現代の量子力学の行間埋め　第３章

式(3.212)と同様に求めていく。各成分は式(3.210)より \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} L_x\\ L_y\\ L_z \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} x\\ y\\ z \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{cccc} p_x\\ p_y\\ p_z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} yp_z-zp_y\\ zp_x-xp_z\\ xp_y-yp_x \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} と求められるため、これを用いる。 \begin{eqnarray} [L_y,L_z] &=& [zp_x-xp_z,xp_y-yp_x] \\ \\ &=& [zp_x,xp_y]+[zp_x,-yp_x]+[-xp_z,xp_y]+[-xp_z,-yp_x] \\ \\ &=& [zp_x,xp_y]+0+0+[-xp_z,-yp_x]&...&\text{式(1.215)より} \\ \\ &=& [zp_x,xp_y]+[xp_z,yp_x]& \\ \\ &=& zp_y[p_x,x]+p_zy[x,p_x]&...&\text{交換しないのは}x,p_x\text{のみのため} \\ \\ &=& zp_y(-i\hbar)+p_zyi\hbar& \\ \\ &=& i\hbar(p_zy-zp_y) \\ \\ &=& i\hbar L_x \\ \\ \\ [L_z,L_x] &=& [xp_y-yp_x,yp_z-zp_y] \\ \\ &=& [xp_y,yp_z]+[xp_y,-zp_y]+[-yp_x,yp_z]+[-yp_x,-zp_y] \\ \\ &=& [xp_y,yp_z]+0+0+[-yp_x,-zp_y]&...&\text{式(1.215)より} \\ \\ &=& [xp_y,yp_z]+[yp_x,zp_y]& \\ \\ &=& xp_z[p_y,y]+p_xz[y,p_y]&...&\text{交換しないのは}y,p_y\text{のみのため} \\ \\ &=& xp_z(-i\hbar)+p_xzi\hbar& \\ \\ &=& i\hbar(p_xz-xp_z) \\ \\ &=& i\hbar L_y \\ \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。また、式(1.232b)も含めて考えると、式(3.211)が成り立つ。

\begin{eqnarray} \bra{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}\left[1-i\frac{\delta\phi}{\hbar}L_z\right]\ket{\alpha} &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\bra{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}\left[1-i\frac{p_y}{\hbar}\delta\phi x^{\prime}+i\frac{p_x}{\hbar}\delta\phi y^{\prime}\right]\ket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.191)より} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|x^{\prime\prime}-y^{\prime}\delta\phi,y^{\prime\prime}+x^{\prime}\delta\phi,z^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.194)(1.214)より} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-(x^{\prime\prime}-y^{\prime}\delta\phi))\delta(y^{\prime}-(y^{\prime\prime}+x^{\prime}\delta\phi))\delta(z^{\prime}-z^{\prime\prime})\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.184a)より} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}+y^{\prime}\delta\phi-x^{\prime\prime})\delta(y^{\prime}-x^{\prime}\delta\phi-y^{\prime\prime})\delta(z^{\prime}-z^{\prime\prime})\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}& \\ &=& \braket{x^{\prime}+y^{\prime}\delta\phi,y^{\prime}-x^{\prime}\delta\phi,z^{\prime}|\alpha}&...&\text{デルタ関数の積分より} \left\{ \begin{array}{l} x^{\prime\prime}=x^{\prime}+y^{\prime}\delta\phi \\ y^{\prime\prime}=y^{\prime}-x^{\prime}\delta\phi \\ z^{\prime\prime}=z^{\prime} \end{array} \right. \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.217)の左辺は \begin{eqnarray} \bra{r,\theta,\phi}\left[1-i\frac{\delta\phi}{\hbar}L_z\right]\ket{\alpha} &=& \braket{r,\theta,\phi|\alpha}-\bra{r,\theta,\phi}\left[i\frac{\delta\phi}{\hbar}L_z\right]\ket{\alpha} \\ \\ &=& \braket{r,\theta,\phi|\alpha}-i\frac{\delta\phi}{\hbar}\braket{r,\theta,\phi|L_z|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} となる。右辺は \begin{eqnarray} \braket{r,\theta,\phi-\delta\phi|\alpha} &=& \braket{r,\theta,\phi|\alpha}-\delta\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\braket{r,\theta,\phi|\alpha} \end{eqnarray} であるため、比較すると \begin{eqnarray} && \braket{r,\theta,\phi|\alpha}-i\frac{\delta\phi}{\hbar}\braket{r,\theta,\phi|L_z|\alpha} &=& \braket{r,\theta,\phi|\alpha}-\delta\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\braket{r,\theta,\phi|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \delta\phi\braket{r,\theta,\phi|L_z|\alpha} &=& \delta\phi\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\phi}\braket{r,\theta,\phi|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{r,\theta,\phi|L_z|\alpha} &=& -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\braket{r,\theta,\phi|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_z|\alpha} &=& -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray}

式(3.215)の導出と同様にして、 \begin{eqnarray} \bra{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}\left[1-i\frac{\delta\phi_x}{\hbar}L_x\right]\ket{\alpha} &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\bra{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}\left[1-i\frac{p_z}{\hbar}\delta\phi_x y^{\prime}+i\frac{p_y}{\hbar}\delta\phi_x z^{\prime}\right]\ket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.191)より} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|x^{\prime\prime},y^{\prime\prime}-z^{\prime}\delta\phi,z^{\prime\prime}+y^{\prime}\delta\phi_x}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.191)より} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})\delta(y^{\prime}-y^{\prime\prime}+z^{\prime}\delta\phi_x)\delta(z^{\prime}-z^{\prime\prime}-y^{\prime}\delta\phi_x)\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha}&...&\text{式(1.184a)より} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime},y^{\prime}-z^{\prime}\delta\phi,z^{\prime}+y^{\prime}\delta\phi|\alpha}&...&\text{デルタ関数の積分より} \left\{ \begin{array}{l} x^{\prime\prime}=x^{\prime} \\ y^{\prime\prime}=y^{\prime}-z^{\prime}\delta\phi \\ z^{\prime\prime}=z^{\prime}+y^{\prime}\delta\phi \end{array} \right. \end{eqnarray} と導出できる。

