\ &&-(l+2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)-\rho^{l+2}(-\rho)e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)-\rho^{l+2}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho} \\ &&+(l+1)\rho^{l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}(-\rho)e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{d^2f(\rho)}{d\rho^2}-l(l+1)\rho^{\color{red}l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(\lambda-\rho^2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho) \\ \\ &=& (l+1)l\rho^{l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)-(l+1)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(l+1)\rho^{l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho} \\ &&-(l+2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+\rho^{l+3}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)-\rho^{l+2}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho} \\ &&+(l+1)\rho^{l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho}-\rho^{l+2}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{df(\rho)}{d\rho}+\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\frac{d^2f(\rho)}{d\rho^2}-l(l+1)\rho^{l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho)+(\lambda-\rho^2)\rho^{l+1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}f(\rho) \\ \\ &=& \rho^{l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\left[(l+1)l-(l+1)\rho^2+(l+1)\rho\frac{d}{d\rho}-(l+2)\rho^{2}+\rho^{4}-\rho^{3}\frac{d}{d\rho}+(l+1)\rho\frac{d}{d\rho}-\rho^{3}\frac{d}{d\rho}+\rho^{2}\frac{d^2}{d\rho^2}-l(l+1)+(\lambda-\rho^2)\rho^{2}\right]f(\rho) \\ \\ &=& \rho^{l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\left[\left((l+1)l-(l+1)\rho^2-(l+2)\rho^{2}+\rho^{4}-l(l+1)+(\lambda-\rho^2)\rho^{2}\right)+\left((l+1)\rho-\rho^{3}+(l+1)\rho-\rho^{3}\right)\frac{d}{d\rho}+\rho^{2}\frac{d^2}{d\rho^2}\right]f(\rho) \\ \\ &=& \rho^{l-1}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\left[\left(\rho^2\lambda-2l\rho^2-3\rho^2\right)+2\rho\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{d}{d\rho}+\rho^{2}\frac{d^2}{d\rho^2}\right]f(\rho) \\ \\ &=& \rho^{\color{red}l}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\left[\left(\lambda-2l-3\right)\rho+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{d}{d\rho}+\rho\frac{d^2}{d\rho^2}\right]f(\rho) \\ \\ &=& 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \left[\left(\lambda-2l-3\right)\rho+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{d}{d\rho}+\rho\frac{d^2}{d\rho^2}\right]f(\rho)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \rho\frac{d^2f(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{df(\rho)}{d\rho}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho f(\rho)&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} &&\rho\frac{d^2f(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{df(\rho)}{d\rho}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho f(\rho) \\ \\ &=& \rho\frac{d^2}{d\rho^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{d}{d\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n \\ \\ &=& \rho\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-1}+\underbrace{2\left(l+1\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}}_{(1)}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n+1}+\left(\lambda-(2l+3)\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^{n+1} \\ \\ \end{eqnarray} において、(1)の\(n=1\)の項だけ\(\rho^0\)の項になるため \begin{eqnarray} (1) &=& 2\left(l+1\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}|_{n=1} \\ \\ &=& 2\left(l+1\right)\cdot 1a_1\rho^{1-1} \\ \\ &=& 2\left(l+1\right)a_1\rho^{0} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。この式は\(\rho\)にかかわらず恒等的に\(0\)であるため、この式が\(0\)になるためには \begin{eqnarray} a_1=0 \end{eqnarray} となる。

「p.249上段：式(3.295)としたときに\(\rho^0\)で唯一残る項と式(3.296)の導出」と同様にして \begin{eqnarray} &&\rho\frac{d^2f(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{df(\rho)}{d\rho}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho f(\rho) \\ \\ &=& \rho\frac{d^2}{d\rho^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{d}{d\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n \\ \\ &=& \rho\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-1}+2\left(l+1\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}-\underbrace{2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n+1}}_{(1)}+\left(\lambda-(2l+3)\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^{n+1} \\ \\ \end{eqnarray} において、(1)以外は\(\rho^1\)の項を持つことに着目すると \begin{eqnarray} &&\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-1}|_{n=2}+2\left(l+1\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}|_{n=2}+\left(\lambda-(2l+3)\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^{n+1}|_{n=0} \\ \\ &=& 2(2-1)a_2\rho+2(l+1)\cdot 2a_2\rho+(\lambda-(2l+3))a_0\rho \\ \\ &=& (2+4l+4)a_2\rho+(\lambda-(2l+3))a_0\rho\\ \\ &=& 0 \\ \\ \Leftrightarrow a_2&=&\frac{2l+3-\lambda}{2(2l+3)}a_0 \end{eqnarray} と導出できる。

「p.249上段：式(3.295)としたときに\(\rho^0\)で唯一残る項と式(3.296)の導出」と同様にして \begin{eqnarray} &&\rho\frac{d^2f(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{df(\rho)}{d\rho}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho f(\rho) \\ \\ &=& \rho\frac{d^2}{d\rho^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\frac{d}{d\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n \\ \\ &=& \rho\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-2}+2\left(l+1-\rho^{2}\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}+\left(\lambda-(2l+3)\right)\rho \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\rho^{n-1}+2\left(l+1\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n+1}+\left(\lambda-(2l+3)\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^{n+1} \\ \\ \end{eqnarray} において、\(\rho^{k+1}\)の項に着目すると \begin{eqnarray} && \underbrace{\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}}_{(1)}n(n-1)a_n\rho^{n-1}|_{n=k+2}+2\left(l+1\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n-1}|_{n=k+2}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n\rho^{n+1}|_{n=k}+\left(\lambda-(2l+3)\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^{n+1}|_{n=k} \\ \\ &=& (k+2)(k+2-1)a_{k+2}\rho^{k+1}+2\left(l+1\right)(k+2)a_{k+2}\rho^{k+1}-2ka_k\rho^{k+1}+\left(\lambda-(2l+3)\right)a_k\rho^{k+1} \\ \\ &=& (k+2)\left((k+2-1)+2(l+1)\right)a_{k+2}\rho^{k+1}+\left(\lambda-(2l+3)-2k\right)a_k\rho^{k+1} \\ \\ &=& (k+2)\left((k+1)+2(l+1)\right)a_{k+2}\rho^{k+1}+\left(\lambda-(2l+3)-2k\right)a_k\rho^{k+1} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。この式を満たせる最小の\(k\)の値は、(1)より\(k=2\)であるため、\(k\to n\)として \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}(n+2)\left((n+1)+2(l+1)\right)a_{n+2}\rho^{n+1}+\left(\lambda-(2l+3)-2n\right)a_n\rho^{n+1} \\ \\ \end{eqnarray} が導出できる。

