現代の量子力学の行間埋め　第３章

式(3.1a)を用いて計算すると \begin{eqnarray} R_z(\phi) \left( \begin{array}{cccc} V_x\\ V_y\\ V_z \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} V_x\\ V_y\\ V_z \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} V_x\cos\phi-V_y\sin\phi\\ V_x\sin\phi+V_y\cos\phi\\ V_z \end{array} \right)\\ \\ \end{eqnarray} となることから、\(z\)軸を中心とした回転に相当する。

式(3.3)の各項をマクローリン展開する。\(\phi\)が十分小さく\(\varepsilon\)と書けるとすると \begin{eqnarray} R_z(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\varepsilon&-\sin\varepsilon&0\\ \sin\varepsilon&\cos\varepsilon&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\(\phi\)が十分小さく\(\varepsilon\)と書けるとする。 \begin{eqnarray} R_x(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&\cos\varepsilon&-\sin\varepsilon \\ 0&\sin\varepsilon&\cos\varepsilon \end{array} \right)&...&(1)\\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ \\ R_y(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\varepsilon&0&\sin\varepsilon\\ 0&1&0 \\ -\sin\varepsilon&0&\cos\varepsilon \end{array} \right)&...&(2)\\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。(1)(2)の導出についてはこちらの解説などを参考

\(\phi\)が十分小さく\(\varepsilon\)と書けるとし、三次以上の項を無視する。 \begin{eqnarray} R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ (-\varepsilon)(-\varepsilon)&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(-\varepsilon) \\ (1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(-\varepsilon)&\varepsilon&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2) \end{array} \right)\\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ \varepsilon^2&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ -\varepsilon&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ \varepsilon^2&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ -\varepsilon&\varepsilon&1-\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ \\ R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&\varepsilon\varepsilon&\varepsilon(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ -\varepsilon&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)\varepsilon&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2) \end{array} \right)\\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&\varepsilon^2&\varepsilon\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ -\varepsilon&\varepsilon&1-\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.6a)(3.6b)より \begin{eqnarray} R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon)-R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ \varepsilon^2&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ -\varepsilon&\varepsilon&1-\varepsilon^2 \end{array} \right)- \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&\varepsilon^2&\varepsilon\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ -\varepsilon&\varepsilon&1-\varepsilon^2 \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right)&...&\text{(I)}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで\(R_z(\varepsilon^2)\)を計算すると \begin{eqnarray} R_z(\varepsilon^2) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}(\varepsilon^2)^2&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&1-\frac{1}{2}(\varepsilon^2)^2&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} と式変形できる。ここで、「\(0\)度の回転をする」ということは変化させないことと等しいため \begin{eqnarray} R_z(\varepsilon^2) &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 0&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right)+ R_{\text{任意}}(0)\\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 0&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right)+ R_{\text{任意}}(0)\\ \\ \end{eqnarray} となる。ここで、(I)を用いて、 \begin{eqnarray} &&R_z(\varepsilon^2) &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-\varepsilon^2&0\\ \varepsilon^2&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right)+ R_{\text{任意}}(0)\\ \\ &&&=& R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon)-R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon)+R_{\text{任意}}(0)\\ \\ &\Leftrightarrow& R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon)-R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) &=& R_z(\varepsilon^2)-R_{\text{任意}}\\ \\ &&&=&R_z(\varepsilon^2)-1 \end{eqnarray} と導出される。

式(3.9)より \begin{eqnarray} R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon)-R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) &=& R_z(\varepsilon^2)-1&...&\text{(I)} \end{eqnarray} である。\(R_x(\varepsilon),R_y(\varepsilon)\)は式(3.5a)(3.5b)より、\(\varepsilon^2\)までの項が用いられている。また、\(R_z(\varepsilon^2)\)も\(\varepsilon^2\)までの項が用いられていることを用いる。 \begin{eqnarray} R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon)-R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) &=& \left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)\left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)\left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right) \\ \\ &\simeq& \left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)+\left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)+\left(-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}\right)\left(-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}\right)-\left(-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}\right)\left(-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}\right) \\ \\ &=& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}\left(J_xJ_y-J_yJ_x\right)\\ \\ &=& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}[J_x,J_y]&...&\text{(II)}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。一方で、\(R_z(\varepsilon^2)\)について\(\varepsilon\)の三次以上の項を無視すると \begin{eqnarray} R_z(\varepsilon^2) &\simeq& 1-\frac{iJ_z\varepsilon^2}{\hbar}&...&\text{(III)} \end{eqnarray} が得られる。(I)(II)(III)を用いると \begin{eqnarray} &&R_x(\varepsilon)R_y(\varepsilon)-R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) &=& R_z(\varepsilon^2)-1 \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}[J_x,J_y] &=& 1-\frac{iJ_z\varepsilon^2}{\hbar}-1&...&\text{式(3.18)の変形} \\ \\ &\Leftrightarrow& [J_x,J_y] &=& i\hbar J_z \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

