現代の量子力学の行間埋め　第２章

\begin{eqnarray} \ket{\alpha,t_0;t} &=& \exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{\alpha,t_0} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha,t_0} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha,t_0}&...&H\ket{a^{\prime}}=E_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}}\text{を用いた} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha,t_0}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]&...&E_{a^{\prime}}\text{は定数であるため} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.266)を式変形すると \begin{eqnarray} \psi(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t) &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|\alpha,t_0;t} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\alpha,t_0}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]&...&\text{式(2.266)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\left(\int d^3x^{\prime}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha,t_0}\right)\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]&...&\text{式(2.269)より} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha,t_0}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]&...&\text{積分と極限を入れ替えている} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha,t_0}&...&E_{a^{\prime}}\text{が定数なので入れ替えている} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|\alpha,t_0}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t_0-t_0)}{\hbar}\right]& \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]\psi(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0)&...&t=t_0\text{として式(2.267)を利用} \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0)\psi(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0)&...&\text{式(2.272)を利用} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。
積分と極限の交換についてはこちらの解説など参考

\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{t\to t_0}K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0) &=& \displaystyle\lim_{t\to t_0}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-E_{a^{\prime}}(t_0-t_0)}{\hbar}\right]& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}& \\ \\ &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}&...&\text{式(1.70)の完備性より} \\ \\ &=& \delta^3(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}-\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})&...&\text{式(1.184a)を三次元に拡張} \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0) &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}} &...&\text{式(1.70)の完備性より}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}} &...&H\ket{a^{\prime}}=E_{a^{\prime}}\ket{a^{\prime}}\text{を利用した}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right] &...&\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]\text{は定数なので入れ替えた}\\ \\ \end{eqnarray} となり、式(2.272)を導出できる。

\begin{eqnarray} K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0) &=& \braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}} \\ \\ &=& \int dp^{\prime}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{p^{\prime}}\braket{p^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}&...&\text{式(1.70)の完備性より} \\ \\ &=& \int dp^{\prime}\bra{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}\exp\left[\frac{-i\frac{p^{\prime 2}}{2m}(t-t_0)}{\hbar}\right]\ket{p^{\prime}}\braket{p^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}&...&\text{式(2.278)より} \\ \\ &=& \int dp^{\prime}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|p^{\prime}}\braket{p^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-ip^{\prime 2}(t-t_0)}{2m\hbar}\right]&...&\frac{p^{\prime 2}}{2m}\text{は定数であるため順番を入れ替えた} \\ \\ &=& \int dp^{\prime}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|p^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|p^{\prime}}^*\exp\left[\frac{-ip^{\prime 2}(t-t_0)}{2m\hbar}\right]& \\ \\ &=& \int dp^{\prime}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{ip^{\prime}x^{\prime\prime}}{\hbar}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{-ip^{\prime}x^{\prime}}{\hbar}\right)\exp\left[\frac{-ip^{\prime 2}(t-t_0)}{2m\hbar}\right]&...&\text{式(1.264)より} \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\int dp^{\prime}\exp\left(\frac{ip^{\prime}(x^{\prime\prime}-x^{\prime})}{\hbar}\right)\exp\left[\frac{-ip^{\prime 2}(t-t_0)}{2m\hbar}\right]& \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\int dp^{\prime}\exp\left[\frac{ip^{\prime}(x^{\prime\prime}-x^{\prime})}{\hbar}-\frac{ip^{\prime 2}(t-t_0)}{2m\hbar}\right]& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0) &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\int dp^{\prime}\exp\left[\frac{ip^{\prime}(x^{\prime\prime}-x^{\prime})}{\hbar}-\frac{ip^{\prime 2}(t-t_0)}{2m\hbar}\right]& \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\int dp^{\prime}\exp\left[-\frac{i(t-t_0)}{2m\hbar}\left(p^{\prime 2}-\frac{2m(x^{\prime\prime}-x^{\prime})}{(t-t_0)}p^{\prime}\right)\right]& \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\int dp^{\prime}\exp\left[-\frac{i(t-t_0)}{2m\hbar}\left(p^{\prime}-\frac{m(x^{\prime\prime}-x^{\prime})}{(t-t_0)}\right)^2+\frac{m^2(x^{\prime\prime}-x^{\prime})^2}{(t-t_0)^2}\frac{i(t-t_0)}{2m\hbar}\right]& \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[i\frac{m(x^{\prime\prime}-x^{\prime})^2}{2\hbar(t-t_0)}\right]\int dp^{\prime}\exp\left[-\frac{i(t-t_0)}{2m\hbar}\left(p^{\prime}-\frac{m(x^{\prime\prime}-x^{\prime})}{(t-t_0)}\right)^2\right]& \\ \\ &=& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[i\frac{m(x^{\prime\prime}-x^{\prime})^2}{2\hbar(t-t_0)}\right]\sqrt{\pi\frac{2m\hbar}{i(t-t_0)}}&...&(1) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar(t-t_0)}}\exp\left[i\frac{m(x^{\prime\prime}-x^{\prime})^2}{2\hbar(t-t_0)}\right]& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。
(1)の積分(フレネル積分)についてこちらの解説など参考。

