現代の量子力学の行間埋め　第３章

\begin{eqnarray} [J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_z] &=& J_x^2J_z+J_y^2J_z+J_z^2J_z-(J_zJ_x^2+J_zJ_y^2+J_zJ_z^2) \\ \\ &=& J_x^2J_z+J_y^2J_z-(J_zJ_x^2+J_zJ_y^2) \\ \\ &=& J_x^2J_z+(J_xJ_zJ_x-J_xJ_zJ_x)+J_y^2J_z+(J_yJ_zJ_y-J_yJ_zJ_y)-(J_zJ_x^2+J_zJ_y^2) \\ \\ &=& J_xJ_xJ_z+(J_xJ_zJ_x-J_xJ_zJ_x)+J_yJ_yJ_z+(J_yJ_zJ_y-J_yJ_zJ_y)-(J_zJ_xJ_x+J_zJ_yJ_y) \\ \\ &=& (J_xJ_xJ_z-J_xJ_zJ_x)+(J_xJ_zJ_x-J_zJ_xJ_x)+(J_yJ_yJ_z-J_yJ_zJ_y)+(J_yJ_zJ_y-J_zJ_yJ_y) \\ \\ &=& J_x[J_x,J_z]+[J_x,J_z]J_x+J_y[J_y,J_z]+[J_y,J_z]J_y \\ \\ &=& J_x(-i\hbar J_y)+(-i\hbar J_y)J_x+J_y(i\hbar J_x)+(i\hbar J_x)J_y&...&\text{式(3.20)より} \\ \\ &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} [J_+,J_-] &=& [J_x+iJ_y,J_x-iJ_y]&...&\text{式(3.157)} \\ \\ &=& (J_x+iJ_y)(J_x-iJ_y)-(J_x-iJ_y)(J_x+iJ_y) \\ \\ &=& J_x^2+J_y^2-iJ_xJ_y+iJ_yJ_x-J_x^2-J_y^2-iJ_xJ_y+iJ_yJ_x\\ \\ &=& 2iJ_yJ_x-2iJ_xJ_y\\ \\ &=& 2i[J_y,J_x]\\ \\ &=& 2i(-i\hbar J_z)&...&\text{式(3.20)}\\ \\ &=& 2\hbar J_z&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} [J_z,J_{\pm}] &=& [J_z,J_x\pm iJ_y]&...&\text{式(3.157)} \\ \\ &=& [J_z,J_x]\pm i[J_z, J_y]&\\ \\ &=& i\hbar J_y\pm i(-i\hbar J_x)&...&\text{式(3.20)}\\ \\ &=& \pm\hbar J_x+i\hbar J_y&\\ \\ &=& \pm \hbar J_{\pm}&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} [\boldsymbol{J}^2,J_{\pm}] &=& [J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_x\pm iJ_y]&...&\text{式(3.157)} \\ \\ &=& [J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_x]\pm i[J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_y]&\\ \\ &=& 0&...&\text{式(3.154)より} \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} J_z(J_{\pm}\ket{a,b}) &=& (J_zJ_{\pm}-J_{\pm}J_z+J_{\pm}J_z)\ket{a,b} \\ \\ &=& ([J_z,J_{\pm}]+J_{\pm}J_z)\ket{a,b} \\ \\ &=& (\underbrace{\pm\hbar J_{\pm}}_{\text{式(3.158b)}}+J_{\pm}\underbrace{b}_{\text{式(3.156b)より}})\ket{a,b}& \\ \\ &=& (\pm\hbar J_{\pm}+bJ_{\pm})\ket{a,b}& \\ \\ &=& (\pm\hbar +b)(J_{\pm}\ket{a,b})& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