ここでは\([J_y,J_z],[J_z,J_x]\)を求めた後、交換関係の式(1.232)と式(3.19)を使ってまとめる。
\([J_y,J_z]\)を求める。 \begin{eqnarray} R_y(\varepsilon)R_z(\varepsilon)-R_z(\varepsilon)R_y(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0&\varepsilon\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} (1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)^2&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(-\varepsilon)&\varepsilon\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0 \\ -\varepsilon(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)&(-\varepsilon)^2&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} (1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)^2&-\varepsilon&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)\varepsilon\\ (1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&\varepsilon^2 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1-\varepsilon^2&-\varepsilon&\varepsilon\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0 \\ -\varepsilon&\varepsilon^2&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} 1-\varepsilon^2&-\varepsilon&\varepsilon\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&\varepsilon^2 \\ -\varepsilon&0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&0&0\\ 0&0&-\varepsilon^2 \\ 0&\varepsilon^2&0 \end{array} \right)&...&\text{(I)} \\ \\ \\ R_x(\varepsilon^2) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1-\frac{1}{2}(\varepsilon^2)^2&-\varepsilon^2 \\ 0&\varepsilon^2&1-\frac{1}{2}(\varepsilon^2)^2 \end{array} \right) \\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1&-\varepsilon^2 \\ 0&\varepsilon^2&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&0&0\\ 0&0&-\varepsilon^2 \\ 0&\varepsilon^2&0 \end{array} \right)+R_{\text{任意}}(0)&...&\text{(II)} \\ \\ \\ R_y(\varepsilon)R_z(\varepsilon)-R_z(\varepsilon)R_y(\varepsilon) &=& R_x(\varepsilon^2)-1&...&\text{(I)(II)より。(III)} \end{eqnarray} が得られる。以上より、 \begin{eqnarray} R_y(\varepsilon)R_z(\varepsilon)-R_z(\varepsilon)R_y(\varepsilon) &=& \left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)\left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)\left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right) \\ \\ &\simeq& \left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)+\left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_y^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)+\left(-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}\right)\left(-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}\right)-\left(-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}\right)\left(-\frac{iJ_y\varepsilon}{\hbar}\right) \\ \\ &=& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}\left(J_yJ_z-J_zJ_y\right)\\ \\ &=& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}[J_y,J_z]&...&\text{(IV)}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。一方で、\(R_x(\varepsilon^2)\)について\(\varepsilon\)の三次以上の項を無視すると \begin{eqnarray} R_x(\varepsilon^2) &\simeq& 1-\frac{iJ_x\varepsilon^2}{\hbar}&...&\text{(V)} \end{eqnarray} が得られる。(III)(IV)(V)を用いると \begin{eqnarray} &&R_y(\varepsilon)R_z(\varepsilon)-R_z(\varepsilon)R_y(\varepsilon) &=& R_x(\varepsilon^2)-1 \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}[J_y,J_z] &=& 1-\frac{iJ_x\varepsilon^2}{\hbar}-1&...&\text{(V)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& [J_y,J_z] &=& i\hbar J_x&...&\text{(A)} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。 次に\([J_z,J_x]\)を求める。 \begin{eqnarray} R_z(\varepsilon)R_x(\varepsilon)-R_x(\varepsilon)R_z(\varepsilon) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ \varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(-\varepsilon)&(-\varepsilon)^2\\ \varepsilon&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)^2&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)(-\varepsilon) \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ (1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)\varepsilon&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)^2&-\varepsilon \\ \varepsilon^2&(1-\frac{1}{2}\varepsilon^2)\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&\varepsilon^2\\ \varepsilon&1-\varepsilon^2&-\varepsilon \\ 0&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}\varepsilon^2&-\varepsilon&0\\ \varepsilon&1-\varepsilon^2&-\varepsilon \\ \varepsilon^2&\varepsilon&1-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&0&\varepsilon^2\\ 0&0&0 \\ -\varepsilon^2&0&0 \end{array} \right)&...&\text{(VI)} \\ \\ \\ R_y(\varepsilon^2) &=& \left( \begin{array}{cccc} 1-\frac{1}{2}(\varepsilon^2)^2&0&\varepsilon^2\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon^2&0&1-\frac{1}{2}(\varepsilon^2)^2 \end{array} \right) \\ \\ &\simeq& \left( \begin{array}{cccc} 1&0&\varepsilon^2\\ 0&1&0 \\ -\varepsilon^2&0&1 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&0&\varepsilon^2\\ 0&0&0 \\ -\varepsilon^2&0&0 \end{array} \right)+R_{\text{任意}}(0)&...&\text{(VII)} \\ \\ \\ R_z(\varepsilon)R_x(\varepsilon)-R_x(\varepsilon)R_z(\varepsilon) &=& R_y(\varepsilon^2)-1&...&\text{(VI)(VII)より。(VIII)} \end{eqnarray} が得られる。以上より、 \begin{eqnarray} R_z(\varepsilon)R_x(\varepsilon)-R_x(\varepsilon)R_z(\varepsilon) &=& \left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)\left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)\left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right) \\ \\ &\simeq& \left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)+\left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_x^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)-\left(1-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}-\frac{J_z^2\varepsilon^2}{2\hbar^2}\right)+\left(-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}\right)\left(-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}\right)-\left(-\frac{iJ_x\varepsilon}{\hbar}\right)\left(-\frac{iJ_z\varepsilon}{\hbar}\right) \\ \\ &=& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}\left(J_zJ_x-J_xJ_z\right)\\ \\ &=& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}[J_z,J_x]&...&\text{(IX)}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。一方で、\(R_y(\varepsilon^2)\)について\(\varepsilon\)の三次以上の項を無視すると \begin{eqnarray} R_y(\varepsilon^2) &\simeq& 1-\frac{iJ_y\varepsilon^2}{\hbar}&...&\text{(X)} \end{eqnarray} が得られる。(VIII)(IX)(X)を用いると \begin{eqnarray} &&R_z(\varepsilon)R_x(\varepsilon)-R_x(\varepsilon)R_z(\varepsilon) &=& R_y(\varepsilon^2)-1 \\ \\ &\Leftrightarrow& -\frac{\varepsilon^2}{\hbar^2}[J_z,J_x] &=& 1-\frac{iJ_y\varepsilon^2}{\hbar}-1&...&\text{(X)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& [J_z,J_x] &=& i\hbar J_y&...&\text{(B)} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。
(A)(B)式(3.19)と式(1.232b)より、 \begin{eqnarray} [J_x,J_y] &=& i\hbar J_z \\ \\ [J_y,J_x] &=& -i\hbar J_z \\ \\ [J_y,J_z] &=& i\hbar J_x \\ \\ [J_z,J_y] &=& -i\hbar J_x \\ \\ [J_z,J_x] &=& i\hbar J_y \\ \\ [J_x,J_z] &=& -i\hbar J_y \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。また、\([J_i,J_i]=0\)であることを踏まえてまとめると \begin{eqnarray} [J_i,J_j] &=& i\hbar\varepsilon_{ijk} J_k \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.21)(3.16)を用いて計算する。 \begin{eqnarray} \braket{S_x} &=& {}_R\braket{\alpha|S_x|\alpha}_R \\ \\ &=& \braket{\alpha|\exp\left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right)S_x\exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)|\alpha}&...&\text{式(3.21)(3.16)より、スピン}\frac 12\text{の系であるため}J_z\to S_z\text{とした。} \\ \\ &=& \braket{\alpha|\left[\exp\left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right)S_x\exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)\right]|\alpha}& \\ \\ &=& \braket{\alpha|\left[S_x\cos\phi-S_y\sin\phi\right]|\alpha}&...&S_x,S_y,S_z\text{は}J_x,J_y,J_z\text{と同じ交換関係を持つから式(3.24)を}S\text{に置き換えても成立するため} \\ \\ &=& \braket{\alpha|S_x\cos\phi|\alpha}-\braket{\alpha|S_y\sin\phi|\alpha}& \\ \\ &=& \cos\phi\braket{\alpha|S_x|\alpha}-\sin\phi\braket{\alpha|S_y|\alpha}& \\ \\ &=& \cos\phi\braket{S_x}-\sin\phi\braket{S_y}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.21)(3.16)を用いて計算する。 \begin{eqnarray} \braket{S_y} &=& {}_R\braket{\alpha|S_y|\alpha}_R \\ \\ &=& \braket{\alpha|\exp\left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right)S_y\exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)|\alpha}&...&\text{式(3.21)(3.16)より、スピン}\frac 12\text{の系であるため}J_z\to S_z\text{とした。} \\ \\ &=& \braket{\alpha|\left[\exp\left(\frac{iJ_z\phi}{\hbar}\right)S_y\exp\left(\frac{-iJ_z\phi}{\hbar}\right)\right]|\alpha}& \\ \\ &=& \braket{\alpha|\left[S_y\cos\phi+S_x\sin\phi\right]|\alpha}&...&\text{(1)} \\ \\ &=& \braket{\alpha|S_y\cos\phi|\alpha}+\braket{\alpha|S_x\sin\phi|\alpha}& \\ \\ &=& \cos\phi\braket{S_y}+\sin\phi\braket{S_x}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