\begin{eqnarray} K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0) &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]&...&\text{式(2.272)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime}}^*\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}(t-t_0)}{\hbar}\right]&...&\text{式(1.26)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}u_n(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime})^*u_n(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\exp\left[\frac{-iE_{n}(t-t_0)}{\hbar}\right]& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}u_n(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime})^*u_n(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\exp\left[-i\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)(t-t_0)\right]&...&\text{式(2.143)より}E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}u_n(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime})^*u_n(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime})\exp\left[-\frac{1}{2}i\omega(t-t_0)\right]\exp\left[-i\omega(t-t_0)n\right]& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\left(\frac{-m\omega x^{\prime \prime 2} }{2\hbar}\right)H_n\left(\sqrt{\frac{ m\omega}{\hbar} }x^{\prime\prime}\right)\\ &&\times\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n!} }\left( \frac{ m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\left(\frac{ -m\omega x^{ \prime 2} }{2\hbar} \right)H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime}\right) \\&&\times\exp\left[-\frac{1}{2}i\omega(t-t_0)\right]\exp\left[-i\omega(t-t_0)n\right]&...&\text{式(2.281)より} \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}\frac{1}{2^{n}n!}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\exp\left(\frac{-m\omega }{2\hbar}(x^{\prime \prime 2}+x^{\prime 2})\right)H_n\left(\sqrt{\frac{ m\omega}{\hbar} }x^{\prime\prime}\right)\\ &&\times H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime}\right)\exp\left[-\frac{1}{2}i\omega(t-t_0)\right]\exp\left[-i\omega(t-t_0)n\right]& \\ \\ &=& \displaystyle\sum_{n=0}\frac{1}{2^{n}n!}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\exp\left(\frac{-(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}\right)H_n\left(\xi\right)H_n\left(\eta\right)\zeta^{1/2}\zeta^n&...&\zeta=\exp\left[-i\omega(t-t_0)\right]\\ &&&&\eta=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime} \\&&&&\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime\prime}\text{とした} \\ \\ &=& \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\zeta^{1/2}\exp\left(-(\xi^{2}+\eta^{2})+\frac{(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}\right)\displaystyle\sum_{n=0}\frac{\zeta^n}{2^{n}n!}H_n\left(\xi\right)H_n\left(\eta\right) \\ \\ &=& \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\zeta^{1/2}\exp\left(\frac{(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}\right)\exp\left(-[\xi^{2}+\eta^{2}]\right)\displaystyle\sum_{n=0}\frac{\zeta^n}{2^{n}n!}H_n\left(\xi\right)H_n\left(\eta\right) \\ \\ &=& \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\zeta^{1/2}\exp\left(\frac{(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\exp\left[\frac{-(\xi^{2}+\eta^{2}-2\xi\eta\zeta)}{1-\zeta^2}\right]&...&\text{式(2.283)より}\\ \\ &=& \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\zeta^{1/2}\exp\left(\frac{(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}\right)\frac{1}{\sqrt{2i\zeta\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[\frac{-(\xi^{2}+\eta^{2}-2\xi\eta\zeta)}{1-\zeta^2}\right]&...&(1)\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[\frac{(\xi^{2}+\eta^{2})}{2}-\frac{(\xi^{2}+\eta^{2}-2\xi\eta\zeta)}{1-\zeta^2}\right]&\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[\frac{-(\xi^{2}+\eta^{2})(1+\zeta^2)+4\xi\eta\zeta)}{2(1-\zeta^2)}\right]&\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[\frac{-(\xi^{2}+\eta^{2})(2\zeta\cos[\omega(t-t_0)])+4\xi\eta\zeta)}{2\cdot 2i\zeta\sin[\omega(t-t_0)]}\right]&...&(1)(2)\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[i\frac{(\xi^{2}+\eta^{2})\cos[\omega(t-t_0)]-2\xi\eta)}{2\sin[\omega(t-t_0)]}\right]&\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[i\frac{(\frac{m\omega}{\hbar}x^{\prime\prime 2}+\frac{m\omega}{\hbar}x^{\prime 2})\cos[\omega(t-t_0)]-2\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime\prime}\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime})}{2\sin[\omega(t-t_0)]}\right]&...&\eta=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime} \\&&&&\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x^{\prime\prime}\text{を代入した}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t-t_0)}}\exp\left[\left\{\frac{im\omega }{2\hbar\sin[\omega(t-t_0)]}\right\}\left\{(x^{\prime\prime 2}+x^{\prime 2})\cos[\omega(t-t_0)]-2x^{\prime\prime}x^{\prime}\right\}\right]&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