式(3.297)は恒等的に\(0\)になる式であることから、 \begin{eqnarray} (k+2)\left((k+2-1)+2(l+1)\right)a_{k+2}\rho^{k+1}+\left(\lambda-(2l+3)-2k\right)a_k\rho^{k+1} \\ \\ &=& 0 \\ \\ \Leftrightarrow a_{k+2} &=& \frac{-\left(\lambda-(2l+3)-2k\right)}{(k+2)\left((k+2-1)+2(l+1)\right)}a_n \\ \\ &=& \frac{2k+2l+3-\lambda}{(k+2)\left(k+2l+3\right)}a_n \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.298)より \begin{eqnarray} a_{n+2} &=& \frac{2n+2l+3-\lambda}{(n+2)\left(n+2l+3\right)}a_n \\ \\ \Leftrightarrow \frac{a_{n+2}}{a_n} &=& \frac{2n+2l+3-\lambda}{(n+2)\left(n+2l+3\right)} \\ \\ &=& \frac{n(2+\frac{2l+3-\lambda)}{n}}{n^2\left(1+\frac{5n+4l+2nl+6}{n^2}\right)} \\ \\ \end{eqnarray} が導出できる。分母分子でそれぞれ極限をとると \begin{eqnarray} \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+2}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n} &=& \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(2+\frac{2l+3-\lambda)}{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(1+\frac{5n+4l+2nl+6}{n^2}\right)} \\ \\ &=& \frac{2n}{n^2} \\ \\ &=& \frac{2}{n} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.299)とp.249中段："\(f(\rho)\)には\(\rho\)の偶数次のみが含まれること"から、\(n\)が大きいとすると \begin{eqnarray} f(\rho) &=& \displaystyle\sum_{n} \\ \\ &=& a_n\rho^n+a_{n+2}\rho^{n+2}+a_{n+4}\rho^{n+4}+a_{n+6}\rho^{n+6}+\ldots \\ \\ &=& a_n\rho^n+a_n\frac{2}{n}\rho^{n+2}+{\color{red}a_{n+2}}\frac{2}{n+2}\rho^{n+4}+{\color{red}a_{n+4}}\frac{2}{n+4}\rho^{n+6}\ldots \\ \\ &&\vdots \\ &=& a_n\rho^n+a_n\frac{2}{n}\rho^{n+2}+a_{n}\frac{2^2}{(n+2)n}\rho^{n+4}+a_{n}\frac{2^3}{(n+4)(n+2)n}\rho^{n+6}\ldots \\ \\ &=& a_n\rho^n+a_n\frac{1}{q}\rho^{n+2}+a_{n}\frac{1}{(q+1)q}\rho^{n+4}+a_{n}\frac{1}{(q+2)(q+1)q}\rho^{n+6}\ldots &...&\text{式(3.299)より}\\ \\ &=& a_q\rho^{\color{red}2q}+a_n\frac{1}{q}\rho^{2q+2}+a_{n}\frac{1}{(q+1)q}\rho^{\color{red}2q+4}+a_{n}\frac{1}{(q+2)(q+1)q}\rho^{\color{red}2q+6}\ldots &...&\text{式(3.299)より}\\ \\ &=& a_q\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{2(q+k)}\frac{q!}{(q+k)!}&...&\text{(1)} \end{eqnarray} (1)は\(q\)が小さい所まで適用できると考える。 \begin{eqnarray} a_q\displaystyle\sum_{q}\rho^{2{q+k}}\frac{q!}{(q+k)!}|_{q\to 0} &\sim& a_q\displaystyle\sum_{q=0}\rho^{2{q}}\frac{1}{q!}&...&\text{(2)} \\ \\ &=& a_qe^{\rho^2} \\ \\ &\sim& e^{\rho^2} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
ただし(2)における\(q=0\)の項では\(q(=\frac{n}{2})\)は大きくないため、式(3.299)ではなく式(3.298)が適用され\(a_2\)は値を持っている(発散しない)とした(あまり厳密な議論ではない)。

