現代の量子力学の行間埋め　第２章

\begin{eqnarray} [a,a^{\dagger}] &=& aa^{\dagger}-a^{\dagger}a \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+\frac{ip}{m\omega})\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+\frac{-ip}{m\omega})-\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+\frac{-ip}{m\omega})\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+\frac{ip}{m\omega})\\ \\ &=& \frac{m\omega}{2\hbar}\left((x+\frac{ip}{m\omega})(x+\frac{-ip}{m\omega})-(x+\frac{-ip}{m\omega})(x+\frac{ip}{m\omega})\right)\\ \\ &=& \frac{m\omega}{2\hbar}\left(x^2+\frac{ip}{m\omega}x-x\frac{ip}{m\omega}-\left(\frac{ip}{m\omega}\right)^2-(x^2-\frac{ip}{m\omega}x+x\frac{ip}{m\omega}-\left(\frac{ip}{m\omega}\right)^2)\right)\\ \\ &=& \frac{m\omega}{2\hbar}\left(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2}+\frac{i}{m\omega}(px-xp)-(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2}-\frac{i}{m\omega}(px-xp))\right)\\ \\ &=& \frac{m\omega}{2\hbar}\left(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2}+\frac{i}{m\omega}[p,x]-(x^2+\frac{p^2}{m^2\omega^2}-\frac{i}{m\omega}[p,x])\right)\\ \\ &=& \frac{m\omega}{2\hbar}\cdot 2\frac{i}{m\omega}[p,x]\\ \\ &=& \frac{1}{\hbar}i[p,x]\\ \\ &=& -\frac{1}{\hbar}i[x,p]\\ \\ &=& -\frac{1}{\hbar}i\cdot i\hbar\\ \\ &=& 1 \end{eqnarray} と導出できる。

以下、Ntzsch 作成

また，交換子の性質(1.232)を用いると， \begin{align} [a,a^\dagger] & = \left[ \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left( x + \frac{ip}{m\omega} \right), \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left( x - \frac{ip}{m\omega} \right) \right] \\ & = \left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\right)^2 \left[ x + \frac{ip}{m\omega}, x - \frac{ip}{m\omega} \right] \\ & = \frac{m\omega}{2\hbar} \Biggl\{ \left[ x, x \right] - \frac{i}{m\omega}[x,p] + \frac{i}{m\omega}[p,x] - \frac{1}{(m\omega)^2}[p,p] \Biggr\} \\ & = \frac{m\omega}{2\hbar} \Biggl\{ 0 - \frac{i}{m\omega}(i\hbar) + \frac{i}{m\omega}(-i\hbar) - 0 \Biggr\} \\ & = \frac{m\omega}{2\hbar} \Biggl\{ \frac{\hbar}{m\omega} + \frac{\hbar}{m\omega} \Biggr\} \\ & = \frac{m\omega}{2\hbar} \cdot \frac{2\hbar}{m\omega} \\[1em] & = 1. \end{align} を得る．

\begin{eqnarray} N^{\dagger} &=& (a^{\dagger}a)^{\dagger} \\ \\ &=& a^{\dagger}(a^{\dagger})^{\dagger}&...&\text{式(1.44)より} \\ \\ &=& a^{\dagger}a \\ \\ &=& N \end{eqnarray} 以上から式(1.40)より、エルミート的である。

式(2.122)より、ハミルトニアン\(H\)として \begin{eqnarray} H=\frac{m\omega^2 x^2}{2}+\frac{p^2}{2m} \end{eqnarray} を用いることで式が導ける。

式(2.128)で用いた\(N\)の固有ケット\(\ket{n}\)は、式(2.129)のように\(H\)の固有ケットでもあるため、\(N\)と\(H\)同時に対角化できる。