1. \(\exp\left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right)S_y\exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)=S_y\cos\phi+S_x\sin\phi\)を利用
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\begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right)S_y\exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right) \\ \\ &=& S_y+i\frac{\phi}{\hbar}[S_z,S_y]+\frac{i^2\phi^2}{2!\hbar^2}[S_z,[S_z,S_y]]+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}[S_z,[S_z,[S_z,S_y]]]+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}[S_z,[S_z,[S_z,[S_z,S_y]]]]+\ldots \\ \\ &=& S_y+i\frac{\phi}{\hbar}(-i\hbar S_x)-\frac{\phi^2}{2!\hbar^2}[S_z,(-i\hbar S_x)]+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}[S_z,[S_z,(-i\hbar S_x)]]+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}[S_z,[S_z,[S_z,(-i\hbar S_x)]]]+\ldots&...&\text{式(3.20)を}S\text{で置き換えた} \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!\hbar^2}(-i\hbar)[S_z,S_x]+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}(-i\hbar)[S_z,[S_z,S_x]]+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(-i\hbar)[S_z,[S_z,[S_z,S_x]]]+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!\hbar^2}(-i\hbar)(i\hbar S_y)+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}(-i\hbar)[S_z,(i\hbar S_y)]+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(-i\hbar)[S_z,[S_z,(i\hbar S_y)]]+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!}S_y+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}(-i\hbar)[S_z,(i\hbar S_y)]+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(-i\hbar)[S_z,[S_z,(i\hbar S_y)]]+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!}S_y+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}(-i^2\hbar^2)[S_z,S_y]+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(-i^2\hbar^2)[S_z,[S_z,S_y]]+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!}S_y+\frac{i^3\phi^3}{3!\hbar^3}(-i^2\hbar^2)(-i\hbar S_x)+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(-i^2\hbar^2)[S_z,(-i\hbar S_x)]+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!}S_y-\frac{\phi^3}{3!} S_x+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(i^3\hbar^3)[S_z,S_x]+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!}S_y-\frac{\phi^3}{3!} S_x+\frac{i^4\phi^4}{4!\hbar^4}(i^3\hbar^3)(i\hbar S_y)+\ldots& \\ \\ &=& S_y+\phi S_x-\frac{\phi^2}{2!}S_y-\frac{\phi^3}{3!} S_x+\frac{\phi^4}{4!} S_y+\ldots& \\ \\ &=& S_y\left(1-\frac{1}{2!}\phi^2+\frac{1}{4!}\phi^4\ldots\right)+S_x\left(\phi-\frac{\phi^3}{3!}+\ldots\right)& \\ \\ &=& S_y\cos\phi+S_x\sin\phi& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)\ket{\alpha} &=& \exp\left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)\left(\ket{+}\braket{+|\alpha}+\ket{-}\braket{-|\alpha}\right)&...&\text{式(3.31)より} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\phi}{\hbar}S_z\right)\ket{+}\braket{+|\alpha}+\exp\left(\frac{-i\phi}{\hbar}S_z\right)\ket{-}\braket{-|\alpha} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\phi}{\hbar}\frac{\hbar}{2}\right)\ket{+}\braket{+|\alpha}+\exp\left(\frac{-i\phi}{\hbar}\frac{-\hbar}{2}\right)\ket{-}\braket{-|\alpha}&...&\text{式(1.91)より} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\phi}{2}\right)\ket{+}\braket{+|\alpha}+\exp\left(\frac{i\phi}{2}\right)\ket{-}\braket{-|\alpha}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \ket{\alpha}_{R_z(2\pi)} &=& \exp\left(\frac{-i(\phi+2\pi)}{2}\right)\ket{+}\braket{+|\alpha}+\exp\left(\frac{i(\phi+2\pi)}{2}\right)\ket{-}\braket{-|\alpha}& \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\phi}{2}\right)\exp\left(-i\pi\right)\ket{+}\braket{+|\alpha}+\exp\left(\frac{i\phi}{2}\right)\exp\left(i\pi\right)\ket{-}\braket{-|\alpha}& \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\phi}{2}\right)(-1)\ket{+}\braket{+|\alpha}+\exp\left(\frac{i\phi}{2}\right)(-1)\ket{-}\braket{-|\alpha}& \\ \\ &=& -\ket{\alpha} \end{eqnarray} と導出できる。

