現代の量子力学の行間埋め　第２章

\begin{eqnarray} \widetilde{\ket{\alpha,t_0;t}} &=& \exp\left[-i\left(\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V(x)+V_0\right)\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{\alpha} \\ \\ &=& \exp\left[-iV_0\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\exp\left[-i\left(\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V(x)\right)\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{\alpha} \\ \\ &=& \exp\left[-iV_0\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\exp\left[-iH\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{\alpha} \\ \\ &=& \exp\left[-iV_0\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\mathscr{U}(t,t_0)\ket{\alpha}&...&\text{式(2.28)より} \\ \\ &=& \exp\left[-iV_0\frac{(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{\alpha,t_0;t}&...&\text{式(2.5)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.327)を用いて位相の変化を計算する。 \begin{eqnarray} \ket{\alpha_1,t_0;t}&\to&\exp\left(-i\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right)\ket{\alpha_1,t_0;t} \\ \\ \ket{\alpha_2,t_0;t}&\to&\exp\left(-i\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_2(t^{\prime})}{\hbar}\right)\ket{\alpha_2,t_0;t} \\ \\ \end{eqnarray} より、緩衝領域における状態ケットは \begin{eqnarray} \ket{\tilde{\alpha},t_0;t} &=& \exp\left(-i\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right)\ket{\alpha_1,t_0;t}+\exp\left(-i\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_2(t^{\prime})}{\hbar}\right)\ket{\alpha_2,t_0;t} \\ \\ &=& e^{i\phi_1}\ket{\alpha_1,t_0;t}+e^{i\phi_2}\ket{\alpha_2,t_0;t}&...&\phi_1=-\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar} \\ &&&&\phi_2=-\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_2(t^{\prime})}{\hbar}\text{とした} \end{eqnarray} と書くことができる。この強度を計算すると \begin{eqnarray} \braket{\tilde{\alpha},t_0;t|\tilde{\alpha},t_0;t} &=& \left(e^{-i\phi_1}\bra{\alpha_1,t_0;t}+e^{i\phi_2}\bra{\alpha_2,t_0;t}\right)\left(e^{i\phi_1}\ket{\alpha_1,t_0;t}+e^{i\phi_2}\ket{\alpha_2,t_0;t}\right) \\ \\ &=& \braket{\alpha_1,t_0;t|\alpha_1,t_0;t}+\braket{\alpha_2,t_0;t|\alpha_2,t_0;t}+e^{i\phi_2-i\phi_1}\braket{\alpha_2,t_0;t|\alpha_1,t_0;t}+e^{i\phi_1-i\phi_2}\braket{\alpha_1,t_0;t|\alpha_2,t_0;t} \\ \\ &=& 1+1+e^{-i(\phi_1-\phi_2)}\braket{\alpha_1,t_0;t|\alpha_2,t_0;t}^{\ast}+e^{i(\phi_1-\phi_2)}\braket{\alpha_1,t_0;t|\alpha_2,t_0;t}&...&\text{式(1.26)より}\braket{\alpha|\beta}=\braket{\beta|\alpha}^{\ast} \\ \\ &=& 1+1+e^{-i\Phi}(a-bi)+e^{i\Phi}(a+bi)&...&\Phi=\phi_1-\phi_2,\braket{\alpha_1,t_0;t|\alpha_2,t_0;t}=a+bi\text{とした} \\ \\ &=& 1+1+2a\frac{1}{2}(e^{i\Phi}+e^{-i\Phi})+2b\frac{1}{2i}(e^{i\Phi}-e^{-i\Phi})& \\ \\ &=& 1+1+2a\cos\Phi+2b\sin\Phi&...&\sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}),\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \\ \\ &=& 1+1+2a\cos(\phi_1-\phi_2)+2b\sin(\phi_1-\phi_2)\\ \\ \end{eqnarray} となり、干渉項が生じることがわかる。
またここで \begin{eqnarray} \phi_1-\phi_2 &=& -\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}-\left(-\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_2(t^{\prime})}{\hbar}\right) \\ \\ &=& \int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_2(t^{\prime})}{\hbar}-\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar} \\ \\ &=& \frac{1}{\hbar}\left[\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}V_2(t^{\prime})-\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}V_1(t^{\prime})\right] \\ \\ &=& \frac{1}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}dt^{\prime}\left[V_2(t^{\prime})-V_1(t^{\prime})\right]&...&\text{積分区間が同一であるため} \\ \\ \end{eqnarray} となり式(2.329)が示せる。

距離\(r\)のときの電子(質量\(m_e\))と中性子(質量\(m_n\))の間の重力は \begin{eqnarray} F_g &=& G\frac{m_em_n}{r^2} \\ \\ &\sim& 6.67\times 10^{-11}\frac{9.11\times 10^{-31}\cdot 1.67\times 10^{-27}}{r^2} \end{eqnarray} であり、距離\(r\)の時の真空中の陽子(電荷\(e_p\))と電子(電荷\(e\))の間のクーロン力は \begin{eqnarray} F_c &=& k\frac{e_pe}{r^2} \\ \\ &\sim& 8.99\times 10^9\frac{1.60\times 10^{-19}\cdot 1.60\times 10^{-19}}{r^2} \\ \\ \end{eqnarray} である。比較すると \begin{eqnarray} \frac{F_c}{F_g} &\sim& \frac{8.99\times 10^9\frac{1.60\times 10^{-19}\cdot 1.60\times 10^{-19}}{r^2}}{6.67\times 10^{-11}\frac{9.11\times 10^{-31}\cdot 1.67\times 10^{-27}}{r^2}} \\ \\ &=& \frac{8.99\cdot 1.60\cdot 1.60}{6.67\cdot 9.11\cdot 1.67}\times 10^{40} \\ \\ &\sim& 2.27\times 10^{39} \\ \\ \end{eqnarray} が得られ、因子約\(2\times10^{39}\)程度弱いことがわかる。

こちらの解説などを参考
ボーアの量子条件から半径\(a_0\)を求める。電子の質量を\(m_e\)とすると条件から電子の速さ\(v\)は \begin{eqnarray} &&2\pi a_0=1\cdot\frac{h}{p}&=&\frac{h}{m_e v} \\ \\ &\Leftrightarrow& v&=&\frac{h}{2\pi m_e a_0}=\frac{\hbar}{m_e a_0}&...&\text{(i)} \end{eqnarray} となる。加えて、半径\(a_0\)でまわる電子の釣り合い条件を用いる。中性子の質量は電子の2000倍程度あるため、中性子が静止していると考えると \begin{eqnarray} &&m_e\frac{v^2}{a_0}&=&G\frac{m_em_n}{a_0^2} \\ \\ &\Leftrightarrow& v^2&=&G\frac{m_n}{a_0}&...&\text{(ii)} \end{eqnarray} と書くことができる。(ii)に(i)を代入すると \begin{eqnarray} &&\left(\frac{\hbar}{m_e a_0}\right)^2&=&G\frac{m_n}{a_0} \\ \\ &\Leftrightarrow& a_0&=&\frac{\hbar^2}{Gm_e^2m_n } \end{eqnarray} となる。

