現代の量子力学の行間埋め　第２章

$$\begin{array}{rcl}⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }}|V(\text{x})& =& \int d{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }}|V(\text{x})|{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⟩⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}|\\ \\ & =& \int d{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }}|V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})|{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⟩⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}|\\ \\ & =& \int d{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }}|{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⟩V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}|& ...& V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})\text{は演算子ではないため}\\ \\ & =& \int d{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\delta {\text{x}}^{\mathrm{\prime }}-{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}|& ...& \text{式(1.184a)より}\\ \\ & =& V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }}|& ...& \text{デルタ関数の積分より}{\text{x}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\text{x}}^{\mathrm{\prime }}\\ \end{array}$$ と導出できる。

式(2.191)に示された$\mathit{j}({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)$が式(2.190)を満たすことを示し、その後、式(2.191)の式変形をする。
式(2.189)と式(2.183)を用いる。確率密度の時間微分を計算すると $$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial t}\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)& =& \frac{\partial }{\partial t}|\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t){|}^2\\ \\ & =& \frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\\ \\ & =& \frac{\partial {\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\partial t}\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)+{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\frac{\partial \psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\partial t}\\ \\ & =& \frac{1}{-i\hslash }(-\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}\right){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)+V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }}){\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)+{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\frac{1}{i\hslash }(-\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}\right){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)+V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))& ...& (1)\text{式(2.183)より}\\ \\ & =& \frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)-({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))+\frac{1}{i\hslash }({\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)-V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }}){\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\\ \\ & =& \frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)-({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))+\frac{V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})}{i\hslash }({\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)-{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))& ...& V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})\text{は演算子ではないため}\\ \\ & =& \frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)-({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\psi ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\\ \end{array}$$ が得られる。

1. (1)$\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial t}$の変換を利用
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式(2.183)の両辺の複素共役をとる。 $$\begin{array}{rclll}& & i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi & =& -\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}\right){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }2}\psi +V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})\psi \\ \\ & \Rightarrow & -i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{\ast }& =& -\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}\right){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }+V^{\ast }({\text{x}}^{\mathrm{\prime }}){\psi }^{\ast }& \\ \\ & & & =& -\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}\right){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }+V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }}){\psi }^{\ast }& ...& V(\text{x})\text{はエルミート演算子だったため、p.114下部より}V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }})\text{を実数としている。}\\ \end{array}$$ となる。 これを用いて、 $$\begin{array}{rcll}\frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{\ast }& =& \frac{1}{-i\hslash }(-\left(\frac{{\hslash }^2}{2m}\right){\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast }+V({\text{x}}^{\mathrm{\prime }}){\psi }^{\ast })& \\ \end{array}$$ を代入している。

一方で式(2.191)を用いて計算すると $$\begin{array}{rcl}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{j}({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)& =& \mathrm{\nabla }\cdot (-\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[{\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi -(\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast })\psi ])\\ \\ & =& -\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[\mathrm{\nabla }\cdot ({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi )-\mathrm{\nabla }\cdot ((\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast })\psi )]\\ \\ & =& -\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[(\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast }\cdot \mathrm{\nabla }\psi +{\psi }^{\ast }{\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi )-(({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast })\psi +(\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast })\cdot \mathrm{\nabla }\psi )]\\ \\ & =& -\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[{\psi }^{\ast }{\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast })\psi ]\\ \end{array}$$ となり、 $$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial t}\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)+\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{j}({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)& =& \left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[{\psi }^{\ast }{\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast })\psi ]-\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[{\psi }^{\ast }{\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}\psi -({\mathrm{\nabla }}^{\mathrm{\prime }2}{\psi }^{\ast })\psi ]\\ \\ & =& 0\end{array}$$ で式(2.190)を満たすことが分かった。 また、$\psi ={\psi }_{Re}+i{\psi }_{Im}$と書けるとすると $$\begin{array}{r}({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi {)}^{\ast }\\ \\ & =& (({\psi }_{Re}+i{\psi }_{Im}{)}^{\ast }\mathrm{\nabla }({\psi }_{Re}+i{\psi }_{Im}){)}^{\ast }\\ \\ & =& ({\psi }_{Re}-i{\psi }_{Im}{)}^{\ast }\mathrm{\nabla }({\psi }_{Re}-i{\psi }_{Im})\\ \\ & =& ({\psi }_{Re}+i{\psi }_{Im})\mathrm{\nabla }({\psi }_{Re}-i{\psi }_{Im})\\ \\ & =& \psi \mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast }\\ \\ & =& (\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast })\psi & ...& \psi =⟨{\text{x}}^{\mathrm{\prime }}|\alpha ,t_0;t⟩\text{はp.16の記述より複素数になり、積は交換可能である}\\ \end{array}$$ となることから、${\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi =a+bi$とすると $$\begin{array}{rcl}\mathit{j}({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)& =& -\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[{\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi -(-\mathrm{\nabla }{\psi }^{\ast })\psi ]\\ \\ & =& -\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[a+bi-(a+bi{)}^{\ast }]\\ \\ & =& -\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[2bi]\\ \\ & =& \left(\frac{\hslash }{m}\right)b\\ \\ & =& \left(\frac{\hslash }{m}\right)\text{Im}({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi )\\ \end{array}$$ と導出できる。