式(1.232e)を用いる。 \begin{eqnarray} [AB,C] &=& -[C,AB] \\ \\ &=& -([C,A]B+A[C,B])&...&\text{式(1.232e)より} \\ \\ &=& -(-[A,C]B-A[B,C])& \\ \\ &=& [A,C]B+A[B,C]& \\ \\ &=& A[B,C]+[A,C]B& \\ \\ \end{eqnarray} となることを利用すると \begin{eqnarray} [N,a] &=& [a^{\dagger}a,a] \\ \\ &=& a^{\dagger}[a,a]+[a^{\dagger},a]a \\ \\ &=& 0-[a,a^{\dagger}]a \\ \\ &=& -a &...&\text{式(2.124)より}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(2.124)より \begin{eqnarray} &&[a,a^{\dagger}]&=&1 \\ \\ &\Leftrightarrow& aa^{\dagger}-a^{\dagger}a&=&1 \\ \\ &\Leftrightarrow& aa^{\dagger}&=&a^{\dagger}a+1=N+1 \\ \\ \end{eqnarray} となることを利用する。式(2.137)の導出と同様にして\(a^{\dagger}\ket{n}=c\ket{n+1}\)を仮定する。 \begin{eqnarray} &&(\bra{n}a)(a^{\dagger}\ket{n})&=&(\bra{n+1}c^*)(c\ket{n+1}) \\ \\ &\Leftrightarrow& \bra{n}aa^{\dagger}\ket{n}&=&c^*c\braket{n+1|n+1} \\ \\ &\Leftrightarrow& \bra{n}(1+N)\ket{n}&=&|c|^2 \\ \\ &\Leftrightarrow& |c|^2&=&\bra{n}(1+n)\ket{n}=n+1 \\ \\ &\Rightarrow& c&=&\sqrt{n+1} \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} a^{\dagger}\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1} \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \braket{n^{\prime}|a|n} &=& \bra{n^{\prime}}(a\ket{n}) \\ \\ &=& \bra{n^{\prime}}(\sqrt{n}\ket{n-1})&...&\text{式(2.137)より} \\ \\ &=& \sqrt{n}\braket{n^{\prime}|n-1}&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ &=& \sqrt{n}\delta_{n^{\prime},n-1} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。また、 \begin{eqnarray} \braket{n^{\prime}|a^{\dagger}|n} &=& \bra{n^{\prime}}(a^{\dagger}\ket{n}) \\ \\ &=& \bra{n^{\prime}}(\sqrt{+1}\ket{n+1})&...&\text{式(2.138)より} \\ \\ &=& \sqrt{n+1}\braket{n^{\prime}|n+1}&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ &=& \sqrt{n+1}\delta_{n^{\prime},n+1} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

式(2.146a)は \begin{eqnarray} \braket{n^{\prime}|x|n} &=& \bra{n^{\prime}}(x\ket{n}) \\ \\ &=& \bra{n^{\prime}}(\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^{\prime})\ket{n})&...&\text{式(2.145)より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\bra{n^{\prime}}a^{\prime}\ket{n}+\bra{n^{\prime}}a\ket{n}\right)& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\bra{n^{\prime}}\sqrt{n+1}\ket{n+1}+\bra{n^{\prime}}\sqrt{n}\ket{n-1}\right)&...&\text{式(2.137)(2.138)より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{n+1}\braket{n^{\prime}|n+1}+\sqrt{n}\braket{n^{\prime}|n-1}\right)& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{n+1}\delta_{n^{\prime},n+1}+\sqrt{n}\delta_{n^{\prime},n-1}\right)&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。また、式(2.146b)は \begin{eqnarray} \braket{n^{\prime}|p|n} &=& \bra{n^{\prime}}(p\ket{n}) \\ \\ &=& \bra{n^{\prime}}(i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(-a+a^{\prime})\ket{n})&...&\text{式(2.145)より} \\ \\ &=& i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\left(\bra{n^{\prime}}a^{\prime}\ket{n}-\bra{n^{\prime}}a\ket{n}\right)& \\ \\ &=& i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\left(\bra{n^{\prime}}\sqrt{n+1}\ket{n+1}-\bra{n^{\prime}}\sqrt{n}\ket{n-1}\right)&...&\text{式(2.137)(2.138)より} \\ \\ &=& i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\left(\sqrt{n+1}\braket{n^{\prime}|n+1}-\sqrt{n}\braket{n^{\prime}|n-1}\right)& \\ \\ &=& i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\left(\sqrt{n+1}\delta_{n^{\prime},n+1}-\sqrt{n}\delta_{n^{\prime},n-1}\right)&...&\text{式(1.60)より} \\ \\ \end{eqnarray} と得られる。