波束の位相差を求める。区間AからB(CからD)を通過する時間を\(T_1\)とする。また、その時のポテンシャルエネルギーの時間依存性を\(V_1(t)\)とする。ABDの経路でDに達する波束が被る位相差は \begin{eqnarray} &&\exp\left[-i\int_{T_A}^{T_B}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}-i\int_{T_B}^{T_D}\frac{V_0(t^{\prime})}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left[-i\int_0^{T_1}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}-i\int_{T_1}^{T_1+T}\frac{V_0(t^{\prime})}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left[-i\int_0^{T_1}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}-i\int_{T_1}^{T_1+T}\frac{m_ngl_2\sin\delta}{\hbar}\right]&...&V_0(t)\text{は定数であるため} \\ \\ &=& \exp\left[-i\int_0^{T_1}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}-i\frac{m_ngl_2\sin\delta T}{\hbar}\right]&\\ \\ \end{eqnarray} と書くことができる。ACDの経路でDに達する波束が被る位相差は \begin{eqnarray} &&\exp\left[-i\int_{T_A}^{T_C}dt^{\prime}\frac{V_0(t^{\prime})}{\hbar}-i\int_{T_C}^{T_D}\frac{V_0(t^{\prime})}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left[-i\int_0^{T}dt^{\prime}\frac{V_0(t^{\prime})}{\hbar}-i\int_{T}^{T+T_1}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left[-i\int_0^{T}dt^{\prime}\frac{0}{\hbar}-i\int_{T}^{T+T_1}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right]&...&V_0(t)\text{は定数であるため} \\ \\ &=& \exp\left[-i\int_{0}^{0+T_1}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right]&...&V_0(t)=0\text{であるから}T=0\text{と置いても同じに値になると考えられる。}\\ \\ &=& \exp\left[-i\int_{0}^{T_1}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right]&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。相対的な値として位相の部分の差をとると \begin{eqnarray} &&\exp\left[-i\int_0^{T_1}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}-i\frac{m_ngl_2\sin\delta T}{\hbar}-\left(-i\int_0^{T_1}dt^{\prime}\frac{V_1(t^{\prime})}{\hbar}\right)\right]&\\ \\ &=& \exp\left[-i\frac{m_ngl_2\sin\delta T}{\hbar}\right]&\\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

\(T=l_1/\nu_{\text{波束}}\)を別の式で表す。式(1.213)より運動量\(p\)との関係は \begin{eqnarray} p&=&\frac{2\pi\hbar}{\lambda} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } } }&...&\text{波数}k=\frac{2\pi}{\lambda}\text{の逆数として}\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } }=\frac{1}{k}=\frac{\lambda}{2\pi}\text{としている} \\ \\ \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} m_nv_{\text{波束}}&=&p \\ \\ &=& \frac{\hbar}{\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } } }& \\ \\ \Leftrightarrow v_{\text{波束}} &=& \frac{\hbar}{m_n\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } } } \end{eqnarray} が得られる。式(2.336)の指数を用いて、 \begin{eqnarray} \phi_{ABD}-\phi_{ACD} &=& \frac{m_ngl_2\sin\delta T}{\hbar} \\ \\ &=& \frac{m_ngl_2\sin\delta}{\hbar}\frac{l_1}{\nu_{\text{波束}}} \\ \\ &=& \frac{m_ngl_1l_2\sin\delta}{\hbar}\frac{m_n\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } } }{\hbar} \\ \\ &=& \frac{m_n^2gl_1l_2\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } }\sin\delta}{\hbar^2}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。また、 \begin{eqnarray} &&\frac{m_n^2gl_1l_2\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } }}{\hbar^2}\\ \\ &\sim& \frac{(1.67\times 10^{-27})^2\cdot 9.8\cdot(10\times10^{-4})\cdot 1.42\times 10^{-10}/2\cdot3.14}{(1.05\times 10^{-34})^2}&...&\rlap{ {\lambda} }{\bar{\phantom{w} } }=\frac{\lambda}{2\pi}\text{を利用}\\ \\ &=& \frac{(1.67)^2\cdot 9.8\cdot 10\cdot 1.42/6.28}{1.05^2}&\\ \\ &\sim& 56.1&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。0.5程のずれはあるが、概ね導出できたといえる。

\(x_i=x\)として導出する。\(\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z),\boldsymbol{A}=(A_x,A_y,A_z)\)とする。 \begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} &=& \frac{[x,H]}{i\hbar}&...&\text{式(2.93)より} \\ \\ &=& x\left(\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{p})+\left(\frac{e}{c}\right)^2A^2\right)+e\phi\right)/i\hbar \\ &&-\left(\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{p})+\left(\frac{e}{c}\right)^2A^2\right)+e\phi\right)x/i\hbar \\ \\ &=& x\left(\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2-\frac{e}{c}(p_xA_x+p_yA_y+p_zA_z+A_xp_x+A_yp_y+A_zp_z)+\left(\frac{e}{c}\right)^2(A_x^2+A_y^2+A_z^2)\right)+e\phi\right)/i\hbar \\ &&-\left(\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2-\frac{e}{c}(p_xA_x+p_yA_y+p_zA_z+A_xp_x+A_yp_y+A_zp_z)+\left(\frac{e}{c}\right)^2(A_x^2+A_y^2+A_z^2)\right)+e\phi\right)x/i\hbar \\ \\ &=& \left(\frac{1}{2m}\left([x,p_x^2]+[x,p_y^2]+[x,p_z^2]-\frac{e}{c}([x,p_xA_x]+[x,p_yA_y]+[x,p_zA_z]+[x,A_xp_x]+[x,A_yp_y]+[x,A_zp_z])+\left(\frac{e}{c}\right)^2([x,A_x^2]+[x,A_y^2]+[x,A_z^2])\right)+e[x,\phi]\right)/i\hbar \\ \\ &=& \left(\frac{1}{2m}\left([x,p_x^2]+0+0-\frac{e}{c}([x,p_xA_x]+0+0+[x,A_xp_x]+0+0)+\left(\frac{e}{c}\right)^2(0+0+0)\right)+e\cdot 0\right)/i\hbar&...&(1)(2)(3)(4) \\ \\ &=& \frac{1}{2m}\left([x,p_xp_x]-\frac{e}{c}([x,p_xA_x]+[x,A_xp_x])\right)/i\hbar& \\ \\ &=& \frac{1}{2m}\left([x,p_x]p_x+p_x[x,p_x]-\frac{e}{c}([x,p_x]A_x+p_x[x,A_x]+[x,A_x]p_x+A_x[x,p_x])\right)/i\hbar&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& \frac{1}{2m}\left(i\hbar p_x+p_xi\hbar-\frac{e}{c}(i\hbar A_x+p_x\cdot 0+0\cdot p_x+A_xi\hbar)\right)/i\hbar&...&\text{式(1.215)より}\\ \\ &=& \frac{1}{m}\left(i\hbar p_x-\frac{e}{c}i\hbar A_x\right)/i\hbar&\\ \\ &=& \frac{p_x-\frac{e}{c}A_x}{m}&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