隣り合う山の間隔として、式(3.42)の中身が\(2\pi\)変化するときの\(B\)の変化量を考える。 \begin{eqnarray} &&\Delta\frac{\omega T}{2} &=& \frac{g_ne\Delta B}{2m_p c}T \\ \\ && &=&2\pi \\ \\ &\Leftrightarrow& \Delta B &=& \frac{4\pi m_p c}{g_neT} \\ \\ &&&=& \frac{4\pi m_p c}{g_ne(l/v)}&...&\text{磁場中を通るときの速さを}v\text{とし、磁場中の経路を}l\text{とした} \\ \\ &&&=& \frac{4\pi m_pv c}{g_nel}& \\ \\ &&&=& \frac{4\pi p c}{g_nel}&...&\text{運動量として}m_pv=p\text{とした。} \\ \\ &&&=& \frac{4\pi 2\pi\hbar c}{g_nel\lambda}&...&\text{式(1.213)より} \\ \\ &&&=& \frac{4\pi \hbar c}{g_nel\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } }}&...&\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } }=\frac{\lambda}{2\pi}\text{を用いた} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.45a)は \begin{eqnarray} \ket{\alpha} &=& \ket{+}\braket{+|\alpha}+\ket{-}\braket{-|\alpha} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) \braket{+|\alpha} + \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \braket{-|\alpha} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|\alpha} \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ \braket{-|\alpha} \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|\alpha} \\ \braket{-|\alpha} \end{array} \right) \end{eqnarray} と導出できる。同様にして式(3.45b)は \begin{eqnarray} \bra{\alpha} &=& \braket{\alpha|+}\bra{+}+\braket{\alpha|-}\bra{-} \\ \\ &=& (1,0) \braket{\alpha|+} + (0,1) \braket{\alpha|-} \\ \\ &=& (\braket{\alpha|+},0) + (0,\braket{\alpha|-}) \\ \\ &=& (\braket{\alpha|+},\braket{\alpha|-}) \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} c_+ \\ c_- \end{array} \right) &=& c_+\left( \begin{array}{cccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) +c_- \left( \begin{array}{cccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ \\ &=& c_+\chi_+ +c_- \chi_-&...&\text{式(3.44)より} \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.25)を用いて計算する。式(3.48)より \begin{eqnarray} (\sigma_k)_{\pm,+}&=&\frac{2}{\hbar}\braket{\pm|S_k|+} \\ \\ (\sigma_k)_{\pm,-}&=&\frac{2}{\hbar}\braket{\pm|S_k|-} \\ \\ \therefore \sigma_k&=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \end{eqnarray} であることを用いる。 \begin{eqnarray} \sigma_1 &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_x|+}&\braket{+|S_x|-} \\ \braket{-|S_x|+}&\braket{-|S_x|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} 0&\frac{\hbar}{2} \\ \frac{\hbar}{2}&0 \end{array} \right) &...&\text{式(3.25)より}\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right) \\ \\ \\ \sigma_2 &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_y|+}&\braket{+|S_y|-} \\ \braket{-|S_y|+}&\braket{-|S_y|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} 0&-\frac{i\hbar}{2} \\ \frac{i\hbar}{2}&0 \end{array} \right)&...&\text{式(3.25)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-i \\ i&0 \end{array} \right) \\ \\ \\ \sigma_3 &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_z|+}&\braket{+|S_z|-} \\ \braket{-|S_z|+}&\braket{-|S_z|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \frac{\hbar}{2}&0 \\ 0&-\frac{\hbar}{2} \end{array} \right)&...&\text{式(3.25)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right) \\ \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.50)の導出より、 \begin{eqnarray} \sigma_k&=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \end{eqnarray} であることを用いる。 \begin{eqnarray} \sigma_k^2 &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}\braket{+|S_k|+}+\braket{+|S_k|-}\braket{-|S_k|+}&\braket{+|S_k|+}\braket{+|S_k|-}+\braket{+|S_k|-}\braket{-|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}\braket{+|S_k|+}+\braket{-|S_k|-}\braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|+}\braket{+|S_k|-}+\braket{-|S_k|-}\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_kS_k|+}&\braket{+|S_kS_k|-} \\ \braket{-|S_kS_k|+}&\braket{-|S_kS_k|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.65)より}\ket{+},\ket{-}\text{で完備性があるため} \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|\frac{\hbar^2}{4}|+}&\braket{+|\frac{\hbar^2}{4}|-} \\ \braket{-|\frac{\hbar^2}{4}|+}&\braket{-|\frac{\hbar^2}{4}|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.114)より}\{S_i,S_i\}=S_iS_i+S_iS_i=\frac{1}{2}\hbar^2\Rightarrow S_i^2=\frac{\hbar^2}{4} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \braket{+|+}&\braket{+|-} \\ \braket{-|+}&\braket{-|-} \end{array} \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array} \right)& \\ \\ &=& 1 \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.50)の導出より、 \begin{eqnarray} \sigma_k&=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \end{eqnarray} であることを用いる。 \begin{eqnarray} \sigma_i\sigma_j &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_i|+}&\braket{+|S_i|-} \\ \braket{-|S_i|+}&\braket{-|S_i|-} \end{array} \right) \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_j|+}&\braket{+|S_j|-} \\ \braket{-|S_j|+}&\braket{-|S_j|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_i|+}\braket{+|S_j|+}+\braket{+|S_i|-}\braket{-|S_j|+}&\braket{+|S_i|+}\braket{+|S_j|-}+\braket{+|S_i|-}\braket{-|S_j|-} \\ \braket{-|S_i|+}\braket{+|S_j|+}+\braket{-|S_i|-}\braket{-|S_j|+}&\braket{-|S_i|+}\braket{+|S_j|-}+\braket{-|S_i|-}\braket{-|S_j|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_iS_j|+}&\braket{+|S_iS_j|-} \\ \braket{-|S_iS_j|+}&\braket{-|S_iS_j|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.65)より}\ket{+},\ket{-}\text{で完備性があるため} \\ \\ \\ \sigma_j\sigma_i &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_j|+}&\braket{+|S_j|-} \\ \braket{-|S_j|+}&\braket{-|S_j|-} \end{array} \right) \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_i|+}&\braket{+|S_i|-} \\ \braket{-|S_i|+}&\braket{-|S_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_j|+}\braket{+|S_i|+}+\braket{+|S_j|-}\braket{-|S_i|+}&\braket{+|S_j|+}\braket{+|S_i|-}+\braket{+|S_j|-}\braket{-|S_i|-} \\ \braket{-|S_j|+}\braket{+|S_i|+}+\braket{-|S_j|-}\braket{-|S_i|+}&\braket{-|S_j|+}\braket{+|S_i|-}+\braket{-|S_j|-}\braket{-|S_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_jS_i|+}&\braket{+|S_jS_i|-} \\ \braket{-|S_jS_i|+}&\braket{-|S_jS_i|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.65)より}\ket{+},\ket{-}\text{で完備性があるため} \\ \\ \\ \sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_iS_j|+}&\braket{+|S_iS_j|-} \\ \braket{-|S_iS_j|+}&\braket{-|S_iS_j|-} \end{array} \right)+ \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_jS_i|+}&\braket{+|S_jS_i|-} \\ \braket{-|S_jS_i|+}&\braket{-|S_jS_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_iS_j+S_jS_i|+}&\braket{+|S_iS_j+S_jS_i|-} \\ \braket{-|S_iS_j+S_jS_i|+}&\braket{-|S_iS_j+S_jS_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|0|+}&\braket{+|0|-} \\ \braket{-|0|+}&\braket{-|0|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.114)より}i\neq j\text{であるから} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.51a)より、 \begin{eqnarray} \sigma_k^2+\sigma_k^2 &=& \{\sigma_k,\sigma_k\} &=& 2 \end{eqnarray} であるから、式(3.51b)とまとめると式(3.52)が得られる。