こちらの該当部分に記載がある。

式(3.159)より、\(\boldsymbol{J}^2J_{\pm}=J_{\pm}\boldsymbol{J}^2\)と交換関係が成り立つため \begin{eqnarray} \boldsymbol{J}^2J_{\pm}\ket{a,b} &=& J_{\pm}\boldsymbol{J}^2\ket{a,b} \\ \\ &=& J_{\pm}a\ket{a,b}&...&\text{式(3.156a)より} \\ \\ &=& aJ_{\pm}\ket{a,b}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(J_+J_+^{\dagger}+J_+^{\dagger}J_+) &=& \frac{1}{2}(J_+(J_x+iJ_-)^{\dagger}+(J_x+iJ_y)^{\dagger}J_+) \\ \\ &=& \frac{1}{2}(J_+(J_x^{\dagger}-iJ_y^{\dagger})+(J_x^{\dagger}-iJ_y^{\dagger})J_+) \\ \\ &=& \frac{1}{2}(J_+(J_x-iJ_y)+(J_x-iJ_y)J_+)&...&\text{p.190下より}J_k\text{はエルミート的} \\ \\ &=& \frac{1}{2}(J_+J_-+J_-J_+)& \\ \\ &=& \frac{1}{2}((J_x+iJ_y)(J_x-iJ_y)+(J_x-iJ_y)(J_x+iJ_y))& \\ \\ &=& \frac{1}{2}(J_x^2+J_y^2-iJ_xJ_y+iJ_yJ_x+J_x^2+J_y^2-iJ_yJ_x+iJ_xJ_y)& \\ \\ &=& J_x^2+J_y^2& \\ \\ &=& J_x^2+J_y^2+J_z^2-J_z^2& \\ \\ &=& \boldsymbol{J}^2-J_z^2& \\ \\ \end{eqnarray} と確認できる。

式(3.174)(3.177)より \begin{eqnarray} &&b_{\text{max}}(b_{\text{max}}+\hbar)&=&b_{\text{min}}(b_{\text{min}}-\hbar) \\ \\ &\Leftrightarrow& b_{\text{max}}(b_{\text{max}}+\hbar)-b_{\text{min}}(b_{\text{min}}-\hbar)&=&b_{\text{max}}^2-b_{\text{min}}^2+\hbar(b_{\text{max}}+b_{\text{min}}) \\ \\ &&&=& (b_{\text{max}}+b_{\text{min}})(b_{\text{max}}-b_{\text{min}})+\hbar(b_{\text{max}}+b_{\text{min}}) \\ \\ &&&=& (b_{\text{max}}+b_{\text{min}})(b_{\text{max}}-b_{\text{min}}+\hbar) \\ \\ &&&=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} この式は\(b_{\text{max}}=-b_{\text{min}},b_{\text{max}}=b_{\text{min}}-\hbar\)の時に成立するが、後者は\(b_{\text{max}}\lt b_{\text{min}}\)となってしまうため不適。 従って、\(b_{\text{max}}=-b_{\text{min}}\)が得られる。

式(3.180)より \begin{eqnarray} &&b_{\text{max}}&=&b_{\text{min}}+n\hbar \\ \\ &\Leftrightarrow& b_{\text{max}}-b_{\text{min}}&=&n\hbar \\ \\ &\Leftrightarrow& b_{\text{max}}+b_{\text{max}}&=&n\hbar&...&\text{式(3.178)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& b_{\text{max}}&=&\frac{n\hbar}{2}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(3.181)に式(3.182)を代入すると \begin{eqnarray} b_{\text{max}} &=& \frac{n\hbar}{2} \\ \\ &=& j\hbar \end{eqnarray} が得られる。これを式(3.174)に代入すると \begin{eqnarray} a&=&b_{\text{max}}(b_{\text{max}}+\hbar) \\ \\ &=& j\hbar(j\hbar+\hbar) \\ \\ &=& \hbar^2 j(j+1) \end{eqnarray} が得られる。