三次元極座標\((r,\theta,\phi)\)では、 \begin{eqnarray} x&=&r\sin\theta\cos\phi\\ y&=&r\sin\theta\sin\phi\\ z&=&r\cos\theta \end{eqnarray} と書けることから、 \begin{eqnarray} r^2&=&x^2+y^2+z^2&\Leftrightarrow&r&=&\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \tan\theta&=&\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}&\Leftrightarrow&\theta&=&\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\\ \tan\phi&=&\frac{y}{x}&\Leftrightarrow&\phi&=&\arctan\frac{y}{x}\\ \end{eqnarray} が得られる。また、これらから \begin{eqnarray} &&\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x}r&=&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}&=&\frac{x}{r} \\ \frac{\partial}{\partial y}r&=&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}&=&\frac{y}{r} \\ \frac{\partial}{\partial z}r&=&\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}&=&\frac{z}{r} \\ \end{array} \right.\\ \\ &&\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x}\theta&=&\frac{1}{1+(x^2+y^2)/z^2}\frac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}&=&\frac{1}{z^2(1+\tan^2\theta)}\frac{x}{\tan\theta} \\ \frac{\partial}{\partial y}\theta&=&\frac{1}{1+(x^2+y^2)/z^2}\frac{y}{z\sqrt{x^2+y^2}}&=&\frac{1}{z^2(1+\tan^2\theta)}\frac{y}{\tan\theta} \\ \frac{\partial}{\partial z}\theta&=&\frac{1}{1+(x^2+y^2)/z^2}\frac{-\sqrt{x^2+y^2}}{z^2}&=&-\frac{1}{z^2(1+\tan^2\theta)}z\tan\theta \\ \end{array} \right.\\ \\ &&\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x}\phi&=&\frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{-y}{x^2}&=&-\frac{1}{x(1+\tan^2\phi)}\tan\phi \\ \frac{\partial}{\partial y}\phi&=&\frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{1}{x}&=&\frac{1}{x(1+\tan^2\phi)} \\ \frac{\partial}{\partial z}\phi&&&=&0 \\ \end{array} \right.\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これらを用いると式(3.219)は \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime},y^{\prime}+z^{\prime}\delta\phi_x,z^{\prime}-y^{\prime}\delta\phi_x|\alpha} &=& \braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha}+\delta\phi_x\underbrace{z^{\prime}\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha}}_{(1)}-\delta\phi_x\underbrace{y^{\prime}\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha}}_{(2)} \\ \\ \\ (1) &=& z^{\prime}\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha}\\ \\ &=& r\cos\theta\left(\frac{\partial r}{\partial y^{\prime}}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial y^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial \phi}{\partial y^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)&...&\text{微分する変数の変換より} \\ \\ &=& r\cos\theta\left(\frac{y^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\frac{y^{\prime}}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)& \\ \\ &=& \left(y^{\prime}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\frac{ry^{\prime}\cos\theta}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}r\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right)& \\ \\ &=& \left(r\sin\theta\sin\phi\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\frac{rr\sin\theta\sin\phi\cos\theta}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}r\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right)& \\ \\ (2) &=& y^{\prime}\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& r\sin\theta\sin\phi\left(\frac{\partial r}{\partial z^{\prime}}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial z^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial \phi}{\partial z^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& r\sin\theta\sin\phi\left(\frac{z^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}z^{\prime}\tan\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+0\cdot\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(z^{\prime}\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}r\sin\theta\sin\phi z^{\prime}\tan\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(r\cos\theta\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}r\sin\theta\sin\phi r\cos\theta\tan\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ (1)-(2) &=& \left[\left(r\sin\theta\sin\phi\cos\theta-r\cos\theta\sin\theta\sin\phi\right)\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\left(\frac{rr\sin\theta\sin\phi\cos\theta}{\tan\theta}+r\sin\theta\sin\phi r\cos\theta\tan\theta\right)\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{x(1+\tan^2\phi)}r\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \\ \\ &=& \left[0\cdot\frac{\partial}{\partial r}+\frac{r^2}{r^2\cos^2\theta(1+\tan^2\theta)}\left(\frac{\sin\theta\sin\phi\cos\theta\cos\theta}{\sin\theta}+\frac{\sin\theta\sin\phi\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta}\right)\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta\cos\phi(1+\tan^2\phi)}r\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\cos^2\theta(\frac{1}{\cos^2\theta})}\left(\sin\phi\cos\theta\cos\theta+\sin\theta\sin\phi\sin\theta\right)\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{\sin\theta\cos\phi\frac{1}{\cos^2\phi}}\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \\ \\ &=& \left[\sin\phi\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos\phi\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \\ \\ &=& \left[\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right] \\ \\ \therefore \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|1-i\frac{\delta\phi_x}{\hbar}L_x|\alpha}&=&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\delta\phi_x\left[\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \end{eqnarray} が得られる。これと \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|1-i\frac{\delta\phi_x}{\hbar}L_x|\alpha} &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-i\frac{\delta\phi_x}{\hbar}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_x|\alpha} \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} &&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-i\frac{\delta\phi_x}{\hbar}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_x|\alpha}&=&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\delta\phi_x\left[\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_x|\alpha}&=&i\hbar\left[\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &&&=&-i\hbar\left[-\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}-\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} と式(3.220)が導出できる。
同様にして、 \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|1-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}L_y|\alpha}=\braket{x^{\prime}-z^{\prime}\delta\phi_y,y^{\prime},z^{\prime}+x^{\prime}\delta\phi_y|\alpha}&...&(3) \end{eqnarray} である。

1. (3)の導出
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\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|1-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}L_y|\alpha} &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\bra{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}1-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}L_y\ket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\bra{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}\left[1+ix^{\prime}\frac{p_z}{\hbar}\delta\phi_y-iz^{\prime}\frac{p_x}{\hbar}\delta\phi_y\right]\ket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|x^{\prime\prime}+z^\prime\delta\phi_y,y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}-x^{\prime}\delta\phi_y}\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}dy^{\prime\prime}dz^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime}-z^\prime\delta\phi_y)\delta(y^{\prime}-y^{\prime\prime})\delta(z^{\prime}-z^{\prime\prime}+x^{\prime}\delta\phi_y)\braket{x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime}-z^\prime\delta\phi_y,y^{\prime},z^{\prime}+x^{\prime}\delta\phi_y|\alpha}&...&\text{デルタ関数の積分の性質より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

これを用いて変数の変換をすると \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|1-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}L_y|\alpha} &=& \braket{x^{\prime}-z^{\prime}\delta\phi_y,y^{\prime},z^{\prime}+x^{\prime}\delta\phi_y|\alpha}\\ \\ &=& \braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}}-\delta\phi_y\underbrace{z^{\prime}\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha}}_{(4)}+\delta\phi_y\underbrace{x^{\prime}\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha}}_{(5)}\\ \\ (4) &=& z^{\prime}\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& r\cos\theta\left(\frac{\partial r}{\partial x^{\prime}}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial x^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial \phi}{\partial x^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& r\cos\theta\left(\frac{x^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\frac{x^{\prime}}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}\tan\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(\frac{r\cos\theta x^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\frac{r\cos\theta x^{\prime}}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}\tan\phi r\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(\frac{z^{\prime}x^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\frac{r\cos\theta r\sin\theta\cos\phi}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}\frac{\sin\phi}{\cos\phi} r\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(\frac{z^{\prime}x^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}r^2\cos^2\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}r\frac{\sin\phi}{\cos\phi}\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ (5) &=& x^{\prime}\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& r\sin\theta\cos\phi\left(\frac{\partial r}{\partial z^{\prime}}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial z^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial \phi}{\partial z^{\prime}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& r\sin\theta\cos\phi\left(\frac{z^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}z^{\prime}\tan\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+0\cdot\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(\frac{r\sin\theta\cos\phi z^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}r\sin\theta\cos\phi z^{\prime}\tan\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(\frac{x^{\prime}z^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}r\sin\theta\cos\phi r\cos\theta\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left(\frac{x^{\prime}z^{\prime}}{r}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}r^2\sin^2\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta}\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ -(4)+(5) &=& \left[\left(-\frac{z^{\prime}x^{\prime}}{r}+\frac{x^{\prime}z^{\prime}}{r}\right)\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{z^{\prime 2}(1+\tan^2\theta)}\left(-r^2\cos^2\theta\cos\phi-r^2\sin^2\theta\cos\phi \right)\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{x^{\prime}(1+\tan^2\phi)}r\frac{\sin\phi}{\cos\phi}\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left[0\cdot\frac{\partial}{\partial r}-\frac{r^2\cos\phi}{z^{\prime 2}\frac{1}{\cos^2\theta}}\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{x^{\prime}\frac{1}{\cos^2\phi}}r\frac{\sin\phi}{\cos\phi}\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left[-\frac{r^2\cos\phi\cos^2\theta}{(r\cos\theta)^2}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta\cos\phi}r\sin\phi\cos\phi\cos\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left[-\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \left[-\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これと \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|1-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}L_y|\alpha} &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_y|\alpha} \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} &&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-i\frac{\delta\phi_y}{\hbar}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_y|\alpha}&=&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\delta\phi_x\left[-\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_y|\alpha}&=&i\hbar\left[-\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &&&=&-i\hbar\left[\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} と式(3.221)が導出できる。