$$\begin{array}{rcl}\int d^{3}x\text{j}(\text{x},t)& =& \int d^{3}x\left(\frac{\hslash }{m}\right)\text{Im}({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi )\\ \\ & =& \int d^{3}x\left(\frac{\hslash }{m}\right)\text{Im}({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi )\\ \\ & =& \int d^{3}x\left(\frac{1}{m}\right)\text{Re}({\psi }^{\ast }(-i\hslash \mathrm{\nabla })\psi )& ...& (1)\\ \\ & =& \int d^{3}x\left(\frac{1}{m}\right)\text{Re}({\psi }^{\ast }\mathit{p}\psi )& \\ \\ & =& \text{Re}\int d^{3}x\left(\frac{1}{m}\right)({\psi }^{\ast }\mathit{p}\psi )& ...& \text{微小区間の実部の和は総和の実部に置換できるため(要議論)}\\ \\ & =& \text{Re}\frac{1}{m}⟨\mathit{p}⟩& \\ \\ & =& \frac{⟨\mathit{p}⟩}{m}& ...& \mathit{p}\text{はエルミート的であり、p.42補題2より期待値は実数になる。}\\ \end{array}$$ と導出できる。

1. (1)$\text{Im}z=\text{Re}(-iz)$を利用
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$z=a+ib$とする。$iz=-b+ia$であるから、 $$\begin{array}{r}b=\text{Im}z=-\text{Re}(iz)\end{array}$$ となる。

$$\begin{array}{rcl}{\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi & =& \sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{-iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]\mathrm{\nabla }(\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right])\\ \\ & =& \sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{-iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]((\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)})\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]+\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\mathrm{\nabla }\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right])\\ \\ & =& \sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{-iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]((\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)})\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]+\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]\mathrm{\nabla }\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash })\\ \\ & =& \sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{-iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]((\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)})\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]+\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\exp \left[\frac{iS({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\\ \\ & =& \sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}+\frac{i}{\hslash }\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\mathrm{\nabla }S({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\\ \end{array}$$ と導出できる。

$$\begin{array}{rcl}\mathit{j}(\text{x},t)& =& \left(\frac{\hslash }{m}\right)\text{Im}({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi )\\ \\ & =& \left(\frac{\hslash }{m}\right)\text{Im}(\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}+\frac{i}{\hslash }\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\mathrm{\nabla }S({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t))\\ \\ & =& \left(\frac{\hslash }{m}\right)\frac{1}{\hslash }\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\mathrm{\nabla }S({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\\ \\ & =& \frac{\rho ({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)\mathrm{\nabla }S({\text{x}}^{\mathrm{\prime }},t)}{m}\\ \end{array}$$ と導出できる。