1. (1)\([x_i,p_j^2]=0(i\neq j)\)を利用
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\begin{eqnarray} [x_i,p_j^2] &=& [x_i,p_j]p_j+p_j[x_i,p_j]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& 0\cdot p_j+p_j\cdot 0&...&\text{式(1.215)より}i\neq j\text{より} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray}


2. (2)\([x_i,p_jA_j]=0(i\neq j)\)を利用
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\begin{eqnarray} [x_i,p_jA_j] &=& [x_i,p_j]A_j+p_j[x_i,A_j]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& 0\cdot A_j+p_j\cdot 0&...&\text{式(1.215)より}i\neq j\text{およびp.159より}A\text{はxの関数であるためxと交換する} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray}


3. (3)\([x_i,A_jp_j]=0(i\neq j)\)を利用
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\begin{eqnarray} [x_i,A_jp_j] &=& [x_i,A_j]p_j+A_j[x_i,p_j]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& 0\cdot p_j+A_j\cdot 0&...&\text{式(1.215)より}i\neq j\text{およびp.159より}A\text{はxの関数であるためxと交換する} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray}


4. (4)\([x_i,A_j^2]=0,[x_i,\phi]=0\)を利用
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p.159より\(\boldsymbol{A},\phi\)はそれぞれ、xの関数である。xとxの関数は交換するため、\([x_i,A_j^2]=0,[x_i,\phi]=0\)が得られる。

\(\boldsymbol{\Pi}=(\Pi_x,\Pi_y,\Pi_z),\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z),\boldsymbol{A}=(A_x,A_y,A_z)\)とする。 \begin{eqnarray} [\Pi_i,\Pi_j] &=& \left(p_i-\frac{eA_i}{c}\right)\left(p_j-\frac{eA_j}{c}\right)-\left(p_j-\frac{eA_j}{c}\right)\left(p_i-\frac{eA_i}{c}\right) \\ \\ &=& [p_i,p_j]-\frac{e}{c}[p_i,A_j]-\frac{e}{c}[A_i,p_j]+\frac{e^2}{c^2}[A_i,A_j] \\ \\ &=& 0-\frac{e}{c}[p_i,A_j]+\frac{e}{c}[p_j,A_i]+0&...&\text{式(1.224)と}A_i,A_j\text{はxのみに関する関数であるため交換できるため} \\ \\ &=& -\frac{e}{c}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_i}A_j+\frac{e}{c}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_j}A_i&...&\text{式(2.97b)より} \\ \\ &=& \frac{i\hbar e}{c}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}A_j-\frac{\partial}{\partial x_j}A_i\right)& \\ \\ \end{eqnarray} となる。ここで、\(i=j\)の時は式は\(0\)になる。\(i\neq j\)の時、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)と磁場\(\boldsymbol{B}\)の関係 \begin{eqnarray} \boldsymbol{B} &=& \nabla\times\boldsymbol{A}&...&\text{式(C.3)} \\ \\ &=& \left\{ \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial y}A_z-\frac{\partial}{\partial z}A_y \\ \frac{\partial}{\partial z}A_x-\frac{\partial}{\partial x}A_z \\ \frac{\partial}{\partial x}A_y-\frac{\partial}{\partial y}A_z \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} であることから、係数を比較する。ここで、正負の表現のために三階のレヴィ＝チヴィタの記号を導入すると \begin{eqnarray} [\Pi_i,\Pi_j] &=& \frac{i\hbar e}{c}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}A_j-\frac{\partial}{\partial x_j}A_i\right)& \\ \\ &=& \frac{i\hbar e}{c}\varepsilon_{ijk}B_k& \\ \\ \end{eqnarray} が得らえる。