式(3.157)を用いると \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_{\pm}|\alpha} &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_x\pm iL_y|\alpha} \\ \\ &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_x|\alpha}\pm i\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_y|\alpha} \\ \\ &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\pm i\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_y|\alpha} \\ \\ &=& -i\hbar\left[-\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}-\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \pm i\left[-i\hbar\left[\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]&...&\text{式(3.220)(3.221)より} \\ \\ &=& -i\hbar\left[\left(-\sin\phi\pm i\cos\phi\right)\frac{\partial}{\partial \theta}-\left(\cos\phi\cot\theta\pm i\sin\phi\cot\theta\right)\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -i\hbar\left[\pm i\left(\cos\phi\pm i\sin\phi\right)\frac{\partial}{\partial \theta}-\left(\cos\phi\pm i\sin\phi\right)\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -i\hbar\left[\pm ie^{\pm i\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}-e^{\pm i\phi}\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -i\hbar e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} L_+L_-+L_-L_+ &=& \underbrace{(L_x+iL_y)(L_x-iL_y)}_{(1)}+\underbrace{(L_x-iL_y)(L_x+iL_y)}_{(2)}&...&\text{式(3.157)より} \\ \\ &=& \underbrace{L_x^2+L_y^2-iL_xL_y+iL_yL_x}_{(1)}+\underbrace{L_x^2+L_y^2+iL_xL_y-iL_yL_x}_{(2)} \\ \\ &=& 2L_x^2+2L_y^2\\ \\ \end{eqnarray} が得られるので、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{L}^2 &=& L_x^2+L_y^2+L_z^2 \\ \\ &=& L_z^2+\frac{1}{2}(2L_x^2+L_y^2)\\ \\ &=& L_z^2+\frac{1}{2}(L_+L_-+L_-L_+) \end{eqnarray} が導ける。