式(3.186a)(3.186b)に左からブラ\(\bra{j^{\prime},m^{\prime}}\)を作用させると \begin{eqnarray} \braket{j^{\prime},m^{\prime}|\boldsymbol{J}^2|j,m} &=& \braket{j^{\prime},m^{\prime}|j(j+1)\hbar^2|j,m} \\ \\ &=& j(j+1)\hbar^2\braket{j^{\prime},m^{\prime}|j,m} \\ \\ &=& j(j+1)\hbar^2\delta_{j,j^{\prime}}\delta_{m,m^{\prime}}&...&\text{式(1.131)より} \\ \\ \\ \braket{j^{\prime},m^{\prime}|J_z|j,m} &=& \braket{j^{\prime},m^{\prime}|m\hbar|j,m} \\ \\ &=& m\hbar\braket{j^{\prime},m^{\prime}|j,m} \\ \\ &=& m\hbar\delta_{j,j^{\prime}}\delta_{m,m^{\prime}} \\ \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} J_+^{\dagger} &=& (J_x+iJ_y)^{\dagger} \\ \\ &=& J_x-iJ_y&...&\text{p.190下より}J_k\text{はエルミート的なので}J_k^{\dagger}=J_k \\ \\ &=& J_- \end{eqnarray} であるから、\(J_+^{\dagger}J_+=J_-J_+\)である。これを用いて、 \begin{eqnarray} \braket{j,m|J_+^{\dagger}J_+|j,m} &=& \braket{j,m|J_-J_+|j,m} \\ \\ &=& \braket{j,m|(\boldsymbol{J}^2-J_z^2-\hbar J_z)|j,m}&...&\text{式(3.171)より} \\ \\ &=& \braket{j,m|(j(j+1)\hbar^2-(m\hbar)^2-\hbar m\hbar)|j,m}&...&\text{式(3.186a)(3.186b)より} \\ \\ &=& \hbar^2(j(j+1)-m^2-m)\braket{j,m|j,m}& \\ \\ &=& \hbar^2(j(j+1)-m^2-m)&...&\text{式(1.131)より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.389)と双対関係になるブラは \begin{eqnarray} \bra{j,m}J_+^{\dagger}=\bra{j,m+1}c_{jm}^{+\dagger} \end{eqnarray} であるため、元のケットと作用させると \begin{eqnarray} &&(\bra{j,m}J_+^{\dagger})(J_+\ket{j,m})&=&\bra{j,m+1}c_{jm}^{+\dagger}c_{jm}^{+}\ket{j,m+1} \\ \\ &\Leftrightarrow& \underbrace{\hbar^2[j(j+1)-m^2-m]}_{\text{式(3.188)}}&=&|c_{jm}|^2\braket{j,m+1|j,m+1} \\ \\ &\Leftrightarrow& |c_{jm}|^2&=&\hbar^2[j(j+1)-m^2-m] \\ \\ &&&=& \hbar^2(j^2-m^2+j-m) \\ \\ &&&=& \hbar^2((j-m)(j+m)+j-m) \\ \\ &&&=& \hbar^2(j-m)(j+m+1) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(1.389)と同様にして \begin{eqnarray} J_-\ket{j,m}=c_{jm}^{-}\ket{j,m-1}...\text{(I)} \end{eqnarray} とする。これと双対関係になるブラは \begin{eqnarray} \bra{j,m}J_-^{\dagger}=\bra{j,m-1}c_{jm}^{-\dagger} \end{eqnarray} であるため、元のケットと作用させると \begin{eqnarray} &&(\bra{j,m}J_-^{\dagger})(J_-\ket{j,m})&=&\bra{j,m-1}c_{jm}^{-\dagger}c_{jm}^{-}\ket{j,m-1} \\ \\ \end{eqnarray} となる。右辺と左辺をそれぞれ計算すると \begin{eqnarray} (\text{左辺}) &=& (\bra{j,m}J_-^{\dagger})(J_-\ket{j,m}) \\ \\ &=& \bra{j,m}J_+J_-\ket{j,m}&...&\text{(1)} \\ \\ &=& \bra{j,m}(\boldsymbol{J}^2-J_z^2+J_z)\ket{j,m}&...&\text{式(3.176)より} \\ \\ &=& \bra{j,m}(\hbar^2j(j+1)-(m\hbar)^2+m\hbar)\ket{j,m}&...&\text{式(3.186a)(3.186b)より} \\ \\ &=& \hbar^2(j(j+1)-m^2+m)\braket{j,m|j,m}& \\ \\ &=& \hbar^2(j^2-m^2+j+m)&...&\text{式(1.131)より} \\ \\ &=& \hbar^2((j-m)(j+m)+j+m)& \\ \\ &=& \hbar^2(j+m)(j-m+1)& \\ \\ \\ (\text{右辺}) &=& \bra{j,m-1}c_{jm}^{-\dagger}c_{jm}^{-}\ket{j,m-1} \\ \\ &=& |c_{jm}^{-}|^2\braket{j,m-1|j,m-1} \\ \\ &=& |c_{jm}^{-}|^2 \end{eqnarray} が得られる。両辺を比較して、 \begin{eqnarray} c_{jm}^{-}&=&\sqrt{\hbar^2(j+m)(j-m+1)}\\ \\ &=& \hbar\sqrt{(j+m)(j-m+1)} \end{eqnarray} が得られる。(I)に代入して、 \begin{eqnarray} J_-\ket{j,m}= \sqrt{(j+m)(j-m+1)}\hbar\ket{j,m-1} \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \bra{j^{\prime},m^{\prime}}J_{\pm}\ket{j,m} &=& \bra{j^{\prime},m^{\prime}}(J_{\pm}\ket{j,m}) \\ \\ &=& \bra{j^{\prime},m^{\prime}}(\hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\ket{j,m\pm 1})&...&\text{式(3.191)(3.192)より} \\ \\ &=& \hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\braket{j^{\prime},m^{\prime}|j,m\pm 1})& \\ \\ &=& \hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\delta_{j^{\prime},j}\delta_{m^{\prime},m\pm 1} \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.16)の導出のように考える。\(d\phi\to\frac{\phi}{N}\)として、これを\(N\)回作用させる。 \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{N\to\infty}\left[1-i\left(\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\left(\frac{\phi}{N}\right)\right)\right]^N &=& \exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)&...&\text{(1)} \end{eqnarray} と導出できる。