式(2.148)を用いる。 \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|a|0} &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\bra{x^{\prime}}\left(x+\frac{ip}{m\omega}\right)\ket{0} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[\bra{x^{\prime}}x\ket{0}+\bra{x^{\prime}}\frac{ip}{m\omega}\ket{0}\right] \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[\int dx^{\prime\prime}\bra{x^{\prime}}x\ket{x^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime}|0}+\frac{i}{m\omega}\bra{x^{\prime}}p\ket{0}\right] \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[\int dx^{\prime\prime}x^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})\braket{x^{\prime\prime}|0}+\frac{i}{m\omega}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)\braket{x^{\prime}|0}\right]&...&\text{式(1.184f)(1.249)より} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[x^{\prime}\braket{x^{\prime}|0}+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\braket{x^{\prime}|0}\right]&...&\text{デルタ関数の積分より}x^{\prime\prime}=x^{\prime}\text{のみ残る} \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[x^{\prime}+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right]\braket{x^{\prime}|0}& \\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[x^{\prime}+x_0^2\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right]\braket{x^{\prime}|0}&...&x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\text{とした} \\ \\ \end{eqnarray} と式変形でき、これが式(2.148)より\(0\)になることから、 \begin{eqnarray} &&\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left[x^{\prime}+x_0^2\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right]\braket{x^{\prime}|0}&=&0 \\ \\ &\Leftrightarrow&\left(x^{\prime}+x_0^2\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)\braket{x^{\prime}|0}&=&0 \\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

式(2.151)を式(2.149)に代入する。 \begin{eqnarray} \left(x^{\prime}+x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)\braket{x^{\prime}|0} &=& \left(x^{\prime}+x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)\left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\right)\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\right)\left(x^{\prime}+x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\right)\left(x^{\prime}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]+x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]\right) \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\right)\left(x^{\prime}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]+x_0^2\left(-\frac{1}{2}\cdot 2\frac{x^{\prime}}{x_0}\frac{1}{x_0}\right)\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]\right) \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\right)\left(x^{\prime}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]-x^{\prime}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]\right) \\ \\ &=& 0\\ \\ \end{eqnarray} となり、式(2.149)を満たすことがわかる。また、式(1.184d)を計算すると、 \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}dx^{\prime}|\braket{x^{\prime}|0}|^2 &=& \int_{-\infty}^{\infty}dx^{\prime}|\left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{x_0}}\right)\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right]|^2 \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}dx^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}x_0}\right)\exp\left[-\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0}\int_{-\infty}^{\infty}dx^{\prime}\exp\left[-\frac{x^{\prime 2}}{x_0^2}\right] \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{\pi}x_0}\sqrt{\pi x_0^2}&...&(1) \\ \\ &=& 1 \\ \\ \end{eqnarray} より、規格化されていることが確認できた。(1)のガウス積分はこちらなど参考