式(3.50)の導出より、 \begin{eqnarray} \sigma_k&=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right) \end{eqnarray} であることを用いる。 \begin{eqnarray} \sigma_i\sigma_j &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_i|+}&\braket{+|S_i|-} \\ \braket{-|S_i|+}&\braket{-|S_i|-} \end{array} \right) \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_j|+}&\braket{+|S_j|-} \\ \braket{-|S_j|+}&\braket{-|S_j|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_i|+}\braket{+|S_j|+}+\braket{+|S_i|-}\braket{-|S_j|+}&\braket{+|S_i|+}\braket{+|S_j|-}+\braket{+|S_i|-}\braket{-|S_j|-} \\ \braket{-|S_i|+}\braket{+|S_j|+}+\braket{-|S_i|-}\braket{-|S_j|+}&\braket{-|S_i|+}\braket{+|S_j|-}+\braket{-|S_i|-}\braket{-|S_j|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_iS_j|+}&\braket{+|S_iS_j|-} \\ \braket{-|S_iS_j|+}&\braket{-|S_iS_j|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.65)より}\ket{+},\ket{-}\text{で完備性があるため} \\ \\ \\ \sigma_j\sigma_i &=& \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_j|+}&\braket{+|S_j|-} \\ \braket{-|S_j|+}&\braket{-|S_j|-} \end{array} \right) \frac{2}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_i|+}&\braket{+|S_i|-} \\ \braket{-|S_i|+}&\braket{-|S_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_j|+}\braket{+|S_i|+}+\braket{+|S_j|-}\braket{-|S_i|+}&\braket{+|S_j|+}\braket{+|S_i|-}+\braket{+|S_j|-}\braket{-|S_i|-} \\ \braket{-|S_j|+}\braket{+|S_i|+}+\braket{-|S_j|-}\braket{-|S_i|+}&\braket{-|S_j|+}\braket{+|S_i|-}+\braket{-|S_j|-}\braket{-|S_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_jS_i|+}&\braket{+|S_jS_i|-} \\ \braket{-|S_jS_i|+}&\braket{-|S_jS_i|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.65)より}\ket{+},\ket{-}\text{で完備性があるため} \\ \\ \\ \sigma_i\sigma_j-\sigma_j\sigma_i &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_iS_j|+}&\braket{+|S_iS_j|-} \\ \braket{-|S_iS_j|+}&\braket{-|S_iS_j|-} \end{array} \right)- \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_jS_i|+}&\braket{+|S_jS_i|-} \\ \braket{-|S_jS_i|+}&\braket{-|S_jS_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_iS_j-S_jS_i|+}&\braket{+|S_iS_j-S_jS_i|-} \\ \braket{-|S_iS_j-S_jS_i|+}&\braket{-|S_iS_j-S_jS_i|-} \end{array} \right) \\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|[S_i,S_j]|+}&\braket{+|[S_i,S_j]|-} \\ \braket{-|[S_i,S_j]|+}&\braket{-|[S_i,S_j]|-} \end{array} \right)&\\ \\ &=& \frac{4}{\hbar^2}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|i\varepsilon_{ijk}\hbar S_k|+}&\braket{+|i\varepsilon_{ijk}\hbar S_k|-} \\ \braket{-|i\varepsilon_{ijk}\hbar S_k|+}&\braket{-|i\varepsilon_{ijk}\hbar S_k|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.113)より}\\ \\ &=& \frac{4i\varepsilon_{ijk}}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \braket{+|S_k|+}&\braket{+|S_k|-} \\ \braket{-|S_k|+}&\braket{-|S_k|-} \end{array} \right)&...&\text{式(1.113)より}\\ \\ &=& \frac{4i\varepsilon_{ijk}}{\hbar}\left( \begin{array}{cccc} \frac{\hbar}{2}(\sigma_k)_{+,+}&\frac{\hbar}{2}(\sigma_k)_{+,-} \\ \frac{\hbar}{2}(\sigma_k)_{-,+}&\frac{\hbar}{2}(\sigma_k)_{-,-} \end{array} \right)&...&\text{式(3.48)より}\\ \\ &=& 2i\varepsilon_{ijk}\left( \begin{array}{cccc} (\sigma_k)_{+,+}&(\sigma_k)_{+,-} \\ (\sigma_k)_{-,+}&(\sigma_k)_{-,-} \end{array} \right)&\\ \\ &=& 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k&...&\text{行列の中身は}\sigma_k\text{の各成分を列挙したものだから}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