1. (1)\(1-\zeta^2=2i\sin[\omega(t-t_0)]\)を利用
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\(\zeta=\exp\left(-i\omega(t-t_0)\right)\)を用いる。 \begin{eqnarray} 1-\zeta^2 &=& \zeta(\zeta^{-1}-\zeta) \\ \\ &=& \zeta(\exp\left(i\omega(t-t_0)\right)-\exp\left(-i\omega(t-t_0)\right)) \\ \\ &=& 2i\zeta\frac{1}{2i}(\exp\left(i\omega(t-t_0)\right)-\exp\left(-i\omega(t-t_0)\right)) \\ \\ &=& 2i\zeta\sin\left(\omega(t-t_0)\right) &...&2i\sin\theta=e^{i\theta}-e^{-i\theta}\text{を用いた。}\\ \\ \end{eqnarray} となる。


2. (2)\(1+\zeta^2=2\cos[\omega(t-t_0)]\)を利用
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\(\zeta=\exp\left(-i\omega(t-t_0)\right)\)を用いる。 \begin{eqnarray} 1+\zeta^2 &=& \zeta(\zeta^{-1}+\zeta) \\ \\ &=& \zeta(\exp\left(i\omega(t-t_0)\right)+\exp\left(-i\omega(t-t_0)\right)) \\ \\ &=& 2\zeta\frac{1}{2}(\exp\left(i\omega(t-t_0)\right)+\exp\left(-i\omega(t-t_0)\right)) \\ \\ &=& 2\zeta\cos\left(\omega(t-t_0)\right) &...&2\sin\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}\text{を用いた。}\\ \\ \end{eqnarray} となる。