\(\boldsymbol{\Pi}=(\Pi_x,\Pi_y,\Pi_z),\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z),\boldsymbol{x}=(x,y,z)\)とする。\(x\)成分に着目すると \begin{eqnarray} m\frac{d^2\text{x}}{dt^2} &=& \frac{d}{dt}m\frac{d\text{x}}{dt} \\ \\ &=& \frac{d}{dt}\Pi_x&...&\text{式(2.343)より} \\ \\ &=& \frac{1}{i\hbar}[\Pi_x,H]&...&\text{式(2.93)より} \\ \\ &=& \frac{1}{i\hbar}[\Pi_x,\frac{\boldsymbol{\Pi}^2}{2m}+e\phi]&...&\text{式(2.346)より} \\ \\ &=& \frac{1}{i\hbar}[\Pi_x,\frac{\Pi_x^2+\Pi_y^2+\Pi_z^2}{2m}+e\phi]&\\ \\ &=& \frac{1}{i\hbar}\left(\frac{\Pi_x\Pi_x^2+\Pi_x\Pi_y^2+\Pi_x\Pi_z^2}{2m}+e\Pi_x\phi\right)-\frac{1}{i\hbar}\left(\frac{\Pi_x^2\Pi_x+\Pi_y^2\Pi_x+\Pi_z^2\Pi_x}{2m}+e\phi\Pi_x\right)&\\ \\ &=& \frac{1}{i\hbar}\left(\frac{[\Pi_x,\Pi_x^2]+[\Pi_x,\Pi_y^2]+[\Pi_x,\Pi_z^2]}{2m}+e[\Pi_x,\phi]\right)&\\ \\ &=& \frac{1}{i\hbar}\left(\frac{0+[\Pi_x,\Pi_y^2]+[\Pi_x,\Pi_z^2]}{2m}+e[\Pi_x,\phi]\right)&...&(1)\\ \\ &=& \frac{[\Pi_x,\Pi_y]\Pi_y+\Pi_y[\Pi_x,\Pi_y]+[\Pi_x,\Pi_z]\Pi_z+\Pi_z[\Pi_x,\Pi_z]}{2mi\hbar}+\frac{e}{i\hbar}[\Pi_x,\phi]&...&\text{式(1.232e)より}\\ \\ &=& \frac{\frac{i\hbar e}{c}B_{z}\Pi_y+\Pi_y\frac{i\hbar e}{c}B_{z}-\frac{i\hbar e}{c}B_{y}\Pi_z-\Pi_z\frac{i\hbar e}{c}B_{y}}{2mi\hbar}+\frac{e}{i\hbar}[p_x-\frac{eA_x}{c},\phi]&...&\text{式(2.345),式(2.343)}\\ \\ &=& e\frac{B_{z}\Pi_y+\Pi_yB_{z}-B_{y}\Pi_z-\Pi_zB_{y}}{2mc}+\frac{e}{i\hbar}[p_x-\frac{eA_x}{c},\phi]&\\ \\ &=& e\frac{B_{z}m\frac{dy}{dt}+m\frac{dy}{dt}B_{z}-B_{y}m\frac{dz}{dt}-m\frac{dz}{dt}B_{y}}{2mc}+\frac{e}{i\hbar}[p_x,\phi]-\frac{e}{i\hbar}[\frac{eA_x}{c},\phi]&...&\text{式(2.323),式(1.232d)より}\\ \\ &=& e\frac{\frac{dy}{dt}B_{z}-\frac{dz}{dt}B_{y}-B_{y}\frac{dz}{dt}+B_{z}\frac{dy}{dt}}{2c}+\frac{e}{i\hbar}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x}\phi-0&...&(2)\text{と式(2.97b)より}\\ \\ &=& e\frac{\left.\frac{d\boldsymbol{\text{x}}}{dt}\times\boldsymbol{B}\right|_x-\left.\boldsymbol{B}\times\frac{d\boldsymbol{\text{x}}}{dt}\right|_x}{2c}-e(-E_x)&...&\text{式(C.3)より}\\ \\ &=& e\left[E_x+\frac{1}{2c}\left(\left.\frac{d\boldsymbol{\text{x}}}{dt}\times\boldsymbol{B}\right|_x-\left.\boldsymbol{B}\times\frac{d\boldsymbol{\text{x}}}{dt}\right|_x\right)\right]&\\ \\ &=& \left.e\left[\boldsymbol{E}+\frac{1}{2c}\left(\frac{d\boldsymbol{\text{x}}}{dt}\times\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\times\frac{d\boldsymbol{\text{x}}}{dt}\right)\right]\right|_x&\\ \\ \end{eqnarray} が得らえる。これを各成分に適用することで式(2.347)が得られる。

1. (1)\([\Pi_i,\Pi_i^2]=0\)の利用
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\begin{eqnarray} [\Pi_i,\Pi_i^2] &=& [\Pi_i,\Pi_i]\Pi_i+\Pi_i[\Pi_i,\Pi_i]&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& 0\cdot\Pi_i+\Pi_i\cdot 0&...&\text{式(2.345)より} \\ \\ &=& 0 \end{eqnarray} となる。


2. (2)\([A_x,\phi]=0\)の利用
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両者とも\(x\)に関する式であることから交換するため\(0\)になる。

\begin{eqnarray} \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\boldsymbol{\Pi}^2|\alpha,t_0;t} &=& \bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]^2\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\ket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\right]\ket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \int d\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\right]\delta(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}-\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime})\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\ket{\alpha,t_0;t}&...&\text{式(1.184a)より} \\ \\ &=& \left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\right]\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}})\right]\ket{\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\right]\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha,t_0;t}&...&\text{上記と同様の導出} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.349)より \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2m}\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi+e\phi\psi&=&i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\psi&=&\frac{1}{2i\hbar m}\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi+\frac{e}{i\hbar}\phi\psi \\ \\ &\Rightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\psi^{\ast}&=&\frac{-1}{2i\hbar m}\left[i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi^{\ast}-\frac{e}{i\hbar}\phi\psi^{\ast} \\ \\ \end{eqnarray} のように\(\psi=\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha,t_0;t}\)とその複素共役の時間微分が得られる。これらを用いると \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}\rho &=& \frac{\partial}{\partial t}\psi^{\ast}\psi \\ \\ &=& \frac{\partial\psi^{\ast}}{\partial t}\psi+\psi^{\ast}\frac{\partial\psi}{\partial t} \\ \\ &=& \left(\frac{-1}{2i\hbar m}\left[i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi^{\ast}-\frac{e}{i\hbar}\phi\psi^{\ast}\right)\psi+\psi^{\ast}\left(\frac{1}{2i\hbar m}\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi+\frac{e}{i\hbar}\phi\psi\right) \\ \\ &=& \left(\frac{-1}{2i\hbar m}\left[i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi^{\ast}\right)\psi+\psi^{\ast}\left(\frac{1}{2i\hbar m}\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\left[-i\hbar\nabla^{\prime}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi\right)&...&\phi\text{は位置の関数であるから交換できるため} \\ \\ &=& \left(\frac{-1}{2i\hbar m}\left[-\hbar^2\nabla^{\prime 2}-i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\nabla^{\prime}-\nabla^{\prime}i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}+\frac{e^2}{c^2}\boldsymbol{A}^2\right]\psi^{\ast}\right)\psi+\psi^{\ast}\left(\frac{1}{2i\hbar m}\left[-\hbar^2\nabla^{\prime 2}+i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\nabla^{\prime}+\nabla^{\prime}i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}+\frac{e^2}{c^2}\boldsymbol{A}^2\right]\psi\right) \\ \\ &=& \left(\frac{-1}{2i\hbar m}\left[-\hbar^2\nabla^{\prime 2}-i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\nabla^{\prime}-\nabla^{\prime}i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi^{\ast}\right)\psi+\psi^{\ast}\left(\frac{1}{2i\hbar m}\left[-\hbar^2\nabla^{\prime 2}+i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\nabla^{\prime}+\nabla^{\prime}i\hbar\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right]\psi\right)&...&\boldsymbol{A}\text{は位置の関数であるから交換できるため} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2im}\left((\nabla^{\prime 2}\psi^{\ast})\psi-\psi^{\ast}\nabla^{\prime 2}\psi\right)+\frac{e}{2mc}\left((\boldsymbol{A}\nabla^{\prime}\psi^{\ast})\psi+(\nabla^{\prime}\boldsymbol{A}\psi^{\ast})\psi+\psi^{\ast}\boldsymbol{A}\nabla^{\prime}\psi+\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\boldsymbol{A}\psi\right)\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2im}\left((\nabla^{\prime 2}\psi^{\ast})\psi-\psi^{\ast}\nabla^{\prime 2}\psi\right)+\frac{e}{2mc}\left(\boldsymbol{A}(\nabla^{\prime}\psi^{\ast})\psi+(\nabla^{\prime}\boldsymbol{A})\psi^{\ast}\psi+\boldsymbol{A}(\nabla^{\prime}\psi^{\ast})\psi+\psi^{\ast}\boldsymbol{A}\nabla^{\prime}\psi+\psi^{\ast}(\nabla^{\prime}\boldsymbol{A})\psi+\psi^{\ast}\boldsymbol{A}\nabla^{\prime}\psi\right)\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2im}\left((\nabla^{\prime 2}\psi^{\ast})\psi-\psi^{\ast}\nabla^{\prime 2}\psi\right)+\frac{e}{mc}\left(\boldsymbol{A}(\nabla^{\prime}\psi^{\ast})\psi+(\nabla^{\prime}\boldsymbol{A})\psi^{\ast}\psi+\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi\right)&...&\boldsymbol{A},\psi,\psi^{\ast},\nabla^{\prime}\boldsymbol{A},\nabla^{\prime}\psi,\nabla^{\prime}\psi^{\ast}\text{は位置のみの関数なので交換できる}\\ \\ &=& \nabla^{\prime}\cdot\left(\frac{\hbar}{2im}\left((\nabla^{\prime}\psi^{\ast})\psi-\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi\right)+\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\psi\right)&\\ \\ &=& \nabla^{\prime}\cdot\left(\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi-(\nabla^{\prime}\psi^{\ast})\psi\right)+\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\psi\right)&\\ \\ &=& \nabla^{\prime}\cdot\left(-\frac{\hbar}{m}\text{Im}\left(\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi\right)+\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\psi\right)&...&\text{式(2.191)より}\\ \\ &=& -\nabla^{\prime}\cdot\left(\frac{\hbar}{m}\text{Im}\left(\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi\right)-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}|\psi|^2\right)&\\ \\ &=& -\nabla^{\prime}\cdot\boldsymbol{j}&...&\text{式(2.351)より}\\ \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{\partial}{\partial t}\rho+\nabla^{\prime}\cdot\boldsymbol{j}=0 \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.191)において、式(2.352)の置換を施すと \begin{eqnarray} \frac{\hbar}{m}\text{Im}(\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi) &\Rightarrow& \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}-\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A}\right)\psi\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}\right)\psi\right]-\frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A}\right)\psi\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}\right)\psi\right]-\frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A}\right)\psi\right] \\ \\ &=& \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}\right)\psi\right]-\frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\psi\right]&...&\boldsymbol{A}\text{は位置の関数であるため}\psi,\psi^{\ast}\text{と交換可能} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}\right)\psi\right]-\frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A}|\psi|^2\right]& \\ \\ &=& \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}\right)\psi\right]-\frac{\hbar}{m}\frac{e}{\hbar c}\boldsymbol{A}|\psi|^2&...&\text{ベクトルポテンシャル}\boldsymbol{A}\text{は一般的には実数となることから、二項目の中身が純虚数になる} \\ \\ \end{eqnarray} となり、式(2.351)が導出できる。