はじめに\(\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_{\pm}L_{\mp}|\alpha}\)を求める。 \begin{eqnarray} L_{\pm}L_{\mp}\ket{\alpha} &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}_2L_{\pm}\ket{\boldsymbol{\text{x}}_2}\bra{\boldsymbol{\text{x}}_2}L_{\mp}\ket{\alpha} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}_2L_{\pm}\ket{\boldsymbol{\text{x}}_2}\left(-i\hbar e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}_2|\alpha} \\ \\ &=& \int\int d\boldsymbol{\text{x}}_2d\boldsymbol{\text{x}}_1\ket{\boldsymbol{\text{x}}_1}\bra{\boldsymbol{\text{x}}_1}L_{\pm}\ket{\boldsymbol{\text{x}}_2}\left(-i\hbar e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}_2|\alpha} \\ \\ &=& \int\int d\boldsymbol{\text{x}}_2d\boldsymbol{\text{x}}_1\ket{\boldsymbol{\text{x}}_1}\left(-i\hbar e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\delta(\boldsymbol{\text{x}}_1-\boldsymbol{\text{x}}_2)\left(-i\hbar e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}_2|\alpha}&...&\text{(1)} \\ \\ \end{eqnarray} となる。(1)については、p.62,63の行列要素としての表示を用いた。 \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_{\pm}L_{\mp}|\alpha} &=& \int\int d\boldsymbol{\text{x}}_2d\boldsymbol{\text{x}}_1\braket{x^{\prime}|\boldsymbol{x}_1}\left(-i\hbar e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\delta(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2)\left(-i\hbar e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{x}_2|\alpha}& \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}_2\left(-i\hbar e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\delta(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}-\boldsymbol{x}_2)\left(-i\hbar e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{x}_2|\alpha}&...&\braket{x^{\prime}|\boldsymbol{x}_1}=\delta(x^{\prime}-\boldsymbol{x}_1)\text{としてデルタ関数の積分をした} \\ \\ &=& \left(-i\hbar e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\left(-i\hbar e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&...&\text{デルタ関数の積分} \\ \\ &=& -\hbar^2 e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\left( e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ &=& -\hbar^2 e^{\pm i\phi}\left[\pm i\frac{\partial}{\partial \theta}\left( e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\left( e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]\right)\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ &=& -\hbar^2 e^{\pm i\phi}\left[\pm i\left( e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-\frac{-1}{\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}-\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\phi}\right]\right)-\cot\theta\left( \mp ie^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]+e^{\mp i\phi}\left[\mp i\frac{\partial^2}{\partial\phi\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right)\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ &=& -\hbar^2 \left[\pm i\left( \left[\mp i\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-\frac{-1}{\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}-\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\phi}\right]\right)-\cot\theta\left( \mp i\left[\mp i\frac{\partial}{\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}\right]+\left[\mp i\frac{\partial^2}{\partial\phi\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\right)\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ &=& -\hbar^2 \left[\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\pm\frac{i}{\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\mp i\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\phi}-\cot\theta\left( -\frac{\partial}{\partial \theta}\pm\cot\theta\frac{\partial}{\partial \phi}+\mp i\frac{\partial^2}{\partial\phi\partial \theta}-\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ &=& -\hbar^2 \left[\underbrace{\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot^2\theta\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}}_{(2)}\pm\underbrace{\left(\frac{i}{\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}- i\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\phi}-\cot^2\theta\frac{\partial}{\partial \phi}+i\cot\theta\frac{\partial^2}{\partial\phi\partial \theta}\right)}_{(3)}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。このとき\(\pm\)の符号が付いている項(\((3)\)部分)について、\(+\)の要素と\(-\)の要素を足すと\(0\)になり、ついていない項(\((2)\)部分)は\(2\)倍されることから、 \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+}|\alpha} &=& -\hbar^2 \left[\underbrace{2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot^2\theta\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)}_{(2)}\pm\underbrace{0}_{(3)}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\\ \\ \end{eqnarray} となる。また、式(3.218)より \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_z^2|\alpha} &=& (-i\hbar)^2\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} となることから、これらを合わせて、 \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha} &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|L_z^2+\frac12(L_+L_-+L_-L_+)|\alpha} \\ \\ &=& \left[-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}-\frac12\hbar^2\cdot 2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot^2\theta\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)\right])\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -\hbar^2\left[\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot^2\theta\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -\hbar^2\left[(1+\cot^2\theta)\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{\cos}{\sin\theta}\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -\hbar^2\left[\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{1}{\sin\theta}\left\{\sin\theta\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cos\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right\}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left\{\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right\}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.210)より \begin{eqnarray} \boldsymbol{L} &=& \left( \begin{array}{cccc} yp_z-zp_y \\ zp_x-xp_z \\ xp_y-yp_x \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} x_2p_3\varepsilon_{231}+x_3p_2\varepsilon_{321} \\ x_3p_1\varepsilon_{312}+x_1p_3\varepsilon_{132} \\ x_1p_2\varepsilon_{123}+x_2p_1\varepsilon_{213} \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} であるので、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{L}^2 &=& \left( \begin{array}{cccc} x_2p_3\varepsilon_{231}+x_3p_2\varepsilon_{321} \\ x_3p_1\varepsilon_{312}+x_1p_3\varepsilon_{132} \\ x_1p_2\varepsilon_{123}+x_2p_1\varepsilon_{213} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} x_2p_3\varepsilon_{231}+x_3p_2\varepsilon_{321} \\ x_3p_1\varepsilon_{312}+x_1p_3\varepsilon_{132} \\ x_1p_2\varepsilon_{123}+x_2p_1\varepsilon_{213} \end{array} \right) \\ \\ &=& (x_2p_3\varepsilon_{231}+x_3p_2\varepsilon_{321})^2+(x_3p_1\varepsilon_{312}+x_1p_3\varepsilon_{132})^2+(x_1p_2\varepsilon_{123}+x_2p_1\varepsilon_{213})^2 \\ \\ &=& x_2p_3\varepsilon_{231}x_2p_3\varepsilon_{231}+x_3p_2\varepsilon_{321}x_3p_2\varepsilon_{321}+x_2p_3\varepsilon_{231}x_3p_2\varepsilon_{321}+x_3p_2\varepsilon_{321}x_2p_3\varepsilon_{231} \\ &&+ x_3p_1\varepsilon_{312}x_3p_1\varepsilon_{312}+x_1p_3\varepsilon_{132}x_1p_3\varepsilon_{132}+x_3p_1\varepsilon_{312}x_1p_3\varepsilon_{132}+x_1p_3\varepsilon_{132}x_3p_1\varepsilon_{312} \\ &&+ x_1p_2\varepsilon_{123}x_1p_2\varepsilon_{123}+x_2p_1\varepsilon_{213}x_2p_1\varepsilon_{213}+x_1p_2\varepsilon_{123}x_2p_1\varepsilon_{213}+x_2p_1\varepsilon_{213}x_1p_2\varepsilon_{123} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m}x_ip_j\varepsilon_{ij1}x_lp_m\varepsilon_{lm1}+\displaystyle\sum_{i,j,l,m}x_ip_j\varepsilon_{ij2}x_lp_m\varepsilon_{lm2}+\displaystyle\sum_{i,j,l,m}x_ip_j\varepsilon_{ij3}x_lp_m\varepsilon_{lm3}&...&i=j,l=m\text{のときは}\varepsilon_{ijk}=0,\varepsilon_{lmk}=0\text{になる。} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m,k}x_ip_j\varepsilon_{ijk}x_lp_m\varepsilon_{lmk}&...&\text{一行目}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}\)は、\(i=l\)かつ\(j=m\)のときに\(1\)、\(i=m\)かつ\(j=l\)のときに\(-1\)をとることがわかる。これを用いて、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{L}^2 &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m,k}x_ip_j\varepsilon_{ijk}x_lp_m\varepsilon_{lmk}&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})x_ip_jx_lp_m&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m}\left[\delta_{il}\delta_{jm}x_ip_jx_lp_m-\delta_{im}\delta_{jl}x_ip_jx_lp_m\right]&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m}\left[\delta_{il}\delta_{jm}x_i(p_jx_l)p_m-\delta_{im}\delta_{jl}x_ip_j(x_lp_m)\right]&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m}\left[\delta_{il}\delta_{jm}x_i(x_lp_j-i\hbar\delta_{jl})p_m-\delta_{im}\delta_{jl}x_ip_j(p_mx_l+i\hbar\delta_{lm})\right]&...&\text{式(1.215)より}[x_i,p_j]=x_ip_j-p_jx_i=i\hbar\delta_{ij}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{i,j,l,m}\left[\underbrace{\delta_{il}\delta_{jm}x_ix_lp_jp_m}_{(1)}-i\hbar\underbrace{\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{jl}x_ip_m}_{(2)}-\underbrace{\delta_{im}\delta_{jl}x_ip_jp_mx_l}_{(3)}-\underbrace{\delta_{im}\delta_{jl}x_ip_ji\hbar\delta_{lm}}_{(4)}\right]&\\ \\ &=& -i\hbar(\underbrace{\overbrace{x_1p_1}^{1,1,1,1}+\overbrace{x_2p_2}^{2,2,2,2}+\overbrace{x_3p_3}^{3,3,3,3}}_{(2)})-i\hbar(\underbrace{\overbrace{x_1p_1}^{1,1,1,1}+\overbrace{x_2p_2}^{2,2,2,2}+\overbrace{x_3p_3}^{3,3,3,3}}_{(4)})+\displaystyle\sum_{i,j}\left[\underbrace{x_{i}^2p_{j}^2}_{(1)}-\underbrace{x_ip_jp_ix_j}_{(3)}\right]&...&\text{上の括弧は}(i,j,l,m)\text{の順番}\\ \\ &=& \underbrace{x_1^2( p_1^2+p_2^2+p_3^2)+x_2^2( p_1^2+p_2^2+p_3^2)+x_3^2( p_1^2+p_2^2+p_3^2)}_{ ( 1 ) }-\underbrace{2i\hbar\boldsymbol{ \text{ x} }\cdot\boldsymbol{ \text{ p } } }_{(2)+(4)}+\displaystyle\sum_{i,j}\left[-\underbrace{x_i{\color{red}p_ip_j}x_j}_{(3)}\right]&...&\text{式(1.224)より交換可能}\\ \\ &=& \underbrace{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(p_1^2+p_2^2+p_3^2)}_{(1)}-2i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}+\displaystyle\sum_{i,j}\left[-\underbrace{x_ip_i(p_jx_j)}_{(3)}\right]&\\ \\ &=& \underbrace{\boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2}_{(1)}-2i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}+\displaystyle\sum_{i,j}\left[-\underbrace{x_ip_i(x_jp_j-i\hbar)}_{(3)}\right]&...&\text{式(1.215)より}[x_j,p_j]=i\hbar\\ \\ &=& \boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2-2i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}+\displaystyle\sum_{i,j}\left[-x_ip_ix_jp_j+i\hbar x_ip_i\right]&\\ \\ &=& \boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2-2i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}+\displaystyle\sum_{j}\left[-(\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}})x_jp_j+i\hbar \boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}\right]&...&i\text{についての総和}\\ \\ &=& \boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2-2i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}-(\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}})(\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}})+{\color{red}3}i\hbar \boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}&...&j\text{についての総和。}j=1,2,3\text{の三通りあるため係数は}3\\ \\ &=& \boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2-(\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}})^2+i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}&\\ \\ \end{eqnarray} と導出される。

三次元の運動量演算子は式(1.281)を用いることで、 \begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}|\alpha} &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}_1\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\boldsymbol{\text{x}}\ket{\boldsymbol{\text{x}}_1}\cdot\bra{\boldsymbol{\text{x}}_1}\boldsymbol{\text{p}}\ket{\alpha} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}_1\boldsymbol{\text{x}}_1\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}_1}\cdot(-i\hbar\boldsymbol{\nabla})\braket{\boldsymbol{\text{x}}_1|\alpha} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}_1\boldsymbol{\text{x}}_1\delta(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}-\boldsymbol{\text{x}}_1)\cdot(-i\hbar\boldsymbol{\nabla})\braket{\boldsymbol{\text{x}}_1|\alpha} \\ \\ &=& \boldsymbol{\text{x}}^{\prime}\cdot(-i\hbar\boldsymbol{\nabla})\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&...&\text{デルタ関数の積分より}\boldsymbol{\text{x}}_1=\boldsymbol{\text{x}}^{\prime} \\ \\ &=& r(-i\hbar\frac{\partial}{\partial r})\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&...&\text{(1)}\\ \\ &=& -i\hbar r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}&\\ \\ \end{eqnarray} と導出される。(1)について、p.49下部の記載より、演算子\(\boldsymbol{\text{x}}\)から得られる物理量は長さの次元を持つため、三次元極座標では\(r\)が得られる。それ以外の角度に関する成分は\(0\)になっていると考えられるため、 \begin{eqnarray} \boldsymbol{\text{x}}^{\prime}\cdot\boldsymbol{\nabla} &=& \left( \begin{array}{cccc} r\\ 0\\ 0 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial r}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\\ \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \end{array} \right) \\ \\ &=& r\frac{\partial}{\partial r} \end{eqnarray} と求められる。三次元極座標のナブラ演算子についてはこちらの解説などを参考

\begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha} &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\left[\boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2-(\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}})^2+i\hbar\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}\right]|\alpha} \\ \\ &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\left[\boldsymbol{\text{x}}^2\boldsymbol{\text{p}}^2\right]|\alpha}-\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\left[(\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}})^2\right]|\alpha}+i\hbar\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\left[\boldsymbol{\text{x}}\cdot\boldsymbol{\text{p}}\right]|\alpha} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\boldsymbol{\text{x}}^2\ket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha}-\underbrace{\left(-\hbar^2\left[r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]\right)}_{\text{式(3.228)}}+i\hbar\underbrace{\left(-i\hbar r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right)}_{\text{式(3.227)}}\\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}\underbrace{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime 2}\delta(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}-\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime})}_{\text{式(1.244)}}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha}+\hbar^2\left[r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+2r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]\\ \\ &=& \boldsymbol{\text{x}}^{\prime 2}\bra{\color{red}{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha}+\hbar^2\left[r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+2r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]&...&\text{デルタ関数の積分より}\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}=\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}\\ \\ &=& {\color{red}r^2}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha}+\hbar^2\left[r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+2r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]&...&\text{p.49下より、位置演算子の結果は長さの次元を持つため}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.229)を移項する。 \begin{eqnarray} &&\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha} &=& r^2\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha}+\hbar^2\left[r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+2r\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]&\\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha} &=& \bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha}+\hbar^2\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}\right]&\\ \\ &\Leftrightarrow& -\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\boldsymbol{\text{p}}^2\ket{\alpha} &=& \hbar^2\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-\frac{1}{\hbar^2r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha}\right]&\\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\left(-i\hbar \boldsymbol{\nabla}^{\prime}\right)^2\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}}_{\text{式(1.252)(1.281)}} &=& -\hbar^2\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-\frac{1}{\hbar^2r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha}\right]&\\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^{\prime 2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha} &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha}-\frac{1}{\hbar^2r^2}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{L}^2|\alpha}\right]&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.236)に\(\bra{\hat{\boldsymbol{n}}}\)を作用させることによって \begin{eqnarray} &&\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|\boldsymbol{L}^2|l,m} &=& l(l+1)\hbar^2\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m} \\ \\ &\Leftrightarrow& \boldsymbol{L}^2Y_l^m&=&l(l+1)\hbar^2Y_l^m \\ \\ &\Leftrightarrow& l(l+1)\hbar^2Y_l^m&=&\boldsymbol{L}^2Y_l^m \\ \\ &&&=& -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right]Y_l^m&...&\text{式(3.224)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \hbar^2\left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right]Y_l^m+l(l+1)\hbar^2Y_l^m &=& 0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+l(l+1)\right]Y_l^m &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

全領域にわたって積分する。今回は立体角\(\Omega\)の全域にわたって積分することを考える。これは三次元極座標におきかえると、動径方向を単位長さ\(1\)に固定して積分することに相当する。 そのため、デカルト座標系からの変換係数(ヤコビアン)は\(r^2\sin\theta\to \sin\theta\)になる。これを用いて、 \begin{eqnarray} \braket{l^{\prime},m^{\prime}|l,m} &=& \int d\Omega_{\hat{\boldsymbol{n}}}\braket{l^{\prime},m^{\prime}|\hat{\boldsymbol{n}}}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi}d\theta\sin\theta\braket{l^{\prime},m^{\prime}|\hat{\boldsymbol{n}}}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi}d\theta\sin\theta\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l^{\prime},m^{\prime} }^{\ast}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi}d\theta\sin\theta Y_{l^{\prime} }^{m^{\prime}\ast }(\theta,\phi)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)&...&\text{式(3.232)より} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{1}^{-1}(-dt) Y_{l^{\prime} }^{m^{\prime}\ast }(t,\phi)Y_{l}^{m}(t,\phi)&...&t=\cos\theta\to dt=-\sin\theta d\theta\text{とし、積分範囲を}1\to-1\text{に変更した} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{\color{red}-1}^{\color{red}1}dt Y_{l^{\prime} }^{m^{\prime}\ast }(t,\phi)Y_{l}^{m}(t,\phi)&...&\text{積分区間を逆にした}\\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}d(\cos\theta) Y_{l^{\prime} }^{m^{\prime}\ast }(\theta,\phi)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)&...&t=\cos\theta\text{と戻した} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} -i\hbar e^{i\phi}\left[i\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right]Y_l^l(\theta,\phi) &=& -i\hbar e^{i\phi}\left[i\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right]c_le^{il\phi}\sin^l\theta \\ \\ &=& -i\hbar e^{i\phi}c_l\left[i\frac{\partial}{\partial\theta}e^{il\phi}\sin^l\theta-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}e^{il\phi}\sin^l\theta\right] \\ \\ &=& -i\hbar e^{i\phi}c_l\left[ie^{il\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin^l\theta-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\sin^l\theta\frac{\partial}{\partial\phi}e^{il\phi}\right] \\ \\ &=& -i\hbar e^{i\phi}c_l\left[ie^{il\phi}l\sin^{l-1}\theta\cos\theta-\cos\theta\sin^{l-1}\theta ile^{il\phi}\right] \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} と確認できる。

式(3.283)より \begin{eqnarray} \braket{l,m|l,m}&=&1 \end{eqnarray} であるため、 \begin{eqnarray} \braket{l,m|l,m} &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}d(\cos\theta)Y_l^{l\ast}(\theta,\phi)Y_l^{l}(\theta,\phi)&...&\text{式(3.239)} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}d(\cos\theta)(c_le^{il\phi}\sin^l\theta)^{\ast}(c_le^{il\phi}\sin^l\theta)&...&\text{式(3.243)} \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}d(\cos\theta)(c_le^{-il\phi}\sin^l\theta)(c_le^{il\phi}\sin^l\theta)&\\ \\ &=& c_l^2\int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}d(\cos\theta)\sin^{2l}\theta&\\ \\ &=& c_l^2\int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}d(\cos\theta)(1-\cos^{2}\theta)^l&\\ \\ &=& c_l^2\int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1}dt(1-t^2)^l&...&\cos\theta=t\text{とした}\\ \\ &=& 2\pi c_l^2\int_{-1}^{1}dt(1-t^2)^l&\\ \\ &=& 2\pi c_l^2\int_{-1}^{1}dt((1-t)(1+t))^l&\\ \\ &=& 2\pi c_l^2\int_{-1}^{1}dt(1-t)^l(1+t)^l&\\ \\ &=& 2\pi c_l^2\frac{l!l!}{(l+l+1)!}(1-(-1))^{l+l+1}&...&\text{(1)}\\ \\ &=& 2\pi c_l^2\frac{l!l!}{(2l+1)!}2^{2l+1}&\\ \\ &=& 1 \\ \\ \therefore c_l^2 &=& \frac{(2l+1)!}{2\pi l!l!}2^{-(2l+1)}&\\ \\ &=& \frac{(2l+1)!}{4\pi l!l!}2^{-(2l)}&\\ \\ &=& \left[\sqrt{\frac{(2l+1)!}{4\pi }}\frac{1}{l!}2^{-l}\right]^2&\\ \\ &=& \left[\sqrt{\frac{(2l+1)2l!}{4\pi }}\frac{(-1)^l}{2^{l}l!}\right]^2&...&\text{(2)}\\ \\ \Rightarrow c_l &=& \sqrt{\frac{(2l+1)2l!}{4\pi }}\frac{(-1)^l}{2^{l}l!} \end{eqnarray} と導出できる。
(1)についてはベータ関数の積分を用いた。こちらの解説などを参考。
(2)についてはp.239下の脚注を参照。

p.234したより、スピン角運動量を無視できる状況を考えているため、角運動量\(\boldsymbol{J}\)は起動角運動量\(\boldsymbol{L}\)と等しいくなる。式(3.192)を\(L_-\)に置き換えて適用すると \begin{eqnarray} &&L_-\ket{l,m}&=&\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\ket{l,m-1} \\ \\ &\Rightarrow& \bra{\hat{\boldsymbol{n}}}L_-\ket{l,m}&=&\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-1} \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m-1}&=&\frac{\bra{\hat{\boldsymbol{n}}}L_-\ket{l,m}}{\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}} \end{eqnarray} と導出できる。