こちらの解説などを参考。
書籍に記載があるため簡易的に解説する。 \begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \end{eqnarray} として、 \begin{eqnarray} \psi(y)=\frac{(m\omega/\hbar \pi)^{1/4}}{\sqrt{n!}}\frac{1}{i\sqrt{2\pi}}\int_{-i\infty}^{i\infty}a^{\dagger n}\exp[y^2/2-\sqrt{2}ya^{\dagger}+a^{\dagger 2}/2]da^{\dagger} \end{eqnarray} を用いることで \begin{eqnarray} K(y^{\prime},y;t,t_0) &=& \frac{\sqrt{m\omega/\hbar\pi}}{2\pi}e^{(y^2+y^{\prime 2}-i\omega(t-t_0))/2}\int_{-i\infty}^{i\infty}da^{\dagger}\int_{-i\infty}^{i\infty}da^{\dagger\prime} \\ &&\times\exp[-\sqrt{2}(ya^{\dagger}+y^{\prime}a^{\dagger \prime})+(a^{\dagger 2}+a^{\dagger\prime 2})/2+a^{\dagger}a^{\dagger\prime}e^{-i\omega(t-t_0)}] \end{eqnarray} が導出できる。これを計算することで式(2.283)が得られる。

過去の記事はおそらく誤解が含まれているため変更。
式(2.282)より、整数\(k\)を用いると \begin{eqnarray} && K(x^{\prime\prime},t+k\frac{2\pi}{\omega};x^{\prime},t_0) \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega(t+k\frac{2\pi}{\omega}-t_0)}}\exp\left[\left\{\frac{im\omega }{2\hbar\sin[\omega(t+k\frac{2\pi}{\omega}-t_0)]}\right\}\left\{(x^{\prime\prime 2}+x^{\prime 2})\cos[\omega(t+k\frac{2\pi}{\omega}-t_0)]-2x^{\prime\prime}x^{\prime}\right\}\right] \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin[\omega(t-t_0)+k2\pi]}}\exp\left[\left\{\frac{im\omega }{2\hbar\sin[\omega(t-t_0)+k2\pi]}\right\}\left\{(x^{\prime\prime 2}+x^{\prime 2})\cos[\omega(t-t_0)+k2\pi]-2x^{\prime\prime}x^{\prime}\right\}\right] \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin[\omega(t-t_0)]}}\exp\left[\left\{\frac{im\omega }{2\hbar\sin[\omega(t-t_0)]}\right\}\left\{(x^{\prime\prime 2}+x^{\prime 2})\cos[\omega(t-t_0)]-2x^{\prime\prime}x^{\prime}\right\}\right]&...&\text{三角関数は}2\pi\text{を周期とするため} \\ \\ &=& K(x^{\prime\prime},t;x^{\prime},t_0) \end{eqnarray} となることから、プロパゲーターは\(\frac{2\pi}{\omega}\)の周期をもつことがわかる。ここで式(2.273)を考えると \begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{t\to t_0+k\cdot 2\pi/\omega}K(x^{\prime\prime},t;x^{\prime},t_0) &=& \displaystyle\lim_{t\to t_0}K(x^{\prime\prime},t;x^{\prime},t_0) \end{eqnarray} となることがわかる。この極限をとるとp.138下部の記載より、

「プロパゲーター(2.272)は, 以前の時刻\(t_0\)に厳密に\(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}\)に局在していた粒子の時刻\(t\)における波動関数」

を表す。プロパゲーターは\(\frac{2\pi}{\omega}\)の周期性を持っているため、\(t=t_0+k\frac{2\pi}{\omega}\)の時の波動関数は「時刻\(t_0\)で\(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}\)に局在している粒子」の波動関数に他ならないため、「確実に元の場所に戻ってくる」と言える。 以下、以前の記載