\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|1} &=& \braket{x^{\prime}|a^{\dagger}|0} \\ \\ &=& \braket{x^{\prime}|\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)|0}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\braket{x^{\prime}|\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)|0}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{}\prime}\right)\braket{x^{\prime}|0}&...&\text{式(2.148)の共役複素数であるため} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{}\prime}\right)\braket{x^{\prime}|0}& \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。 \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|2} &=& \braket{x^{\prime}|\frac{1}{\sqrt{2!}}(a^{\dagger})^2|0}&...&\text{式(2.142)より} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\braket{x^{\prime}|\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\right)^2\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)^2|0}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\right)^2\braket{x^{\prime}|\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)^2|0}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)^2\braket{x^{\prime}|\left(x^2-x\frac{ip}{m\omega}-\frac{ip}{m\omega}x+\frac{1}{m^2\omega^2}p^2\right)^2|0}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)^2\braket{x^{\prime}|\left(x^2-\frac{i}{m\omega}(xp+px)+\frac{1}{m^2\omega^2}p^2\right)|0}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)^2\braket{x^{\prime}|\left(x^2-\frac{i}{m\omega}(xp+px)+\frac{1}{m^2\omega^2}p^2\right)|0}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)\left(\braket{x^{\prime}|x^2|0}+\braket{x^{\prime}|\left(-\frac{i}{m\omega}(xp+px)\right)|0}+\braket{x^{\prime}|\frac{1}{m^2\omega^2}p^2|0}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)\left(\braket{x^{\prime}|x^2|0}-\frac{i}{m\omega}\braket{x^{\prime}|xp|0}-\frac{i}{m\omega}\braket{x^{\prime}|px|0}+\frac{1}{m^2\omega^2}\braket{x^{\prime}|p^2|0}\right)& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)\left(x^{\prime 2}\braket{x^{\prime}|0}-\frac{i}{m\omega}x^{\prime}(-i\hbar)\frac{d}{dx^{\prime}}\braket{x^{\prime}|0}-\frac{i}{m\omega}(-i\hbar)\frac{d}{dx^{\prime}}x^{\prime}\braket{x^{\prime}|0}+\frac{1}{m^2\omega^2}(-i\hbar)^2\frac{d^2}{dx^{\prime 2}}\braket{x^{\prime}|0}\right)&...&(1)(2)(3)(4) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)\left(x^{\prime 2}-\frac{\hbar}{m\omega}x^{\prime}\frac{d}{dx^{\prime}}-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx^{\prime}}x^{\prime}+\frac{\hbar^2}{m^2\omega^2}\frac{d^2}{dx^{\prime 2}}\right)\braket{x^{\prime}|0}& \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)\left(x^{\prime 2}-x_0^2x^{\prime}\frac{d}{dx^{\prime}}-x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}x^{\prime}+x_0^4\frac{d^2}{dx^{\prime 2}}\right)\braket{x^{\prime}|0}&...&\text{式(2.150)より}x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\right)\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)^2\braket{x^{\prime}|0}& \\ \\ \end{eqnarray} より、導出される。

1. (1)\(\braket{x^{\prime}|x^2|0}\)の計算
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\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|x^2|0} &=& \int dx^{\prime\prime}\bra{x^{\prime}}x^2\ket{x^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime}|0} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}x^{\prime 2}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})\braket{x^{\prime\prime}|0}&...&\text{式(1.244)より} \\ \\ &=& x^{\prime 2}\braket{x^{\prime}|0}&...&\text{デルタ関数の積分より}x^{\prime\prime}=x^{\prime} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。


2. (2)\(\braket{x^{\prime}|xp|0}\)の計算
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\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|xp|0} &=& \int dx^{\prime\prime} \bra{x^{\prime}}x\ketbra{x^{\prime\prime}}{x^{\prime\prime}}p\ket{0} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime} \bra{x^{\prime}}x\ket{x^{\prime\prime}}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime}|0}&...&\text{式(1.249)より} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime} x^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime}|0}&...&\text{式(1.184f)より}\\ \\ &=& x^{\prime}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\braket{x^{\prime}|0}&...&\text{デルタ関数の積分より}x^{\prime\prime}=x^{\prime} \\ \\ &=& -i\hbar x^{\prime}\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\braket{x^{\prime}|0}& \\ \\ \end{eqnarray}


3. (3)\(\braket{x^{\prime}|px|0}\)の計算
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\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|px|0} &=& \int dx^{\prime\prime} \bra{x^{\prime}}p\ketbra{x^{\prime\prime}}{x^{\prime\prime}}x\ket{0} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime} \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})\right)\bra{x^{\prime\prime}}x\ket{0}&...&\text{式(1.250)より} \\ \\ &=& \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)\bra{x^{\prime}}x\ket{0}&...&\text{デルタ関数の積分より}x^{\prime\prime}=x^{\prime} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)\bra{x^{\prime}}x\ket{x^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime}|0}&...&\text{先ほどとは異なる}x^{\prime\prime}\text{を用いている} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)x^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})\braket{x^{\prime\prime}|0}&...&\text{式(1.184f)より} \\ \\ &=& \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)x^{\prime}\braket{x^{\prime}|0}&...&\text{デルタ関数の積分より}x^{\prime\prime}=x^{\prime} \\ \\ \end{eqnarray} と導出される。


4. (4)\(\braket{x^{\prime}|p^2|0}\)の計算
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\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|p^2|0} &=& (-i\hbar)^2\frac{\partial^2}{\partial x^{\prime 2}}\braket{x^{\prime}|0}&...&\text{式(1.252)より} \end{eqnarray}