\(Y_l^m(\theta,\phi)\)の\(\theta\)に依存する部分に着目する。\(m\geq 0\)のとき \begin{eqnarray} Y_l^m(\theta,\phi) &\propto& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m}}{\partial (\cos\theta)^{l-m}}(\sin\theta)^{2l} \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m}}{\partial (\cos\theta)^{l-m}}(\sin^2\theta)^{l} \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m}}{\partial (\cos\theta)^{l-m}}(1-\cos^2\theta)^{l} \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m}}{\partial (\cos\theta)^{l-m}}((1-\cos\theta)^l(1+\cos\theta)^l) \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m}}{\partial t^{l-m}}((1-t)^l(1+t)^l)&...&\text{見やすさのために}t=\cos\theta\text{とした} \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m-1}}{\partial t^{l-m-1}}((-1)l(1-t)^{l-1}(1+t)^l+(1-t)^{l}l(1+t)^{l-1})& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\frac{\partial^{l-m-2}}{\partial t^{l-m-2}}\{(-1)^2l(l-1)(1-t)^{l-2}(1+t)^l+l(-1)(1-t)^{l-1}l(1+t)^{l-1}+(1-t)^{l}l(l-1)(1+t)^{l-2}\}& \\ \\ \\ \\ &&\vdots \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^kl(l-1)\ldots(l-k)(1-t)^{l-k}\cdot l(l-1)\ldots(l-(l-m-k))(1+t)^{l-(l-m-k)}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k}\cdot \frac{l!}{(l-(l-m-k)!}(1+t)^{l-(l-m-k)}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{m+k}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。このとき各項の\((1-t)\)の指数の最小値は\(k=l-m\)のときの\(m\)、\((1+t)\)の指数の最小値は\(k=0\)のときの\(m\)であるため、すべての項には最低でも\(((1-t)(1+t))^m\)が含まれていることになるため、 \begin{eqnarray} Y_l^m(\theta,\phi) &\propto& \frac{1}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{m+k}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}((1-t)(1+t))^m& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}(1-t^2)^m& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}(1-t^2)^m\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sin^m\theta}(1-\cos^2\theta)^m\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}& \\ \\ &=& \frac{(\sin^2\theta)^m}{\sin^m\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}& \\ \\ &=& \underbrace{\sin^m\theta}_{(1)}\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}}_{(2)}& \\ \\ \end{eqnarray} となり、(1)の部分に着目すると\(\sin^m\theta\)の項が含まれることがわかる。
(2)の部分に着目すると\(t=\cos\theta\)の最高次数は\(t^{l-k-m}t^{k}=t^{l-m}\)であることから、(2)の部分は\(\cos\theta\)の\(l-m\)次の多項式であることがわかる。
以上より、\(\sin^m\theta\)と\(\cos\theta\)の\(l-m\)次多項式を掛け算したものであることがわかる。

一方、\(m\lt 0\)の場合を考える。\(m=-m^{\prime}...m^{\prime}\gt 0\)とすると \begin{eqnarray} Y_l^m(\theta,\phi) &=& (-1)^{m^{\prime}}Y_l^{m^{\prime}\ast}(\theta,\phi) \\ \\ &\propto& \frac{1}{\sin^{m^{\prime}}\theta}\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m^{\prime}}{}_{l-m^{\prime}}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k}\cdot \frac{l!}{(m^{\prime}+k)!}(1+t)^{m^{\prime}+k}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られ、これは\(m\geq 0\)の時と同じ式が得られ、\(\sin^{m^{\prime}}\theta=(\sin\theta)^{-m}\)と\(\cos\theta\)の\(l-m^{\prime}=l-(-m)\)次多項式の掛算したものであることがわかる。
\(m\geq 0\)と\(m\lt 0\)のときを合わせて考えると、\(\sin\theta^{|m|}\)と\(\cos\theta\)の\(l-|m|\)次の多項式を掛算したものであることがわかる。

\(P_l(\cos\theta)\)はルジャンドル多項式の項であることから、\(Y_l^0\)がルジャンドル多項式を満たすことを示す。
式(3.237)において\(m=0\)とすると \begin{eqnarray} &&\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+l(l+1)\right]Y^0_l \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\cdot 0+l(l+1)\right]Y^0_l&...&\text{式(3.234)より}m=0\text{であるから} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} が得られる。ここで、\(t=\cos\theta\)とする。\(dt=-\sin\theta d\theta\)であるから、 \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial\theta}&=&\frac{\partial t}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial t} \\ \\ &=& -\sin\theta\frac{\partial}{\partial t} \\ \\ \end{eqnarray} となる。これを用いて、 \begin{eqnarray} &&\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\cdot 0+l(l+1)\right]Y^0_l& \\ \\ &=& \left[\frac{1}{\sin\theta}\left(-\sin\theta\frac{\partial}{\partial t}\right)\left(-\sin\theta\sin\theta\frac{\partial}{\partial t}\right)+l(l+1)\right]Y^0_l& \\ \\ &=& \left[-\frac{\partial}{\partial t}\left(-\sin^2\theta\frac{\partial}{\partial t}\right)+l(l+1)\right]Y^0_l& \\ \\ &=& \left[-\frac{\partial}{\partial t}\left(-1+\cos^2\theta\frac{\partial}{\partial t}\right)+l(l+1)\right]Y^0_l& \\ \\ &=& \left[-\frac{\partial}{\partial t}\left((-1+t^2)\frac{\partial}{\partial t}\right)+l(l+1)\right]Y^0_l&...&t=\cos\theta\text{より} \\ \\ &=& \left[(1-t^2)\frac{\partial^2}{\partial t^2}-2t\frac{\partial}{\partial t}+l(l+1)\right]Y^0_l=0& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。最後の式はルジャンドルの微分方程式であるから、解は規格化定数を用いて\(Y_l^0=cP_l(t)=cP_l(\cos\theta)\)と書ける。
また、この規格化定数は \begin{eqnarray} \int d\Omega |Y_l^0(\theta,\phi)|^2 &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi} \sin\theta d\theta c^2P_l(\cos\theta)^2 \\ \\ &=& \int_0^{2\pi}d\phi\int_{-1}^{1} d(\cos\theta) c^2P_l(\cos\theta)^2&...&\text{(1)} \\ \\ &=& 2\pi c^2\underbrace{\int_{-1}^{1} d(\cos\theta) P_l(\cos\theta)^2}_{(2)}& \\ \\ &=& 2\pi c^2\underbrace{\frac{2}{2l+1}}_{(2)}& \\ \\ &=& c^2\frac{4\pi}{2l+1}& \\ \\ &=&1 \\ \\ \Rightarrow c&=&\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} \end{eqnarray} となることから、 \begin{eqnarray} Y_l^0(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos\theta) \end{eqnarray} と求められる。
(1)の式変形は式(3.239)の導出など参考。
(2)をはじめとしたルジャンドル多項式、ルジャンドルの微分方程式やそれらの解法についてはこちらの解説など参考。