1. (1)\(e\)に関する計算
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\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x&=&e \end{eqnarray} であるため、 \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x &=& \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{a}{x}\right)^{\frac{x}{a}}\right]^a \\ \\ &=& \left[e\right]^a \\ \\ &=& e^a \end{eqnarray} が得られる。今回は \begin{eqnarray} a=-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi \end{eqnarray} に当たる。

交換可能であるとき\([\boldsymbol{J}^2,\mathscr{D}(R)]=0\)になるため、その計算をする。 \begin{eqnarray} [\boldsymbol{J}^2,\mathscr{D}(R)] &=& \boldsymbol{J}^2\mathscr{D}(R)-\underbrace{\mathscr{D}(R)\boldsymbol{J}^2}_{(1)} \\ \\ &=& \boldsymbol{J}^2\exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)-(1) \\ \\ &=& \exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)\exp\left(i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)\boldsymbol{J}^2\exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)-(1)\\ \\ &=& \exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)\exp\left(i\lambda_1\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} }\right)\boldsymbol{J}^2\exp\left(-i\lambda_1\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} }\right)-(1)&...&\lambda_1=\frac{\phi}{\hbar}\text{とした} \\ \\ &=& \exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)\left(\boldsymbol{J}^2+i\lambda_1[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},\boldsymbol{J}^2]+\left(\frac{i^2\lambda_1^2}{2!}[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},\boldsymbol{J}^2]]\right)+\ldots\right)-(1)&...&\text{式(2.168)を利用} \\ \\ &=& \exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)\left(\boldsymbol{J}^2+i\lambda_1\cdot 0+\left(\frac{i^2\lambda_1^2}{2!}[\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},0]\right)+\ldots\right)-(1)&...&\text{(2)} \\ \\ &=& \exp\left(-i\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\phi\right)\left(\boldsymbol{J}^2\right)-(1)&...&\text{定数0と演算子は交換するため} \\ \\ &=& \mathscr{D}(R)\boldsymbol{J}^2-\mathscr{D}(R)\boldsymbol{J}^2&\\ \\ &=& 0&\\ \\ \end{eqnarray} となることから、交換できることがわかる。

1. (2)\([\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},\boldsymbol{J}^2]=0\)になること
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\(\hat{\boldsymbol{n}}=(n_x,n_y,n_z)\)とする。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}} &=& J_xn_x+J_yn_y+J_zn_z \end{eqnarray} と書き直せることから、 \begin{eqnarray} [\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}},\boldsymbol{J}^2] &=& [J_xn_x+J_yn_y+J_zn_z,\boldsymbol{J}^2] \\ \\ &=& n_x[J_x,\boldsymbol{J}^2]+n_y[J_y,\boldsymbol{J}^2]+n_z[J_z,\boldsymbol{J}^2] \\ \\ &=& n_x\cdot0+n_y\cdot0+n_z\cdot0&...&\text{式(3.154)より} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} が得られる。