1. 以前の記載
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製作者の考えを記載する。
教科書に書いてある文言から、\(t=t_0+\frac{2\pi}{\omega}k\)の時(\(k\)は整数)に \begin{eqnarray} |\psi(x^{\prime\prime},t)|^2 &=& \delta(x^{\prime\prime}-x^{\prime}) \end{eqnarray} になることで、\(x^{\prime}\)に局在していた粒子が\(x^{\prime}\)に戻ってくることを示すことができる。つまり、 \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime\prime}} &=& \int dx^{\prime\prime}x^{\prime\prime}|\psi(x^{\prime\prime},t)|^2 \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}x^{\prime\prime}\delta(x^{\prime\prime}-x^{\prime}) \\ \\ &=& x^{\prime} \\ \\ \\ \braket{\Delta x^{\prime\prime}} &=& \braket{x^{\prime\prime 2}}-\braket{x^{\prime\prime}}^2 \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}x^{\prime\prime 2}\delta(x^{\prime\prime}-x^{\prime})-x^{\prime 2} \\ \\ &=& x^{\prime 2}-x^{\prime 2} \\ \\ &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray} となり、確率が一点にだけ存在し、「確実に戻ってくること」を示している。
そのために、 \begin{eqnarray} \psi(x^{\prime\prime},t) &=& \int d^3x^{\prime}K(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime\prime},t;\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0)\psi(\boldsymbol{\text{x}}^{\prime},t_0) \\ \\ &=& \sqrt{\delta(x^{\prime\prime}-x^{\prime})} \\ \\ \end{eqnarray} となればよい。
この後、式を変形してみたが示すことはできず。

\begin{eqnarray} G(t) &=& \int d^3x^{\prime}K(x^{\prime},t;x^{\prime},0) \\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right]&...&\text{式(2.272)より}\\ \\ &=& \int d^3x^{\prime}\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|a^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right]&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\int d^3x^{\prime}\braket{a^{\prime}|\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}}\braket{\boldsymbol{\text{x}}^{\prime}|a^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right]&...&(1)\text{積分と極限を入れ替えている}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\braket{a^{\prime}|a^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right]&...&\text{式(1.184b)完備性より}\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\exp\left[\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right]&...&\braket{a^{\prime}|a^{\prime}}=\delta_{a^{\prime},a^{\prime}}=1\text{より}\\ \\ \end{eqnarray} となる。
(1)ここで積分と極限の交換についてはこちらの解説など参考

ここでは関数\(-\frac{i}{\hbar}G(t)\)のラプラス変換を考える。 \begin{eqnarray} &&\tilde{G}_0(-\frac{i}{\hbar}E) &=& \int_{0}^{\infty}dt \frac{-i}{\hbar}G(t)\exp\left(-(-i\frac{E}{\hbar}) t\right)& \\ \\ &\Leftrightarrow& \tilde{G}(E) &=& -i\int_{0}^{\infty}dt G(t)\exp\left(i\frac{E}{\hbar} t\right)/\hbar&...&i,\hbar\text{は定数であるため} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。
もっとスマートな導出があるかもしれない。

\(E\to E+i\varepsilon\)とする。 \begin{eqnarray} \tilde{G}(E) &=& -i\int_0^{\infty}dt\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{i(E+i\varepsilon)t}{\hbar}\right)/\hbar&...&\text{式(2.287)より} \\ \\ &=& -i\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\int_0^{\infty}dt\exp\left(\frac{-iE_{a^{\prime}}t}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{i(E+i\varepsilon)t}{\hbar}\right)/\hbar&...&(1)\text{積分と極限を入れ替えている} \\ \\ &=& -i\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\int_0^{\infty}dt\exp\left(\frac{i((E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon)t}{\hbar}\right)/\hbar&\\ \\ &=& -i\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\left[\frac{\hbar}{i(E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon}\exp\left(\frac{i((E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon)t}{\hbar}\right)\right]_0^{\infty}/\hbar&\\ \\ &=& -i\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\left[\frac{\hbar}{i(E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon}\exp\left(\frac{i(E-E_{a^{\prime}})t}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-\varepsilon t}{\hbar}\right)\right]_0^{\infty}/\hbar&\\ \\ &=& -i\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\left[\frac{\hbar}{i(E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon}\exp\left(\frac{i(E-E_{a^{\prime}})\cdot \infty}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-\varepsilon \cdot \infty}{\hbar}\right)-\frac{\hbar}{i(E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon}\exp\left(\frac{i(E-E_{a^{\prime}})\cdot 0}{\hbar}\right)\exp\left(\frac{-\varepsilon \cdot 0}{\hbar}\right)\right]/\hbar&\\ \\ &=& -i\displaystyle\sum_{a^{\prime}}\left[0-\frac{\hbar}{i(E-E_{a^{\prime}})-\varepsilon}1\cdot 1\right]/\hbar&\\ \\ &=& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\frac{1}{E-E_{a^{\prime}}+i\varepsilon}&\\ \\ &\rightarrow& \displaystyle\sum_{a^{\prime}}\frac{1}{E-E_{a^{\prime}}}&...&\varepsilon\to 0\text{とした}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。
(1)ここで積分と極限の交換についてはこちらの解説など参考