帰納的に式を示す。 \(n=0\)の時、 \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|0} &=& \frac{1}{\pi^{1/4}}\frac{1}{\sqrt{x_0} }\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^00!}}\right)\left(\frac{1}{x_0^{0+\frac{1}{2} } }\right)\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)^0\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] \\ \\ \end{eqnarray} より、式(2.153)を満たしている。
\(n=k\)の時成立するとして、\(n=k+1\)の時を考える。 \begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|k+1} &=& \braket{x^{\prime}|\frac{1}{\sqrt{k+1}}a^{\dagger}|k} &...&\text{式(2.142)より}\ket{k+1}=\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{k+1}}\ket{k} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\braket{x^{\prime}|\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)|k} &...&\text{式(2.123)より} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\braket{x^{\prime}|\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)|k} &...&\text{式(2.150)を利用} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left[\braket{x^{\prime}|x|k}-\braket{x^{\prime}|\frac{ip}{m\omega}|k}\right] & \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left[x^{\prime}\braket{x^{\prime}|k}-\frac{i}{m\omega}\braket{x^{\prime}|p|k}\right] &...&(1) \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left[x^{\prime}\braket{x^{\prime}|k}-\frac{i}{m\omega}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)\braket{x^{\prime}|k}\right] &...&\text{式(1.249)より} \\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left[x^{\prime}-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right]\braket{x^{\prime}|k} &\\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left[x^{\prime}-x_0^2\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right]\braket{x^{\prime}|k} &...&\text{式(2.150)を利用}\\ \\ &=& \frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{2}x_0}\left[x^{\prime}-x_0^2\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right]\left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^kk!}}\right)\left(\frac{1}{x_0^{k+\frac{1}{2} } }\right)\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)^k\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] &...&\text{仮定より}\\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2\cdot2^k(k+1)k!}}\right)\left(\frac{1}{x_0^{k+1+\frac{1}{2} } }\right)\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)^{k+1}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] &\\ \\ &=& \left(\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^{k+1}(k+1)!}}\right)\left(\frac{1}{x_0^{(k+1)+\frac{1}{2} } }\right)\left(x^{\prime}-x_0^2\frac{d}{dx^{\prime}}\right)^{k+1}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{\prime}}{x_0}\right)^2\right] &\\ \\ \end{eqnarray} となり、\(n=k+1\)の時も成立していることから、帰納的にすべての\(n\geq 0\)で成立すると言える。

1. (1)\(\braket{x^{\prime}|x|k}\)の計算
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\begin{eqnarray} \braket{x^{\prime}|x|k} &=& \int dx^{\prime\prime}\bra{x^{\prime}}x\ket{x^{\prime\prime}}\braket{x^{\prime\prime}|k} \\ \\ &=& \int dx^{\prime\prime}x^{\prime\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime})\braket{x^{\prime\prime}|k}&...&\text{式(1.184f)より} \\ \\ &=& x^{\prime}\braket{x^{\prime}|k}&...&\text{デルタ関数の積分より}x^{\prime\prime}=x^{\prime} \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。

\begin{eqnarray} \braket{x^2} &=& \braket{0|x^2|0}&...&\text{基底状態について計算するため} \\ \\ &=& \braket{0|\frac{\hbar}{2m\omega}(a^2+a^{\dagger 2}+a^{\dagger}a+aa^{\dagger})|0}&...&\text{式(2.154)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\braket{0|a^2|0}+\braket{0|a^{\dagger 2}|0}+\braket{0|a^{\dagger}a|0}+\braket{0|aa^{\dagger}|0})& \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\braket{0|a(a|0})+\braket{0|\sqrt{2!}|2}+\braket{0|a^{\dagger}(a|0})+\braket{0|a(a^{\dagger}|0}))&...&\text{式(2.142)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(0+\sqrt{2!}\braket{0|2}+0+\braket{0|a|1})&...&\text{式(2.147)より}a\ket{0}=0,\text{式(2.142)より}a^{\dagger}\ket{0}=\ket{1} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(0+\braket{0|1|0})&...&\text{直交性より}\braket{0|2}=0,\text{式(2.137)より}a\ket{1}=\ket{0} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}&...&\text{正規性より}\braket{1|1}=1\\ \\ &=& \frac{x_0^2}{2}&...&\text{式(2.150)より}\\ \\ \end{eqnarray} と導出できる。