p.230下より、回転\(R_1,R_2\)に対応する\(\phi,\hat{\boldsymbol{n}}\)を\(\phi_1,\phi_2,\hat{\boldsymbol{n}}_1,\hat{\boldsymbol{n}}_2\)とする。
行列の積であるため、その成分は \begin{eqnarray} \mathscr{D}^{(j)}(R_1) &=& \left( \begin{array}{cccc} \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_0}(R_1) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_1}(R_1) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_2}(R_1) & \ldots & \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_N}(R_1) \\ \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_0}(R_1) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_1}(R_1) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_2}(R_1) & \ldots & \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_N}(R_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_0}(R_1) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_1}(R_1) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_2}(R_1) & \ldots & \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_N}(R_1) \end{array} \right) \\ \\ \mathscr{D}^{(j)}(R_2) &=& \left( \begin{array}{cccc} \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_0}(R_2) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_1}(R_2) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_2}(R_2) & \ldots & \mathscr{D}^{(j)}_{m_0,m_N}(R_2) \\ \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_0}(R_2) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_1}(R_2) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_2}(R_2) & \ldots & \mathscr{D}^{(j)}_{m_1,m_N}(R_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_0}(R_2) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_1}(R_2) & \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_2}(R_2) & \ldots & \mathscr{D}^{(j)}_{m_N,m_N}(R_2) \end{array} \right) \end{eqnarray} とそれぞれ行列で書けることから、この積の\(m^{\prime\prime},m\)成分は \begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{m^{\prime}}\mathscr{D}_{m^{\prime\prime}m^{\prime}}^{(j)}(R_1)\mathscr{D}_{m^{\prime}m}^{(j)}(R_2) &=& \displaystyle\sum_{m^{\prime}}\braket{j,m^{\prime\prime}|\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}_1\phi_1}{\hbar}\right)|j,m^{\prime}}\braket{j,m^{\prime}|\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}_2\phi_2}{\hbar}\right)|j,m}&...&\text{式(3.194)より} \\ \\ &=& \bra{j,m^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}_1\phi_1}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}_2\phi_2}{\hbar}\right)\ket{j,m}&...&\text{式(1.132)の完備性より} \\ \\ &=& \bra{j,m^{\prime\prime}}\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot(\hat{\boldsymbol{n}}_1\phi_1+\hat{\boldsymbol{n}}_2\phi_2)}{\hbar}\right)\ket{j,m}& \\ \\ &=& \mathscr{D}_{m^{\prime\prime}m}^{(j)}(R_1R_2) \end{eqnarray} となり、新たに\(\hat{\boldsymbol{n}}_1\phi_1+\hat{\boldsymbol{n}}_2\phi_2\)を特徴とする回転として書くことができる。

式(3.75)の説明より、\(R^{-1}\)は回転\(R\)に対する逆回転を表している。また、p.232中段より、逆回転は回転角を逆にする操作に当たるので \begin{eqnarray} \mathscr{D}_{m^{\prime}m}(R^{-1}) &=& \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} }(-\phi) }{\hbar}\right)\ket{j,m} \\ \\ &=& \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} }\phi }{\hbar}\right)\ket{j,m} \\ \\ &=& \bra{j,{\color{red}m}}\left[\exp\left(\frac{i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} }\phi }{\hbar}\right)\right]^{\dagger}\ket{j,{\color{red}m^{\prime}}}^{\ast}&...&\text{式(1.53)より} \\ \\ &=& \bra{j,m}\exp\left(\frac{({\color{red}-i})\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} }\phi }{\hbar}\right)\ket{j,m^{\prime}}^{\ast}&...&\text{p.190下より}\boldsymbol{J}\text{はエルミート的であるため} \\ \\ &=& (\mathscr{D}_{mm^{\prime}}(R))^{\ast} \\ \\ &=& \mathscr{D}^{\ast}_{mm^{\prime}}(R) \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。
ユニタリ行列は共役転置行列が元の行列の逆行列になるという性質がある(参考：ただし書籍と記号の使い方が異なる)。 これを用いると \begin{eqnarray} (\mathscr{D}_{mm^{\prime}}^{(j)}(R))^{\dagger} &=& ((\mathscr{D}_{mm^{\prime}}^{(j)}(R))^{t})^{\ast} \\ \\ &=& ((\bra{j,m}\mathscr{D}(R)\ket{j,m^{\prime}})^{t})^{\ast} \\ \\ &=& (\bra{j,{\color{red}m^{\prime}}}\mathscr{D}(R)\ket{j,{\color{red}m}})^{\ast} \\ \\ &=& (\mathscr{D}_{m^{\prime}m}^{(j)}(R))^{\ast} \\ \\ &=& \mathscr{D}_{m^{\prime}m}^{(j)}(R^{-1}) \\ \\ \end{eqnarray} となり、これは式(3.198)より、元の回転行列\(R\)に対して逆行列になっていることから、ユニタリ行列であることが言える。