$$\begin{array}{rcl}-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V\psi & =& -\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2(\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right])+V(\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right])\\ \\ & =& -\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }((\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]+\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S)+V(\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right])\\ \\ & =& -\frac{{\hslash }^2}{2m}(({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]+(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i^2}{{\hslash }^2}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V(\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right])\\ \\ & =& -\frac{{\hslash }^2}{2m}(({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]+2(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i^2}{{\hslash }^2}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V(\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right])\\ \\ & =& [-\frac{{\hslash }^2}{2m}(({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })+2(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }\frac{i^2}{{\hslash }^2}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V\sqrt{\rho }]\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]& ...& (i)\\ \\ \\ i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}& =& i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\\ \\ & =& i\hslash (\frac{\partial \sqrt{\rho }}{\partial t}\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]+\sqrt{\rho }\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\frac{i}{\hslash }\frac{\partial S}{\partial t})\\ \\ & =& i\hslash (\frac{\partial \sqrt{\rho }}{\partial t}+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }\frac{\partial S}{\partial t})\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]& ...& (ii)\\ \end{array}$$ $(i)$と$(ii)$が等しいことから、 $$\begin{array}{rclll}& & [-\frac{{\hslash }^2}{2m}(({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })+2(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }\frac{i^2}{{\hslash }^2}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V\sqrt{\rho }]\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]& =& i\hslash (\frac{\partial \sqrt{\rho }}{\partial t}+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }\frac{\partial S}{\partial t})\exp \left[\frac{iS}{\hslash }\right]\\ \\ & \Rightarrow & -\frac{{\hslash }^2}{2m}(({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })+2(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }\frac{i^2}{{\hslash }^2}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V\sqrt{\rho }& =& i\hslash (\frac{\partial \sqrt{\rho }}{\partial t}+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }\frac{\partial S}{\partial t})\end{array}$$ と式(2.200)が導出できる。また、式中で$\hslash$の項が小さいものとすると $$\begin{array}{rclll}& & -\frac{{\hslash }^2}{2m}(({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })+2(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })\frac{i}{\hslash }\mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }\frac{i^2}{{\hslash }^2}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V\sqrt{\rho }& =& i\hslash (\frac{\partial \sqrt{\rho }}{\partial t}+\sqrt{\rho }\frac{i}{\hslash }\frac{\partial S}{\partial t})\\ \\ & \iff & -\frac{1}{2m}({\hslash }^2({\mathrm{\nabla }}^2\sqrt{\rho })+2(\mathrm{\nabla }\sqrt{\rho })i\hslash \mathrm{\nabla }S+\sqrt{\rho }{i}^2(\mathrm{\nabla }S{)}^2+\sqrt{\rho }i\hslash {\mathrm{\nabla }}^{2}S)+V\sqrt{\rho }& =& i(\hslash \frac{\partial \sqrt{\rho }}{\partial t}+\sqrt{\rho }i\frac{\partial S}{\partial t})\\ \\ & \Rightarrow & -\frac{1}{2m}\sqrt{\rho }{i}^2(\mathrm{\nabla }S{)}^2+V\sqrt{\rho }& =& i\sqrt{\rho }i\frac{\partial S}{\partial t}& ...& \hslash \text{を含む項を0とした}\\ \\ & \Rightarrow & \frac{1}{2m}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+V+\frac{\partial S}{\partial t}& =& 0\\ \end{array}$$ が得られる。ただし

式(2.205)に式(2.206)を代入し、(2.207)を解とすると $$\begin{array}{rclll}& & {\mathrm{\nabla }}^2{u}_E(\text{x})& =& -\frac{2mE}{{\hslash }^2}{u}_E(\text{x})\\ \\ & \iff & (\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})u_E(\text{x})& =& -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)u_E(\text{x})& ...& \text{式(2.206)より}\\ \\ & \iff & (\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})u_x(x)u_y(y)u_z(z)& =& -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)u_x(x)u_y(y)u_z(z)& ...& \text{式(2.207)より}\\ \\ & \iff & \frac{{\partial }^2{u}_x(x)}{\partial x^2}{u}_y(y)u_z(z)+\frac{{\partial }^2{u}_y(y)}{\partial y^2}{u}_x(x)u_z(z)+\frac{{\partial }^2{u}_z(z)}{\partial z^2}{u}_x(x)u_y(y)& =& -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)u_x(x)u_y(y)u_z(z)& \\ \\ & \iff & \frac{1}{u_x(x)}\frac{{\partial }^2{u}_x(x)}{\partial x^2}+\frac{1}{u_y(y)}\frac{{\partial }^2{u}_y(y)}{\partial y^2}+\frac{1}{u_z(z)}\frac{{\partial }^2{u}_z(z)}{\partial z^2}& =& -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)& ...& u_x(x)u_y(y)u_z(z)\text{で両辺を割った}\\ \\ & \iff & \frac{1}{u_x(x)}\frac{{\partial }^2{u}_x(x)}{\partial x^2}+k_x^2+\frac{1}{u_y(y)}\frac{{\partial }^2{u}_y(y)}{\partial y^2}+k_y^2+\frac{1}{u_z(z)}\frac{{\partial }^2{u}_z(z)}{\partial z^2}+k_z^2& =& 0\\ \end{array}$$ と導出できる。