式(3.301)より \begin{eqnarray} \lambda=2n+2l+3 \end{eqnarray} になるため、これを式(3.291)に代入すると \begin{eqnarray} E&=&\frac{1}{2}\hbar\omega\lambda \\ \\ &=& \frac{1}{2}\hbar\omega(2n+2l+3) \\ \\ &=& \left(n+l+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega \\ \\ &=& \left(2q+l+\frac{3}{2}\right)\hbar\omega&...&\text{式(3.299)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.303)より \begin{eqnarray} H_i\ket{n_x,n_y,n_z} &=& (a_i^{\dagger}a_i+\frac12)\ket{n_x,n_y,n_z} \\ \\ &=& (N_i+\frac12)\ket{n_x,n_y,n_z}&...&\text{式(2.125)より}N_i\text{は個数演算子} \\ \\ &=& (n_i+\frac12)\ket{n_x,n_y,n_z}&\\ \\ \Leftrightarrow E&=&n_i+\frac12 \end{eqnarray} になることを利用すると \begin{eqnarray} H\ket{n_x,n_y,n_z} &=& (H_x+H_y+H_z)\ket{n_x,n_y,n_z} \\ \\ &=& \hbar\omega\left(n_x+\frac12+n_y+\frac12+n_z+\frac12\right)\ket{n_x,n_y,n_z} \\ \\ \Leftrightarrow E &=& \left(n_x+\frac12+n_y+\frac12+n_z+\frac12\right)\hbar\omega \\ \\ &=& \left(N+\frac32\right)\hbar\omega \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.279)に式(3.306)を代入する。 \begin{eqnarray} &&\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+2\left(\frac{l+1}{\rho}-1 \right)\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\left(\frac{V(\rho)}{E}-\frac{2(l+1)}{\rho}\right)w(\rho) &=& 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \rho\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho \right)\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\left(\rho\frac{V(\rho)}{E}-2(l+1)\right)w(\rho)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \rho\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho \right)\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\left(\underbrace{\rho\frac{1}{E}{\color{red}\frac{-Ze^2}{r}}}_{(1)}-2(l+1)\right)w(\rho)&=&0&...&\text{式(3.205)より} \\ \\ (1)&=& -\rho\frac{Ze^2}{E}\frac{1}{r} \\ \\ &=& -\rho\frac{Ze^2}{E}\frac{\kappa}{\rho}&...&\text{p.246より}\rho=\kappa r \\ \\ &=& -\frac{Ze^2}{E}\kappa\\ \\ &=& -\frac{Ze^2}{E}\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}&...&\text{式(3.277)より}\\ \\ &=& \frac{Ze^2}{(-E)}\sqrt{\frac{2m(-E)}{\hbar^2}}\\ \\ &=& Ze^2\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2(-E)}}&...&\text{p.246中段より}E\lt 0\text{なので}-E\gt 0\\ \\ &=& \frac{Ze^2}{\hbar}\sqrt{\frac{2m}{(-E)}}\\ \\ &=& \rho_0&...&\text{式(3.306)より}\\ \\ &\therefore& \rho\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho \right)\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\left(\underbrace{\rho_0}_{(1)}-2(l+1)\right)w(\rho)&=&0 \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.309)より \begin{eqnarray} \frac{d}{d\rho}=\frac{dx}{d\rho}\frac{d}{dx}=2\frac{d}{dx} \end{eqnarray} であることを用いる。 式(3.307)に式(3.309)を代入すると \begin{eqnarray} &&\rho\frac{d^2w(\rho)}{d\rho^2}+2\left(l+1-\rho \right)\frac{dw(\rho)}{d\rho}+\left(\rho_0-2(l+1)\right)w(\rho)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{x}{2} 2^2\frac{d^2w(x)}{dx^2}+2\left(l+1-\frac{x}{2} \right)2\frac{dw(x)}{dx}+\left(\rho_0-2(l+1)\right)w(x)&=&0&...&\rho=\frac{x}{2} \\ \\ &\Leftrightarrow& 2\cdot x\frac{d^2w(x)}{dx^2}+2\left(2(l+1)-x\right)\frac{dw(x)}{dx}-\left(2(l+1)-\rho_0\right)w(x)&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& 2\cdot x\frac{d^2w(x)}{dx^2}+2\left(c-x\right)\frac{dw(x)}{dx}-2aw(x)&=&0&...&c=2(l+1),2a=2(l+1)-\rho_0 \\ \\ &\Leftrightarrow& x\frac{d^2w(x)}{dx^2}+\left(c-x\right)\frac{dw(x)}{dx}-aw(x)&=&0\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.310)より \begin{eqnarray} F(a;c;x) &=& 1+\frac{a}{c}\frac{x}{1!