訳注の式を導出する。式(3.52)と(3.53)の両辺を足すと \begin{eqnarray} \{\sigma_i,\sigma_j\}+[\sigma_i,\sigma_j] &=& \sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i+\sigma_i\sigma_j-\sigma_j\sigma_i \\ \\ &=& 2\sigma_i\sigma_j \\ \\ &=& 2\delta_{ij}+2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k &...&\text{式(3.52)(3.53)の右辺より} \\ \\ \Leftrightarrow \sigma_i\sigma_j&=&\delta_{ij}+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k \end{eqnarray} が求められる。これを用いて \begin{eqnarray} \sigma_1\sigma_2&=&\delta_{12}+i\varepsilon_{123}\sigma_3 \\ \\ &=& i\sigma_3 \\ \\ \\ \sigma_2\sigma_1&=&\delta_{21}+i\varepsilon_{213}\sigma_3 \\ \\ &=& -i\sigma_3 \\ \\ \\ \end{eqnarray} と求められる。

\begin{eqnarray} \sigma_1^{\dagger} &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right)^{\dagger} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right)\\ \\ &=& \sigma_1 \\ \\ \\ \sigma_2^{\dagger} &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-i \\ i&0 \end{array} \right)^{\dagger} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&(-i) \\ -(-i)&0 \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0&-i \\ i&0 \end{array} \right)\\ \\ &=& \sigma_2 \\ \\ \\ \sigma_3^{\dagger} &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)^{\dagger} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)\\ \\ &=& \sigma_3 \\ \\ \\ \end{eqnarray} と式(3.55a)が示せる。 \begin{eqnarray} \text{det}(\sigma_1) &=& \text{det}\left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right) \\ \\ &=& 0\cdot 0-1\cdot 1 \\ \\ &=& -1 \\ \\ \\ \text{det}(\sigma_2) &=& \text{det}\left( \begin{array}{cccc} 0&-i \\ i&0 \end{array} \right) \\ \\ &=& 0\cdot 0-(-i)\cdot i \\ \\ &=& -1 \\ \\ \\ \text{det}(\sigma_3) &=& \text{det}\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right) \\ \\ &=& 1\cdot (-1)-0\cdot 0 \\ \\ &=& -1 \\ \\ \\ \end{eqnarray} と式(3.55b)が求められる。 \begin{eqnarray} \text{Tr}(\sigma_1) &=& \text{Tr}\left( \begin{array}{cccc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right) \\ \\ &=& 0+0 \\ \\ &=& 0 \\ \\ \\ \text{Tr}(\sigma_2) &=& \text{Tr}\left( \begin{array}{cccc} 0&-i \\ i&0 \end{array} \right) \\ \\ &=& 0+0 \\ \\ &=& 0 \\ \\ \\ \text{Tr}(\sigma_3) &=& \text{Tr}\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right) \\ \\ &=& 1+ (-1)\\ \\ &=& 0 \\ \\ \\ \end{eqnarray} と式(3.55c)を示せる。

\begin{eqnarray} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b}) &=& \displaystyle\sum_j\sigma_ja_j\sum_k\sigma_kb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\sum_k\sigma_j\sigma_ka_jb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\sum_k\left(2\frac{1}{2}\sigma_j\sigma_k+\frac{1}{2}\sigma_k\sigma_j-\frac{1}{2}\sigma_k\sigma_j\right)a_jb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\sum_k\left(\frac{1}{2}(\sigma_j\sigma_k+\sigma_k\sigma_j)+\frac{1}{2}(\sigma_j\sigma_k-\sigma_k\sigma_j)\right)a_jb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\sum_k\left(\frac{1}{2}\{\sigma_j,\sigma_k\}+\frac{1}{2}[\sigma_j,\sigma_k]\right)a_jb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\sum_k\left(\delta_{jk}+i\varepsilon_{jkl}\sigma_l\right)a_jb_k&...&\text{式(3.52)(3.53)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\sum_k\delta_{jk}a_jb_k+\displaystyle\sum_j\sum_ki\varepsilon_{jkl}\sigma_la_jb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_j\delta_{jj}a_jb_j+\displaystyle\sum_{j\neq k}i\varepsilon_{jkl}\sigma_la_jb_k \\ \\ &=& \displaystyle\sum_ja_jb_j+\displaystyle\sum_{j\neq k}i\varepsilon_{jkl}\sigma_la_jb_k \\ \\ &=& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\displaystyle\sum_{j\neq k}i\sigma_l\varepsilon_{jkl}a_jb_k&...&\text{内積の定義より} \\ \\ &=& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\displaystyle\sum_{l}i\sigma_l(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_l&...&\text{Levi-Civita記号を用いた外積の定義より。また、全}j,k\text{によって全}l\text{が得られるため} \\ \\ &=& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})&...&\text{内積の定義より} \\ \\ \end{eqnarray} と示せる。

式(3.56)を用いて計算すると \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cccc} a_3&a_1-ia_2 \\ a_1+ia_2&-a_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} a_3&a_1-ia_2 \\ a_1+ia_2&-a_3 \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cccc} a_3^2+(a_1-ia_2)(a_1+ia_2)&a_3(a_1-ia_2)+(a_1-ia_2)(-a_3) \\ (a_1+ia_2)a_3+(-a_3)(a_1+ia_2)&(-a_3)^2+(a_1+ia_2)(a_1-ia_2) \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} a_1^2+a_2^2+a_3^2&0 \\ 0&a_1^2+a_2^2+a_3^2 \end{array} \right) \\ \\ &=& (a_1^2+a_2^2+a_3^2)\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} となる。ここで、\(\boldsymbol{a}\)の成分が実数の時、 \begin{eqnarray} |\boldsymbol{a}|^2 &=& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}^{\ast} \\ \\ &=& \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}&...&\boldsymbol{a}\text{の成分が実数であるため}\boldsymbol{a}^{\ast} =\boldsymbol{a} \\ \\ &=& a_1^2+a_2^2+a_3^2 \end{eqnarray} となることから、式(3.59)が得られる。
ただし、式(3.59)は左辺が行列、右辺が定数であるため厳密には等号で結べないのではないか？後の計算も踏まえ、 \begin{eqnarray} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})^2 = \hat{\boldsymbol{1}}|\boldsymbol{a}|^2&...&\hat{\boldsymbol{1}}\text{は単位行列} \end{eqnarray} とすべきだと考えられる。