式(2.193)を用いる。 \begin{eqnarray} \frac{\hbar}{m}\text{Im}\left[\psi^{\ast}\left(\nabla^{\prime}\right)\psi\right]-\frac{\hbar}{m}\frac{e}{\hbar c}\boldsymbol{A}|\psi|^2 &=& \frac{\rho}{m}\nabla^{\prime}S-\frac{\hbar}{m}\frac{e}{\hbar c}\boldsymbol{A}|\psi|^2&...&\text{式(2.195)の導出を用いた} \\ \\ &=& \frac{\rho}{m}\nabla^{\prime}S-\frac{\hbar}{m}\frac{e}{\hbar c}\boldsymbol{A}|\sqrt{\rho}\exp\left[\frac{iS}{\hbar}\right]|^2& \\ \\ &=& \frac{\rho}{m}\nabla^{\prime}S-\frac{\hbar}{m}\frac{e}{\hbar c}\boldsymbol{A}\sqrt{\rho}\exp\left[\frac{-iS}{\hbar}\right]\sqrt{\rho}\exp\left[\frac{iS}{\hbar}\right]& \\ \\ &=& \frac{\rho}{m}\nabla^{\prime}S-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\rho& \\ \\ &=& \frac{\rho}{m}\left(\nabla^{\prime}S-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\right)& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.192)の導出過程を用いる。 \begin{eqnarray} \int d^3x^{\prime}\boldsymbol{j} &=& \int d^3x^{\prime}\left(\frac{\hbar}{m}\text{Im}(\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi)-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}|\psi|^2\right)&...&\text{式(2.351)より} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\left(\frac{\hbar}{m}\text{Im}(\psi^{\ast}\nabla^{\prime}\psi)-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\psi\right)& \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\left(\psi^{\ast}\frac{\boldsymbol{p}}{m}\psi-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\psi^{\ast}\psi\right)&...&\text{式(2.192)の導出過程、期待値は実数になることより} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\left(\psi^{\ast}\frac{\boldsymbol{p}}{m}\psi-\frac{e}{mc}\psi^{\ast}\boldsymbol{A}\psi\right)&...&\boldsymbol{A}\text{は位置の関数であるため、波動関数と交換できる} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\psi^{\ast}\left(\frac{\boldsymbol{p}}{m}-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}\right)\psi&\\ \\ &=& \braket{\frac{\boldsymbol{p}}{m}-\frac{e}{mc}\boldsymbol{A}}&...&\text{期待値の計算に相当するため}\\ \\ &=& \frac{\braket{\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A} } }{m}&\\ \\ &=& \frac{\braket{\boldsymbol{\Pi} } }{m}&...&\text{式(2.343)より}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

p.162上部の式(2.358)より \begin{eqnarray} -\nabla(\phi(\boldsymbol{\text{x}})+\lambda)-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{A} &=& -\nabla\phi(\boldsymbol{\text{x}})-\nabla\lambda-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{A} \\ \\ &=& -\nabla\phi(\boldsymbol{\text{x}})-0-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{A}&...&\lambda\text{は定数であるため} \\ \\ &=& \boldsymbol{E}&...&\text{式(2.358)より}\\ \\ \end{eqnarray} となり、\(\boldsymbol{E}\)に変化が無いことがわかる。また、\(\boldsymbol{A}\)には変更がないため、\(\boldsymbol{B}\)には変化がないと言える。

p.162上部の式(2.358)より \begin{eqnarray} -\nabla\phi(\boldsymbol{\text{x}})-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}((\boldsymbol{A})+\nabla\Lambda) &=& -\nabla\phi(\boldsymbol{\text{x}})-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\nabla\Lambda \\ \\ &=& -\nabla\phi(\boldsymbol{\text{x}})-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{A}-0&...&\Lambda\text{は時間に関しては定数であるため} \\ \\ &=& \boldsymbol{E}&...&\text{式(2.358)より}\\ \\ \end{eqnarray} となり、\(\boldsymbol{E}\)に変化が無いことがわかる。また、 \begin{eqnarray} \nabla\times((\boldsymbol{A})+\nabla\Lambda) &=& \nabla\times(\boldsymbol{A})+\nabla\times\nabla\Lambda \\ \\ &=& \nabla\times(\boldsymbol{A})+0&...&\text{勾配の回転}\nabla\times\nabla A=0\text{は常に成り立つため} \\ \\ &=& \boldsymbol{B}&...&\text{式(2.358)より}\\ \\ \end{eqnarray} より\(\boldsymbol{B}\)にも変化がないと言える。