式(3.250)の中の回転を表す演算子は、式(3.213)の左辺を用いて有限角度へ拡張すると \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{i}{\hbar}L_z\frac{\phi}{N}\right)^N &=& \exp\left(-i\frac{\phi}{\hbar}L_z\right) \end{eqnarray} と得られる。これは極座標表示した状態に対して式(3.217)を用いる。\(x^{\prime}=r\sin\theta\cos\phi,y^{\prime}=r\sin\theta\cos\sin,z^{\prime}=r\cos\theta\)とすると \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{N\to\infty}\braket{r,\theta,\phi|\left[1-i\frac{\phi^{\prime}/N}{\hbar}L_z\right]^N|\alpha} &=& \displaystyle\lim_{N\to\infty}\braket{r,\theta,\phi-\frac{\phi^{\prime}}{N}|\left[1-i\frac{\phi^{\prime}/N}{\hbar}L_z\right]^{\color{red}{N-1}}|\alpha} \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{N\to\infty}\braket{r,\theta,\phi-2\frac{\phi^{\prime}}{N}|\left[1-i\frac{\phi^{\prime}/N}{\hbar}L_z\right]^{\color{red}{N-2}}|\alpha} \\ \\ &&\vdots \\ \\ &=& \braket{r,\theta,\phi-\phi^{\prime}|\alpha} \end{eqnarray} が得られる。ここで、座標系をデカルト座標系に戻すと \begin{eqnarray} \braket{r,\theta,\phi-\phi^{\prime}|\alpha} &=& \braket{x^{\prime\prime}=r\sin\theta\cos(\phi-\phi^{\prime}),y^{\prime\prime}=r\sin\theta\sin(\phi-\phi^{\prime}),z^{\prime\prime}=r\cos\theta|\alpha} \\ \\ &=& \braket{r\sin\theta\cos\phi\cos\phi^{\prime}+r\sin\theta\sin\phi\sin\phi^{\prime},r\sin\theta\sin\phi\cos\phi^{\prime}-r\sin\theta\cos\phi\sin\phi^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime}\cos\phi^{\prime}+y^{\prime}\sin\phi^{\prime},y^{\prime}\cos\phi^{\prime}-x^{\prime}\sin\phi^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} となる。\(\phi^{\prime}=2\pi\)を代入すると \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{N\to\infty}\braket{r,\theta,\phi|\left[1-i\frac{2\pi/N}{\hbar}L_z\right]^N|\alpha} &=& \braket{r,\theta,\phi|\exp\left[-i\frac{2\pi}{\hbar}L_z\right]|\alpha} \\ \\ &=& \braket{r,\theta,\phi-2\pi|\alpha} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime}\cos(2\pi)+y^{\prime}\sin(2\pi),y^{\prime}\cos(2\pi)-x^{\prime}\sin(2\pi),z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime}\cdot 1+y^{\prime}\cdot 0,y^{\prime}\cdot 1-x^{\prime}\cdot 0,z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}|\alpha} \\ \\ \end{eqnarray} が導ける。

状態ケットの位置固有ケットによる展開が一意的であることについて
式(3.232)はp.118の式(2.189)上の事実より、位置固有ケット\(\ket{\hat{\boldsymbol{n}}}\)による展開係数と見なすことができる。
展開係数は式(1.62)で定められていることから、多価関数であることは想定していないと見なせる。
また、\(\phi\)は極座標系において\(\phi+2\pi=\phi\)となるが、\(m\)が半整数のとき、 \begin{eqnarray} e^{im\phi}=e^{im(\phi+2\pi)}= \left\{ \begin{array}{l} e^{im\phi}&...&2\pi\text{付与前}\\ -e^{im\phi}&...&2\pi\text{付与後}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} となり、二価の関数となってしまっていることから、\(m\)は整数になり、波動関数が1価になる。

式(3.245)を用いる。 \begin{eqnarray} Y_{\frac{1}{2}}^{-\frac{1}{2}}(\theta,\phi) &=& \braket{\hat{\boldsymbol{n}}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}-1} \\ \\ &=& \frac{\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|L_-|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}}{\sqrt{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}\hbar}&...&\text{式(3.245)より} \\ \\ &=& \frac{1}{\hbar}\left[-i\hbar e^{-i\phi}\left(-i\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\right]&...&\text{式(3.222)より} \\ \\ &=& -i e^{-i\phi}\left(-i\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right)c_{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}&...&\text{式(3.251)より} \\ \\ &=& e^{-i\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right)c_{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}& \\ \\ &=& e^{-i\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial\theta}c_{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}c_{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right)& \\ \\ &=& e^{-i\phi}\left(-c_{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\phi}{2}}\frac{\cos\theta}{2\sqrt{\sin\theta}}+i\cot\theta c_{\frac{1}{2}}i\frac{1}{2}e^{i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{2}e^{-i\frac{\phi}{2}}c_{\frac{1}{2}}\left(-\frac{\cos\theta\sqrt{\sin\theta}}{\sin\theta}-\cot\theta\sqrt{\sin\theta}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{2}e^{-i\frac{\phi}{2}}c_{\frac{1}{2}}\left(-\cot\theta\sqrt{\sin\theta}-\cot\theta\sqrt{\sin\theta}\right)& \\ \\ &=& -e^{-i\frac{\phi}{2}}c_{\frac{1}{2}}\cot\theta\sqrt{\sin\theta}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.245)を用いる。 \begin{eqnarray} -i\hbar e^{-i\phi}\left(-i\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} &=& -i\hbar e^{-i\phi}\left(-i\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right)Y_{\frac{1}{2}}^{-\frac{1}{2}} \\ \\ &=& -i\hbar e^{-i\phi}\left(-i\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right)c_{\frac{1}{2}}^{\prime}e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta} \\ \\ &=& -i\hbar c_{\frac{1}{2}}^{\prime}e^{-i\phi}\left(-i\frac{\partial}{\partial\theta}e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}-\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right) \\ \\ &=& -i\hbar c_{\frac{1}{2}}^{\prime}e^{-i\phi}\left(-ie^{-i\frac{\phi}{2}}\frac{\cos\theta}{2\sqrt{\sin\theta}}-\cot\theta\frac{-i}{2}e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right) \\ \\ &=& -i\hbar c_{\frac{1}{2}}^{\prime}e^{-i\phi}\left(-ie^{-i\frac{\phi}{2}}\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}\sqrt{\sin\theta}-\frac{-i}{2}\cot\theta e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right) \\ \\ &=& -i\hbar c_{\frac{1}{2}}^{\prime}e^{-i\phi}\left(-ie^{-i\frac{\phi}{2}}\frac{\cot\theta}{2}\sqrt{\sin\theta}+\frac{i}{2}\cot\theta e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right) \\ \\ &=& -i\hbar c_{\frac{1}{2}}^{\prime}e^{-i\phi}\left(-\frac{i}{2}\cot\theta e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}+\frac{i}{2}\cot\theta e^{-i\frac{\phi}{2}}\sqrt{\sin\theta}\right) \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となり、式を満たすことがわかる。