\begin{eqnarray} \braket{p^2} &=& \braket{0|p^2|0}&...&\text{基底状態について計算するため} \\ \\ &=& \braket{0|\left(i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\right)^2(a^2+a^{\dagger 2}-a^{\dagger}a-aa^{\dagger})|0}&...&\text{式(2.145)より} \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(\braket{0|a^2|0}+\braket{0|a^{\dagger 2}|0}-\braket{0|a^{\dagger}a|0}-\braket{0|aa^{\dagger}|0})& \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(0+0-0-1)&...&\text{式(2.155)の導出より}\\ \\ &=& \frac{m\hbar\omega}{2}& \end{eqnarray} と導出できる。

式(1.144)を用いて計算することで得られる。

励起状態\(n\)における\(x^2,p^2\)の期待値を求める。 \begin{eqnarray} \braket{x^2} &=& \braket{n|x^2|n} \\ \\ &=& \braket{n|\frac{\hbar}{2m\omega}(a^2+a^{\dagger 2}+a^{\dagger}a+aa^{\dagger})|n}&...&\text{式(2.154)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\braket{n|a^2|n}+\braket{n|a^{\dagger 2}|n}+\braket{n|a^{\dagger}a|n}+\braket{n|aa^{\dagger}|n})& \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\braket{n|a\sqrt{n}|n-1}+\braket{n|a^{\dagger }\sqrt{n+1}|n+1}+\braket{n|a^{\dagger}\sqrt{n}|n-1}+\braket{n|a\sqrt{n+1}|n+1})&...&\text{式(2.137)(2.138)より} \\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\sqrt{n}\braket{n|a|n-1}+\sqrt{n+1}\braket{n|a^{\dagger }|n+1}+\sqrt{n}\braket{n|a^{\dagger}|n-1}+\sqrt{n+1}\braket{n|a|n+1})&\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\sqrt{n}\braket{n|\sqrt{n-1}|n-2}+\sqrt{n+1}\braket{n|\sqrt{n+2}|n+2}+\sqrt{n}\braket{n|\sqrt{n}|n}+\sqrt{n+1}\braket{n|sqrt{n+1}|n})&...&\text{式(2.137)(2.138)より}\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\sqrt{n(n-1)}\braket{n|n-2}+\sqrt{(n+1)(n+2)}\braket{n|n+2}+\sqrt{n^2}\braket{n|n}+\sqrt{(n+1)^2}\braket{n|n})&\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(\sqrt{n(n-1)}\cdot 0+\sqrt{(n+1)(n+2)}\cdot 0+\sqrt{n^2}\cdot 1+\sqrt{(n+1)^2}\cdot 1)&...&\text{直交正規性より}\\ \\ &=& \frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1)&\\ \\ \\ \braket{p^2} &=& \braket{n|p^2|n} \\ \\ &=& \braket{n|\left(i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\right)^2(a^2+a^{\dagger 2}-a^{\dagger}a-aa^{\dagger})|n}&...&\text{式(2.145)より} \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(\braket{n|a^2|n}+\braket{n|a^{\dagger 2}|n}-\braket{n|a^{\dagger}a|n}-\braket{n|aa^{\dagger}|n})& \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(\braket{n|a\sqrt{n}|n-1}+\braket{n|a^{\dagger }\sqrt{n+1}|n+1}-\braket{n|a^{\dagger}\sqrt{n}|n-1}-\braket{n|a\sqrt{n+1}|n+1})&...&\text{式(2.137)(2.138)より} \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(\sqrt{n}\braket{n|a|n-1}+\sqrt{n+1}\braket{n|a^{\dagger }|n+1}-\sqrt{n}\braket{n|a^{\dagger}|n-1}-\sqrt{n+1}\braket{n|a|n+1})& \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(\sqrt{n}\braket{n|\sqrt{n-1}|n-2}+\sqrt{n+1}\braket{n|\sqrt{n+2}|n+2}-\sqrt{n}\braket{n|\sqrt{n}|n}-\sqrt{n+1}\braket{n|\sqrt{n+1}|n})&...&\text{式(2.137)(2.138)より} \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(\sqrt{n(n-1)}\braket{n|n-2}+\sqrt{(n+1)(n+2)}\braket{n|n+2}-\sqrt{n^2}\braket{n|n}-\sqrt{(n+1)^2}\braket{n|n})& \\ \\ &=& -\frac{m\hbar\omega}{2}(0+0-\sqrt{n^2}\cdot 1-\sqrt{(n+1)^2}\cdot 1)&...&\text{正規直交性より} \\ \\ &=& \frac{m\hbar\omega}{2}(2n+1)& \end{eqnarray} が得られる。\(x,p\)の期待値は式(2.146)より\(0\)になる。これは\(n^{\prime}=n\)であるため、クロネッカーのデルタ記号が\(1\)にならないからである。これを用いて、 \begin{eqnarray} \braket{(\varDelta x)^2}\braket{(\varDelta p)^2} &=& (\braket{x^2}-\braket{x}^2)(\braket{p^2}-\braket{p}^2)&...&\text{式(1.144)より} \\ \\ &=& (\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1)-0^2)(\frac{m\hbar\omega}{2}(2n+1)-0^2)& \\ \\ &=& (\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1))(\frac{m\hbar\omega}{2}(2n+1))& \\ \\ &=& (\frac{\hbar}{m\omega})(m\hbar\omega)\frac{(2n+1)^2}{2^2}& \\ \\ &=& \hbar^2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2& \\ \\ \end{eqnarray} と導出される。