$x,y,z$がそれぞれ独立しているとすると、 $$\begin{array}{rcl}\frac{1}{u_x(x)}\frac{{\partial }^2{u}_x(x)}{\partial x^2}+k_x^2& =& 0\\ \frac{1}{u_y(y)}\frac{{\partial }^2{u}_y(y)}{\partial y^2}+k_y^2& =& 0\\ \frac{1}{u_z(z)}\frac{{\partial }^2{u}_z(z)}{\partial z^2}+k_z^2& =& 0\end{array}$$ が成立すればよいことがわかる。ここで、式(2.208)下より、 $$\begin{array}{rcl}\frac{1}{u_w(w)}\frac{{\partial }^2{u}_x(w)}{\partial w^2}+k_w^2& =& 0\end{array}$$ を考える。$u_w(w)=c_w{e}^{i{k}_{w}w}$とすると $$\begin{array}{rcl}\frac{1}{u_w(w)}\frac{{\partial }^2{u}_x(w)}{\partial w^2}+k_w^2& =& \frac{1}{c_w{e}^{i{k}_{w}w}}\frac{{\partial }^2}{\partial w^2}{c}_w{e}^{i{k}_{w}w}+k_w^2\\ & =& \frac{1}{e^{i{k}_{w}w}}(i{k}_w{)}^2{e}^{i{k}_{w}w}+k_w^2\\ & =& -k_w^2+k_w^2\\ & =& 0\end{array}$$ となり、式を満たすことがわかる。

$$\begin{array}{rcl}{u}_x(x+L)& =& c_x{e}^{i{k}_x(x+L)}\\ \\ & =& c_x{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_x(x+L)}\\ \\ & =& c_x{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_{x}x}{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_{x}L}\\ \\ & =& c_x{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_{x}x}{e}^{i2\pi n_x}\\ \\ & =& c_x{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_{x}x}(e^{i2\pi }{)}^{n_x}\\ \\ & =& c_x{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_{x}x}(1{)}^{n_x}\\ \\ & =& c_x{e}^{i\frac{2\pi }{L}{n}_{x}x}\\ \\ & =& u_x(x)\\ \end{array}$$ が得られ、境界条件を満たしていることがわかる。

$$\begin{array}{rclll}{\int }_0^{L}dx{\int }_0^{L}dy{\int }_0^{L}dz{u}_E^{\ast }(\text{x})u_E(\text{x})& =& {\int }_0^{L}dx{\int }_0^{L}dy{\int }_0^{L}dz{C}^{\ast }{e}^{-i\mathit{k}\cdot \text{x}}C{e}^{i\mathit{k}\cdot \text{x}}& ...& \text{式(2.209)より}\\ \\ & =& {\int }_0^{L}dx{\int }_0^{L}dy{\int }_0^{L}dz{C}^{\ast }C{e}^{-i\mathit{k}\cdot \text{x}+i\mathit{k}\cdot \text{x}}\\ \\ & =& |C{|}^2{\int }_0^{L}dx{\int }_0^{L}dy{\int }_0^{L}dz\\ \\ & =& |C{|}^{2}L\cdot L\cdot L\\ \\ & =& |C{|}^2{L}^3\end{array}$$

$N(k)$を求めると式(2.210)より $$\begin{array}{rcl}{\mathit{k}}^2& =& k_x^2+k_y^2+k_z^2\\ \\ & =& {\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^2{n}_x^2+{\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^2{n}_y^2+{\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^2{n}_z^2\\ \\ & =& {\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)\\ \\ & =& {\left(\frac{2\pi }{L}\right)}^2{\mathit{n}}^2\\ \\ \Rightarrow |\mathit{n}|& =& |\mathit{k}|\frac{L}{2\pi }\end{array}$$ となる。状態数$dN(k)$を求めるにあたって、半径$|\mathit{n}|$の球の厚さ$d|\mathit{n}|$の部分の体積は表面積と$d|\mathit{n}|$の積で求められるため、 $$\begin{array}{r}dN=4\pi {\mathit{n}}^{2}d|\mathit{n}|\end{array}$$ と書ける。これを$\mathit{k}$を用いて表すと $$\begin{array}{rcl}dN(\mathit{k})& =& 4\pi {\mathit{n}}^{2}d|\mathit{n}|\\ \\ & =& 4\pi (|\mathit{k}|\frac{L}{2\pi }{)}^{2}d(|\mathit{k}|\frac{L}{2\pi })\\ \\ & =& \frac{L^3}{2{\pi }^2}|\mathit{k}{|}^{2}d|\mathit{k}|\\ \end{array}$$ と書ける。この中の状態はすべて $$\begin{array}{r}E=\frac{{\hslash }^2|\mathit{k}{|}^2}{2m}\end{array}$$ のエネルギーであると考えるため、式(2.214)を求めると $$\begin{array}{rcl}\frac{dN(k)}{dE(k)}& =& \frac{\frac{L^3}{2{\pi }^2}|\mathit{k}{|}^{2}d|\mathit{k}|}{d\frac{{\hslash }^2|\mathit{k}{|}^2}{2m}}\\ \\ & =& \frac{\frac{L^3}{2{\pi }^2}|\mathit{k}{|}^{2}d|\mathit{k}|}{\frac{{\hslash }^2|\mathit{k}|}{2m}2d|\mathit{k}|}\\ \\ & =& \frac{\frac{L^3}{2{\pi }^2}|\mathit{k}{|}^2}{\frac{{\hslash }^2|\mathit{k}|}{2m}2}\\ \\ & =& \frac{|\mathit{k}|m{L}^3}{2{\pi }^2{\hslash }^2}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{\frac{{\hslash }^2|\mathit{k}{|}^2}{2m}}\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}}m{L}^3}{2{\pi }^2{\hslash }^2}\\ \\ & =& \frac{\sqrt{E}{m}^{3/2}{L}^3}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\\ \\ & =& \frac{E^{1/2}{m}^{3/2}{L}^3}{\sqrt{2}{\pi }^2{\hslash }^3}\\ \end{array}$$ と導出できる。