\begin{eqnarray} \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{-iJ_z\alpha}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-iJ_z\gamma}{\hbar}\right)\ket{j,m} &=& \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{-iJ_z\alpha}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-im\hbar\gamma}{\hbar}\right)\ket{j,m}&...&\text{式(3.186b)より} \\ \\ &=& \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{-i {\color{red}{J_z^{\dagger} }} \alpha}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\exp\left(-im\gamma\right)\ket{j,m}&...&\text{p.190下よりエルミート的であるため} \\ \\ &=& \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{-im^{\prime}\hbar\alpha}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\exp\left(-im\gamma\right)\ket{j,m}&...&\text{式(3.186b)より} \\ \\ &=& \bra{j,m^{\prime}}\exp\left(-im^{\prime}\alpha\right)\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\exp\left(-im\gamma\right)\ket{j,m}&\\ \\ &=& e^{-m^{\prime}\alpha-m\gamma}\bra{j,m^{\prime}}\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)\ket{j,m}&...&\text{定数であるため}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.193)を用いると \begin{eqnarray} J_y^{j=1} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{1,1|J_y|1,1}&\braket{1,1|J_y|1,0}&\braket{1,1|J_y|1,-1} \\ \braket{1,0|J_y|1,1}&\braket{1,0|J_y|1,0}&\braket{1,0|J_y|1,-1} \\ \braket{1,-1|J_y|1,1}&\braket{1,-1|J_y|1,0}&\braket{1,-1|J_y|1,-1} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{1,1|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,1}&\braket{1,1|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,0}&\braket{1,1|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,-1} \\ \braket{1,0|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,1}&\braket{1,0|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,0}&\braket{1,0|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,-1} \\ \braket{1,-1|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,1}&\braket{1,-1|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,0}&\braket{1,-1|\frac{J_+-J_-}{2i}|1,-1} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{1,1|0|1,1}&\braket{1,1|\frac{J_+}{2i}|1,0}&\braket{1,1|0|1,-1} \\ \braket{1,0|\frac{-J_-}{2i}|1,1}&\braket{1,0|0|1,0}&\braket{1,0|\frac{J_+}{2i}|1,-1} \\ \braket{1,-1|0|1,1}&\braket{1,-1|\frac{-J_-}{2i}|1,0}&\braket{1,-1|0|1,-1} \\ \end{array} \right)...m\pm 1\text{によって}m^{\prime}\text{と等しくなる項のみ残した} \\ \\ &=& \frac{1}{2i}\left( \begin{array}{cccc} 0&\braket{1,1|J_+|1,0}&0 \\ \braket{1,0|-J_-|1,1}&0&\braket{1,0|J_+|1,-1} \\ 0&\braket{1,-1|-J_-|1,0}&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{1}{2i}\left( \begin{array}{cccc} 0&\braket{1,1|(\sqrt{(1-0)(1+0+1)}\hbar)|1,1}&0 \\ \braket{1,0|(-\sqrt{(1+1)(1-1+1)}\hbar)|1,0}&0&\braket{1,0|(\sqrt{(1-(-1))(1+(-1)+1)}\hbar)|1,0} \\ 0&\braket{1,-1|(-\sqrt{(1+0)(1-0+1)}\hbar)|1,-1}&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2i}\left( \begin{array}{cccc} 0&\sqrt{2}\braket{1,1|1,1}&0 \\ -\sqrt{2}\braket{1,0|1,0}&0&\sqrt{2}\braket{1,0|1,0} \\ 0&-\sqrt{2}\braket{1,-1|1,-1}&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-\sqrt{2}i&0 \\ \sqrt{2}i&0&-\sqrt{2}i \\ 0&\sqrt{2}i&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} [J_y^{(j=1)}]^2 &=& \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-\sqrt{2}i&0 \\ \sqrt{2}i&0&-\sqrt{2}i \\ 0&\sqrt{2}i&0 \\ \end{array} \right) \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-\sqrt{2}i&0 \\ \sqrt{2}i&0&-\sqrt{2}i \\ 0&\sqrt{2}i&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left( \begin{array}{cccc} 2&0&-2 \\ 0&4&0 \\ -2&0&2 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&-1 \\ 0&2&0 \\ -1&0&1 \\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られるが、 \begin{eqnarray} [J_y^{(j=1)}]^2=aJ_y^{(j=1)}+b\boldsymbol{1} \end{eqnarray} を満たす複素数\(a,b\)がないため、独立であると言える。