式(2.360)より \begin{eqnarray} \boldsymbol{B} &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial y}A_z-\frac{\partial}{\partial z}A_y\\ \frac{\partial}{\partial z}A_x-\frac{\partial}{\partial x}A_z\\ \frac{\partial}{\partial x}A_y-\frac{\partial}{\partial y}A_x\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0\\ 0\\ \frac{B}{2}-(-\frac{B}{2})\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0\\ 0\\ B\\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。次に式(2.361)より \begin{eqnarray} \boldsymbol{B} &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial y}A_z-\frac{\partial}{\partial z}A_y\\ \frac{\partial}{\partial z}A_x-\frac{\partial}{\partial x}A_z\\ \frac{\partial}{\partial x}A_y-\frac{\partial}{\partial y}A_x\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0\\ 0\\ 0-(-B)\\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} 0\\ 0\\ B\\ \end{array} \right) \\ \\ \end{eqnarray} となり式(2.360)(2.361)から式(2.359)が求められる。

\begin{eqnarray} \boldsymbol{A}_{式(2.360)}-\nabla\left(\frac{Bxy}{2}\right) &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{-By}{2} \\ \frac{Bx}{2} \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Bxy}{2}\right) \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{Bxy}{2}\right) \\ \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{Bxy}{2}\right) \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{-By}{2} \\ \frac{Bx}{2} \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cccc} \frac{By}{2} \\ \frac{Bx}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} -By \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\ \\ &=& \boldsymbol{A}_{式(2.361)} \end{eqnarray} と求めることができる。

式(2.363)を用いる。\(\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z)\)とする。式(2.361)でベクトルポテンシャルが表されるとき \begin{eqnarray} \frac{dp_x}{dt} &=& -\frac{\partial H}{\partial x} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A})^2+e\phi\right)&...&\text{式(2.340)より} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{A}+\frac{e^2}{c^2}\boldsymbol{A}^2)+e0\right)&...&\text{ここでは}\phi\text{に依存しない運動を考える。} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}(A_xp_x)-\frac{e}{c}(p_xA_x)+\frac{e^2}{c^2}A_x^2)\right)&...&A_x\text{以外0であるため} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}(-Byp_x)-\frac{e}{c}(p_x(-By))+\frac{e^2}{c^2}(-By)^2)\right)&...&\text{式(2.361)を代入} \\ \\ &=& 0&...&x\text{に関する項がないため} \\ \\ \end{eqnarray} と求められ、時間変化しないことから運動における定数であることがわかる。
一方で、式(2.360)でベクトルポテンシャルが表されるときは \begin{eqnarray} \frac{dp_x}{dt} &=& -\frac{\partial H}{\partial x} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A})^2+e\phi\right)&...&\text{式(2.340)より} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{A}+\frac{e^2}{c^2}\boldsymbol{A}^2)+e0\right)&...&\text{ここでは}\phi\text{に依存しない運動を考える。} \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}(A_xp_x+A_yp_y)-\frac{e}{c}(p_xA_x+p_yA_y)+\frac{e^2}{c^2}(A_x^2+A_y^2))\right)& \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}^2-\frac{e}{c}(\frac{-By}{2}p_x+\frac{Bx}{2}p_y)-\frac{e}{c}(p_x\frac{-By}{2}+p_y\frac{Bx}{2})+\frac{e^2}{c^2}((\frac{-By}{2})^2+(\frac{Bx}{2})^2))\right)& \\ \\ &=& -\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2m}(\frac{Bx}{2}p_y+p_y\frac{Bx}{2}+\frac{e^2}{c^2}\frac{B^2x^2}{4})\right)&...&x\text{にかかわらず、微分して}0\text{になる項を消した} \\ \\ \end{eqnarray} となることから、式(2.360)で表されるベクトルポテンシャルを用いると\(p_x\)は定数にならないことがわかる。

ここでは、力学的運動量の時間微分がゲージに対して不変であることを示すことで、力学的運動量がゲージ不変であるとする(要議論)。
そのためには、(i)力学的運動量の交換関係\([\Pi_i,\Pi_j]\)を示し、(ii)力学的運動量の時間微分\([\boldsymbol{\Pi},H]\)を計算することで示すことができる。
力学的運動量の交換関係を示すとき、ベクトルポテンシャルを\(\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda\)とすると \begin{eqnarray} \Pi_i=p_x-\frac{e}{c}(A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda) \end{eqnarray} と書ける。ここで、\(\nabla\Lambda\)の\(i\)成分を\(\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda\)とした。これを用いて、\begin{eqnarray} [\Pi_i,\Pi_j] &=& \left(p_i-\frac{e}{c}(A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda)\right)\left(p_j-\frac{e}{c}(A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda)\right)-\left(p_j-\frac{e}{c}(A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda)\right)\left(p_i-\frac{e}{c}(A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda)\right) \\ \\ &=& [p_i,p_j]-\frac{e}{c}[p_i,A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda]-\frac{e}{c}[A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda,p_j]+\frac{e^2}{c^2}[A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda,A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda] \\ \\ &=& 0-\frac{e}{c}[p_i,A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda]+\frac{e}{c}[p_j,A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda]+0&...&\text{式(1.224)と}A_i,A_j,\Lambda\text{はxのみに関する関数であるため交換できるため} \\ \\ &=& -\frac{e}{c}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_i}(A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda)+\frac{e}{c}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_j}(A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda)&...&\text{式(2.97b)より} \\ \\ &=& \frac{i\hbar e}{c}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}(A_j+\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda)-\frac{\partial}{\partial x_j}(A_i+\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda)\right)& \\ \\ &=& \frac{i\hbar e}{c}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}A_j+\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\Lambda-\frac{\partial}{\partial x_j}A_i-\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i}\Lambda\right)& \\ \\ &=& \frac{i\hbar e}{c}\left(\frac{\partial}{\partial x_i}A_j-\frac{\partial}{\partial x_j}A_i\right)& \\ \\ &=& \frac{i\hbar e}{c}B_k\varepsilon_{ijk}&...&\text{式(2.345)の導出より} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで、交換関係がゲージ不変であることがわかったので、そのあとの計算の\(\boldsymbol{\Pi}\)の時間変換もゲージ不変であり、力学的運動量\(\boldsymbol{\Pi}\)がゲージ不変であると言える。

\begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)+\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p}-\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)+\boldsymbol{p}-\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[\boldsymbol{p}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)-\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\boldsymbol{p}\right]+\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[\boldsymbol{p},\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right]+\boldsymbol{p} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[-i\hbar\nabla\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right]+\boldsymbol{p}&...&\text{式(2.97b)を三次元で考えることにより} \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[-i\hbar\left(\nabla\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right]+\boldsymbol{p}&...&(1)\\ \\ &=& \left[-i\hbar\left(\nabla\Lambda\left(\frac{ie}{\hbar c}\right)\right)\right]+\boldsymbol{p}&...&\Lambda\text{は位置の関数であるため}\\ \\ &=& \frac{e}{c}\nabla\Lambda+\boldsymbol{p}&\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)\(\nabla\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\)の計算
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x成分に着目すると \begin{eqnarray} \nabla\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)|_x &=& \frac{\partial}{\partial x}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right\}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\left(\frac{ie}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ \end{eqnarray} となることから、三次元的に考えると \begin{eqnarray} \nabla\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) &=& \nabla\Lambda\left(\frac{ie}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(2.370)のように \begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)+\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)-\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)-\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)+\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c},\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right]+\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[\boldsymbol{p},\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\right]+\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)&...&(1) \\ \\ &=& \frac{e}{c}\nabla\Lambda+\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)&...&\text{式(2.370)の導出より} \\ \\ &=& \boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}&...&\text{(i)}\\ \\ \end{eqnarray} となることを利用する。 \begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)^2\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\cdot\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}-\frac{e\nabla\Lambda}{c}\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right) \\ \\ &=& \left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right)\cdot\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right)&...&\text{(i)より} \\ \\ &=& \left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right)^2 \end{eqnarray} が得られる。

(1)について\(-\frac{e\boldsymbol{A}}{c},\frac{e\nabla\Lambda}{c}\)は位置の関数なので\(\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\)と交換できるため0になることを用いた。

はじめに、ゲージ変換する前のシュレーディンガー方程式として \begin{eqnarray} \left(\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right)^2+e\phi\right)\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi \end{eqnarray} が成り立つとする。 \begin{eqnarray} \text{左辺}&=&\left(\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}(\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda)\right)^2+e\phi\right)\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\psi\\ \\ &=& \frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}(\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda)\right)^2\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\psi+e\phi\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\psi\\ \\ &=& \exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}(\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda)\right)^2\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\psi+\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)e\phi\psi&...&\Lambda,\phi\text{は位置の関数なので交換できる}\\ \\ &=& \exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\frac{1}{2m}\exp\left(\frac{-ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}(\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda)\right)^2\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\psi+\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)e\phi\psi&\\ \\ &=& \exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\right)^2\psi+\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)e\phi\psi&...&\text{式(2.374)より}\\ \\ &=& \exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\right)^2+e\phi\right]\psi&\\ \\ \\ \text{右辺} &=& i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\psi \\ \\ &=& i\hbar\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\frac{\partial}{\partial t}\psi&...&\text{時間にかかわらない項であるため入れ替えた} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。両辺を比較すると \begin{eqnarray} &&\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\left[\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\right)^2+e\phi\right]\psi &=& i\hbar\exp\left(\frac{ie\Lambda}{\hbar c}\right)\frac{\partial}{\partial t}\psi&\\ \\ &\Leftrightarrow& \left[\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\right)^2+e\phi\right]\psi &=& i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi&\\ \\ \end{eqnarray} となり、元の成立した式を得ることができることから、式(2.375)が\(\boldsymbol{A}\)を\(\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda\)に置き換えたシュレーディンガー方程式の解になっていることが示された。

式(2.353)において\(\boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\nabla\Lambda\)とすると \begin{eqnarray} \frac{\rho}{m}\left(\nabla S-\frac{e\boldsymbol{A}}{c}\right) &\to& \frac{\rho}{m}\left(\nabla (S+\frac{e\Lambda}{c})-\frac{e}{c}(\boldsymbol{A}+\nabla \Lambda)\right) \\ \\ &=& \frac{\rho}{m}\left(\nabla S+\frac{e\nabla\Lambda}{c}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}-\frac{e}{c}\nabla \Lambda\right) \\ \\ &=& \frac{\rho}{m}\left(\nabla S-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\right) \\ \\ &=& \boldsymbol{j} \end{eqnarray} となり、\(S\)に変更を加えることでゲージ不変性が保たれている。

式(2.378)において\(F(\boldsymbol{\text{x}})\)のスケールを変更したと解釈すると \begin{eqnarray} F(\boldsymbol{\text{x}}+d\boldsymbol{\text{x}})|_{\text{再スケール}} &=& F(\boldsymbol{\text{x}}+d\boldsymbol{\text{x}})(1+\Sigma(\boldsymbol{\text{x}})\cdot d\boldsymbol{\text{x}}) \\ \\ &=& (F(\boldsymbol{\text{x}})+\nabla F(\boldsymbol{\text{x}})\cdot d\boldsymbol{\text{x}})(1+\Sigma(\boldsymbol{\text{x}})\cdot d\boldsymbol{\text{x}}) \\ \\ &\simeq& F(\boldsymbol{\text{x}})+[\nabla F(\boldsymbol{\text{x}})]\cdot d\boldsymbol{\text{x}}+F(\boldsymbol{\text{x}})\Sigma(\boldsymbol{\text{x}})\cdot d\boldsymbol{\text{x}}&...&d\boldsymbol{\text{x}}^2\text{は十分小さいとした} \\ \\ &=& F(\boldsymbol{\text{x}})+[(\nabla+\Sigma(\boldsymbol{\text{x}})) F(\boldsymbol{\text{x}})]\cdot d\boldsymbol{\text{x}} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