\begin{eqnarray} \frac{da}{dt} &=& \frac{d}{dt}\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{ip}{m\omega}\right)&...&\text{式(2.123)より}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{dx}{dt}+\frac{i}{m\omega}\frac{dp}{dt}\right)&\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{p}{m}+\frac{i}{m\omega}(-m\omega^2x)\right)&...&\text{式(2.162)より}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{p}{m}-i\omega x\right)&\\ \\ &=& -i\omega\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{1}{i\omega}\frac{p}{m}- x\right)&\\ \\ &=& -i\omega\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x+\frac{ip}{m\omega}\right)&\\ \\ &=& -i\omega a&...&\text{式(2.123)より}\\ \\ \end{eqnarray} が得られる。また、 \begin{eqnarray} \frac{da^{\dagger}}{dt} &=& \frac{d}{dt}\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)&...&\text{式(2.123)より}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{dx}{dt}-\frac{i}{m\omega}\frac{dp}{dt}\right)&\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{p}{m}-\frac{i}{m\omega}(-m\omega^2x)\right)&...&\text{式(2.162)より}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{p}{m}+i\omega x\right)&\\ \\ &=& i\omega\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\frac{1}{i\omega}\frac{p}{m}+ x\right)&\\ \\ &=& i\omega\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{ip}{m\omega}\right)&\\ \\ &=& i\omega a^{\dagger}&...&\text{式(2.123)より}\\ \\ \end{eqnarray} と導出される。

式(1.40)とp.42の補題3より、エルミート的な演算子は実数、反エルミート的な演算子は純虚数であることがわかる。
\begin{eqnarray} x(t)+i\frac{p(t)}{m\omega} &=& x(0)\exp(-i\omega t)+i\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\exp(-i\omega t) \\ \\ &=& x(0)(\cos \omega t-i\sin\omega t)+i\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right](\cos \omega t-i\sin\omega t) \\ \\ &=& x(0)\cos \omega t-x(0)i\sin\omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t+i\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\cos \omega t \\ \\ &=& \left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)+i\left(-x(0)\sin\omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\cos \omega t\right) \\ \\ \end{eqnarray} が得られる。ここで式(2.165)の左辺は実数部分が\(x(t)\)、虚数部分が\(\frac{p(t)}{m\omega}\)であることを考慮し比較すると式(2.166)が得られる。