\begin{eqnarray} \displaystyle\prod_{n=2}^N\exp\left[\frac{iS(n,n-1)}{\hbar}\right] &=& \exp\left[\frac{iS(2,1)}{\hbar}\right]\cdot\exp\left[\frac{iS(3,2)}{\hbar}\right]\cdot\ldots\exp\left[\frac{iS(N,N-1)}{\hbar}\right] \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)(S(2,1)+S(3,2)+\ldots+S(N,N-1))\right] \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)\displaystyle\sum_{n=2}^NS(n,n-1)\right] \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)\displaystyle\sum_{n=2}^N\int_{t_{n-1}}^{t_n}dtL(x,\dot{x})\right] \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)\left(\int_{t_{1}}^{t_2}dtL(x,\dot{x})+\int_{t_{2}}^{t_3}dtL(x,\dot{x})+\ldots+\int_{t_{N-1}}^{t_N}dtL(x,\dot{x})\right)\right] \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)\left(\int_{t_{1}}^{t_3}dtL(x,\dot{x})+\ldots+\int_{t_{N-1}}^{t_N}dtL(x,\dot{x})\right)\right]&...&\text{積分区間の上限と下限が一致しており、被積分関数が同じであるため} \\ \\ &\vdots& \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)\int_{t_{1}}^{t_N}dtL(x,\dot{x})\right] \\ \\ &=& \exp\left[\left(\frac{i}{\hbar}\right)S(N,1)\right] \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

「一次変分」や「第一変分」のことを指していると考えられる。

p.148中段より\((x_{n-1},t_{n-1})\)と\((x_{n},t_{n})\)を結ぶ経路を直線で近似することを考える。この時、速度は一定で\(\dot{x}=(x_{n}-x_{n-1})/(t_n-t_{n-1})\)になると考えられる。
また、この積分の中ではポテンシャル\(V(x)\)において\(x=(x_n+x_{n-1})/2\)で一定の値であると近似すると \begin{eqnarray} S(n,n-1) &=& \int_{t_{n-1}}^{t_n}dt\left[\frac{m\dot{x}^2}{2}-V(x)\right]\\ \\ &=& \int_{t_{n-1}}^{t_n}dt\left[\frac{m\left(\frac{x_{n}-x_{n-1}}{t_n-t_{n-1}}\right)^2}{2}-V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})\right]\\ \\ &=& \int_{t_{n-1}}^{t_n}dt\left[\frac{m\left(\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\Delta t}\right)^2}{2}-V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})\right]&...&\Delta t=t_n-t_{n-1}\text{を用いた}\\ \\ &=& \left[\frac{m\left(\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\Delta t}\right)^2}{2}t-V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})t\right]_{t_{n-1}}^{t_n}&\\ \\ &=& \left[\frac{m\left(\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\Delta t}\right)^2}{2}\Delta t-V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})\Delta t\right]&...&t\text{についての一次の式のため}t\to t_{n}-t_{n-1}=\Delta t\\ \\ &=& \Delta t\left[\frac{m}{2}\left(\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\Delta t}\right)^2-V(\frac{x_n+x_{n-1}}{2})\right]&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.306)に式(2.307)を代入すると \begin{eqnarray} \delta(x_n-x_{n-1}) &=& \left[\frac{1}{w(\Delta t)}\right]\exp\left[\frac{im(x_n-x_{n-1})^2}{2\hbar\Delta t}\right] \end{eqnarray} が得られる。ここで\(\xi=x_n-x_{n-1}\)として積分すると \begin{eqnarray} &&\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\delta(\xi) &=& \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\left[\frac{1}{w(\Delta t)}\right]\exp\left[\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right] \\ \\ &\Leftrightarrow& 1&=&\left[\frac{1}{w(\Delta t)}\right]\sqrt{\frac{2\pi i\hbar\Delta t}{m}}&...&\text{デルタ関数の積分と(1)式(2.309a)より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{w(\Delta t)}&=&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