規格化によって書き直す式は式(2.196)になると思われる。
$\mathit{p}$に制約が明記されている場合は式(2.206)のように$\mathit{p}=\hslash \mathit{k}$として書き換えて式(2.212)が得られることを加味すると 式(2.196)の規格化定数は式(2.212)と同様に $$\begin{array}{r}\psi =\frac{1}{L^{3/2}}\exp (\frac{i\mathit{p}\cdot \mathit{x}}{\hslash }-\frac{iEt}{\hslash })\end{array}$$ となる。

式(2.217)を式変形する。この際、 $$\begin{array}{rclll}\frac{d}{dx}& =& \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}& =& \frac{1}{x_0}\frac{d}{dy}\\ \\ \frac{d^2}{d{x}^2}& =& \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}& =& \frac{1}{x_0^2}\frac{d^2}{d{y}^2}\\ \end{array}$$ となることを用いる。 $$\begin{array}{rclll}& & -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}{u}_E(x)+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2{u}_E(x)& =& E{u}_E(x)\\ \\ & \iff & -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{x_0^2}\frac{d^2}{d{y}^2}{u}_E(y)+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x_{0}y{)}^2{u}_E(y)& =& \frac{\epsilon \hslash \omega }{2}{u}_E(y)& ...& \epsilon =\frac{2E}{\hslash \omega },y=\frac{x}{x_0}\text{を利用。}\\ \\ & \iff & -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{m\omega }{\hslash }\frac{d^2}{d{y}^2}{u}_E(y)+\frac{1}{2}m{\omega }^2\frac{\hslash }{m\omega }{y}^2{u}_E(y)& =& \frac{\epsilon \hslash \omega }{2}{u}_E(y)& ...& x_0=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}\text{を利用。}\\ \\ & \iff & -\frac{\hslash \omega }{2}\frac{d^2}{d{y}^2}{u}_E(y)+\frac{\hslash \omega }{2}{y}^2{u}_E(y)& =& \frac{\epsilon \hslash \omega }{2}{u}_E(y)& \\ \\ & \iff & -\frac{d^2}{d{y}^2}{u}_E(y)+y^2{u}_E(y)& =& \epsilon u_E(y)& \\ \\ & \iff & \frac{d^2}{d{y}^2}{u}_E(y)+(\epsilon -y^2)u_E(y)& =& 0& \\ \end{array}$$ と導出できる。