演算子のハイゼンベルグ表示と一致する。式(2.83)(2.84)を用いることで式(2.167)が得られる。

\begin{eqnarray} \braket{x(t)} &=& \braket{\alpha|x(t)|\alpha} \\ \\ &=& (\bra{0}c_0^*+\bra{1}c_1^*)x(t)(c_0\ket{0}+c_1\ket{1})&...&\text{式(2.172)より} \\ \\ &=& (\bra{0}c_0^*+\bra{1}c_1^*)\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)(c_0\ket{0}+c_1\bra{1})&...&\text{式(2.166a)より} \\ \\ &=& \bra{0}c_0^*\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)c_0\ket{0}+\bra{0}c_0^*\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)c_1\ket{1}\\ &&+\bra{1}c_1^*\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)c_0\ket{0}+\bra{1}c_1^*\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)c_1\ket{1}& \\ \\ &=& \bra{0}|c_0|^2\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)\ket{0}+\bra{0}(c_0^*c_1)\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)\ket{1}\\ &&+\bra{1}(c_1^*c_0)\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)\ket{0}+\bra{1}|c_1|^2\left(x(0)\cos \omega t+\left[\frac{p(0)}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)\ket{1}& \\ \\ &=& |c_0|^2\left(\bra{0}x(0)\ket{0}\cos \omega t+\left[\frac{\bra{0}p(0)\ket{0}}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)+(c_0^*c_1)\left(\bra{0}x(0)\ket{1}\cos \omega t+\left[\frac{\bra{0}p(0)\ket{1}}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)\\ &&+(c_1^*c_0)\left(\bra{1}x(0)\ket{0}\cos \omega t+\left[\frac{\bra{1}p(0)\ket{0}}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)+|c_1|^2\left(\bra{1}x(0)\ket{1}\cos \omega t+\left[\frac{\bra{1}p(0)\ket{1}}{m\omega}\right]\sin\omega t\right)& \\ \\ &=& \cos\omega t\left(|c_0|^2\bra{0}x(0)\ket{0}+(c_0^*c_1)\bra{0}x(0)\ket{1}+(c_1^*c_0)\bra{1}x(0)\ket{0}+|c_1|^2\bra{1}x(0)\ket{1}\right)\\ &&+\frac{1}{m\omega}\sin\omega t\left(|c_0|^2\bra{0}p(0)\ket{0}+(c_0^*c_1)\bra{0}p(0)\ket{1}+(c_1^*c_0)\bra{1}p(0)\ket{0}+|c_1|^2\bra{1}p(0)\ket{1}\right)\\ \\ &=& \cos\omega t\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(|c_0|^2(0+\delta_{0,0+1})+(c_0^*c_1)(\delta_{0,1-1}+\sqrt{1+1}\delta_{0,1+1})+(c_1^*c_0)(\delta_{1,0+1})+|c_1|^2(\delta_{1,1-1}+\sqrt{2}\delta_{1,1+1})\right)\\ &&+\frac{1}{m\omega}\sin\omega t\cdot i\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}}\left(|c_0|^2(\delta_{0,0+1})+(c_0^*c_1)(-\delta_{0,1-1}+\sqrt{2}\delta_{0,1+1})+(c_1^*c_0)(\delta_{1,0+1})+|c_1|^2(-\delta_{1,1-1}+\sqrt{2}\delta_{1,1+1})\right)&...&\text{式(2.146)を利用}\\ \\ &=& \cos\omega t\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(c_0^*c_1+c_1^*c_0\right)+\frac{1}{m\omega}\sin\omega t\cdot i\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}}\left(-c_0^*c_1+c_1^*c_0\right)\\ \\ &=& \cos\omega t\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(c_0^*c_1+c_1^*c_0\right)+\sin\omega t\cdot i\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega}}\left(-c_0^*c_1+c_1^*c_0\right)\\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left[\left(c_0^*c_1+c_1^*c_0\right)\cos\omega t+i\left(-c_0^*c_1+c_1^*c_0\right)\sin\omega t\right]\\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left[\left(z+z^*\right)\cos\omega t+i\left(-z^*+z\right)\sin\omega t\right]&...&z=c_0^*c_1\text{とし、}z=a+bi\text{とする。}\\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left[\left(2a\right)\cos\omega t+i\left(2bi\right)\sin\omega t\right]&\\ \\ &=& \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left[\left(2a\right)\cos\omega t-\left(2b\right)\sin\omega t\right]&\\ \\ \end{eqnarray} となり、期待値が振動数\(\omega\)で振動することがわかる。

p.178問題(2.21)に導出の演習問題がある。