1. (1)式(2.309a)を利用(式(2.309b)の導出)
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はじめに式(2.309b)を導出する。式(2.307)は \begin{eqnarray} \braket{x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1}}|_{t_n=t_{n-1}} &=& \displaystyle\lim_{t_n\to t_{n-1}}\braket{x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1}} \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{t_n\to t_{n-1}}K(x_{n},t_n;x_{n-1},t_{n-1}) &\\ \\ &=& \displaystyle\lim_{t_n\to t_{n-1}}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar(t_n-t_{n-1})}}\exp\left[\frac{im(x_n-x_{n-1})^2}{2\hbar(t_n-t_{n-1})}\right]&...&V(x)=0\text{の自由粒子であることから式(2.280)を利用} \\ \\ &=& \displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\exp\left[\frac{im(x_n-x_{n-1})^2}{2\hbar\Delta t}\right]&...&t_n-t_{n-1}=\Delta t\text{より} \\ \\ \end{eqnarray} と変形できる。また、式(2.273)や(2.307)より \begin{eqnarray} \braket{x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1}}|_{t_n=t_{n-1}} &=& \delta(x_n-x_{n-1}) \end{eqnarray} であるから、 \begin{eqnarray} &&\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\exp\left[\frac{im(x_n-x_{n-1})^2}{2\hbar\Delta t}\right] &=& \delta(x_n-x_{n-1}) \\ \\ &\Leftrightarrow&\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\exp\left[\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right] &=& \delta(\xi)&...&x_n-x_{n-1}=\xi\text{とした} \\ \\ \end{eqnarray} が導ける。これを用いて、 \begin{eqnarray} &&\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\exp\left[\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right] &=& \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\delta(\xi)& \\ \\ &&&=& 1&...&\text{デルタ関数の積分より} \\ \\ &\Leftrightarrow& \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\exp\left[\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right] &=& \displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar\Delta t}{m}} \\ \\ &\Rightarrow& \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left[\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right] &=& \sqrt{\frac{2\pi i\hbar\Delta t}{m}}&...&\Delta t\text{が十分小さいとき} \\ \\ \end{eqnarray} と導出される。

式(2.316)を式変形する。その際に、 \begin{eqnarray} \braket{x-\xi,t|x_1,t_1} &=& \braket{x,t|x_1,t_1}+\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}+\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}+\ldots \\ \\ \end{eqnarray} とマクローリン展開する。この時、 \begin{eqnarray} &&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\braket{x-\xi,t|x_1,t_1} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}+\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}+\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}+\ldots\right\} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}+\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}+\ldots\right\}&...&(1) \\ \\ \end{eqnarray} と変形できる。また、 \begin{eqnarray} \exp\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right) &=& 1+\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)+\frac{1}{2!}\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)^2\ldots \end{eqnarray} と、マクローリン展開して代入すると \begin{eqnarray} &&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}+\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}+\ldots\right\}& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(1+\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)+\frac{1}{2!}\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)^2\ldots\right) \\ &&\times\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}+\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}+\ldots\right\}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