}+\frac{a(a+1)}{c(c+1)}\frac{x^2}{2!}+\frac{a(a+1)(a+2)}{c(c+1)(c+2)}\frac{x^3}{3!}+\ldots \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!} \\ \\ \frac{dF}{dx} &=& \frac{d}{dx}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\color{red}n=1}^{\infty}n\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{n!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \\ \\ \frac{d^2F}{dx^2} &=& \frac{d}{dx}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\color{red}n=2}^{\infty}(n-1)\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-2}}{(n-1)!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!} \\ \\ \end{eqnarray} と変形できる。これを用いると \begin{eqnarray} x\frac{d^2F}{dx^2}+\left(c-x\right)\frac{dF}{dx}-aF &=& x\frac{d^2}{dx^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!}+\left(c-x\right)\frac{d}{dx}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!}-a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& x\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\left(c-x\right)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}-a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{\color{red}n-1}}{(n-2)!}+c\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}-x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}-a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-2)!}+\underbrace{c\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}_{(1)}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{\color{red}n}}{(n-1)!}-\underbrace{a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!}}_{(2)} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-2)!} \\ \\ &&+\underbrace{c\frac{(a+1-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+1-1)!}\frac{x^{1-1}}{(1-1)!}+c\displaystyle\sum_{n={\color{red}2}}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}_{(1)} \\ \\ &&-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^{\color{red}n}}{(n-1)!} \\ \\ &&\underbrace{-a\frac{(a+0-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+0-1)!}\frac{x^0}{0!}-a\displaystyle\sum_{\color{red}n=1}^{\infty}\frac{(a+n-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n-1)!}\frac{x^n}{n!}}_{(2)} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={\color{red}0}}^{\infty}\frac{(a+(n+2)-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+(n+2)-1)!}\frac{x^{(n+2)-1}}{((n+2)-2)!} \\ \\ &&+c\frac{a!(c-1)!}{(a-1)!c!}+c\displaystyle\sum_{n={\color{red}0}}^{\infty}\frac{(a+(n+2)-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+(n+2)-1)!}\frac{x^{(n+2)-1}}{((n+2)-1)!} \\ \\ &&-\displaystyle\sum_{n={\color{red}0}}^{\infty}\frac{(a+(n+1)-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+(n+1)-1)!}\frac{x^{\color{red}n+1}}{((n+1)-1)!} \\ \\ &&-a\frac{(a)!(c-1)!}{(a-1)!(c)!}-a\displaystyle\sum_{n={\color{red}0}}^{\infty}\frac{(a+(n+1)-1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+(n+1)-1)!}\frac{x^{\color{red}n+1}}{(n+1)!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n+1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n+1)!}\frac{x^{n+1}}{n!} \\ \\ &&+\underbrace{c\frac{a}{c}}_{(\ast)}+c\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n+1)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n+1)!