\(\braket{\hat{\boldsymbol{n}}|l,m}\)はすべての向きに対するブラを作用させているため、すべての向きに対する関数として\(Y_l^m(\theta,\phi)\)が得られている。
そのため、\(z\)軸方向のブラを考える際に\(\theta=0\)とすると\(\hat{\boldsymbol{n}}=\hat{\boldsymbol{z}}\)としてみなせるため、 \begin{eqnarray} \braket{l,m|\hat{ \boldsymbol{ z } } } &=& \braket{\hat{ \boldsymbol{ z } } |l,m}^{\ast} \\ \\ &=& Y_l^{m\ast}(\theta=0,\phi) \end{eqnarray} となる。

p.240中段より、\(Y_l^m(\theta,\phi)\)の\(\theta\)に依存する部分は、\(f_n(x)\)を\(x\)の\(n\)次多項式としたときに \begin{eqnarray} Y_m^l(\theta,\phi)\propto[\sin\theta]^{|m|}\cdot f_{l-|m|}(\cos\theta) \end{eqnarray} と書くことができる。これは\(m\neq 0\)のときには常に\(\sin\theta\)がかけられており、\(\theta=0\)のときにこの項は\(0\)になることがわかる。

\(\ket{\hat{\boldsymbol{z}}}=\ket{0,0,1}\)とすると、式(3.215)を用いて、 \begin{eqnarray} &&\bra{0,0,z^{\prime}}\left[1-i\frac{\delta\phi}{\hbar}L_z\right]\ket{\alpha} &=& \braket{0+0\delta\phi,0-0\delta\phi,z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &&&=& \braket{0,0,z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \braket{0,0,z^{\prime}|\alpha}-i\frac{\delta\phi}{\hbar}\bra{0,0,z^{\prime}}L_z\ket{\alpha} &=& \braket{0,0,z^{\prime}|\alpha} \\ \\ &\Leftrightarrow& \bra{0,0,z^{\prime}}L_z\ket{\alpha}&=&\bra{0,0,z^{\prime}}0\ket{\alpha} \end{eqnarray} となることから、\(\ket{\hat{\boldsymbol{z}}}\)が\(L_z\)の固有値\(0\)の固有ケットになる。

\(m=0\)のときは「式(3.246)は\([\sin\theta]^{|m|}\)に\(\cos\theta\)の\(l-|m|\)次多項式を掛け算したものになること」の途中式に対し、\(m=0\)を代入する。\(\cos\theta=t\)とおくと \begin{eqnarray} Y_l^m(\theta,\phi)|_{m=0} &=& \left.\frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}\sin^m\theta\displaystyle\sum_{k=0}^{l-m}{}_{l-m}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k-m}\cdot \frac{l!}{(m+k)!}(1+t)^{k}\right|_{m=0}& \\ \\ &=& \frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{l!}{l!}}\displaystyle\sum_{k=0}^{l}{}_{l}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k}\cdot \frac{l!}{k!}(1+t)^{k}& \\ \\ &=& \frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}\displaystyle\sum_{k=0}^{l}{}_{l}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}\underbrace{(1-t)^{l-k}}_{(1)}\cdot \frac{l!}{k!}(1+t)^{k}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ブラ\(\bra{\hat{\boldsymbol{n}}=\hat{\boldsymbol{z}}}\)を作用させることで全ての方向成分の中から\(z\)方向成分、つまり極座標における\(\theta=0\)の成分を求めることになる。\(t=\cos\theta\)であることから、\(\theta=0\)のときに\(t=1\)を代入することを考えると、(1)の部分は\(l=k\)のとき以外、全て\(0\)になるため、 \begin{eqnarray} Y_l^0(\theta=0,\phi) &=& \left.\frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}\displaystyle\sum_{k=0}^{l}{}_{l}\text{C}_k(-1)^k\frac{l!}{(l-k)!}(1-t)^{l-k}\cdot \frac{l!}{k!}(1+t)^{k}\right|_{t=1}& \\ \\ &=& \left.\frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}{}_{l}\text{C}_l(-1)^l\frac{l!}{(l-l)!}(1-t)^{l-l}\cdot \frac{l!}{l!}(1+t)^{l}\right|_{t=1}& \\ \\ &=& \left.\frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}(-1)^ll!\cdot (1+t)^{l}\right|_{t=1}& \\ \\ &=& \frac{(-1)^l}{2^ll!}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}(-1)^ll!\cdot 2^{l}& \\ \\ &=& (-1)^{2l}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}& \\ \\ \end{eqnarray} となることから、クロネッカーのデルタ記号を用いて、 \begin{eqnarray} \braket{l,m|\hat{\boldsymbol{z}}} &=& Y_l^{m\ast}(\theta=0,\phi) \\ \\ &=& \left(\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}\delta_{m,0}\right)^{\ast}& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}}\delta_{m,0} \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} L_z\ket{\hat{\boldsymbol{z}}}=0\ket{\hat{\boldsymbol{z}}} \end{eqnarray} であることから、\(\hat{\boldsymbol{z}}\)は\(m=0\)の固有値を持つことがわかる。式(1.131) これを用いて、 \begin{eqnarray} \braket{l,m|\hat{\boldsymbol{z}},m} &=& \displaystyle\sum_{l^{\prime}}\braket{l,m|l^{\prime},0}\braket{l^{\prime},0|\hat{\boldsymbol{z}},m=0} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{l^{\prime}}\delta_{l,l^{\prime}}\delta_{m,0}\braket{l^{\prime},0|\hat{\boldsymbol{z}},m=0}&...&\text{式(1.131)より} \\ \\ &=& \delta_{m,0}\braket{l,0|\hat{\boldsymbol{z}},m=0}&...&\text{クロネッカーのデルタより}l^{\prime}=l\\ \\ &=& \delta_{m,0}\braket{l,0|\hat{\boldsymbol{z}}}&...&m=0\text{は省略}\\ \\ &=& \int d\theta\delta_{m,0}\braket{l,0|\theta}\braket{\theta|\hat{\boldsymbol{z}}}&\\ \\ &=& \int d\theta\delta_{m,0}\braket{l,0|\theta}\delta(\theta)&...&\text{(1)}(x,y,z)=(0,0,1)\text{を極座標で書くと}(r,\theta,\phi)=(1,0,\phi)\text{であるため}\\ \\ &=& \delta_{m,0}\braket{l,0|\phi,\theta=0}&...&\text{デルタ関数の積分より}\\ \\ &=& \delta_{m,0}\braket{\phi,\theta=0|l,0}^{\ast}&\\ \\ &=& \delta_{m,0}Y_l^{0 \ast}(\phi,\theta=0)&\\ \\ &=& \delta_{m,0}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos 0)&...&\text{式(3.248)より}\\ \\ \end{eqnarray} が得られ、\(P_l(1)\)の計算は「式(3.259)の導出(I：\(Y_l^{m}\)から計算)」に示した。
(1)については、極座標系の中で\(\theta\)だけを利用する際にヤコビアンの扱いがどのようになるかは議論が必要。

式(3.248)より、\(m=0\)のときは \begin{eqnarray} Y_l^m(\theta,\phi)|_{m=0}=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos\theta) \end{eqnarray} であるため、 \begin{eqnarray} &&\mathscr{D}_{00}^{(l)}(\alpha,\beta,\gamma=0) &=& \left.\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_l^{0\ast}(\theta,\phi)\right|_{\theta=\beta,\phi=\alpha} \\ \\ &&&=& \left.\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos\theta)\right|_{\theta=\beta,\phi=\alpha} \\ \\ &&&=& \left.P_l(\cos\theta)\right|_{\theta=\beta}&...&\alpha=\phi\text{には依存しない式であるため} \\ \\ &\Leftrightarrow& d_{00}^{(l)}(\beta)|_{\beta=\theta}&=&P_l(\cos\theta) \end{eqnarray} と書ける。(\(\gamma=0\)であり、\(\phi\)には依存しないため省略した)