\(J_y^{(j=\frac{1}{2})}\)を求める。\(j=\frac{1}{2}\)のとき、\(m=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\)となることを用いて、 \begin{eqnarray} J_y^{(j=\frac12)} &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|J_y|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}&\braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|J_y|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \\ \braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|J_y|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}&\braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|J_y|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|\frac{J_+-J_-}{2i}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}&\braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|\frac{J_+-J_-}{2i}|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \\ \braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|\frac{J_+-J_-}{2i}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}&\braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|\frac{J_+-J_-}{2i}|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|0|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}&\braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|\frac{J_+}{2i}|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \\ \braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|\frac{-J_-}{2i}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}}&\braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|0|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \\ \end{array} \right)&...&m\pm 1= m^{\prime}\text{となる項のみ残した} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&\braket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{(\frac12-(-\frac12))(\frac12-\frac12+1)}\hbar}{2i}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \\ \braket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}|\frac{-\sqrt{(\frac12+\frac12)(\frac12-\frac12+1)}\hbar}{2i}|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}&0 \\ \end{array} \right)&...&\text{式(3.191)(3.192)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&\frac{\hbar}{2i} \\ \frac{-\hbar}{2i}&0 \\ \end{array} \right)& \\ \\ &=& \frac{i\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-1 \\ 1&0 \\ \end{array} \right)& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。 \begin{eqnarray} [J_y^{(j=\frac12)}]^2 &=& \frac{i\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-1 \\ 1&0 \\ \end{array} \right) \frac{i\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-1 \\ 1&0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{4}\left( \begin{array}{cccc} -1&0\\ 0&-1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{\hbar^2}{4}\left( \begin{array}{cccc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。これは \begin{eqnarray} [J_y^{(j=\frac12)}]^2=\frac{\hbar^2}{4}\boldsymbol{1} \end{eqnarray} と表記できるため、\(\boldsymbol{1}\)と独立ではないことがわかる。

ケーリーハミルトンの定理を用いる(参考)。行列式の求め方はサラス公式より。
固有多項式を求めると \begin{eqnarray} \text{det}(J_y^{(j=1)}-\lambda\boldsymbol{1}) &=& \text{det}\left( \begin{array}{cccc} -\lambda&-\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i&0 \\ \frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i&-\lambda&-\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i \\ 0&\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i&-\lambda \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& (-\lambda)^3-(\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i)(-\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i)(-\lambda)-(-\lambda)(-\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i)(\frac{\sqrt{2}\hbar}{2}i) \\ \\ &=& -\lambda^3+\hbar^2\lambda \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。\(\lambda\to J_y^{(y=1)}\)と置換して与式を\(0\)とおくと \begin{eqnarray} &&-(J_y^{(y=1)})^3+\hbar^2J_y^{(y=1)}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{(J_y^{(y=1)})^3}{\hbar^3}+\frac{\hbar^2J_y^{(y=1)}}{\hbar^3}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& -\left(\frac{J_y^{(y=1)}}{\hbar}\right)^3+\frac{J_y^{(y=1)}}{\hbar}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\frac{J_y^{(y=1)}}{\hbar}\right)^3&=&\frac{J_y^{(y=1)}}{\hbar} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