}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \\ \\ &&-\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!} \\ \\ &&-\underbrace{a}_{(\ast)}-a\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n+1)(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n+1)((c+n)!)}\frac{x^{n+1}}{n!} \\ \\ &&+c\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n+1)(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n+1)((c+n)!)}\frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \\ \\ &&-\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!} \\ \\ &&+\underbrace{c\frac{a}{c}-a}_{(\ast)}-a\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \\ \\ &=& \underbrace{0}_{(\ast)}+\displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!}\left(\frac{a+n+1}{c+n+1}+c\frac{a+n+1}{c+n+1}\frac{1}{n+1}-1-\frac{1}{n+1}a\right)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!}\frac{1}{c+n+1}\left(a+n+1+\frac{c(a+n+1)}{n+1}-(c+n+1)-\frac{c+n+1}{n+1}a\right)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!}\frac{1}{c+n+1}\left(a+n+1-(c+n+1)+\frac{c(a+n+1)-a(c+n+1)}{n+1}\right)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!}\frac{1}{c+n+1}\left(a-c+\frac{c(n+1)-a(n+1)}{n+1}\right)\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n={0}}^{\infty}\frac{(a+n)!(c-1)!}{(a-1)!(c+n)!}\frac{x^{n+1}}{n!}\frac{1}{c+n+1}\left(\frac{a-c+c-a}{n+1}\right)\\ \\ &=& 0\\ \\ \end{eqnarray} となることから微分方程式を満たすことを確認できた。

式(3.310)より \begin{eqnarray} w(\rho) &=& F(a;c;x) \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a(a+1)\ldots}{c(c+1)\ldots}\frac{x^{n}}{n!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\overbrace{a(a+1)\ldots}^{n\text{項}}}{\underbrace{c(c+1)\ldots}_{n\text{項}}}\frac{x^{n}}{n!} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{\overbrace{a(a+1)\ldots}^{N\text{項}}}{\underbrace{c(c+1)\ldots}_{N\text{項}}}\frac{x^{N}}{N!} \\ \\ &\approx& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{a^N}{c^N}\frac{x^{N}}{N!}&...&N\text{が大きいため}a,c\text{をそれぞれ掛けると近似した(1)} \\ \\ &\approx& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{(l+1-\frac{\rho_0}{2})^N}{(2l+2)^N}\frac{(2\rho)^{N}}{N!}&...&\text{式(3.309)より}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{(N-2q+1-\frac{\rho_0}{2})^N}{(2N-4q+2)^N}\frac{(2\rho)^{N}}{N!}&...&\text{p.250上より}n=2q+l\\ \\ &\approx& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{N^N}{(2N)^N}\frac{2^N\rho^N}{N!}&...&N\text{が大きいため足されている数を}0\text{に近似した} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{N^N}{2^NN^N}\frac{2^N\rho^N}{N!}& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{\text{大きな}N}^{\infty}\frac{\rho^N}{N!}& \\ \\ &=& e^{\rho}&...&\text{(2)} \end{eqnarray} と変形できる。
(1)では、厳密には\(N\)項足すため、\(N\)近辺では無視できないと考えられる。
(2)では\(e^{\rho}\)のマクローリン展開を用いた。

式(3.309)にp.250上の\(n=2q+l\)を代入すると \begin{eqnarray} 2a&=&2(l+1)-\rho_0 \\ \\ \Leftrightarrow 2(-N)&=&2(l+1)-\rho_0 \\ \\ \Leftrightarrow \rho_0&=&2(N+l+1) \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.312)に式(3.313)を代入し、式(3.306)と比較すると \begin{eqnarray} \rho_0&=&2(N+l+1) \\ \\ &=& 2n \\ \\ \Leftrightarrow \left[\frac{2mc^2}{-E}\right]^{\frac12}Z\alpha&=&2n \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