式(3.48)や、p.199の一行目の文言より、 \begin{eqnarray} S=\frac{\hbar}{2}\sigma \end{eqnarray} と書ける。式(3.16)のように式(3.15)を角度\(\phi\)の回転に置き換え、\(\boldsymbol{J}\)を\(\boldsymbol{S}\)に置き換えた後、\(\sigma\)で置換すると \begin{eqnarray} \mathscr{D}(\hat{\boldsymbol{n}},\phi) &=& \displaystyle\lim_{N\to\infty}\left[1-i\left(\frac{\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n} } }{\hbar}\right)\left(\frac{\phi}{N}\right)\right]^N \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\boldsymbol{J}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{\hbar}\right) &\Rightarrow& \exp\left(\frac{-i\boldsymbol{S}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{\hbar}\right)&...&J\text{を置き換えた} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{\hbar}\right)&...&S\text{を置き換えた} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)& \\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.59)より、方向ベクトル\(\hat{\boldsymbol{n}}\)の成分が実数で大きさが\(1\)である(p.7下の訳注：ハットが付いたベクトルは単位ベクトルであるため)とすると \begin{eqnarray} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^2 &=& |\boldsymbol{n}|^2 \\ \\ &=& 1 \end{eqnarray} と書ける。累乗は整数の範囲であるため、偶数乗と奇数乗に分けることができ、 \begin{eqnarray} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^n &=& \begin{cases} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^{2m} & ( n\text{が偶数} ) \\ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^{2m+1} & ( n\text{が奇数} ) \\ \end{cases}\\ \\ &=& \begin{cases} \left((\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^{2}\right)^m & ( n\text{が偶数} ) \\ \left((\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^{2}\right)^m(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) & ( n\text{が奇数} ) \\ \end{cases}\\ \\ &=& \begin{cases} 1 & ( n\text{が偶数} ) \\ (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) & ( n\text{が奇数} ) \\ \end{cases}\\ \\ \end{eqnarray} となる。

式(3.60)をマクローリン展開をする。 \begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right) \\ \\ &=& 1+\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)+\frac{1}{2!}\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)^2+\frac{1}{3!}\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)^3+\frac{1}{4!}\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)^4+\ldots \\ \\ &=& \left[1-\frac{1}{2!}\left(\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)^2+\frac{1}{4!}\left(\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)^4+\ldots\right] -i\left[\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}-\frac{1}{3!}\left(\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)^3+\ldots\right] \\ \\ &=& \left[1-\frac{1}{2!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^2(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^2+\frac{1}{4!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^4(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^4+\ldots\right] -i\left[\frac{\phi}{2}\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}-\frac{1}{3!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^3(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})^3+\ldots\right] \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{1}}\left[1-\frac{1}{2!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^2+\frac{1}{4!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^4+\ldots\right] -i\left[\frac{\phi}{2}\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}-\frac{1}{3!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^3\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}+\ldots\right]&...&\text{式(3.61)より。また、単位行列を}\hat{\boldsymbol{1}}\text{とした} \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{1}}\left[1-\frac{1}{2!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^2+\frac{1}{4!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^4+\ldots\right] -i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\left[\frac{\phi}{2}-\frac{1}{3!}\left(\frac{\phi}{2}\right)^3+\ldots\right]&\\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{1}}\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) -i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(3.62)を用いる。\(\hat{\boldsymbol{n}}=(n_x,n_y,n_z)\)とすると \begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right) \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{1}}\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) -i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 0&1 \\ \end{array} \right)\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) -i \left( \begin{array}{cccc} n_z&n_x-in_y \\ n_x+in_y&-n_z \\ \end{array} \right)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&...&\text{式(3.56)より} \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)&0 \\ 0&\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} -in_z\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&(-in_x-n_y)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ (-in_x+n_y)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&in_z\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ \end{array} \right)& \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)-in_z\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&(-in_x-n_y)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ (-in_x+n_y)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)&\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)+in_z\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} と導出できる。