1. (1)奇関数の積分を利用
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\begin{eqnarray} &&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}\right\} \\ \\ \end{eqnarray} において、 \begin{eqnarray} &&f(\xi)=\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}\right\} \\ \\ \end{eqnarray} を考える。 \begin{eqnarray} f(-\xi) &=& \exp\left(\frac{im(-\xi)^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{-\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}\right\} \\ \\ &=& -\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}\right\} \\ \\ &=& -f(\xi) \end{eqnarray} であることから、奇関数の積分(対称的な積分区間)より、 \begin{eqnarray} \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\xi\frac{d}{dx}\braket{x,t|x_1,t_1}\right\} &=& 0 \end{eqnarray} が得られる。

式(2.317)の主要項は、二つのマクローリン展開のそれぞれ第一項目をとったものだと考えられるため、それを用いて計算すると \begin{eqnarray} &&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(1+\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)+\frac{1}{2!}\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)^2\ldots\right) \\ &&\times\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}+\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}+\ldots\right\}& \\ \\ &\Rightarrow& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(1\right)\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}\right\}& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar\Delta t}{m}}\braket{x,t|x_1,t_1}&...&\text{式(2.309a)より} \\ \\ &=& \braket{x,t|x_1,t_1}&\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.317)の右辺を式変形する。その際に、\(\Delta t\)の指数が\(1\)になる項は \begin{eqnarray} &&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(-\frac{iV\Delta t}{\hbar}\right)\left\{\braket{x,t|x_1,t_1}\right\}& \\ \\ &=& -\frac{iV\Delta t}{\hbar}\braket{x,t|x_1,t_1}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)& \\ \\ &=& -\frac{iV\Delta t}{\hbar}\braket{x,t|x_1,t_1}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar\Delta t}{m}}& \\ \\ &=& -\frac{iV}{\hbar}\braket{x,t|x_1,t_1}\Delta t&...&(i) \\ \\ \\ && \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(1\right)\left\{\frac{1}{2!}\xi^2\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\right\}& \\ \\ &=& \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\xi^2\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\Delta t}}\sqrt{2\pi}\left(\frac{i\hbar\Delta t}{m}\right)^{3/2}& \\ \\ &=& \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\frac{i\hbar}{m}\Delta t&...&\text{(1)式(2.139)より} \\ \\ &=& \frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\Delta t&...&(ii) \\ \\ \end{eqnarray} と、(i)(ii)の二つがある。これらを用いて、 \begin{eqnarray} \Delta t\frac{\partial}{\partial t}\braket{x,t|x_1,t_1} &=& (i)+(ii) \\ \\ &=& -\frac{iV}{\hbar}\braket{x,t|x_1,t_1}\Delta t+\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\Delta t& \\ \\ \Leftrightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\braket{x,t|x_1,t_1} &=& V\braket{x,t|x_1,t_1}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}& \\ \\ &=& -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\braket{x,t|x_1,t_1}\Delta t+V\braket{x,t|x_1,t_1}& \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

1. (1)式(2.319)の導出
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式(2.309a)の両辺を\(\Delta t\)で微分すると \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \Delta t}\int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right) &=& \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(-\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t^2}\right)...(iii) \\ \\ \\ \frac{\partial}{\partial \Delta t}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar \Delta t}{m}} &=& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar \Delta t^3}{m}}&...&(iv) \\ \\ \\ (iii)&=&(iv) \\ \\ \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right)\left(-\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t^2}\right) &=& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar \Delta t^3}{m}} \\ \\ \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\xi^2\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right) &=& \left(-\frac{2\hbar\Delta t^2}{im}\right)\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi i\hbar \Delta t^3}{m}} \\ \\ \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{\infty}d\xi\xi^2\exp\left(\frac{im\xi^2}{2\hbar\Delta t}\right) &=& \sqrt{2\pi}\left(\frac{ i\hbar \Delta t}{m}\right)^{3/2} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。