電子の質量が\(m=9.109\times10^{-31} \)kgであり、光の速度が\(2.998\times 10^8\)m/s、電子の電荷が\(1.602\times10^{-19}\)Cであるため、\(1\)eVは \begin{eqnarray} 1\text{eV} &=& 1.602\cdot 10^{-19}\text{[C]}\cdot 1\text{[V]} \\ \\ &=& 1.602\cdot 10^{-19} \end{eqnarray} となる。 電子が持つ質量エネルギーを電子ボルトに変換すると \begin{eqnarray} \frac{mc^2}{1 \text{[eV]}} &\simeq& \frac{9.109\times10^{-31}\cdot(2.998\times10^8)^2}{1.602\times10^{-19}} \\ \\ &\simeq& 51.1\times10^4 \text{[eV]} \\ \\ &=& 511 \text{[keV]} \end{eqnarray} と導ける。式(3.315)の定数部分は \begin{eqnarray} \frac{1}{2}mc^2\alpha^2 &=& \frac{1}{2}\frac{9.109\times10^{-31}\cdot(2.998\times10^8)^2}{1.602\times10^{-19}} \cdot (\frac{1}{137})^2 \\ \\ &=& 13.6\text{[eV]} \end{eqnarray} となる。

式(3.277)より \begin{eqnarray} \frac{1}{\kappa}&=&\sqrt{-\frac{\hbar^2}{2mE}} \\ \\ &=& \sqrt{-\frac{\hbar^2}{2m}\left(-\frac12mc^2\frac{Z^2\alpha^2}{n^2}\right)^{-1}}&...&\text{式(3.315)より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar^2}{2m}2\frac{1}{mc^2}\frac{n^2}{Z^2\alpha^2}}&\\ \\ &=& \frac{\hbar}{mc\alpha}\frac{n}{Z} \\ \\ &=& a_0\frac{n}{Z}&...&\text{式(3.317)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.185)とp.238の中段より、各\(l\)に対して\(m\)の値は\(2l-1\)個取ることができる。これに加えて、式(3.313)より、一つの\(n\)に対して\(l\)が取れる値は決まっている。
そのため、縮退度は \begin{eqnarray} \text{縮退度}&=&\displaystyle\sum_{l=0}^{n-1}\sum_{m=-l}^{m}1 \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)\\ \\ &=& \frac{(1+2(n-1)+1)\cdot n}{2}&...&\text{等差数列の和} \\ \\ &=& n^2 \end{eqnarray} となる。

問題(3.30)に同様の導出がある。

\(R_{nl}(\rho)\)の中で\(\rho\to 0\)の際に\(0\)になることに関係する項として \begin{eqnarray} R_{nl}(\rho) &=& A^{\prime}e^{-\rho}\underbrace{\rho^{l}F\left(-n+l+1;2l+2;2\rho \right)}_{(1)}&\\ \\ \end{eqnarray} の(1)の部分に着目する。式を展開すると \begin{eqnarray} \rho^{l}F\left(-n+l+1;2l+2;2\rho \right) &=& \rho^l\left(1+\frac{-n+l+1}{2l+2}\frac{2\rho}{1!}+\ldots+\frac{(-n+l+1)(-n+l+1+1)\ldots(-n+l+1+(n-l-2))}{(2l+2)(2l+2+1)\ldots(2l+2+(n-l-2))}\frac{(2\rho)^{n-l-1}}{(n-l-1)!}\right) \\ \\ &=& \rho^l+\frac{-n+l+1}{2l+2}\frac{2\rho^{l+1}}{1!}+\ldots+\frac{(-n+l+1)(-n+l+1+1)\ldots(-n+l+1+(n-l-2))}{(2l+2)(2l+2+1)\ldots(2l+2+(n-l-2))}\frac{2^{n-l-1}\rho^{n-l-1+l}}{(n-l-1)!} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。この式は\(\rho\)の最低次が\(l\)であるため、\(l\neq 0\)のときは\(\rho\to 0\)で\(0\)になる。一方で、\(l=0\)のときは\(\rho\)に関して定数項が生じるため、原点で\(0\)にならない。

節があるとき、波動関数が\(0\)になっていると言い換えることができる。加えて、\(R_{nl}(\rho)\)の中で、 \begin{eqnarray} R_{nl}(\rho) &=& A^{\prime}\rho^{l}e^{-\rho}\underbrace{F\left(-n+l+1;2l+2;2\rho \right)}_{(1)}&\\ \\ \end{eqnarray} (1)の部分だけ波動関数が\(0\)になりうる。
\(l=n-1\)のとき、 \begin{eqnarray} F(-n+l+1;2l+2;2\rho)|_{l=n-1}&=&F(0;2n;2\rho) \\ \\ &=& 1+\frac{0}{2n}\frac{2\rho}{1!}&...&\text{式(3.310)より} \\ \\ &=& 1 \end{eqnarray} より、負の数にならないため、節は持たないと言える。
\(l=0\)のとき
\begin{eqnarray} F(-n+l+1;2l+2;2\rho)|_{l=0}&=&F(-n+1;2;2\rho) \\ \\ &=& 1+\frac{-n+1}{2}\frac{2\rho}{1!}+\frac{(-n+1)(-n+1+1)}{2\cdot 3}\frac{(2\rho)^2}{2!}+\ldots+\frac{(-n+1)(-n+1+1)\ldots(-n+1+(n-2))}{2\cdot3\ldots(2+(n-2))}\frac{(2\rho)^{n-1}}{(n-1)!}&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。 \(F(-n+1;2;2\rho)=0\)は\(n-1\)次方程式になっていることから、解は\(n-1\)個持つと言える。
ただし、それらが実数解であることを確認する必要がある。