\(\hat{\boldsymbol{n}}=(n_1,n_2,n_3)\)とする。式(3.46)をケットとして\(\ket{\chi}\)書く。式(3.65)より \begin{eqnarray} \bra{\chi}\sigma_k\ket{\chi} \to \bra{\chi}\exp\left(\frac{i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)\sigma_k\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)\ket{\chi} \end{eqnarray} と書けるため、この\(\chi\)ブラケットで挟まれた中身に着目する。 \begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)\sigma_k\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right) \\ \\ &=& \left(\hat{\boldsymbol{1}}\cos\frac{\phi}{2}+i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\sin\frac{\phi}{2}\right)\sigma_k\left(\hat{\boldsymbol{1}}\cos\frac{\phi}{2}-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\sin\frac{\phi}{2}\right)&...&\text{式(3.62)より} \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{1}}\hat{\boldsymbol{1}}\sigma_k\cos^2\frac{\phi}{2}+(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})\sigma_k(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})\sin^2\frac{\phi}{2}+i(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})\sigma_k\hat{\boldsymbol{1}}\cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}-i\hat{\boldsymbol{1}}\sigma_k(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})\cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2} \\ \\ &=& \sigma_k\cos^2\frac{\phi}{2}+\underbrace{(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})\sigma_k(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})}_{\text{(I)}}\sin^2\frac{\phi}{2}+\underbrace{i[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}),\sigma_k]}_{\text{(II)}}\cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\phi}{2}&...&(\ast) \\ \\ \end{eqnarray} (I)について計算する。 \begin{eqnarray} &&(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}})\sigma_k(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}) \\ \\ &=& (\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)\sigma_k(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) \\ \\ &=& \begin{cases} (\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)\sigma_1(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) & ( k = 1 ) \\ (\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)\sigma_2(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) & ( k = 2 ) \\ (\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)\sigma_3(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) & ( k = 3 ) \\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} (n_1\sigma_1\sigma_1+n_2\sigma_2\sigma_1+n_3\sigma_3\sigma_1)(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) & ( k = 1 ) \\ (n_1\sigma_1\sigma_2+n_2\sigma_2\sigma_2+n_3\sigma_3\sigma_2)(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) & ( k = 2 ) \\ (n_1\sigma_1\sigma_3+n_2\sigma_2\sigma_3+n_3\sigma_3\sigma_3)(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) & ( k = 3 ) \\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} (n_1\hat{\boldsymbol{1}}-in_2\sigma_3+in_3\sigma_2)(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) &...&\text{訳注の}\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}+i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\text{より}\\ (in_1\sigma_3+n_2\hat{\boldsymbol{1}}-in_3\sigma_1)(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) &\\ (-in_1\sigma_2+in_2\sigma_1+n_3\hat{\boldsymbol{1}})(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) &\\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} n_1\hat{\boldsymbol{1}}(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)-in_2\sigma_3(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)+in_3\sigma_2(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)&\\ in_1\sigma_3(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)+n_2\hat{\boldsymbol{1}}(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)-in_3\sigma_1(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) &\\ -in_1\sigma_2(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)+in_2\sigma_1(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3)+n_3\hat{\boldsymbol{1}}(\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3) &\\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} \sigma_1(n_1^2-i(-i)n_2^2+i^2n_3^2)+\sigma_2(n_1n_2-i^2n_2n_1)+\sigma_3(n_1n_3-i^2n_3n_1)+\hat{\boldsymbol{1}}(-in_2n_3+in_3n_2)&\\ \sigma_1(-i^2n_1n_2+n_1n_2)+\sigma_2(i^2n_1^2+n_2^2-i(-i)n_3^2)+\sigma_3(n_2n_3-i^2n_3n_2)+\hat{\boldsymbol{1}}(in_1n_3-in_3n_1)&\\ \sigma_1(-i^2n_1n_3+n_3n_1)+\sigma_2(-i^2n_2n_3+n_3n_2)+\sigma_3(-i(-i)n_1^2+i^2n_2^2+n_3^2)+\hat{\boldsymbol{1}}(-in_1n_2+in_2n_1)&\\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} (n_1^2-n_2^2-n_3^2)\sigma_1+2n_1n_2\sigma_2+2n_3n_1\sigma_3&\\ 2n_1n_2\sigma_1+(-n_1^2+n_2^2-n_3^2)\sigma_2+2n_2n_3\sigma_3&\\ 2n_3n_1\sigma_1+2n_2n_3\sigma_2+(-n_1^2-n_2^2+n_3^2)\sigma_3&\\ \end{cases} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(II)については \begin{eqnarray} i[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}),\sigma_k] &=& i[\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3,\sigma_k] \\ \\ &=& \begin{cases} i[\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3,\sigma_1]&(k=1) \\ i[\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3,\sigma_2]&(k=2) \\ i[\sigma_1n_1+\sigma_2n_2+\sigma_3n_3,\sigma_3]&(k=3) \\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} 0-2n_2i^2\sigma_3+2i^2n_3\sigma_2&...&\text{式(3.53)より} \\ 2i^2n_1\sigma_3+0-2i^2n_3\sigma_1 \\ 2i^2n_1\sigma_2-2i^2\sigma_2n_1+0 \\ \end{cases} \\ \\ &=& \begin{cases} 2n_2\sigma_3-2n_3\sigma_2 \\ -2n_1\sigma_3+2n_3\sigma_1 \\ -2n_1\sigma_2+2\sigma_2n_1 \\ \end{cases} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。(I)(II)はそれぞれ\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\)の和で表されているため、式\((\ast)\)は \begin{eqnarray} \exp\left(\frac{i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)\sigma_k\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right) &=& \displaystyle\sum_lR_{kl}\sigma_l \\ \\ \end{eqnarray} と書くことができる。\(\sigma_{l}\)の係数の\(R_{kl}\)は\(\ket{\chi}\)には作用しないため、 \begin{eqnarray} \bra{\chi}\exp\left(\frac{i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)\sigma_k\exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)\ket{\chi} &=& \bra{\chi}\displaystyle\sum_lR_{kl}\sigma_l\ket{\chi} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_lR_{kl}\bra{\chi}\sigma_l\ket{\chi} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_lR_{kl}\chi^{\dagger}\sigma_l\chi \\ \\ \end{eqnarray} と書きあらわすことができる。

式(3.62)に\(\phi=2\pi\)を代入すると \begin{eqnarray} \exp\left(\frac{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\phi}{2}\right)|_{\phi=2\pi} &=& \hat{\boldsymbol{1}}\cos\frac{\phi}{2}-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\sin\frac{\phi}{2}|_{\phi=2\pi} \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{1}}\cos\pi-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\sin\pi \\ \\ &=& -\hat{\boldsymbol{1}}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} && \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}&0 \\ 0&\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\beta}{2}&-\sin\frac{\beta}{2} \\ \sin\frac{\beta}{2}&\cos\frac{\beta}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1\\0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2}&0 \\ 0&\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\beta}{2} \\ \sin\frac{\beta}{2} \end{array} \right)\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\right)&0 \\ 0&\exp\left(i\frac{\alpha}{2}\right) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\beta}{2} \\ \sin\frac{\beta}{2} \end{array} \right)&...&\text{オイラーの公式より}\\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \cos\frac{\beta}{2}\exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\right) \\ \sin\frac{\beta}{2}\exp\left(i\frac{\alpha}{2}\right) \end{array} \right)\\ \\ \end{eqnarray} と計算できる。