簡便のため、式(3.207)より \begin{eqnarray} a&=&\frac{J_y^{(y=1)}}{\hbar} \\ \\ a&=&a^3 \end{eqnarray} とする。整数を\(n\geq2\)として、 \begin{eqnarray} a^{2n}&=&a^{2n-3}a^{3}\\ \\ &=& a^{2n-3}a\\ \\ &=& a^{2n-2}\\ \\ &=& \vdots \\ &=& a^4 \\ \\ &=& aa^3 \\ \\ &=& aa \\ \\ &=& a^2 \\ \\ \\ a^{2n-1}&=&a^{2n-4}a^{3}\\ \\ &=& a^{2n-4}a\\ \\ &=& a^{2n-3}\\ \\ &=& \vdots \\ &=& a^3 \\ \\ &=& a \end{eqnarray} となることを用いる。\(\exp\left(\frac{-iJ_y\beta}{\hbar}\right)=\exp\left(-ia\beta\right)\)をマクローリン展開すると \begin{eqnarray} &&\exp\left(-ia\beta\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{1}+\left(-ia\beta\right)+\frac{1}{2!}\left(-ia\beta\right)^2+\frac{1}{3!}\left(-ia\beta\right)^3+\frac{1}{4!}\left(-ia\beta\right)^4+\frac{1}{5!}\left(-ia\beta\right)^5+\ldots \\ \\ &=& \boldsymbol{1}-i\beta a-\frac{1}{2!}\beta^2a^2+i\frac{1}{3!}\beta^3a^3+\frac{1}{4!}\beta^4a^4-i\frac{1}{5!}\beta^5a^5+\ldots \\ \\ &=& \boldsymbol{1}-i\beta a-\frac{1}{2!}\beta^2a^2+i\frac{1}{3!}\beta^3a+\frac{1}{4!}\beta^4a^2-i\frac{1}{5!}\beta^5a+\ldots \\ \\ &=& \boldsymbol{1}-i\left(\beta -\frac{1}{3!}\beta^3+\frac{1}{5!}\beta^5+\ldots\right)a+\left(-1+1-\frac{1}{2!}\beta^2+\frac{1}{4!}\beta^4+\ldots\right)a^2 \\ \\ &=& \boldsymbol{1}-ia\sin\beta+a^2\left(-1+\cos\beta\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{1}-i\left(\frac{J_y^{(j=1)}}{\hbar}\right)\sin\beta+\left(\frac{J_y^{(j=1)}}{\hbar}\right)^2\left(-1+\cos\beta\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{1}-\left(\frac{J_y^{(j=1)}}{\hbar}\right)^2\left(1-\cos\beta\right)-i\left(\frac{J_y^{(j=1)}}{\hbar}\right)\sin\beta \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} d^{(1)}(\beta) &=& \boldsymbol{1}-\left(\frac{J_y^{(j=1)}}{\hbar}\right)^2\left(1-\cos\beta\right)-i\left(\frac{J_y^{(j=1)}}{\hbar}\right)\sin\beta \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ \end{array} \right) -\frac{1}{\hbar^2}\left(1-\cos\beta\right)\frac{\hbar^2}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&-1 \\ 0&2&0 \\ -1&0&1 \\ \end{array} \right)-i\frac{1}{\hbar}\sin\beta\frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&-\sqrt{2}i&0 \\ \sqrt{2}i&0&-\sqrt{2}i \\ 0&\sqrt{2}i&0 \\ \end{array} \right)&...&(1) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ \end{array} \right) -\frac{1-\cos\beta}{2}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&-1 \\ 0&2&0 \\ -1&0&1 \\ \end{array} \right)-\frac{\sin\beta}{2}\left( \begin{array}{cccc} 0&\sqrt{2}&0 \\ -\sqrt{2}&0&\sqrt{2} \\ 0&-\sqrt{2}&0 \\ \end{array} \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac12(1+\cos\beta)&-\frac{1}{\sqrt2}\sin\beta&\frac12(1-\cos\beta) \\ \frac{1}{\sqrt2}\sin\beta&\cos\beta&-\frac{1}{\sqrt2}\sin\beta \\ \frac12(1-\cos\beta)&\frac{1}{\sqrt2}\sin\beta&\frac12(1+\cos\beta) \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} と導出できる。
(1)の\([J_y^{(j=1)}]^2\)は"p.233下：\([J_y^{(j=1)}]^2\)は\(1\)および\(J_y^{(j=1)}\)と独立であること"で導出。