円柱座標系で考える。この時の回転はこちらの解説などを参考。
ベクトルポテンシャルは\(\rho\lt\rho_a\)と\(\rho\gt\rho_a\)でそれぞれ\(A_{\text{inner}},A_{\text{outer}}\)と書く。磁場について、ソレノイドコイルにおける磁場であることから、\(\rho\lt\rho_a\)で磁場\(B_z\)が\(z\)軸方向のみに発生し、\(\rho\gt\rho_a\)では磁場は発生していないとする。 \begin{eqnarray} B_z &=& \nabla\times\boldsymbol{A}|_z \\ \\ &=& \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\theta})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\theta}\right) \\ \\ \end{eqnarray} と書くことができるが、ソレノイドコイルが作る磁場の特性では、ソレノイドの中心軸に対して回転対称な磁場が生じているため、ベクトルポテンシャルに方位の依存性はないと考えられる。従って、 \begin{eqnarray} B_z &=& \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\theta})\right) \\ \\ \end{eqnarray} と書くことができる。ソレノイドコイルの内側では磁場は一定なので \begin{eqnarray} && B_z &=& \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\text{inner}})\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& B_z\rho &=& \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\text{inner}}) \\ \\ &\Rightarrow& \frac{B_z\rho^2}{2} &=& \rho A_{\text{inner}}&...&\text{両辺を\(\rho\)で積分し、積分定数を}0\text{とした} \\ \\ &\Leftrightarrow& A_{\text{inner}} &=& \frac{B_z\rho}{2}&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。次にソレノイドコイルの外側のベクトルポテンシャルについて考える。p.167より内側と外側の境界\(\rho=\rho_a\)ではベクトルポテンシャルが連続である必要があるため、 \begin{eqnarray} A_{\text{outer}}(\rho_a) &=& A_{\text{inner}}(\rho_a) &=& \frac{B_z\rho_a}{2}&\\ \\ \end{eqnarray} となる必要がある。この時、ソレノイドの外側では磁場が0なので \begin{eqnarray} && 0 &=& \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\text{outer}})\right) \\ \\ &\Leftrightarrow& 0 &=& \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\text{outer}}) \\ \\ &\Rightarrow& C &=& \rho A_{\text{outer}}&...&\text{両辺を\(\rho\)で積分し、積分定数を}C\text{とした} \\ \\ &\Leftrightarrow& A_{\text{outer}} &=& \frac{C}{\rho}&\\ \\ &\Leftrightarrow& A_{\text{outer}} &=& \frac{B\rho_a^2}{2\rho}&...&A_{\text{outer}}(\rho_a)=\frac{B_z\rho_a}{2}\text{を用いた}\\ \\ \end{eqnarray}

シュレーディンガー方程式において\(\boldsymbol{p}\to\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}\)に置換する操作に相当するため、 \begin{eqnarray} \nabla &=& \frac{i}{\hbar}\boldsymbol{p} \\ \\ &\Rightarrow& \frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p}-\frac{e}{c}\boldsymbol{A}) \\ \\ &=& \frac{i}{\hbar}\boldsymbol{p}-\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A} \\ \\ &=& \nabla-\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

シュレーディンガー方程式の該当部分を考えると \begin{eqnarray} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi &\to& -\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla-\frac{ie}{\hbar c}\boldsymbol{A})^2\psi&...&\text{p.167中段の置換より} \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla-\frac{ie}{\hbar c}\frac{B\rho_{a}^2}{2\rho}\hat{\phi})^2\psi&...&\text{式(2.382)より} \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}(\hat{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}+\hat{\text{z}}\frac{\partial}{\partial z}+\hat{\phi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \phi}-\frac{ie}{\hbar c}\frac{B\rho_{a}^2}{2\rho}\hat{\phi})^2\psi&...&\text{式(2.384)より} \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}(\hat{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}+\hat{\text{z}}\frac{\partial}{\partial z}+\hat{\phi}\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \phi}-\frac{ie}{\hbar c}\frac{B\rho_{a}^2}{2}\right))^2\psi& \\ \\ \end{eqnarray} が得られることから、式(2.383)の変換がなされていると言える。

こちらの解説などを参考。

計算過程はこちらの解説などを参考。

式(C.2)を用いて、\(q=e,\phi=0\)を代入することで式(2.385)が得られる。

\begin{eqnarray} \nabla\times\boldsymbol{A} &=& \hat{\boldsymbol{\text{r}}}\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\phi}\sin\theta)\right]+\hat{\theta}\frac{1}{r}\left[-\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\phi})\right]&...&\text{式(2.395)より}\phi\text{成分のみ考えた} \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{\text{r}}}\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\frac{e_M(1-\cos\theta)}{r\sin\theta}\sin\theta)\right]+\hat{\theta}\frac{1}{r}\left[-\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{e_M(1-\cos\theta)}{r\sin\theta})\right]&...&\text{式(2.395)より} \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{\text{r}}}\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\frac{e_M(1-\cos\theta)}{r})\right]+\hat{\theta}\frac{1}{r}\left[-\frac{\partial}{\partial r}(\frac{e_M(1-\cos\theta)}{\sin\theta})\right]& \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{\text{r}}}\frac{1}{r\sin\theta}\left[(\frac{e_M\sin\theta}{r})\right]+\hat{\theta}\frac{1}{r}\left[-0\right]& \\ \\ &=& \hat{\boldsymbol{\text{r}}}\frac{e_M}{r^2}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \nabla\Lambda &=& \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \Lambda}{\partial\phi}&...&\text{式(2.403)より}\Lambda\text{は}\phi\text{のみの関数であるため} \\ \\ &=& \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\phi}(-2e_M\phi)&\\ \\ &=& \hat{\phi}\frac{-2e_M}{r\sin\theta}&\\ \\ \end{eqnarray} となり、式(2.401)の右辺になっていることから、\(\boldsymbol{A}^{(I)},\boldsymbol{A}^{(II)}\)は\(\Lambda\)のゲージ変換で結びついている。

式(2.404)において、\(\phi=2\pi\)の時に\(\phi\)の係数が\(2\pi i\)の整数倍になっていればよいため、 \begin{eqnarray} -\frac{2ee_M}{\hbar c}&=&\pm N(N=0,1,2,\ldots) \\ \\ \Leftrightarrow \frac{2ee_M}{\hbar c}&=&\pm N(N=0,1,2,\ldots) \\ \\ \end{eqnarray} と求められる。

式(2.405)より、\(N=1\)の時の値の整数倍をとるため、 \begin{eqnarray} \frac{2ee_M}{\hbar c}&=&1 \\ \\ \Leftrightarrow e_M&=&\frac{\hbar c}{2e} \\ \\ &=& \frac{e}{2}\frac{\hbar c}{e^2} \\ \\ &=& \frac{e}{2}\frac{\hbar c}{\hbar c \alpha}&...&\text{cgs単位系では}e^2=\hbar c \alpha \\ \\ &=& \frac{e}{2}\frac{1}{\alpha}& \\ \\ &\simeq& \frac{137}{2}e& \\ \\ \end{eqnarray} と微細構造定数(p.252中段)を用いて求められる。