式(2.218)に式(2.219)を代入する。 $$\begin{array}{rcl}\frac{d^2}{d{y}^2}{u}_E(y)+(\epsilon -y^2)u_E(y)& =& \frac{d^2}{d{y}^2}h(y)e^{-y^2/2}+(\epsilon -y^2)h(y)e^{-y^2/2}\\ \\ & =& \frac{d}{dy}(\frac{dh(y)}{dy}{e}^{-y^2/2}+h(y)\frac{d}{dy}{e}^{-y^2/2})+(\epsilon -y^2)h(y)e^{-y^2/2}\\ \\ & =& \frac{d}{dy}(\frac{dh(y)}{dy}{e}^{-y^2/2}-h(y)y{e}^{-y^2/2})+(\epsilon -y^2)h(y)e^{-y^2/2}\\ \\ & =& (\frac{d^{2}h(y)}{d{y}^2}{e}^{-y^2/2}+\frac{dh(y)}{dy}\frac{d}{dy}{e}^{-y^2/2}-\frac{dh(y)}{dy}y{e}^{-y^2/2}-h(y)\frac{dy}{dy}{e}^{-y^2/2}-h(y)y\frac{d}{dy}{e}^{-y^2/2})+(\epsilon -y^2)h(y)e^{-y^2/2}\\ \\ & =& (\frac{d^{2}h(y)}{d{y}^2}{e}^{-y^2/2}-\frac{dh(y)}{dy}y{e}^{-y^2/2}-\frac{dh(y)}{dy}y{e}^{-y^2/2}-h(y)e^{-y^2/2}+h(y)yy{e}^{-y^2/2})+(\epsilon -y^2)h(y)e^{-y^2/2}\\ \\ & =& (\frac{d^{2}h(y)}{d{y}^2}-2\frac{dh(y)}{dy}y-h(y)+h(y)y^2+(\epsilon -y^2)h(y))e^{-y^2/2}\\ \\ & =& (\frac{d^{2}h(y)}{d{y}^2}-2\frac{dh(y)}{dy}y+(\epsilon -1)h(y))e^{-y^2/2}\\ \\ & =& 0\\ \\ \\ \iff \frac{d^{2}h(y)}{d{y}^2}-2\frac{dh(y)}{dy}y+(\epsilon -1)h(y)& =& 0\end{array}$$ となる。

$$\begin{array}{rclll}& & \epsilon -1& =& 2n\\ \\ & \iff & \frac{2E}{\hslash \omega }-1& =& 2n\\ \\ & \iff & 2E& =& \hslash \omega (2n+1)\\ \\ & \iff & E& =& \hslash \omega (n+\frac{1}{2})\\ \end{array}$$ となる。

一般的に $$\begin{array}{rcl}{e}^x& =& {\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n}\end{array}$$ と書けることを利用して、$x=-t^2$を代入すると $$\begin{array}{rcl}{e}^{-t^2}& =& {\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-t^2{)}^n}\\ \\ & =& {\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}(t^2{)}^n}\\ \\ & =& {\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{t}^{2n}}\\ \end{array}$$ となる。

一般的に $$\begin{array}{rcl}{e}^k& =& {\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{k}^n}\end{array}$$ と書けることを利用して、$k=-t^2$と$k=2tx$を代入すると式(2.221a)は $$\begin{array}{rcl}{e}^{-t^2+2tx}& =& e^{-t^2}{e}^{2tx}\\ \\ & =& \left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-t^2{)}^n}\right)\left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(2tx{)}^n}\right)\\ \\ & =& (1-\frac{1}{1!}{t}^2+\frac{1}{2!}{t}^4-\frac{1}{3!}{t}^6+\dots )(1+\frac{1}{1!}2tx+\frac{1}{2!}(2tx{)}^2+\frac{1}{3!}(2tx{)}^3+\dots )\\ \end{array}$$ となる。ここで$g(-x,t)$を同様に展開すると $$\begin{array}{rcl}{e}^{-t^2-2tx}& =& e^{-t^2}{e}^{-2tx}\\ \\ & =& \left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-t^2{)}^n}\right)\left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-2tx{)}^n}\right)\\ \\ & =& \left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(-t^2{)}^n}\right)\left({\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}(2tx{)}^n}\right)\\ \\ & =& (1-\frac{1}{1!}{t}^2+\frac{1}{2!}{t}^4-\frac{1}{3!}{t}^6+\dots )(1-\frac{1}{1!}2tx+\frac{1}{2!}(2tx{)}^2-\frac{1}{3!}(2tx{)}^3+\dots )\\ \end{array}$$ となる。ここで、$e^{-t^2}$の部分は共通であるため残りの部分に着目すると、$e^{-2tx}$には$(-1{)}^n$が含まれている。従って$e^{-2tx}$を展開した際の$t$の指数$n$が奇数の時は、$e^{2tx}$を展開したときの$t^n$の係数と$-1$倍の違いがあり、符号が異なることがわかる。
$e^{-t^2}$を加味すると、この関数には$t$の偶数のべきしか含まない。奇数のべきは奇数と偶数のべき同士の積でしか生じないため、式全体としても奇数のべきの時、符号が逆になると言える。